Civilara
Περιβόητο μέλος
f:R->R παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο που ικανοποιεί τις σχέσεις:
[f'(x)]^2 - 2f'(x) + 1/(x^2 + 1) = 0 για κάθε χ ανήκει R
f'(-1) < 1 < f'(1)
f(0) = 1
Να βρείτε τον τύπο της f
(έχω φτάσει σε ένα σημείο κάνοντας την ταυτότητα αλλά μάλλον πρέπει να πάρω περιπτώσεις και κολλάω. Έχω επίσης βρει ότι f'(0)=1 και f'(x)>0 )
deleted
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
f ''(x) = - f(x) για κάθε χ στο R, f'(0) = 0 ,f(0) = 1
Θα αντιμετωπιστεί γενικότερα το πρόβλημα, ώστε να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση
f΄΄(x)=-kf(x) => f΄΄(x)+kf(x)=0, x ανήκει R όπου k>0
Αν η f είναι σταθερή τότε f(x)=c για κάθε x ανήκει R. Τότε είναι f΄(x)=f΄΄(x)=0. Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση προκύπτει 0=-kc => c=0
Άρα η f(x)=0 είναι η μοναδική σταθερή συνάρτηση που είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης.
Εξετάζουμε στη συνέχεια την περίπτωση
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=[f΄(x)^2]+k[f(x)^2], x ανήκει R
Επειδή η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η g είναι παραγωγίσιμη, οπότε και συνεχής, στο R με πρώτη παράγωγο
g΄(x)=2f΄(x)f΄΄(x)+2kf(x)f΄(x)=2f΄(x)[f΄΄(x)+kf(x)]=2f΄(x)*0=0
Επειδή η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με g΄(x)=0 τότε υπάρχει r>0 ώστε g(x)=r για κάθε x ανήκει R.
Άρα
[f΄(x)^2]+k[f(x)^2]=r
για κάθε x ανήκει R
Επομένως υπάρχει παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση θ ώστε για κάθε x ανήκει R να ισχύει:
f(x)=[rημθ(x)]/SQRT(k)=[r/SQRT(k)]ημθ(x) (1)
f΄(x)=rσυνθ(x) (2)
(παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης με α=SQRT(k) και β=1 χωρίς απαραίτητα να είναι α>β)
Από την (1) προκύπτει:
f΄(x)=[r/SQRT(k)]θ΄(x)συνθ(x) (3)
Από τις (2) και (3) προκύπτει:
rσυνθ(x)=[r/SQRT(k)]θ΄(x)συνθ(x) => r[θ΄(x)-SQRT(k)]συνθ(x)=0 => [θ΄(x)-SQRT(k)]συνθ(x)=0 => θ΄(x)=SQRT(k) ή συνθ(x)=0 για κάθε x ανήκει R
Αν συνθ(x)=0 τότε θ(x)=2λπ+(π/2) για κάθε x ανήκει R ή θ(x)=2λπ-(π/2) για κάθε x ανήκει R, όπου λ ακέραιος αριθμός.
Για θ(x)=2λπ-(π/2) προκύπτει f(x)=-r/SQRT(k)<0 για κάθε x ανήκει R
Για θ(x)=2λπ+(π/2) προκύπτει f(x)=r/SQRT(k)>0 για κάθε x ανήκει R
Και οι δύο παραπάνω λύσεις δεν είναι αποδεκτές αφού η μόνη σταθερή συνάρτηση που είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η f(x)=0. Επομένως είναι αδύνατον να ισχύει συνθ(x)=0 για κάθε x ανήκει R
Άρα για κάθε x ανήκει R πρέπει να ισχύει θ΄(x)=SQRT(k) που σημαίνει ότι υπάρχει σταθερά φ ανήκει R ώστε θ(x)=xSQRT(k)+φ για κάθε x ανήκει R.
Επομένως
f(x)=[r/SQRT(k)]ημ(xSQRT(k)+φ) για κάθε x ανήκει R
Η f γράφεται ισοδύναμα στη μορφή
f(x)=[r/SQRT(k)]ημ[xSQRT(k)+])=[r/SQRT(k)][ημ(xSQRT(k))συνφ+συν(xSQRT(k))ημφ]=[(rσυνφ)/SQRT(k)]ημ(xSQRT(k))+[(rημφ)/SQRT(k)]συν(xSQRT(k))=Aημ(xSQRT(k))+Βσυν(xSQRT(k))
όπου A=[(rσυνφ)/SQRT(k)] και Β=[(rημφ)/SQRT(k)]
Αν Α=Β=0 τότε προκύπτει η λύση f(x)=0 που ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση.
Συνεπώς η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι της μορφής:
f(x)=Αημ(xSQRT(k))+Βσυν(xSQRT(k)), x ανήκει R όπου Α,Β πραγματικές σταθερές
Η πρώτη παράγωγος της f είναι η f΄(x)=[ASQRT(k)]συν(xSQRT(k))-[BSQRT(k)]ημ(XSQRT(k))
Για x=0 προκύπτει
f(0)=B => B=f(0)
f΄(0)=ASQRT(k) => A=f΄(0)/SQRT(k)
Η γενική λύση γράφεται στη μορφή:
f(x)=[f΄(0)/SQRT(k)]ημ(xSQRT(k)+f(0)συν(xSQRT(k)), x ανήκει R
Για k=1, f(0)=1 και f΄(0)=0 προκύπτει
f(x)=συνx, x ανήκει R
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Για να ορίζεται η f πρέπει 4-x>=0 => x<=4
Άρα η f έχει πεδίο ορισμού το Α=(-οο,4]
Για x1<x2<=4 έχουμε:
x1<x2<=4 => -x1>-x2>=-4 => 4-x1>4-x2>=0 => SQRT(4-x1)>SQRT(4-x2) => f(x1)>f(x2)
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,4]
2) f(x)=x(x-2)=(x^2)-2x=[(x^2)-2x+1]-1=[(x-1)^2]-1
Η f έχει πεδίο ορισμού το A=R
Για x1<x2<=1 έχουμε
x1<x2<=1 => x1-1<x2-1<=0 => (x1-1)^2>(x2-1)^2 => [(x1-1)^2]-1>[(x2-1)^2]-1 => f(x1)>f(x2)
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,1]
Για 1<=x1<x2 έχουμε
1<=x1<x2<=1 => 0<=x1-1<x2-1 => (x1-1)^2<(x2-1)^2 => [(x1-1)^2]-1<[(x2-1)^2]-1 => f(x1)<f(x2)
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+οο)
Για χ1<χ2
χ1-2<χ2-2
Πολλαπλασιάζω κατά μέρη και έχω:
χ1(χ1-2)<χ2(χ2-2)
g(x1)<g(x2)
Συμπερασματικά, η g είναι γνησίως αύξουσα.
Αυτό ισχύει μόνο όταν 0<=x1<x2. Συνεπώς είναι εσφαλμένη η γενίκευση σε όλο το R.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
κατι αλλες αντιπαραγωγισεις που δεν ειναι παρομοιες με τα αλλα
1)f '(x0)=f ' (2-x0)
2)x0*f ' (x0^2)=f ' (2x0)
3){f ' (ξ)+1}*{f(ξ)+ξ}=-1/2
4)f ' (ξ)/f(ξ) +lnf(ξ)=0
1) g(x)=f(x)+f(2-x)
2) g(x)=f(x^2)-f(2x)
3) g(x)=[(f(x)+x)^2]+x
4) g(x)=(e^x)*lnf(x)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
πως αντιπαραγωγιζονται αυτες οι δυο συναρτησεις για να κανω το rolle
1)f ' (x0) + f(x0)*ημχ0=0
2)f ' (x0)*συν^2χ0 +f(x0)=0
1) g(x)=f(x)*(e^(-συνx))
2) g(x)=f(x)*(e^(εφx)), συνx διάφορο 0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Δινεται η συναρτηση f(x)=x²-3x-5 και η ευθεια ε με εξισωση y=x+7
Να βρειτε το εμβαδον του τριγωνου που σχηματιζεται απο την ευθεια ε και τις εφαπτωμενες της Cf στα σημεια τομης της με την ε
Ειναι η 28.20 πρωτο τευχος παπαδακη
Αν την λυσει καποιος ας την γραψει εδω
f(x)=(x^2)-3x-5, x ανήκει R
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2x-3, x ανήκει R
Κοινά σημεία της Cf με την ε:
f(x)=x+7 => (x^2)-3x-5=x+7 => (x^2)-4x-12=0 => (x^2)-4x+4=16 => (x-2)^2=4^2 => |x-2|=4 => x-2=-4 ή x-2=4 => x=-2 ή x=6
f(-2)=5
f(6)=13
Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα Α(-2,5) και Β(6,13)
Εφαπτομένη της Cf στο Α(-2,5):
f΄(-2)=-7
y-f(-2)=f΄(-2)[x-(-2)] => y-5=-7(x+2) => y-5=-7x-14 => y=-7x-9 (ζ)
Εφαπτομένη της Cf στο Β(6,13):
f΄(6)=9
y-f(6)=f΄(6)(x-6) => y-13=9(x-6) => y-13=9x-54 => y=9x-41 (η)
Σημείο τομής (ε) και (ζ):
x+7=-7x-9 => 8x=-16 => x=-2 => y=5
Το ζητούμενο σημείο είναι το Α(-2,5)
Σημείο τομής (ε) και (η):
x+7=9x-41 => 8x=48 => x=6 => y=13
Το ζητούμενο σημείο είναι το Β(6,13)
Σημείο τομής (ζ) και (η):
-7x-9=9x-41 => 16x=32 => x=2 => y=-23
Το ζητούμενο σημείο είναι το Γ(2,-23)
Θεωρούμε τα διανύσματα:
ΑΒ=(8,8 )
ΑΓ=(4,-28 )
det(ΑΒ,ΑΓ)=8*(-28 )-4*8=8*(-28-4)=8*(-32)=-256
Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:
(ΑΒΓ)=(1/2)*|det(ΑΒ,ΑΓ)|=(1/2)*|-256|=256/2=128 τετραγωνικές μονάδες μήκους
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θα ήθελα να ρωτήσω αν έχω την αναλυτική περιγραφή μίας ευθείας στο χώρο,π.χ
χ-3y+z=0
ε= και
χ+y-z+4=0
πως μπορώ να την εκφράσω σε παραμετρική μορφή? ( Εχω καταλάβει πώς από παραμετρική περιγραφή πάω σε αναλυτική αλλά όχι το αντίστροφο...)
Ευχαριστώ πολύ !
Η ευθεία ε περιγράφεται ως τομή δύο επιπέδων με εξισώσεις:
Π1: x-3y+z=0 => z=-x+3y (1)
Π2: x+y-z+4=0 => z=x+y+4 (2)
Η ευθεία ε ως τιμή των δύο επιπέδων επαληθεύει τις εξισώσεις και των δύο επιπέδων, οπότε από τις εξισώσεις (1) και (2) έχουμε:
-x+3y=x+y+4 => 2y=2x+4 => y=x+2 (3)
Αντικαθιστώντας την (3) στις εξισώσεις (1) και (2) προκύπτει z=2x+6
Επομένως οι παραμετρικές εξισώσεις τις ευθείας ε, με παράμετρο την τετμημένη x, είναι οι εξής:
x ανήκει R
y=x+2
z=2x+6
Πώς μπορώ να βρω την εξίσωση της ευθείας της τομής αυτών των δύο επιπέδων
Π1:x+2y+1=0
Π2:3x+4y+2z-10=0
με προβληματίζει που ενώ έχω τρεις αγνώστους έχω μόνο δύο εξισώσεις και θέλω η τελική μου εξίσωση να είναι παραμετρική δλδ να έχει και χ και y και z
Ευχαριστώ πολύ!
Η ευθεία ε περιγράφεται ως τομή δύο επιπέδων με εξισώσεις:
Π1: x+2y+1=0 => y=-(1/2)x-(1/2) (1)
Π2: 3x+4y+2z-10=0 => z=-(3/2)x-2y+5 (2)
Η ευθεία ε ως τιμή των δύο επιπέδων επαληθεύει τις εξισώσεις και των δύο επιπέδων, οπότε αντικαθιστώντας την (1) στην (2) έχουμε:
z=-(1/2)x+6 (3)
Επομένως οι παραμετρικές εξισώσεις τις ευθείας ε, με παράμετρο την τετμημένη x, είναι οι εξής:
x ανήκει R
y=-(1/2)x-(1/2)
z=-(1/2)x+6
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
εστω f:R->R μια συνεχης συναρτηση με μοναδικη ριζα το 1 και f(0)=1 , f(2)=-3
Ι)για ποιες τιμες του χ οριζεται η συναρτηση g(x)=lnf(x) ?
f(0)=1
f(1)=0
f(2)=-3
Για κάθε x ανήκει (-oo,1)U(1,+oo) ισχύει f(x) διάφορο 0.
Επειδή η f είναι συνεχής στο (-οο,1] με f(x) διάφορο 0 για κάθε (-οο,1) και f(0)=1>0 τότε f(x)>0 για κάθε x ανήκει (-οο,1).
Επειδή η f είναι συνεχής στο [1,+οο) με f(x) διάφορο 0 για κάθε (1,+οο) και f(2)=-3<0 τότε f(x)<0 για κάθε x ανήκει (1,+οο).
Άρα η g ορίζεται στο (-οο,1) στο οποίο f(x)>0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Παιδια,δεν μου λετε αν και ζηταει να βρω τετραγωνικες ριζες του μιγαδικου z. ετσι αρχιζω η κανω λαθος??
Οι τετραγωνικές ρίζες του μιγαδικού z είναι οι μιγαδικοί w για τους οποίους ισχύει w^2=z.
Αν ψάχνεις τις τετραγωνικές ρίζες του z=-i τότε πρέπει να λύσεις την εξίσωση w^2=-i.
Θέτουμε w=x+yi οπότε w^2=((x^2)-(y^2))+2xyi, όπου x, y ανήκουν R. Για να είναι w^2=-i πρέπει:
(x^2)-(y^2)=0 => (x-y)(x+y)=0 => y=x ή y=-x
2xy=-1 => xy=-(1/2)
Επειδή xy<0 τότε απορρίπτεται η εκδοχή y=x, οπότε y=-x.
x*(-x)=-(1/2) => -(x^2)=-(1/2) => x^2=1/2 => |x|=SQRT(2)/2 => x=-SQRT(2)/2 ή x=SQRT(2)/2
Αν x=-SQRT(2)/2 τότε y=SQRT(2)/2
w=-[SQRT(2)/2]+[SQRT(2)/2]i
Αν x=SQRT(2)/2 τότε y=-SQRT(2)/2.
w=[SQRT(2)/2]-[SQRT(2)/2]i
Οι τετραγωνικές ρίζες του μιγαδικού z=-i είναι οι αριθμοί:
w1=-[SQRT(2)/2]+[SQRT(2)/2]i
w2=[SQRT(2)/2]-[SQRT(2)/2]i
ΥΓ: SQRT(2) -> τετραγωνική ρίζα του 2.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Παιδια ποσο σας βγαινει ο μιγαδικος z.
Αν
1/i=i/(i^2)=i/(-1)=-i
z+i=(z/i)+((1+i)/(-1+i)) => z+i=-zi+((1+i)/(-1+i)) => z+zi=-i+((1+i)/(-1+i)) => z(1+i)=-i+((1+i)/(-1+i)) =>
=> z=-(i/(1+i))+(1/(-1+i))
i/(1+i)=(i(1-i))/((1+i)(1-i))=(i-(i^2))/((1^2)-(i^2))=(i-(-1))/(1-(-1))=(i+1)/(1+1)=(1+i)/2=(1/2)+(1/2)i
1/(-1+i))=(-1-i)/((-1+i)(-1-i))=(-1-i)/(((-1)^2)-(i^2))=(-1-i)/(1-(-1))=(-1-i)/(1+1)=(-1-i)/2=-(1/2)-(1/2)i
Άρα
z=-(1/2)-(1/2)i-(1/2)-(1/2)i => z=-1-i
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1. Τι σημαίνει ακριβώς εδώ που γράφει Δ=0 , τότε έχει μια διπλή πραγματική λύση; Τι εννοεί με το διπλή πραγματική λύση;
Ένα πολυώνυμο P ν βαθμού, έχει ρίζα το ρ πολλαπλότητας μ (μ,ν θετικοί ακέραιοι αριθμοί με μ<=ν) όταν υπάρχει πολυώνυμο Q βαθμού (ν-μ) έτσι ώστε το P να μπορεί να γραφτεί στη μορφή P(x)=Q(x)((x-ρ)^ν).
Το ίδιο ισχύει για την εξίσωση P(x)=0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
πως δειχνουμε οτι το |z|=1 ?
z^2004=1 => |z^2004|=|1| => |z|^2004=1 => |z|=1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
πως δειχνω οτι αυτη η σχεση δεν εχει πραγματικη ριζα? |1+iz|^1995=1
Θέτουμε z=x+yi όπου x,y πραγματικοί αριθμοί. Έχουμε:
1+zi=1+(x+yi)I=1+xi+y*(i^2)=1+xi+y*(-1)=1+xi-y=(1-y)+xi
|1+iz|=SQRT[((1-y)^2)+(x^2)]=SQRT[(x^2)+((y-1)^2)]
|1+iz|^1995=1 => |1+iz|=1 => |1+iz|^2=1 => (x^2)+((y-1)^2)=1
Επομένως η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με κέτρο Κ(0,1) και ακτίνα ρ=1. Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτού του κύκλου είναι:
x=συνθ
y=1+ημθ
0<=θ<2π
Άρα οι λύσεις της εξίσωσης |1+iz|^1995=1 είναι οι μιγαδικοί αριθμοί z με
z=συνθ+(1+ημθ)i
όπου 0<=θ<2π
Για να είναι ο z πραγματικός αριθμός, πρέπει να ισχύει y=0. Έχουμε:
1+ημθ=0 => ημθ=-1 => θ=3π/2 καθώς 0<=θ<2π
Για θ=3π/2 είναι ημθ=-1 και συνθ=0
Συνεπώς
x=συνθ=0
y=1+ημθ=0
Άρα η μοναδική πραγματική ρίζα της εξίσωσης |1+iz|^1995=1 είναι ο αριθμός z=0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
καταλαβες τι εννοω χωρις το διαφορικο λογισμο
Αυτό που ζητάς είναι αυτομαστίγωμα. Μαζόχες είμαστε;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
τωρα προσεξα οτι καποια τα εχεις κανει με παραγωγους αλλα εγω ηθελα με τον απλο
Τον πιο απλό τρόπο χρησιμοποιώ, να είσαι σίγουρος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
civilara πολλυ ωραιος,αυτο το SQRT που βγαζει τι ειναι?
x^(1/2)=SQRT(x), x>=0
SQRT(x)=τετραγωνική ρίζα του x
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
μου δινετε καποια tips για τις ασκησεις?
(1)
Θέτουμε u=(x-1)^(1/3) => u^3=x-1 => u^(3/2)=(x-1)^(1/2) (όπου x>1)
lim(x->1)[(x-1)^(1/3)}=0
lim(x->1){[1/((x-1)^(1/2))]-[1/((x-1)^(1/3))]}=lim(u->0+){[1/(u^(3/2))]-(1/u)}=lim(u->0+){[1/(u*SQRT(u))]-(1/u)}=
=lim(u->0+){(1/u)*[(1/SQRT(u))-1]}
Είναι lim(u->0+)(1/u)=+oo
Επειδή lim(u->0+)SQRT(u)=0 τότε lim(u->0+)[1/SQRT(u)]=+oo και επομένως lim(u->0+){[1/SQRT(u)]-1}=+oo
Επειδή lim(u->0+)(1/u)=lim(u->0+){[1/SQRT(u)]-1}=+oo τότε lim(u->0+){(1/u)*[(1/SQRT(u))-1]}=+oo
Άρα
lim(x->1){[1/((x-1)^(1/2))]-[1/((x-1)^(1/3))]}=+οο
(2)
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(x^(1/2))+(x^(1/3))+(x^(1/4))-3 με πεδίο ορισμού το Α=[0,+οο). Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)={1/[2*(x^(1/2))]}+{1/[3*(x^(2/3))]}+{1/[4*(x^(3/4))]}
Για x=1 προκύπτει f(1)=0 και f΄(1)=13/12. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει το εξής:
lim(x->1){[f(x)-f(1)]/(x-1)}=f΄(1) => lim(x->1){[(x^(1/2))+(x^(1/3))+(x^(1/4))-3]/(x-1)}=13/12
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(x^(1/5))-(x^(1/2)) με πεδίο ορισμού το Α=[0,+οο). Η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)={1/[5*(x^(4/5))]}-{1/[2*(x^(1/2))]}
Για x=1 προκύπτει g(1)=0 και g΄(1)=-3/10. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει το εξής:
lim(x->1){[g(x)-g(1)]/(x-1)}=g΄(1) => lim(x->1){[(x^(1/5))-(x^(1/2))]/(x-1)}=-3/10
Επομένως έχουμε:
lim(x-1){[(x^(1/2))+(x^(1/3))+(x^(1/4))-3]/[(x^(1/5))-(x^(1/2))]}=
=lim(x-1){[[(x^(1/2))+(x^(1/3))+(x^(1/4))-3]/(x-1)]/[[(x^(1/5))-(x^(1/2))]/(x-1)]}=
=lim(x-1){[[(x^(1/2))+(x^(1/3))+(x^(1/4))-3]/(x-1)]/lim(x->1)[[(x^(1/5))-(x^(1/2))]/(x-1)]}=
=(13/12)/(-3/10)=-65/18
Άρα
lim(x-1){[(x^(1/2))+(x^(1/3))+(x^(1/4))-3]/[(x^(1/5))-(x^(1/2))]}=-65/18
(3)
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=1-2συνx με πεδίο ορισμού το R. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2ημx.
Για x=π/3 προκύπτει f(π/3)=0 και f΄(π/3)=SQRT(3). Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει το εξής:
lim(x->π/3){[f(x)-f(π/3)]/(x-(π/3))}=g΄(1) => lim(x->π/3)[(1-2συνx)/(x-(π/3))]=SQRT(3)
Θέτουμε u=x-(π/3). Επειδή lim(x->π/3)[x-(π/3)]=0 τότε
lim(x->π/3)[ημ(x-(π/3))/(x-(π/3))]=lim(u->0)(ημu/u)=1
Έχουμε:
lim(x->π/3)[(1-2συνx)/ημ(x-(π/3))]=lim(x->π/3){[(1-2συνx)/(x-(π/3))]/[ημ(x-(π/3))/(x-(π/3))]}=
=lim(x->π/3)[(1-2συνx)/(x-(π/3))]/lim(x->π/3)[ημ(x-(π/3))/(x-(π/3))]= SQRT(3)/1=SQRT(3)
Άρα
lim(x->π/3)[(1-2συνx)/ημ(x-(π/3))]=SQRT(3)
(4), (10)
Για α διάφορο 0 έχουμε:
Θέτουμε u=x-α. Επειδή lim(x->α)(x-α)=0 τότε lim(x->α)[ημ(x-α)/(x-α)]=lim(u->0)(ημu/u)=1
Έχουμε
lim(χ->α){ημ(x-α)/[(x^2)-(α^2)]}=lim(x->α){ημ(x-α)/[(x-α)(x+α)]}=
=lim(x->α)[ημ(x-α)/(x-α)]*lim(x->α)[1/(x+α)]=1*(1/(2α))=1/(2α)
Άρα
lim(χ->α){ημ(x-α)/[(x^2)-(α^2)]}=1/(2α), α ανήκει R*
Για α=0 έχουμε:
lim(x->0)[ημx/(x^2)]=lim(x->0)[(1/x)*(ημx/x)]
Επειδή lim(x->0)(ημx/x)=1 τότε lim(x->0-)(ημx/x)=lim(x->0+)(ημx/x)=1
Επειδή lim(x->0-)(ημx/x)=1>0 και lim(x->0-)(1/x)=-oo τότε lim(x->0-)[ημx/(x^2)]=-oo
Επειδή lim(x->0+)(ημx/x)=1>0 και lim(x->0+)(1/x)=+oo τότε lim(x->0+)[ημx/(x^2)]=+oo
Συνεπώς το όριο lim(x->0)[ημx/(x^2)] δεν υπάρχει που σημαίνει ότι το ζητούμενο όριο δεν ορίζεται για α=0.
(5)
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=SQRT(3)-2συνx με πεδίο ορισμού το R. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο
f΄(x)=2ημx.
Για x=π/6 προκύπτει f(π/6)=0 και f΄(π/6)=1. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει το εξής:
lim(x->π/6){[f(x)-f(π/6)]/(x-(π/6))}=f΄(1) => lim(x->π/6)[(SQRT(3)-2συνx)/(x-(π/6))]=1
Θέτουμε u=x-(π/6). Επειδή lim(x->π/6)[x-(π/6)]=0 τότε
lim(x->π/6)[ημ(x-(π/6))/(x-(π/6))]=lim(u->0)(ημu/u)=1
Έχουμε:
lim(x->π/6)[ημ(x-(π/6))/(SQRT(3)-2συνx)]=
=lim(x->π/3){[(ημ(x-(π/6)))/(x-(π/6))]/[(SQRT(3)-2συνx)/(x-(π/6))]}=
=lim(x->π/3)[(ημ(x-(π/6)))/(x-(π/6))]/lim(x->π/6)[(SQRT(3)-2συνx)/(x-(π/6))]=1/1=1
Άρα
lim(x->π/6)[ημ(x-(π/6))/(SQRT(3)-2συνx)]=1
(6)
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(ημx)^2 με πεδίο ορισμού το R. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο
f΄(x)=2ημxσυνx=ημ(2x).
Για x=α προκύπτει f(α)=(ημα)^2 και f΄(α)=ημ(2α). Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει το εξής:
lim(x->α){[f(x)-f(α)]/(x-α)}=f΄(α) => lim(x->α)[(((ημx)^2)-((ημα)^2))/(x-α)]=ημ(2α)
Για α διάφορο 0 έχουμε:
lim(x->α){[((ημx)^2)-((ημα)^2)]/[(x^2)-(α^2)]}=
=lim(x->α){[((ημx)^2)-((ημα)^2)]/[(x-α)(χ+α)]}=
=lim(x->α)[(((ημx)^2)-((ημα)^2))/(x-α)]*lim(x->α)[1/(x+α)]=ημ(2α)*(1/(2α))=ημ(2α)/(2α)
Για α=0 έχουμε:
lim(x->0)[((ημx)^2)/(x^2)]=lim(x->0)[(ημx/x)^2]=[lim(x->0)(ημx/x)]^2=1^2=1
Άρα
lim(x->α){[((ημx)^2)-((ημα)^2)]/[(x^2)-(α^2)]}=ημ(2α)/(2α) για α ανήκει R*
lim(x->α){[((ημx)^2)-((ημα)^2)]/[(x^2)-(α^2)]}=1 για α=0
(7)
α ανήκει R*
lim(x->α)[ημ((x-α)/2)εφ((πx)/(2α))]=lim(x->α){[ημ((x-α)/2)ημ((πx)/(2α))]/συν((πx)/(2α))}
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=ημ((x-α)/2)ημ((πx)/(2α)) με πεδίο ορισμού το R. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο
f΄(x)=(1/2)ημ((x-α)/2)ημ((πx)/(2α))+(π/(2α))ημ((χ-α)/2)συν((πx)/(2α))=ημ(2x).
Για x=α προκύπτει f(α)=0 και f΄(α)=(1/2)ημ((απ)/2). Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει το εξής:
lim(x->α){[f(x)-f(α)]/(x-α)}=f΄(α) => lim(x->α){[ημ((x-α)/2)ημ((πx)/(2α))]/(x-α)}=(1/2)ημ((απ)/2)
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=συν((πx)/(2α)) με πεδίο ορισμού το R. Η g είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο
g΄(x)=-(π/(2α))ημ((πx)/(2α)).
Για x=α προκύπτει g(α)=0 και g΄(α)=-π/(2α). Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει το εξής:
lim(x->α){[g(x)-g(α)]/(x-α)}=g΄(α) => lim(x->α)[συν((πx)/(2α))/(x-α)]=-(π/(2α))
Έχουμε:
lim(x->α)[ημ((x-α)/2)εφ((πx)/(2α))]=lim(x->α){[ημ((x-α)/2)ημ((πx)/(2α))]/συν((πx)/(2α))}=
=lim(x->α){[ημ((x-α)/2)ημ((πx)/(2α))]/(x-α)}/lim(x->α)[συν((πx)/(2α))/(x-α)]=
=[(1/2)ημ((απ)/2)]/[-(π/(2α))]=-(α/π)ημ((απ)/2)
Άρα
lim(x->α)[ημ((x-α)/2)εφ((πx)/(2α))]=-(α/π)*ημ((απ)/2)
( 8 )
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=εφ(πx). H f ορίζεται όταν συν(πx) διάφορο 0. Στο πεδίο ορισμού της η f είναι παραγωγίσιμη με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=π/(συν(πx)^2)
Για x=-4 προκύπτει f(-4)=εφ(-4π)=εφ0=0 και f΄(-4)=π/(συν(-4π)^2)=π/(συν0^2)=π/(1^2)=π. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει το εξής:
lim(x->-4){[f(x)-f(-4)]/(x-(-4))}=f΄(-4) => lim(x->-4)[εφ(πx)/(x+4)]=π
(9)
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=ημ(πx). Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=πσυν(πx)
Για x=1 προκύπτει f(1)=0 και f΄(1)=-π. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προκύπτει το εξής:
lim(x->1){[f(x)-f(1)]/(x-1)}=f΄(1) => lim(x->1)[ημ(πx)/(x-1)]=-π => lim(x->1)[(x-1)/ημ(πx)]=-(1/π) =>
=> lim(x->1)[(1-x)/ημ(πx)]=1/π
Έχουμε:
lim(x->1)[(1-(x^2))/ημ(πx)]=lim(x->1){[(1-x)(1+x)]/ημ(πx)}=lim(x->1)[(1-x)/ημ(πx)]*lim(x->1)(1+x)=
=(1/π)*2=2/π
Άρα
lim(x->1)[(1-(x^2))/ημ(πx)]=2/π
(11)
Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=(x^2)-7x+10.
Επειδή P(2)=P(5)=0 τότε γράφεται ισοδύναμα στη μορφή P(x)=(x-2)(x-5).
Για x στα διαστήματα (-οο,2) και (5,+οο) ισχύει P(x)>0, ενώ για x στο διάστημα (2,5) ισχύει P(x)<0.
Η P είναι συνεχής στο 5, οπότε
lim(x->5)P(x)=P(5)=0 <=> lim(x->5-)P(x)=lim(x->5+)P(x)=0
Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=[(x^2)-7x+10]*[1-2συν(3/(x-5))]=P(x)*[1-2συν(3/(x-5))]. Η f έχει πεδίο ορισμού το (-οο,5)U(5,+oo).
Για x ανήκει (-οο,5)U(5,+οο) ισχύει -1<=συν(3/(x-5))<=1. Έχουμε:
-2<=-2συν(3/(x-5))<=2 => -1<=1-2συν(3/(x-5))<=3
Για 2<x<5 είναι P(x)<0. Έχουμε:
-1<=1-2συν(3/(x-5))<=3 => 3P(x)<=f(x)<=-P(x)
lim(x->5-)[3P(x)]=3*0=0
lim(x->5-)[-P(x)]=-0=0
Επειδή lim(x->5-)[3P(x)]=lim(x->5-)[-P(x)]=0 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής lim(x->5-)f(x)=0
Για x>5 είναι P(x)>0. Έχουμε:
-1<=1-2συν(3/(x-5))<=3 => -P(x)<=f(x)<=3P(x)
lim(x->5+)[-P(x)]=-0=0
lim(x->5+)[3P(x)]=3*0=0
Επειδή lim(x->5+)[-P(x)]=lim(x->5+)[3P(x)]=0 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής lim(x->5+)f(x)=0
Επειδή lim(x->5-)f(x)=lim(x->5+)f(x)=0 τότε lim(x->5)f(x)=0
Άρα
lim(x->5){[(x^2)-7x+10]*[1-2συν(3/(x-5))]}=0
(12)
lim(x->3)[(x-3)(5+ημ(1/x)]=(3-3)*(5+ημ(1/3))=0
(13)
Είναι lim(x->0)(x)=0, οπότε lim(x->0-)(x)=lim(x->0+)(x)=0
Είναι lim(x->0)(-x)=0, οπότε lim(x->0-)(-x)=lim(x->0+)(-x)=0
Για κάθε x ανήκει R* ισχύει -1<=ημ(1/x)<=1
Για x<0 έχουμε:
x<=χημ(1/x)<=-x
Επειδή lim(x->0-)(x)=lim(x->0-)(-x)=0 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής lim(x->0-)[xημ(1/x)]=0
Για x>0 έχουμε:
-x<=χημ(1/x)<=x
Επειδή lim(x->0+)(-x)=lim(x->0+)(x)=0 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής lim(x->0+)[xημ(1/x)]=0
Επειδή lim(x->0-)[xημ(1/x)]=lim(x->0+)[xημ(1/x)]=0 τότε lim(x->0)[xημ(1/x)]=0
Έχουμε:
lim(x->0)[xημ(1/x)+2(x^2)-3]=lim(x->0)[xημ(1/x)]+lim(x->0)[2(x^2)-3]=0+(2*(0^2)-3)=-3
Άρα
lim(x->0)[xημ(1/x)+2(x^2)-3]=-3
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
να λυσετε την ανισωση x^4 - x^3 - 7x^2 + 13x - 6>0 ...θελω τη λυση συμφωνα με την αλγεβρα οχι απο κατευθυνση
Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=(x^4)-(x^3)-7(x^2)+13x-6, x ανήκει R. Το P γράφεται ισοδύναμα ως εξής:
P(x)=(x^4)-(x^3)-7(x^2)+13x-6=(x^4)-(x^3)-6(x^2)-(x^2)+12x+x-6=(x^4)-(x^3)-(x^2)+x-6(x^2)+12x-6=(x^3)(x-1)-x(x-1)-6[(x^2)-2x+1]= (x-1)[(x^3)-x]-6[(x-1)^2]=(x-1)[(x^3)-x-6(x-1)]=(x-1)[x((x^2)-1)-6(x-1)]=(x-1)[x(x-1)(x+1)-6(x-1)]=[(x-1)^2][x(x+1)-6]= [(x-1)^2][(x^2)+x-6]=[(x-1)^2][(x^2)+x-9+3]=[(x-1)^2][(x^2)-9+x+3]=[(x-1)^2][(x-3)(x+3)+(x+3)]=[(x-1)^2](x+3)(x-2)
Άρα P(x)=[(x-1)^2](x-2)(x+3), x ανήκει R.
Οι λύσεις της εξίσωσης P(x)=0 είναι x1=-3, x2=1, x3=2
Λύνουμε την ανίσωση P(x)>0. Για x=1 ισχύει P(1)=0, οπότε το x2=1 δεν είναι λύση της ανίσωσης. Για x διάφορο 1 έχουμε:
[(x-1)^2](x-2)(x+3)>0 => (x-2)(x+3)>0 => x-2>0, x+3>0 ή x-2<0, x+3<0 => x>2, x>-3 ή x<2, x<-3 => x>2 ή x<-3
Άρα x ανήκει (-οο,-3)U(2,+οο)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Καλημέρα παιδιά...
Τι εννοούν οι ασκήσεις τύπου "η εφαπτομενη της Cf της f σχηματίζει οξεία ή αμβλεία γωνία στο τάδε σημείο; Τι ακριβώς πληροφορία μας δίνει η κάθε γωνία;
Η γωνία φ που σχηματίζει η εφαπτομένη (ε) της Cf στο σημείο της (x0,f(x0)) βρίσκεται στο διάστημα 0<=φ<π. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε ισχύουν τα εξής:
1) Αν 0<φ<π/2 τότε ημφ>0, συνφ>0 και εφφ>0 => f΄(x0)>0
2) Αν π/2<φ<π τότε ημφ>0, συνφ<0 και εφφ<0 => f΄(x0)<0
3) Αν φ=0 τότε ημφ=0, συνφ=1 και εφφ=0 => f΄(x0)=0
(Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε φ διάφορο π/2 που σημαίνει ότι η (ε) δεν είναι κατακόρυφη εφαπτομένη)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Αν (x^2+1) ^ (x^2+1)* f ' (x) * e ^ 2xf(x)=1 για κάθε χϵR να βρεθεί ο τύπος της f!!
το e δεν ειναι υψωμένο και το (χ^2 + 1 ) * f ' (x) είναι όλο μαζί!!
Η λύση είναι f(x)=0. Συνέχισε από εκεί που σταμάτησε ο Κώστας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
(χ^2 + 1) ^ (χ^2 + 1) * f ' (x) * e ^2x *f(x)=1 Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης μια βοήθεια αν γίνεται!!
Γράψε την εκφώνηση ξεκάθαρα και ακριβώς όπως την δίνει η άσκηση. Η f είναι παραγωγίσιμη σε όλο το R ή σε υποσύνολο του; Δώσε που ορίζεται, που είναι συνεχής και που παραγωγίζεται η f.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Πώς αποδεικνυουμε οτι μια συναρτηση με πολυώνυμου 2ου βαθμου δε δεχεται ασύμπτωτες;
Μια πολυωνυμική συνάρτηση f(x)=αn*(x^n)+αn-1*(x^(n-1))+...+α1x+α0, αn διάφορο 0, οποιουδήποτε βαθμού n, n ανήκει N με n>=2 δεν έχει ασύμπτωτες. (Το ίδιο ισχύει και για την γραμμική συνάρτηση f(x)=α1*x+α0 και την σταθρή συνάρτηση f(x)=α0)
Επειδή η f είναι συνεχής στο R τότε η Cf δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Αν αn>0 τότε lim(x->-oo)f(x)=-oo και lim(x->+oo)f(x)=+oo.
Αν αn<0 τότε lim(x->-oo)f(x)=+oo και lim(x->+oo)f(x)=-oo.
Άρα η Cf δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες.
Αν αn>0 τότε lim(x->-oo)[f(x)/x]=+oo, lim(x->-oo)f(x)=-oo και lim(x->+oo)[f(x)/x]=0, lim(x->+oo)f(x)=+oo
Αν αn<0 τότε lim(x->-oo)[f(x)/x]=+oo, lim(x->-oo)f(x)=+oo και lim(x->+oo)[f(x)/x]=0, lim(x->+oo)f(x)=-oo
Άρα η Cf δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
μια βοηθεια στις παρακατω ασκησεις...
2η άσκηση
α) Η f έχει πεδίο τιμών το f(R)=R και ισχύει 3f(x)+συνf(x)=x για κάθε x ανήκει R.
Θεωρούμε x1, x2 ανήκουν R με f(x1)=f(x2) οπότε προκύπτει 3f(x1)=3f(x2) και συνf(x1)=συνf(x2). Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
3f(x1)+συνf(x1)=3f(x2)+συνf(x2) => x1=x2
Άρα η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη. Επομένως ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει R και y ανήκει f(R)=R
Συνεπώς έχουμε (f-1)(y)=3y+συνy όπου y ανήκει R. Άρα (f-1)(x)=3x+συνx για κάθε x ανήκει R. Έχουμε:
(f-1)(x)=3x+συνx <=> [(f-1)(x)-συνx]/3=x για κάθε x ανήκει R
β) (f-1)(0)=3*0+συν0=0+1=1 <=> f(1)=0
(f-1)(π/2)=3*(π/2)+συν(π/2)=(3π/2) <=> f(3π/2)=π/2
Άρα η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1,0) και Β(3π/2,π/2)
γ) f(f(f(x)+1)+(3π/2))=π/2 <=> f(f(f(x)+1)+(3π/2))=f(3π/2) <=> f(f(x)+1)+(3π/2)=3π/2 <=> f(f(x)+1)=0 <=> f(f(x)+1)=f(1) <=> f(x)+1=1 <=> f(x)=0 <=> f(x)=f(1) <=> x=1
δ) Η συνάρτηση f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
(f-1)΄(y)=3-ημy
Για y=0 έχουμε (f-1)(0)=1 και (f-1)΄(0)=3. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο έχουμε:
lim(y->0){[(f-1)(y)-(f-1)(0)]/(y-0)}=(f-1)΄(0) <=> lim(y->0){[(f-1)(y)-1]/y}=3
Άρα lim(x->0){[(f-1)(x)-1]/x}=3 <=> lim(x->0){[((f-1)(x)-1)/x]-3}=0
Για κάθε y ανήκει R ισχύει -1<=συνy<=1 => 3y-1<=3y+συνy<=3y+1 => 3y-1<=(f-1)(y)<=3y+1
Για y>1/3 ισχύει 3y-1>0 και 37+1>2>0, οπότε έχουμε:
3y-1<=(f-1)(y)<=3y+1 => 1/(3y+1)<=1/(f-1)(y)<=1/(3y-1) => y/(3y+1)<=y/(f-1)(y)<=y/(3y-1)
Επειδή lim(y->+oo)[y/(3y-1)]=lim(y->+oo)[y/(3y+1)]=lim(y->+oo)[y/(3y)]=lim(y->+oo)(1/3)=1/3 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει lim(y->+oo)[y/(f-1)(y)]=1/3
Επειδή lim(y->+oo)(3y-1)=lim(y->+oo)(3y+1)=lim(y->+oo)(3y)=+oo τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει
lim(y->+oo)(f-1)(y)=+oo
Θεωρούμε τον μετασχηματισμό y=f(x) <=> x=(f-1)(y). Επειδή lim(y->+oo)(f-1)(y)=+oo τότε έχουμε:
lim(x->+oo)[f(x)/x]=lim(y->+oo)[y/(f-1)(y)]=1/3
Συνεπώς lim(x->+oo)[f(x)/x]=1/3 <=> lim(x->+oo){[f(x)/x]-(1/3)}=0
ε) Όπως αναφέρθηκε η f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο (f-1)΄(y)=3-ημy. Για κάθε y ανήκει R ισχύει -1<=ημy<=1, οπότε έχουμε:
-1<=ημy<=1 => -1<=-ημy<=1 => 2<=3-ημy<=4 => 2<=(f-1)΄(y)<=4 => (f-1)΄(y)>0 για κάθε y ανήκει R
Επειδή η f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (f-1)΄(y)>0 για κάθε y ανήκει R τότε η f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο R.
Επειδή η f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο R τότε και η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
Επειδή η f-1 είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (f-1)΄(y) διάφορο 0 για κάθε y ανήκει R τότε η f είναι πραγωγίσιμη στο R (δεν χρειάζεται να δώσει η εκφώνηση ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R αφού προκύπτει από τα δεδομένα) με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=1/(f-1)΄(f(x)), x ανήκει R
Για x=1 προκύπτει f΄(1)=1/(f-1)΄(f(1))=1/(f-1)΄(0)=1/3
Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(1,f(1)) έχει εξίσωση:
y-f(1)=f΄(1)(x-1) => y-0=(1/3)(x-1) => y=(1/3)x-(1/3)
Θεωρούμε την συνάρτηση
g(x)=(f-1)(x)-[(1/3)x-(1/3)]=3x+συνx-(1/3)x+(1/3)=(8/3)x+συνx+(1/3), x ανήκει R
Η g είναι συνεχής στο R
g(-π/2)=(1-4π)/3<0
g(0)=4/3>0
Η g είναι συνεχής στο [-π/2,0] και ισχύει g(-π/2)g(0)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (-π/2,0) τέτοιο ώστε g(x0)=0 <=> (f-1)(x0)=(1/3)x0-(1/3)=y0 όπου y0=(1/3)x0-(1/3)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Πού πήγες και τα βρήκες αυτά? Το Ολοκλήρωμα(e^(x^2)) δεν ορίζεται...
Μην τα λες αυτά γιατί μπερδεύεις τους υποψηφίους.
Η συνάρτηση f(x)=e^(x^2) είναι συνεχής στο R και επομένως ολοκληρώσιμη σε οποιοδήποτε διάστημα [α,β] υποσύνολο του R. Το ότι δεν υπάρχει κλειστή αναλυτική λύση για το αόριστο ολοκλήρωμα της f στο [α,β] είναι άλλο θέμα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Μια εντελως χαζή ερώτηση, αλλα εχει κολλησει το μυαλο μου.
Εστω lnx=lny+c Μια απλη εξισωση. Θέλω να βγαλω τα Ln απο την εξισωση.
Με ποια πραξη βγαζουμε το ln ?
lnx=lny+c <=> lnx=lny+c*lne <=> lnx=lny+ln(e^c) <=> lnx=ln[y*(e^c)] <=> x=y*(e^c) <=> y=x*(e^(-c))
Δηλαδη να γινει x=y + (και εδω κολλαω).
Δεν έχει νόημα αυτή η ισότητα στη συγκεκριμένη περίπτωση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Καλησπέρα και καλό μήνα. Θέλω να σε ρωτήσω πως λύνεται η παρακάτω άσκηση
η φ παραγωγίσιμη στο R , και φ'(χ)διαφορετικό του μηδενός για κάθε χε στο R να δειξετε ότι η φ γνησιως μονότονη στο R .
https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=144736
Μήνυμα #9
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Παιδια πως λυνονται αυτες οι δυο εξισωσεις στο C?? Εχω μπερδευτει τελειως...
i) z²-7z=0
ii) 2z²+3zi+2i=0
Θα θέσεις z=x+yi όπου x,y ανήκουν R και θα καταλήξεις σε σύστημα δύο εξισώσεων με δύο πραγματικές μεταβλητές.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
παιδια η ασκηση ηταν ακριβως ετσι .
Τότε δε λύνεται.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Οι συναρτήσεις και ικανοποιούν την σχέση αλλά δεν έχουν την ίδια αντίστροφη. Μάλλον χρειάζεται και κάτι άλλο.
Να συμπληρώσω ότι και η συνάρτηση f3 με τύπο:
f3(x)=-SQRT(3)*x-1-SQRT(3), x<-1
f3(x)=SQRT(3)*x-1+SQRT(3), x>=-1
ικανοποιεί την σχέση και γενικά οι συναρτήσεις f για τις οποίες ισχύει f(f(x))=3x+2, x ανήκει R είναι άπειρες και όλες είναι 1-1 (οπότε έχουν αντίστροφη). Συνεπώς το πρόβλημα δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο και δε μπορεί να δοθεί μία λύση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Καλησπέρα. Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει σε αυτή την άσκηση? Αν f(x)*g(x)=0 για κάθε xER, τότε μία από τις δύο συναρτήσεις είναι η μηδενική? Ευχαριστώ!!!
Όχι.
Για παράδειγμα θεώρησε τις εξής συναρτήσεις:
f(x)=x, x<0
f(x)=0, x>=0
g(x)=0, x<0
g(x)=x^2, x>=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
ΧΡΕΙΑΖΟΜΑΙ ΛΙΓΗ ΒΟΗΘΕΙΑ: |f(X)+2| =< X(τετραγωνο)/f(x)(τετραγωνο)+|χ|+1 , κοντά στο 0. Να βρεθεί το limf(x) οταν το χ τείνει στο μηδέν
Δεν γράφεις καλά την εκφώνηση. Εγώ θα θεωρήσω δύο περιπτώσεις ότι ο παρανομαστής είναι η παράσταση (f(x)^2)+|x|+1.
Για x κοντά στο 0 ισχύει
|f(x)+2|<=(x^2)/[(f(x)^2)+|x|+1]<=(x^2)/(|x|+1) => -[(x^2)/(|x|+1)]<=f(x)+2<=(x^2)/(|x|+2) =>
=> -[(x^2)/(|x|+1)]-2<=f(x)<=[(x^2)/(|x|+2)]-2
Επειδή lim(x->0)[(x^2)/(|x|+1)]=(0^2)/(|0|+1)=0 τότε lim(x-0){-[(x^2)/(|x|+1)]-2}=-0-2=-2 και
lim(x->0){[(x^2)/(|x|+2)]-2}=0-2=-2
Επειδή lim(x->0){-[(x^2)/(|x|+1)]-2}=lim(x->0){[(x^2)/(|x|+2)]-2}=-2 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής
lim(x->0)f(x)=-2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
έχουμε f:R->R με lim(f(x)+ημ3x)/( x+4)^1/2 -2=20 (x--->0)
Να βρείτε:
α) lim f(x), (x---->0)
b) lim[ f(x)/x], (x---->0)
c) lim[ f(x)/ημx], (x---->0)
d) lim [f(x)-f(2x)/x^3] , (x---->0)
προσπαθώ ώρες..και μαλλον κάπου κάνω συνέχεια το ιδιο λάθος...παρακαλώ μια βοήθεια!
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=[f(x)+ημ3x]/[SQRT(x+4)-2] η οποία ορίζεται κοντά στο 0 καθώς και η f ορίζεται κοντά στο 0 με
lim(x->0)g(x)=20
Για x κοντά στο 0 έχουμε:
g(x)=[f(x)+ημ3x]/[SQRT(x+4)-2] => g(x)[SQRT(x+4)-2]=f(x)+ημ3x => f(x)=g(x)[SQRT(x+4)-2]-ημ3x
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=SQRT(x+4), x>=-4. Η h είναι συνεχής στο [-4,+οο) και παραγωγίσιμη στο (-4,+οο) με πρώτη παράγωγο
h΄(x)=1/[2SQRT(x+4)], x>-4
Για x=0 προκύπτει h(0)=2 και h΄(0)=1/4 και συνεπώς από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε
lim(x->0){[h(x)-h(0)]/(x-0)}=h΄(0) => lim(x->0){[SQRT(x+4)-2]/x}=1/4
Για α ανήκει R* θα υπολογίσουμε το όριο lim(x->0)(ημαx/x). Θεωρούμε την αντικατάσταση y=αx <=> x=y/α. Έχουμε
lim(x->0)(αx)=α*0=0
lim(x->0)(ημαx/x)=lim(y->0)[ημy/(y/α)]=lim(y->0)[α(ημy/y)]=α*lim(y->0)(ημy/y)=α*1=α => lim(x->0)(ημαx/x)=α
α) lim(x->0)f(x)=lim(x->0){g(x)[SQRT(x+4)-2]-ημ3x}=lim(x->0)g(x)*lim(x->0)[SQRT(x+4)-2]+lim(x->0)(-ημ3x)=
=20*(2-2)+(-ημ0)=20*0-0=0
β) lim(x->0)(f(x)/x)=lim(x->0){[g(x)(SQRT(x+4)-2)-ημ3x]/x}=lim(x->0)g(x)*lim(x->0){[SQRT(x+4)-2]/x}-lim(x->0)(ημ3x/x)=
=20*(1/4)-3=5-3=2
γ) lim(x->0)(f(x)/ημx)=lim(x->0)[(f(x)/x)/(ημx/x)]=lim(x->0)[f(x)/x]/lim(x->0)(ημx/x)=2/1=2
δ) Θεωρούμε την αντικατάσταση u=2x <=> x=u/2, οπότε lim(x->0)(2x)=2*0=0
Θα υπολογιστεί το όριο lim(x->0)[f(2x)/x]. Έχουμε:
lim(x->0)[f(2x)/x]=lim(u->0)[f(u)/(u/2)]=lim(u->0){2[f(u)/u]}=2*lim(u->0)[f(u)/u]=2*2=4
Άρα
lim(x->0){[f(x)-f(2x)]/x}=lim(x->0)[f(x)/x]-lim(x->0)[f(2x)/x]=2-4=-2<0
και επειδή lim(x->0)[1/(x^2)]=+oo τότε lim(x->0){[f(x)-f(2x)]/(x^3)}=-oo
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Η f είναι περιττή στο πεδίο ορισμού της Α, που σημαίνει ότι για κάθε x ανήκει Α ισχύει (-x) ανήκει Α και f(-x)=-f(x) για κάθε x ανήκει Α.
Θεωρούμε την αντικατάσταση u=-x <=> x=-u. Έχουμε:
lim(x->-1)(-x)=-(-1)=1
lim(x->-1){[(f(x)+5]/(x+1)}=lim(u->1){[f(-u)+5]/(-u+1)}=lim(u->1){[-f(u)+5]/(-u+1)}=lim(u->1){[f(u)-5]/(u-1)}=10
lim(x->1){[f(x)-2+((x-1)^2)]/(x-1)}=100 => lim(x->1){[(f(x)-2)/(x-1)]+(x-1)}=100
lim(x->1)(x-1)=1-1=0
Για x κοντά στο 1 ισχύει:
[f(x)-2]/(x-1)=[(f(x)-2)/(x-1)]+(x-1)}-(x-1)
Επομένως
lim(x->1){[f(x)-2]/(x-1)}=lim(x->1){[(f(x)-2)/(x-1)]+(x-1)}-lim(x->1)(x-1)=100-0=100
(α) f(x)=[|z-2|(x^3)-|z-2i|(x^2)-x+1]/(x-1)
Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=(-οο,1)U(1,+oo)
Για κάθε x ανήκει A ισχύει:
|z-2|(x^3)-|z-2i|(x^2)-x+1=f(x)(x-1)
Επομένως
lim(x->1)[|z-2|(x^3)-|z-2i|(x^2)-x+1]=lim(x->1)f(x)*lim(x->1)(x-1)=m*0=0
Επειδή lim(x->1)[|z-2|(x^3)-|z-2i|(x^2)-x+1]=|z-2|-|z-2i| τότε προκύπτει |z-2|-|z-2i|=0 => |z-2|=|z-2i|
Αν θέσουμε z=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R τότε
|z-2|=|(X-2)+Yi|=SQRT[((X-2)^2)+(Y^2)]
|z-2i|=|X+(Y-2)i|=SQRT[(X^2)+((Y-2)^2)]
|z-2|=|z-2i| => |z-2|^2=|z-2i|^2 => ((X-2)^2)+(Y^2)=(X^2)+((Y-2)^2) => (X^2)-Xα+4+(Y^2)=(X^2)+(Y^2)-4Y+4 =>
=> -4X=-4Y => Y=X
Άρα η εικόνα του z ανήκει στην ευθεία x=y και σε αυτήν την περίπτωση z=X+Xi=X(1+i)
(β) Για z=X+Xi προκύπτει |z-2|=|z-2i|=SQRT[2(X^2)-4X+4]=r>0
Επομένως f(x)=[r(x^3)-r(x^2)-x+1]/(x-1)=[r(x^2)(x-1)-(x-1)]/(x-1)=[(x-1)(r(x^2)-1)]/(x-1)=r(x^2)-1 για x ανήκει (-οο,1)U(1,+οο)
Άρα lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[r(x^2)-1]=r-1 => r-1=m => r=m+1
Αν m=1 τότε r=1+1+2, οπότε προκύπτει
r=2 => r^2=4 => 2(X^2)-4X+4=4 => 2(X^2)-4X=0 => (X^2)-2X=0 => X(X-2)=0 => X=0 ή X=2
Αν X=0 τότε z=0
Αν X=2 τότε z=2+2i
Άρα σε αυτήν την περίπτωση z=0 ή z=2+2i
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Παιδια..το πεδιο ορισμου απο: ln(x+ριζα(x^2 +1)) ποια ειναι?
Για κάθε x ανήκει R είναι 1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT[(x^2)+1]>|x|
Για κάθε x ανήκει R είναι x^2>=0 => (x^2)+1>=1>0 => SQRT[(x^2)+1]>=1>0
Αν x>=0 τότε επειδή (x^2)+1>0 ισχύει x+SQRT[(x^2)+1]>0
Αν x<0 τότε |x|=-x οπότε για κάθε x ανήκει R ισχύει SQRT[(x^2)+1]>-x => x+SQRT[(x^2)+1]>0
Άρα x+SQRT[(x^2)+1]>0 για κάθε x ανήκει R.
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
πραγματικα αψογος, ευχαριστω.
μια δεξαμενη νερου εχει σχημα ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο με τις δυο εδρες τετραγωνα πλευρας χ.το επανω μερος ειναι ανοιχτο και η δεξαμενη ειναι κατασκευασμενη απο λαμαρινα εμβαδου 27.να βρειτε τις διαστασεις της δεξαμενης ωστε αυτη να χωραει τη μεγαλυτερη δυνατη ποσοτητα νερου
Έστω x η διάσταση της τετραγωνικής έδρας του πυθμένα και y το ύψος της δεξαμενής. Το εμβαδόν της επιφάνειας της δεξαμενής είναι:
E=(x^2)+4xy. Πρέπει να είναι x>0 και y>0. Επειδή Ε=27 έχουμε:
(x^2)+4xy=27 => 4xy=27-(x^2) => y=[27-(x^2)]/(4x)
Επειδή y>0 τότε προκύπτει:
[27-(x^2)]/(4x)>0 => 27-(x^2)>0 => x^2<27 => 0<x<SQRT(27) => 0<xSQRT(3)
Ο όγκος της δεξαμενής δίνεται από την σχέση V=(x^2)y. Έχουμε:
V=(x^2){[27-(x^2)]/(4x)} => V=(1/4)[27x-(x^3)] => V=-(1/4)(x^3)+(27/4)x=f(x) όπου 0<xSQRT(3)
Η συνάρτηση f με τύπο f(x)=(1/4)(x^3)+(27/4)x έχει πεδίο ορισμού το Α=(0,3SQRT(3)).
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,3SQRT(3)) με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=-(3/4)(x^2)+(27/4)=[27-3(x^2)]/4
Έχουμε
f΄(x)=0 => 3(x^2)=27 => x^2=9 => x=3
Η f είναι συνεχής στο (0,3], παραγωγίσιμη στο (0,3) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (0,3), οποτε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,3].
Η f είναι συνεχής στο [3,3SQRT(3)), παραγωγίσιμη στο (3,3SQRT(3)) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (3,3SQRT(3)), οποτε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [3,3SQRT(3)).
Η f είναι συνεχής στο (0,3SQRT(3)), γνησίως αύξουσα στο (0,3] και γνησίως φθίνουσα στο (3,3SQRT(3)]. Επομένως η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x0=3 με τιμή f(x0)=f(3)=(1/4)*(3^3)+(27/4)*3=27/2=13,5
Για x0=3 μονάδες μήκους έχουμε y0=[27-(x0^2)]/(4x0)=(27-(3^2))/(4*3)=3/2=1,5 μονάδες μήκους και V0=f(x0)=f(3)=13,5 κυβικές μονάδες μήκους.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Μια βιομηχανια θελει να κατασκευασει ενα ημερολογιο σε ενα φυλλο χαρτιου με εμβαδον 800cm.τα περιθωρια αριστερα και δεξια ειναι 4cm, ενω πανω και κατω 2 cm.να βρειτε τις διαστασεις του φυλλου, ωστε η ωφελιμη επιφανεια να ειναι μεγιστη
Έστω x σε cm η οριζόντια διάσταση και y σε cm η κατακόρυφη διάσταση του χαρτιού. Η ωφέλιμη επιφάνεια έχει πλευρές:
X=x-2*4=x-8 όπου x,X σε cm
Y=y-2*2=y-4 όπου y,Y σε cm
Για να υπάρχει ωφέλιμη επιφάνεια πρέπει:
Χ>0 => x>8 cm
Υ>0 => y>4 cm
Το εμβαδόν της επιφάνειας του χαρτιού είναι E=xy όπου E=800 cm^2. Έχουμε:
xy=800 => y=800/x όπου x>8
Επειδή y>4 τότε 800/x>4 => x<200
Άρα πρέπει να ισχύει 8<x<200
Το εμβαδόν της ωφέλιμης επιφάνειας είναι:
Εωφ=XY=(x-8 )(y-4)=(x-8 )[(800/x)-4]=-(6400/x)-4x+832=f(x)
Στην παραπάνω έκφραση το x εκφράζεται σε cm και το Εωφ σε cm^2
Άρα f(x)=-(6400/x)-4x+832 όπου 8<x<200. Το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=(8,200).
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (8,200) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=[6400/(x^2)]-4=[6400-4(x^2)]/(x^2)
f΄(x)=0 => 4(x^2)=6400 => x^2=1600 => x=40 καθώς 8<x<200
H f είναι συνεχής στο (8,40], παραγωγίσιμη στο (8,40) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (8,40). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (8,40]. H f είναι συνεχής στο [40,200), παραγωγίσιμη στο (40,200) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (40,200). Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [40,200).
Επειδή η f είναι συνεχής στο (8,200), γνησίως αύξουσα στο (8,40] και γνησίως φθίνουσα στο [40,200) τότε παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x0=40 με τιμή f(40)=736.
Άρα η ωφέλιμη επιφάνεια γίνεται μέγιστη για x=x0=40 cm και y=y0=800/x0=800/40=20 cm.
Η μέγιστη τιμή της ωφέλιμης επιφάνειας είναι Εωφ0=f(40)=736 cm^2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Πάνο αν μου επιτρέπεις έχεις ένα λάθος στο 2ο όριο. Στην τελευταία γραμμή θεωρείς ότι υπάρχει το lim(x->0)[f(x)g(x)] και το ξεχωρίζεις στον αριθμητή, κάτι που δεν το γνωρίζουμε εξαρχής.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Για κάθε x ανήκει R ισχύει -1<=ημx<=1. Για κάθε x>0 έχουμε:
-1<=ημx<=1 => -(1/x)<=ημx/x<=1/x
Είναι lim(x->+oo)(1/x)=0 => lim(x->+oo)[-(1/x)]=-0=0
Επειδή lim(x->+oo)(1/x)=lim(x->+oo)[-(1/x)]=0 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι lim(x->+oo)(ημx/x)=0
Για κάθε x ανήκει R ισχύει -1<=συνx<=1. Για κάθε x στο R* έχουμε:
-1<=συνx<=1 => -(1/(x^2))<=συνx/x<=1/(x^2)
Είναι lim(x->+oo)[1/(x^2)]=0 => lim(x->+oo)[-(1/(x^2))]=-0=0
Επειδή lim(x->+oo)[1/(x^2)]=lim(x->+oo)[-(1/(x^2))]=0 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι lim(x->+oo)[συνx/(x^2)]=0
Έχουμε
lim(x->+oo)[(2xημx+συνx)/SQRT((x^4)+1)]=lim(x->+oo){[2(ημx/x)+(συνx/(x^2))]/SQRT(1+(1/(x^4)))}=(2*0+0)/SQRT(1+0)=0
Άρα lim(x->+oo)[(2xημx+συνx)/SQRT((x^4)+1)]=0
Έχουμε
lim(x->0){[(SQRT((x^2)+1)-1)/(xημx)]f(x)g(x)}=lim(x->0){[f(x)/(xημx)][(SQRT((x^2)+1)-1)g(x)]}=
=lim(x->0)[f(x)/(xημx)]*lim(x->0)[(SQRT((x^2)+1)-1)g(x)]=3*5=15
Για x κοντά στο 0 έχουμε
f(x)g(x)={[(SQRT((x^2)+1)-1)/(xημx)]f(x)g(x)}*[(xημx)/(SQRT((x^2)+1)-1)]
Έχουμε
lim(x->0)[(x^2)/((SQRT((x^2)+1)-1))]=lim(x->0){[(x^2)(SQRT((x^2)+1)+1)]/[(SQRT((x^2)+1)-1)(SQRT((x^2)+1)+1)]}=
=lim(x->0){[(x^2)(SQRT((x^2)+1)+1)]/(x^2)}=lim(x->0)[SQRT((x^2)+1)+1]=SQRT((0^2)+1)+1=1+1=2
Συνεπώς
lim(x->0)[(xημx)/(SQRT((x^2)+1)-1)]=lim(x->0){(ημx/x)*[(x^2)/((SQRT((x^2)+1)-1))]}=1*2=2
Επομένως
lim(x->0)[f(x)g(x)]=lim(x->0){[(SQRT((x^2)+1)-1)/(xημx)]f(x)g(x)}*lim(x->0)[(xημx)/(SQRT((x^2)+1)-1)]=15*2=30
Άρα lim(x->0)[f(x)g(x)]=30
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
f(x)=e^-x .Απο ποιο σημειο της f πρεπει να φερω παραλληλες ως προς τους αξονες, ωστε το ορθογωνιο που θα σχηματιστει να εχει μεγιστο εμβαδον?
Αν M(x,f(x)) ένα σημείο της Cf τότε εννοείς το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με κορυφές τα σημεία Ο(0,0), Α(x,0), B(0,f(x)) και M(x,f(x));
Σε αυτήν την περίπτωση το εμβαδόν του ορθογωνίου τείνει στο +οο όταν x->-oo. Δεν υπάρχει μέγιστη τιμή.
Μάλλον δεν έχεις γράψει σωστά την εκφώνηση. Ας κάνω όμως την ανάλυση μου.
Το ορθογώνιο με κορυφές τα σημεία Ο, Α, Β και Μ που αναφέρθηκαν παραπάνω έχει εμβαδό:
Ε(Ω)=(ΟΑ)*(ΟΒ)=|x|*|f(x)|=|x|*|e^(-x)|=|x|*(e^(-x))=g(x) όπου x ανήκει R
Για x=0 το ορθογώνιο εκφυλίζεται σε μία γραμμή και ορθώς προκύπτει g(0)=0
Αν x<0 τότε |x|=-x, οπότε g(x)=-x(e^(-x)), x<0
Αν x>=0 τότε |x|=x, οπότε g(x)=x(e^(-x)), x>=0
Για x<0 είναι g(x)=-x(e^(-x)). Επομένως η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (-οο,0) με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=(x-1)(e^(-x))
Για x>0 είναι g(x)=x(e^(-x)). Επομένως η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+oo) με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=(1-x)(e^(-x))
Είναι lim(x->0-)g(x)=lim(x->0-)[-x(e^(-x))]=-0*(e^(-0))=0 και lim(x->0+)g(x)=lim(x->0+)[x(e^(-x))]=0*(e^(-0))=0.
Επειδή lim(x->0-)g(x)=lim(x->0+)g(x)=0 τότε lim(x->0)g(x)=0
Επειδή lim(x->0)g(x)=g(0)=0 τότε η g είναι συνεχής στο 0. Άρα η g είναι συνεχής στο R.
Η g είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x στο (-οο,0). Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0].
Η g είναι συνεχής στο [0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει g΄(x)>0 για κάθε x στο (0,1). Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1].
Η g είναι συνεχής στο [1,+οο), παραγωγίσιμη στο (1,+οο) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε x στο (1,+οο). Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,+οο).
Θέτουμε u=-x
lim(x->-oo)(-x)=+oo
lim(x->-oo)g(x)=lim(x->-oo)[(-x)*(e^(-x))]=lim(u->+oo)(u(e^u))=+oo επειδή lim(x->+oo)x=lim(x->+oo)(e^x)=+oo
Θεωρούμε τις συναρτήσεις h1(x)=x και h2(x)=e^x. Οι h1 και h2 είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο R με πρώτες παραγώγους:
h1΄(x)=1
h2΄(x)=e^x
Έχουμε
lim(x->+oo)h1(x)=lim(x->+oo)x=+oo
lim(x->+oo)h2(x)=lim(x->+oo)(e^x)=+oo
lim(x->+oo)[h1΄(x)/h2΄(x)]=lim(x->+oo)(1/(e^x))=lim(x->+oo)(e^(-x))=0
Επειδή lim(x->+oo)h1(x)=lim(x->+oo)h2(x)=+oo και lim(x->+oo)[h1΄(x)/h2΄(x)]=0 τότε σύμφωνα με τον 2ο κανόνα De L' Hospital είναι lim(x->+oo)[h1(x)/h2(x)]=lim(x->+oo)[h1΄(x)/h2΄(x)]=0
Άρα lim(x->+oo)[x/(e^x)]=0 => lim(x->+oo)[x(e^(-x))]=0
Έχουμε lim(x->+oo)g(x)=lim(x->-oo)[x(e^(-x))]=0
Επειδή η g είναι συνεχής στο R, γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0], γνησίως αύξουσα στο [0,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,+οο) τότε παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x1=0 με τιμή g(0)=0 και τοπικό μέγιστο στο x2=1 με τιμή g(1)=1/e
Συνοψίζοντας
g(0)=0
g(1)=1/e
lim(x->-oo)g(x)=+oo
lim(x->+oo)g(x)=0
Η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0], οπότε g((-oo,0])=[g(0),lim(x->-oo)g(x))=[0,+oo)
Η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [0,1], οπότε g([0,1])=[g(0),g(1)]=[0,1/e]
Η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [1,+oo), οπότε g([1,+oo))=(lim(x->+oo)g(x),g(1)]=(0,1/e]
Παρατηρούμε ότι g(x)=0 μόνο για x=0
Για x>0 ισχύει g(x)<=g(1)=1/e
Άρα αν το πεδίο ορισμού της g είναι το (0,+οο) ή το [0,+οο) τότε η g έχει ολικό μέγιστο στο x0=1 με τιμή g(1)=1/e.
Σε αυτήν την περίπτωση το ζητούμενο σημείο είναι το M(1,f(1)) όπου f(1)=e^(-1)=1/e μονάδες μήκους και η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι maxE(Ω)=g(1)=1/e τετραγωνικές μονάδες μήκους.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
καλησπερα!!Οποιος μπορει ας βοηθησει στα παρακατω......σε καποια γραφω και τη λυση που σκεφτηκα..
1)
Για κάθε x ανήκει (-π/2,0)U(0,π/2) ισχύει 0<συνx<1 => συνx<1 => συνx-1<0
lim(x->0)(συνx-1)=συν0-1=1-1=0 και επειδή συνx-1<0 κοντά στο 0 τότε lim(x->0)[1/(συνx-1)]=-oo
lim(x->0)(3x-7)=3*0-7=-7<0
Επειδή lim(x->0)(3x-7)=-7<0 και lim(x->0)[1/(συνx-1)]=-oo τότε lim(x->0)[(3x-7)/(συνx-1)]=+oo
2)
εδω σκεφτηκα να διαιρεσω αριθμητη και παρονομαστη με χ
Για κάθε x ανήκει R ισχύει -1<=ημx<=1. Επομένως για κάθε x>0 ισχύει -1/x<=ημx/x<=1/x
Έχουμε lim(x->+oo)(1/x)=0 και lim(x->+oo)(-1/x)=-lim(x->+oo)(1/x)=-0=0
Επειδή lim(x->+oo)(-1/x)=-lim(x->+oo)(1/x)=0 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι lim(x-+oo)(ημx/x)=0
Επομένως lim(x->+oo)[2(ημx/x)-1]=2*0-1=-1
Θέτουμε u=2/x όπου x>0
lim(x->+oo)(2/x)=2*0=0
lim(x->+oo)[ημ(2/x)]=lim(x->0+)ημu=ημ0=0
lim(x->+oo)(3x)=+oo
Επειδή lim(x->+oo)(3x)=+oo και lim(x->+oo)[ημ(2/x)]=0 τότε lim(x->+oo)[3x+ημ(2/x)]=+οο. Άρα lim(x->+oo)[1/(3x+ημ(2/x))]=0
Έχουμε
lim(x->+oo)[(2ημx-x)/(3(x^2)+xημ(2/x))]=lim(x->+oo)[(2(ημx/x)-1)/(3x+ημ(2/x))]=
=lim(x->+oo)[2(ημx/x)-1]*lim(x->+oo)[1/(3x+ημ(2/x))]=(-1)*0=0
Άρα lim(x->+oo)[(2ημx-x)/(3(x^2)+xημ(2/x))]=0
lim(x->+oo)[((4^x)+(5^x))/(3^x)]=lim(x->+oo){[(4^x)/(3^x)]+[(5^x)/(3^x)]}=lim(x->+oo)[((4/3)^x)+((5/3)^x)]=+oo
επειδή lim(x->+oo)((4/3)^x)=lim(x->+oo)((5/3)^x)=+oo και αυτό επειδή 4/3>1 και 5/3>1
lim(x->+oo)[((3^x)+(4^x))/(5^x)]=lim(x->+oo){[(3^x)/(5^x)]+[(4^x)/(5^x)]}=lim(x->+oo)[((3/5)^x)+((4/5)^x)]=
=lim(x->+oo)[((3/5)^x)]+lim(x->+oo)[((4/5)^x)]=0+0=0 και αυτό επειδή 3/4<1 και 3/5<1
Θέτουμε u=e^x
lim(x->+oo)(e^x)=+oo
lim(x->+oo){[(e^x)+(e^(-x))]/[(e^x)-(e^(-x))]}=lim(x->+oo){[((e^x)^2)+1]/[((e^x)^2)-1]}=lim(u->+oo){[(u^2)+1]/[(u^2)-1]}=
=lim(u->+oo)[(u^2)/(u^2)]=lim(u->+oo)1=1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
καλησπερα σε ολους! θα ηθελα μια βοηθεια στο Γ3 και Γ4. εκανα τα δυο πρωτα αλλα κολλαω στα υπολοιπα
Γ.1) Θέτουμε z=x+yi όπου x,y ανήκουν R. Έχουμε:
z+5-2(z-5)i=x+yi+5-2(x+yi-5)i=x=yi+5-2xi+2y+10i=(x+2y+5)+(-2x+y+10)i
|z+5-2(z-5)i|=SQRT[((x+2y+5)^2)+((-2x+y+10)^2)] => |z+5-2(z-5)i|^2=((x+2y+5)^2)+((-2x+y+10)^2)
|z+5-2(z-5)i|=6*SQRT(5) => |z+5-2(z-5)i|^2=180 => ((x+2y+5)^2)+((-2x+y+10)^2)=180 =>
=> (x^2)+4(y^2)+25+4xy+10x+20y+4(x^2)+(y^2)+100-4xy-40x+20y=180 => 5(x^2)+5(y^2)-30x+40y-55=0 =>
=> (x^2)+(y^2)-6x+8y-11=0 => [(x^2)-6x+9]+[(y^2)+8y+16]-36=0 => [(x-3)^2]+[(y+4)^2]=36
Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος C1 με κέντρο Κ1(3,-4) και ακτίνα ρ1=6
Γ.2) Θέτουμε w=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R. Έχουμε:
w_=X-Yi (συζυγής του w)
iw_-2+5i=i(X-Yi)-2+5i=Xi+Y-2+5i=(Y-2)+(X+5)i
|iw_-2+5i|=SQRT[((Y-2)^2)+((X+5)^2)]=SQRT[((X+5)^2)+((Y-2)^2)] => |iw_-2+5i|^2=((X+5)^2)+((Y-2)^2)
|iw_-2+5i|=4 => |iw_-2+5i|^2=16 => ((X+5)^2)+((Y-2)^2)=16
Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι κύκλος C2 με κέντρο Κ2(-5,2) και ακτίνα ρ2=4
Γ.3) Το μήκος της διακέντρου είναι (Κ1Κ2)=SQRT[((-5-3)^2)+((2+4)^2)]=SQRT[((-8 )^2)+(6^2)]=SQRT(64+36)=SQRT(100)=10
Επισης έχουμε ρ1+ρ2=6+4=10
Παρατηρούμε ότι (Κ1Κ2)=ρ1+ρ2, που σημαίνει ότι οι κύκλοι C1 και C2 εφάπτονται εξωτερικά και συνεπώς έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Σε αυτό το σημείο ισχύει z=w.
Αν Α, Β είναι τα ακραία σημεία τομής των κύκλων C1 και C2 αντίστοιχα με την διάκεντρο Κ1Κ2, τότε επειδή οι κύκλοι C1, C2 εφάπτονται εξωτερικά ισχύει (ΑΒ)=2ρ1+2ρ2=2(ρ1+ρ2)=2*(6+4)=2*10=20
Αν Μ(z) και Ν(w) τότε |z-w|=(ΜΝ) και 0<=(ΜΝ)<=(ΑΒ). Άρα 0<=|z-w|<=20
Άρα |z-w|<=20
(Ισχύει |z-w|=0 μόνο όταν z=w που αντιστοιχεί στο σημείο επαφής των δύο κύκλων)
Γ.4) Παρατηρούμε ότι |w1-w2|=2ρ2 που σημαίνει ότι τα σημεία Ν1(w1) και Ν2(w2) είναι αντιδιαμετρικά.
Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C2 με κέντρο Κ2(-5,2) και ακτίνα ρ2=4 είναι:
X=-5+4συνθ
Y=2+4ημθ
όπου 0<=θ<2π
Άρα w=X+Yi => w=(-5+4συνθ)+(2+4ημθ)i, 0<=θ<2π
Έχουμε
w1=(-5+4συνθ1)+(2+4ημθ1)i
w2=(-5+4συνθ2)+(2+4ημθ2)i, 0<=θ1<=θ2<2π
Επειδή τα Ν1, Ν2 είναι αντιδιαμετρικά τότε θ2=θ1+π όπου 0<=θ1<π<=θ2<2π. Σε αυτήν την περίπτωση προκύπτει:
ημθ2=ημ(θ1+π)=ημ(π+θ1)=ημ(π-(-θ1))=ημ(-θ1)=-ημθ1
συνθ2=συν(θ1+π)=συν(π+θ1)=συν(π-(-θ1))=-συνθ2
Άρα
w1=(-5+4συνθ1)+(2+4ημθ1)i
w2=(-5-4συνθ1)+(2-4ημθ1)i
Αν θέσουμε θ1=θ τότε θ2=θ+π όπου 0<=θ<π. Επομένως:
w1=(-5+4συνθ)+(2+4ημθ)i
w2=(-5-4συνθ)+(2-4ημθ)i
Έχουμε w1+w2=-10+4i για κάθε 0<=θ<π
Συνεπώς |w1+w2|=SQRT[((-10)^2)+(4^2)]=SQRT(100+16)=SQRT(116)=2*SQRT(29)
Άρα |w1+w2|=2*SQRT(29)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
σε μια ασκηση λεει οτι f(f(x))= 2x -1 ... πως θα δειξω οτι f(2x-1) =2f(x) -1;;;
f(f(f(x)))=f(2x-1)
f(f(f(x)))=2f(x)-1
Άρα f(2x-1)=2f(x)-1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=SQRT((x^2)+2x+3)+SQRT((x^2)+4x+5)-ax+b
Έστω το πολυώνυμα P(x)=(x^2)+2x+3 και Q(x)=(x^2)+4x+5. Γράφονται ισοδύναμα ως εξής:
P(x)=(x^2)+2x+1+2=((x+1)^2)+2>=2>0 για κάθε x ανήκει R
Q(x)=(x^2)+4x+5=(x^2)+4x+4+1=((x+2)^2)+1>=1>0 για κάθε x ανήκει R
Άρα η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R.
Για x>0 η f γράφεται ισοδύναμα ως εξής:
f(x)=x*SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+x*SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))+x(-a+(b/x))
f(x)=x*[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))-a+(b/x)]
Επειδή lim(x->+oo)((x^2)+2x+3)=lim(x->+oo)(x^2)=+oo τότε lim(x->+oo)SQRT((x^2)+2x+3)=+oo
Επειδή lim(x->+oo)((x^2)+4x+5)=lim(x->+oo)(x^2)=+oo τότε lim(x->+oo)SQRT((x^2)+4x+5)=+oo
lim(x->+oo)x=+oo
lim(x->+oo)[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))-a+(b/x)]=1+1-a=2-a
(α) Αν a<0 τότε επειδή lim(x->+oo)(-ax+b)=lim(x->+oo)(-ax)=+oo είναι lim(x->+oo)f(x)=+oo
(β) Αν a=0 τότε f(x)=SQRT((x^2)+2x+3)+SQRT((x^2)+4x+5)+b
Επειδή lim(x->+oo)SQRT((x^2)+2x+3)=lim(x->+oo)SQRT((x^2)+4x+5)=+oo τότε lim(x->+oo)f(x)=+oo
(γ) Αν 0<a<2 => 2-a>0 τότε lim(x->+oo)[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))-a+(b/x)]=2-a>0.
Άρα lim(x->+oo)f(x)=+oo
(δ) Αν a>2 => 2-a<0 τότε lim(x->+oo)[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))-a+(b/x)]=2-a<0.
Άρα lim(x->+oo)f(x)=-oo
(ε) Αν a=2 τότε η f γίνεται f(x)=SQRT((x^2)+2x+3)+SQRT((x^2)+4x+5)-2x+b και γράφεται ισοδύναμα για x>0 ως εξής:
f(x)=[SQRT((x^2)+2x+3)-x]+[SQRT((x^2)+4x+5)-x]+b
f(x)={[SQRT((x^2)+2x+3)-x]*[SQRT((x^2)+2x+3)+x]/[SQRT((x^2)+2x+3)+x]}+{[SQRT((x^2)+4x+5)-x]*[SQRT((x^2)+4x+5)+x]/[SQRT((x^2)+4x+5)+x]}+b
f(x)={[(x^2)+2x+3-(x^2)]/[SQRT((x^2)+2x+3)+x]}+{[(x^2)+4x+5-(x^2)]/[SQRT((x^2)+4x+5)+x]}+b
f(x)={(2x+3)/[SQRT((x^2)+2x+3)+x]}+{(4x+5)/[SQRT((x^2)+4x+5)+x]}+b
f(x)={[x*(2+(3/x))]/[x*(SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+1)]}+{[x*(4+(5/x))]/[x*(SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))+1)]}+b
f(x)={(2+(3/x))/[SQRT(1+(2/x)+(3/(x^2)))+1]}+{(4+(5/x))/[SQRT(1+(4/x)+(5/(x^2)))+1]}+b
Έχουμε
lim(x->+oo)f(x)=[2/(1+1)]+[4/(1+1)]+b=(2/2)+(4/2)+b=1+2+b=3+b=b+3
Συνεπώς η μοναδική τιμή του a για την οποία το lim(x-+oo)f(x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός είναι a=2 και ισούται με lim(x->+oo)f(x)=b+3. Άρα b+3=7 => b=4
Επομένως a=2 και b=4. Ο τύπος της f γίνεται f(x)=SQRT((x^2)+2x+3)+SQRT((x^2)+4x+5)-2x+4.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=[(2(x^2)+3x+1)/(4x+3)]-ax+b. Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=(-oo,-3/4)U(-3/4,+oo) και γράφεται ισοδύναμα ως εξής:
f(x)=[(2(x^2)+3x+(-ax+b)(4x+3)]/(4x+3)=[2(1-2a)(x^2)+(-3a+4b+3)x+3b+1]/(4x+3)
(α) Αν a<1/2 => 1-2a>0 τότε lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(2(1-2a)(x^2))/(4x)=lim(x->+oo)[(1-2a)/2]x=+oo
(β) Αν a>1/2 => 1-2a<0 τότε lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(2(1-2a)(x^2))/(4x)=lim(x->+oo)[(1-2a)/2]x=-oo
(γ) Αν a=1/2 τότε f(x)=[(4b+(3/2))x+3b+1]/(4x+3), οπότε
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[(4b+(3/2))x]/(4x)=lim(x->+oo)(b+(3/8))=b+3/8
Η μοναδική τιμή του a για την οποία το lim(x->+oo)f(x) είναι πραγματικός αριθμός είναι η a=1/2 και τότε lim(x->+oo)f(x)=b+3/8. Άρα a=1/2 και b+3/8=19/8 => b=2.
Για a=1/2 και b=2 ο τύπος της f γίνεται f(x)=(19x+14)/(8x+6).
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=[(x^3)-2(x^2)+x+1]/[(α-2)(x^4)+(β-1)(x^3)+(x^2)+1]. Η f ορίζεται για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει
(α-2)(x^4)+(β-1)(x^3)+(x^2)+1 διάφορο 0
(α) Αν α=2 και β=1 τότε η f παίρνει τη μορφή f(x)=[(x^3)-2(x^2)+x+1]/[(x^2)+1] με πεδίο ορισμού το Α=R. Έχουμε:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(x^3)/(x^2)=lim(x->+oo)x=+oo
(β) Αν α=2, β διάφορο 1 τότε η f γράφεται στη μορφή f(x)=[(x^3)-2(x^2)+x+1]/[(β-1)(x^3)+(x^2)+1]. Έχουμε:
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(x^3)/[(β-1)(x^3)]=lim(x->+oo)[1/(β-1)]=1/(β-1) ανήκει R*
(γ) Αν α διάφορο 2 τότε lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(x^3)/[(α-2)(x^4)]=(1/(α-2))*lim(x->+oo)(1/x)=(1/(α-2))*0=0
Επειδή lim(x->+oo)f(x)=+oo τότε α=2 και β=1 και ο τύπος της f γίνεται f(x)=[(x^3)-2(x^2)+x+1]/[(x^2)+1]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=SQRT((x^2)+1)+αx-b με πεδίο ορισμού το Α=R. Για x>0 η f γράφεται ισοδύναμα:
f(x)=SQRT[(x^2)(1+(1/(x^2))]+αx-b=x*SQRT(1+(1/(x^2))+x(α-(b/x))=x*[SQRT(1+(1/(x^2))+α-(b/x)]
Είναι lim(x->+oo)+oo και lim(x->+oo)[SQRT(1+(1/(x^2))+α-(b/x)]=α+1
Επειδή lim(x->+oo)((x^2)+1)=lim(x->+oo)(x^2)=+oo τότε lim(x->+oo)SQRT((x^2)+1)=+oo
(α) Αν α=0 τότε f(x)=SQRT((x^2)+1)-b. Επειδή lim(x->+oo)SQRT((x^2)+1)=+oo τότε lim(x->+oo)f(x)=+oo
(β) Αν α>0 τότε επειδή lim(x->+oo)(αx-b)=lim(x->+oo)(αx)=+oo είναι lim(x->+oo)f(x)=+oo
(γ) Αν -1<α<0 τότε α+1>0 και συνεπώς lim(x->+oo)f(x)=+oo
(δ) Αν α<-1 τότε α+1<0 και συνεπώς lim(x->+oo)f(x)=-oo
(ε) Αν α=-1 τότε f(x)=SQRT((x^2)+1)-x-b. Για x>|b| η f γράφεται ισοδύναμα ως εξής:
f(x)=SQRT((x^2)+1)-x-b=SQRT((x^2)+1)-(x+b)=[(x^2)-1-((x+b)^2)]/[SQRT((x^2)+1)+(x+b)]=[-2bx+1-(b^2)]/[SQRT((x^2)+1)+x+b]
f(x)=[-2b+((1-(b^2))/x)]/[SQRT(1+(1/(x^2)))+1+(b/x)]
Επομένως lim(x->+oo)f(x)=(-2b+0)/(1+1+0)=(-2b)/2=-b
Συνοψίζοντας η μοναδική περίπτωση το όριο lim(x->+oo)f(x) να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός είναι για α=-1. Άρα α=-1 και lim(x->+oo)f(x)=-b=2 => b=-2
Άρα α=-1 και b=-2. Ο τύπος της f είναι f(x)=SQRT((x^2)+1)-x+2.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
η παραγωγός της αντίστροφης στο (2) που λες γιατί είναι έτσι?
https://methodikoedu.gr/files/3713/2197/3319/_.pdf
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
πως αποδεικνύω ότι η αντιστροφη μιας συνεχούς και παραγωγισιμης συνάντησης είναι συνεχης και παραγωγισιμη?
Αυτό δεν ισχύει. Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 τότε η αντίστροφή της f-1 δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμη στο f(x0). Συγκεκριμένα ισχύουν οι εξής προτάσεις:
1) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο x0 τότε η f-1 είναι συνεχής στο f(x0)
2) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0) διάφορο 0 τότε η f-1 είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) με (f-1)΄(f(x0))=1/f΄(x0)
3) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0)=0 τότε η f-1 δεν είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) και η γραφική παράσταση της f-1 έχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο σημείο (f(x0),x0) την ευθεία x=f(x0)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σου βρίσκεται πρόχειρα η απόδειξη ή το που περίπου είναι η απόδειξη γιατί είναι και 230+ σελίδες thread
Είναι απλή και καλό θα ήταν να την προσπαθήσεις μόνος σου ως άσκηση.
Η f με πεδίο ορισμού Α είναι αντιστρέψιμη, οπότε
y=f(x) <=> x=(f-1)(y), x ανήκει A, y ανήκει f(A)
Η f είναι συνεχής στο x0 ανήκει A => lim(x->x0)f(x)=f(x0). Θέτουμε y0=f(x0) <=> x0=(f-1)(y0).
Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητής x=(f-1)(y). Έχουμε:
lim(y->y0)(f-1)(y)=lim(x->x0)x=x0=(f-1)(y0)
Άρα lim(y->y0)(f-1)(y)=(f-1)(y0) που σημαίνει ότι η f-1 είναι συνεχής στο y0=f(x0).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Αυτό γιατί ισχύει;
Είναι θεώρημα: Αν η f είναι αντιστρέψιμη και συνεχής στο x0 τότε η f-1 είναι συνεχής στο f(x0).
Η απόδειξη είναι απλή και την έχω γράψει παλαιότερα σε αυτή τη συζήτηση. Για να το χρησιμοποιήσεις στις πανελλήνιες εξετάσεις πρέπει να το αποδείξεις πρώτα.
Παρ'όλα αυτά, στο σχολικό βιβλίο δεν τεκμηριώνεται κάπου ως θεωρία και,για τον λόγο αυτό, δεν ξέρω κατά πόσο είναι αποδεκτό στις εξετάσεις.
Στην τελευταία σελίδα των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων γράφει:
Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Άντε να βάλω και εγώ μια άσκηση Αν για κάθε να βρείτε το όταν το x--->0
Η f έχει πεδίο ορισμού το A=R.
Για κάθε x1, x2 ανήκει R με f(x1)=f(x2) ισχύει (f(x1)^3)=(f(x2)^3), οπότε (f(x1)^3)+f(x1)=(f(x2)^3)+f(x2) => x1=x2.
Άρα η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε x ανήκει Α, y ανήκει f(A) ισχύει y=f(x) <=> x=(f-1)(y)
Επομένως (f-1)(y)=(y^3)+2y. Παρατηρούμε ότι η f-1 έχει πεδίο ορισμού το f(A)=R και πεδίο τιμών το A=R. Η f-1 είναι συνεχής στο f(A), οπότε και η f είναι συνεχής στο A.
(f-1)(0)=0 <=> f(0)=0
f συνεχής στο A => f συνεχής στο 0 => lim(x->0)f(x)=f(0)=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Στο 2ο επίσης δεν ξέρω πως να διώξω την απροσδιοριστια...το |χ-3| το έκανα -(χ-3) και το |χ-1| το έκανα (χ-1)View attachment 55049
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(|x-3|+|x-1|-2)/(x-2)
Για να ορίζεται η f πρέπει να ισχύει x διάφορο 2, οπότε το πεδίο ορισμού της είναι το Α=(-οο,2)U(2,+οο).
(α) Αν x>=3 τότε x-3>=0 και x-1>=2>0, οπότε |x-3|=x-3 και |x-1|=x-1. Άρα f(x)=(x-3+x-1-2)/(x-2)=(2x-6)/(x-2)=2[(x-3)/(x-2)]
(β) Αν x<=1 τότε x-3<=-2<0 και x-1<=0, οπότε |x-3|=-x+3 και |x-1|=-x+1. Άρα f(x)=(-x+3-x+1-2)/(x-2)=(-2x+2)/(x-2)=2[(1-x)/(x-2)]
(γ) Αν 1<x<2 ή 2<x τότε x-3<0 και x-1>0, οπότε |x-3|=-x+3 και |x-1|=x-1. Άρα f(x)=(-x+3+x-1-2)/(x-2)=0
Επομένως
f(x)=2[(1-x)/(x-2)], x<=1
f(x)=0, 1<x<2 ή 2<x
f(x)=2[(x-3)/(x-2)], x>=3
Συνεπώς lim(x->2)f(x)=lim(x->2)0=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Γεια σας κ πάλι!!Έχω κολλήσει άσχημα στα παρακάτω ορια..
Στο 1ο παίρνω πλευρικά όρια...αλλά δεν ξέρω πως να διώξω την απροσδιοριστια...με μπερδεύει η ρίζα
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=[|(x^2)-3x+2|+(x^2)-4]/SQRT(x-2)
Για να ορίζεται η f πρέπει να ισχύει x-2>0 => x>2, οπότε το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=(2,+οο). Συνεπώς έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου lim(x->2)f(x) εφόσον υπάρχει το οποίο σε αυτή την περίπτωση συμπίπτει με το πλευρικό όριο lim(x->2+)f(x) εφόσον x>2.
Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=(x^2)-3x+1, x ανήκει R. Έχουμε:
P(x)=(x^2)-3x+3-1=[(x^2)-1]-3(x-1)=(x-1)(x+1)-3(x-1)=(x-1)(x+1-3)=(x-1)(x-2)
Για x>2 είναι x-1>1>0 και x-2>0 οπότε P(x)>0. Άρα για x>2 είναι |(x^2)-3x+2|=(x^2)-3x+2 και η f γράφεται στη μορφή:
f(x)=[2(x^2)-3x-2]/SQRT(x-2), x>2
Θεωρούμε το πολυώνυμο Q(x)=2(x^2)-3x-2, x ανήκει R. Η διακρίνουσα της εξίσωσης Q(x)=0 είναι Δ=((-3)^2)-4*2*(-2)=9+16=25>0 οπότε η εξίσωση Q(x)=0 έχει δύο ρίζες:
x1=(-(-3)-SQRT(25))/(2*2)=(3-5)/4=(-2)/4=-1/2
x2=(-(-3)+SQRT(25))/(2*2)=(3+5)/4=8/4=2
Άρα Q(x)=2(x-2)(x+1/2)=(x-2)(2x+1). Αντικαθιστούμε στην έκφραση της f και έχουμε
f(x)=(x-2)(2x+1)/SQRT(x-2)=(2x+1)[(SQRT(x-2)^2)/SQRT(x-2)]=(2x-1)SQRT(x-2)
Άρα η f γράφεται ισοδύναμα στη μορφή f(x)=(2x+1)SQRT(x-2), x>2
lim(x->2)f(x)=lim(x->2+)f(x)=lim(x->2+)[(2x+1)SQRT(x-2)]=(2*2+1)SQRT(2-2)=(4+1)SQRT(0)=5*0=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
με ντελοπιταλ το κανεις? Δε νομιζω να εχουν μπει στις παραγογους ακομα
Όχι δεν είναι De L' Hospital. Είναι εφαρμογή του ορισμού της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Όποιος μπορεί ας βοηθήσει στα παραπάνω...
*επειδή μπορεί να μην φαίνεται πολύ καλά..στο δεύτερο όριο στον αριθμητη..μέσα στη δεξιά ρίζα γράφω 13-χ...
** το τρίτο κατά σειρά όριο το προσπάθησα αρκετά να το βγάλω...αλλά με μπερδεύουν οι πράξεις με την τρίτη τάξης ριζα.....
Ας υπολογίσουμε το 3ο όριο: lim(x->3){[(x^2)-2x-3]/[((x+5)^(1/3))-2]} (πρόκειται για απροσδιόριστη μορφή 0/0)
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(x^2)-2x-3, x ανήκει R. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2x-2.
Για x=3 έχουμε f(3)=0 και f΄(3)=4. Από τον ορισμό της παράγωγου συνάρτησης σε σημείο έχουμε:
lim(x->3){[f(x)-f(3)]/(x-3)}=f΄(3) => lim(x->3){[(x^2)-2x-3]/(x-3)}=4
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=((x+5)^(1/3))-2, x>=-5. Η g είναι συνεχής στο [-5,+oo) και παραγωγίσιμη στο (-5,+οο) με πρώτη παράγωγο g΄(x)=1/[3((x+5)^(2/3))].
Για x=3 έχουμε g(3)=0 και g΄(3)=1/12. Από τον ορισμό της παράγωγου συνάρτησης σε σημείο έχουμε:
lim(x->3){[g(x)-g(3)]/(x-3)}=g΄(3) => lim(x->3){[((x+5)^(1/3))-2]/(x-3)}=1/12
Επομένως έχουμε:
lim(x->3){[(x^2)-2x-3]/[((x+5)^(1/3))-2]}=lim(x->3){[((x^2)-2x-3)/(x-3)]/[(((x+5)^(1/3))-2)/(x-3)]}=
=lim(x->3)[((x^2)-2x-3)/(x-3)]/lim(x->3)[(((x+5)^(1/3))-2)/(x-3)]=4/(1/12)=4*12=48
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Πώς γίνεται να υψώσουμε στο τετράγωνο ξεχωριστά το (χ+1) και το (y+3); Τα υπόλοιπα πού πήγαν;
Αν αναφέρεσαι στο υπογραμμισμένο κομμάτι, δεν υπάρχει κανένα κόλπο. Ο ορισμός του μέτρου είναι:
|x+yi|=SQRT((x^2)+(y^2))
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Αν έχω σχέση της μορφής 3z-|z+ 1 + 3i|= 1 + 3i
Πώς βγάζω τα απόλυτα; Απομονώνω το απόλυτο στο ένα μέλος και υψώνω;
Έστω z=x+yi
3z-|z+1+3i|=1+3i <=> |z+1+3i|=3z-1-3i <=> |(x+1)+(y+3)i|=(3x-1)+3(y-1)i <=> SQRT[((x+1)^2)+((y+3)^2)]=(3x-1)+3(y-1)i
Επομένως
(i) 3(y-1)=0 => y=1
(ii) SQRT[((x+1)^2)+((y+3)^2)]=3x-1 <=> SQRT[((x+1)^2)+16]=3x-1
Επειδή ((x+1)^2)+16>=16 => SQRT[((x+1)^2)+16]>=4 πρέπει 3x-1>=4 => 3x>=5 => x>=5/3
Έχουμε
SQRT[((x+1)^2)+16]=3x-1 => ((x+1)^2)+16=(3x-1)^2 => (x^2)+2x+17=9(x^2)-6x+1 => 8(x^2)-8x-16=0 => (x^2)-x-2=0 => [(x^2)-1]-(x+1)=0 => (x-1)(x+1)-(x+1)=0 => (x+1)(x-2)=0 => x=-1 ή x=2
Επειδή x>=5/3 τότε x=2
Άρα x=2 και y=1. Επομένως z=2+i
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Έστω οι συνάρτησης f,g R->R, για τις οποίες ισχύει
Να δείξετε ότι η τέμνει τον θετικό ημιάξονα Oy.
g(x)=[(f(x)-x)^2]+3>=3 για κάθε x ανήκει R
g(0)=(f(0)^2)+3>=3>0
Άρα το σημείο (0,g(0)) βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα Oy.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θα χρειαζόμουν λίγη βοήθεια στην συγκεκριμένη άσκηση : Αν u2+v2=0 τότε τι συμπέρασμα βγάζετε για τα u, v (με απόδειξη)
(u^2)+(v^2)=0 => (u^2)-(i^2)(v^2)=0 => (u^2)-((iv)^2)=0 => (u+iv)(u-iv)=0 => u=-iv ή u=iv, u, v ανήκουν C.
Σε κάθε περίπτωση |u|=|v| εφόσον |-i|=|i|=1.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
και λεει μετα να αποδειξω οτι w ειναι φανταστικος
Ο κλασικός τρόπος. Θεωρούμε z=x+yi όπου x=Re(z) και y=Im(z). Τότε είναι |z|=SQRT[(x^2)+(y^2)]. Αντικαθιστούμε στην έκφραση του w και έχουμε:
w=[x-SQRT((x^2)+(y^2))+yi]/[x+SQRT((x^2)+(y^2))+yi]
w={[x-SQRT((x^2)+(y^2))+yi][x+SQRT((x^2)+(y^2))-yi]}/{[x+SQRT((x^2)+(y^2))+yi][x+SQRT((x^2)+(y^2))-yi]}
w={[x-SQRT((x^2)+(y^2))+yi][x+SQRT((x^2)+(y^2))-yi]}/{[(x+SQRT((x^2)+(y^2)))^2]+(y^2)}
........
w={[2ySQRT((x^2)+(y^2))]/[((x+SQRT((x^2)+(y^2)))^2)+(y^2)]}i
Άρα ο w είναι φανταστικός.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
w=(z-|z|)/(z+|z|) για ποιες τιμες του z εχει νοημα ( οριζεται) ο w
z+|z| διάφορο 0 => z διάφορο -|z| => |z| διάφορο -z
Άρα ο z δεν μπορεί να είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός ή 0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Μου δωσανε μια ασκηση στο σχολειο και εχει κολλησει πραγματικα το μυαλο μου αν μπορει καποιος να προτινει μια πιθανη λυση...η εκφωνηση: Για τους μιγαδικους a,b,c ισχυει (a+b)/c, (b+c)/a ειναι πραγματικοι και a/c δεν ειναι πραγματικος μα δειχθει οτι a+b+c=0
Προφανώς a,c ανήκουν C* και b ανήκει C.
Υπάρχουν Α, Β, Γ ανήκουν R και Δ ανήκει R* έτσι ώστε
(a+b)/c=A => a+b=Ac => b=Ac-a (1)
(b+c)/a=B => b+c=Ba => b=Ba-c (2)
a/c=Γ+Δi (3)
Από τις (1) και (2) προκύπτει
Ac-a=Ba-c => (A+1)c=(B+1)a => A+1=(B+1)(a/c) => (A+1)=(B+1)(Γ+Δi) => A+1=Γ(Β+1)+Δ(Β+1)i => Α+1=Γ(Β+1) (4) και Δ(Β+1)=0 (5)
Από την (5) έχουμε Β+1=0 => Β=-1 εφόσον Δ διάφορο 0.
Αντικαθιστώντας στην (4) βρίσκουμε Α+1=0 => Α=-1
Άρα Α=Β=-1. Επομένως έχουμε:
(a+b)/c=-1 => a+b=-c => a+b+c=0
(b+c)/a=-1 => b+c=-a => a+b+c=0
Άρα a+b+c=0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
παιδια λεει μια ασκηση δινονται μιγαδικοι z,w ωστε : z διαφορο απ το 2 και w= 3-i/z-2. να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των z αν γνωριζετε οτι w ανηκει R...μια λυση;;
w=(3-i)/(z-2) => (z-2)w=3-i => z+[(3+2w)/w]-(1/w)i όπου w ανήκει R*
z=x+yi όπου x=(3+2w)/w και y=-(1/w)
y=-(1/w) => w=-(1/y)
x=(3+2w)/w => x=-3y+2 => 3y=-x+2 => y=-(x/3)+(2/3)
Επειδή z διάφορο 2 <=> w διάφορο 0 τότε x διάφορο 2 και y διάφορο 0
Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία με εξίσωση
y=-(1/3)x+(2/3), x ανήκει (-οο,2)U(2,+oo)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Γιατί το κάνεις σωστάΒρε παιδιά θα τρελαθώ ,εμένα γιατί μου βγαίνει Dfog=[ -5,5 ];;;;;;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Άντε βρε! Είδα απλά άσκηση, μου άρεσε και βιάστηκα να απαντήσω δεν κοίταξα αναλυτικά τι παίζει!
Είσαι όμως civilaras κανονικός! Ούτε 2 λεπτά δε σου πήρε και σένα
Τώρα είδα ότι μιλάω με διδακτορα του ΕΜΠ
Είναι τα λεγόμενα οφθαλμομαθηματικά που λύνονται με το μάτι (όπως οφθαλμοστατική, οφθαλμοφυσική κλπ.).
Σε μερικά χρόνια όσοι από δω περάσετε στη σχολή πολιτικών μηχανικών ΕΜΠ θα σας έχω φοιτητές.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Sorry civilara, δεν σας είδαμε
Τόσο απαρατήρητος περνάω;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει |z|=1 να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w=2z+1
w=2z+1 => w-1=2z => |w-1|=|2z|=2|z|=2*1=2 => |w-1|=2
Κύκλος κέντρου Κ(1,0) και ακτίνας ρ=2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ουπς,μπορείς να με βρίσεις,ναι είναι μικρότερο ίσο.Και επειδή το κάνω συνέχει αυτό το λάθος υποψιάζομαι ότι κάπως εμπλέκεται το ασπεργκερ.Τέλος πάντων :Ρ Συγνώμη.
Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει:
z=|z|-2 -(|z|-1)i
Κάτι μου λέει ότι είναι εύκολη αυτή απλώς κάτι δε βλέπω.
|z|^2=[(|z|-2)^2)+[(-(|z|-1))^2] => |z|^2=[(|z|-2)^2)+[(|z|-1)^2] => |z|^2=(|z|^2)-4|z|+4+(|z|^2)-2|z|+1 => (|z|^2)-6|z|+5=0 => [(|z|^2)-6|z|+9]-4=0 => [(|z|-3)^2]-4=0 => (|z|-1)(|z|-5)=0 => |z|=1 ή |z|=5
Για |z|=1 προκύπτει z=-1 => |z|=1
Για |z|=5 προκύπτει z=3-4i => |z|=5
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σπαζοκεφαλιάζω,ξέρω τη μεθοδολογία,δοκίμασα και άλλα πράγματα,άλλα παραδίνομαι.Τη παλεύω ώρες.Το πήρα προσωπικά.Ηττήθηκα :Ρ
Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία (ε): χ+ψ=1,να δείξετε ότι η εικόνα Ν του μιγαδικού w = (z+1)/(z-1) , βρίσκεται σε ευθεία που είναι κάθετη στην (ε).
Pleaze Help.
Έστω z=x+yi όπου x,y ανήκουν R και w=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R
Το Μ(z) ανήκει στην (ε): y=-x+1 => z=x+(-x+1)i=x+(1-x)i
Αντικαθιστούμε στο w και έχουμε:
w=[(x+1)+(1-x)i]/[(x-1)+(1-x)i]=...=[(xSQRT(2))/(x-1)]+[SQRT(2)/(x-1)]i
Για να ορίζεται ο w πρέπει z διάφορο 1 => x διάφορο 1
Επομένως w=X+Yi όπου
X=(xSQRT(2))/(x-1) (1)
Y=SQRT(2)/(x-1) (2)
x ανήκει (-οο,1)U(1,+οο)
Από την (2) προκύπτει:
x=(SQRT(2)/Y)+1
Αντικαθιστούμε στην (1) οπότε προκύπτει μετά από πράξεις
X=Y+SQRT(2) => Y=X-SQRT(2) όπου X διάφορο SQRT(2) επειδή x διάφορο 1
Άρα αν ο z ανήκει στην ευθεία (ε): y=-x+1, x ανήκει R τότε ο w ανήκει στην ευθεία (η): y=x-SQRT(2), x ανήκει (-οο,SQRT(2))U(SQRT(2),+oo)
Είναι λε=-1 και λη=1. Επομένως λε*λη=-1 που σημαίνει ότι οι ευθείες (ε) και (η) είναι κάθετες.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Δίνεται η και στο i ερωτημα ζητείται να βρεθεί η αντίθετη της , δινοντας μας την }απαντηση
Έχουμε και λεμε θέτω
και έχω ξεφύγει τελειως απο το αποτέλεσμα που ψάχνω να βρω!
Μπορεί κάποιος να μου εντοπίσει το λάθος?
H f έχει πεδίο ορισμού το A=R και γράφεται ισοδύναμα:
f(x)=[(e^x)-(e^(-x))]/2=(e^(2x)-1)/(2(e^x))=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)), x ανήκει R
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=[(e^x)+(e^(-x))]/2=(e^(2x)+1)/(2(e^x))>0 για κάθε x ανήκει R
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άρα είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη.
Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo και lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε θέτοντας u=e^x έχουμε:
lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->0+){[(u^2)-1]/(2u)}=-oo
εφόσον lim(u->0+)(1/u)=+oo και lim(u->0+){[(u^2)-1]/2}=-1/2<0
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->+οο){[(u^2)-1]/(2u)}=lim(u->+οο)[(u^2)/(2u)]=lim(u->+οο)(u/2)=+oo
Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, επομένως το πεδίο τιμών της είναι:
f(A)=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(-oo,+oo)=R
Συνεπώς A=f(A)=R
Η f είναι αντιστρέψιμη, οπότε ισχύει η ισοδυναμία
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A, y ανήκει f(A)
y=f(x) <=> y=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)) <=> 2y(e^x)=((e^x)^2)-1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)=1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)+(y^2)=(y^2)+1 <=> [(e^x)-y]^2=(y^2)+1 <=> |(e^x)-y|=SQRT((y^2)+1) <=> (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) ή (e^x)-y=SQRT((y^2)+1)
i) (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y-SQRT((y^2)+1)=g(y)
όπου g(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R
1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>x => -SQRT((x^2)+1)<-x => x-SQRT((x^2)+1)<0 => g(x)<0 για κάθε x ανήκει R που είναι άτοπο καθώς πρέπει e^x=g(y) με e^x>0 για κάθε x ανήκει R και g(y)<0 για κάθε y ανήκει R
ii) (e^x)-y=SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y+SQRT((y^2)+1)=h(y)
όπου h(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R
1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=-x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>-x => x+SQRT((x^2)+1)>0 => h(x)>0 για κάθε x ανήκει R
Έχουμε
e^x=h(y) <=> x=lnh(y) <=> x=ln[y+SQRT((y^2)+1)] <=> (f-1)(y)=ln[y+SQRT((y^2)+1)]
Άρα (f-1)(x)=ln[x+SQRT((x^2)+1)], x ανήκει f(A)=R
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ευχαριστώ! Κατι ακομα για τα κοινα σημεια των Cf kai Cf-1 εξισωσωνω y=f(x) και y=f(x) . αλλα με τι τυπους?
Οι εξισώσεις f(x)=(f-1)(x) και f(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή έχουν τις ίδιες λύσεις (αναζητούνται οι λύσεις στο σύνολο Ατομήf(Α) υποσύνολο του R όπου Α το πεδίο ορισμού της f).
Για f(x)=(x^3)+x-8 έχουμε A=f(A)=R. Επομένως
f(x)=(f-1)(x) <=> f(x)=x <=> (x^3)+x-8=x <=> (x^3)-8=0 <=> x^3=8 <=> x=2
Έχουμε f(2)=2 <=> (f-1)(2)=2
Το σημείο Μ(2,2) είναι το μοναδικό σημείο τομής των Cf και C(f-1)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Για την ακριβεια ζηταει την του (22) , απλά θεώρησα πως πρέπει να βρω την και εν συνεχεία να βάλω όπου χ το 22
f(3)=22 <=> (f-1)(22)=3
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Σελιδα 66 ασκηση 66
Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο κέντρου Κ(0,2) και ακτίνας ρ=1 να βρείτε που ανήκει η εικόνα του
Ο κύκλος C κέντρου Κ(0,2) και ακτίνας ρ=1 έχει εξίσωση στο σύστημα αναφοράς Oxy:
(x^2)+[(y-2)^2]=1
Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C είναι:
x=συνθ
y=2+ημθ
0<=θ<2π
Επομένως για τον μιγαδικό w=x+yi του οποίου η εικόνα Μ(w) ανήκει στον C ισχύει
x=συνθ
y=2+ημθ
Επομένως z=x+yi=συνθ+(2+ημθ)i
Επειδή |1-i|=SQRT((1^2)+((-1)^2))=SQRT(1+1)=SQRT(2) τότε έχουμε
w=2z+3-4i=2(x+yi)+3-4i=2x+2yi+3-4i=(2x+3)+2(y-2)i=(2συνθ+3)+(2ημθ)i
Αν θέσουμε w=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R τότε έχουμε:
X=2x+3=2συνθ+3
Y=2(y-2)=2ημθ
Συνεπώς προκύπτει:
((X-3)^2)+(Y^2)=((2συνθ)^2)+((2ημθ)^2)=4[((ημθ)^2)+((συνθ)^2)]=4*1=4
Άρα
[(X-3)^2]+(Y^2)=4
Επομένως η εικόνα M(w) του w ανήκει σε κύκλο C΄ στο σύστημα αναφοράς Oxy με κέντρο Κ΄(3,0) και ακτίνα ρ΄=2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
καλησπερα θα ηθελα τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις:
1)δινεται η συναρτηση f(x)={
{0 , x=0
α) να δειξετε οτι η f ειναι συνεχης
β)να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια,τα ακροτατα,τα κοιλα και να βρειτε τα σημεια καμπης της Cf.
γ)να βρειτε το συνολο τιμων της f και το πληθος των ριζων της εξισωσης
α) Θεωρούμε τις συναρτήσεις g(x)=1/x, Dg=R* και h(x)=lnx, Dh=(0,+oo).
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R* με πρώτη παράγωγο g΄(x)=-1/(x^2).
Είναι lim(x->0+)g(x)=lim(x->0+)(1/x)=+oo
Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+oo) με πρώτη παράγωγο h΄(x)=1/x.
Είναι lim(x->0+)h(x)=lim(x->0+)lnx=-oo
Έχουμε
lim(x->0+)[h΄(x)/g΄(x)]=lim(x->0+)[(1/x)/(-1/(x^2))]=lim(x->0+)[-(x^2)/x]=lim(x->0+)(-x)=-0=0
Επειδή lim(x->0+)h(x)=-oo και lim(x->0+)g(x)=+oo τότε σύμφωνα με τον 2ο κανόνα De L' Hospital έχουμε:
lim(x->0+)[h(x)/g(x)]=lim(x->0+)[h΄(x)/g΄(x)]=0
Άρα
lim(x->0+)(xlnx)=lim(x->0+)[lnx/(1/x)]=lim(x->0+)[h(x)/g(x)]=0
lim(x->0+)f(x)=lim(x->0+)[(x^2)lnx]=[lim(x->0+)x]*[lim(x->0+)(xlnx)]=0*0=0=f(0)
Επειδή lim(x->0+)f(x)=f(0) τότε η f είναι συνεχής στο x0=0. Για x>0 είναι f(x)=(x^2)lnx, οπότε η f είναι συνεχής στο (0,+οο) ως γινόμενο συνεχών συνρτήσεων. Άρα η f είναι συνεχής στο [0,+οο).
β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=2xlnx+x=(2lnx+1)x, x>0
lim(x->0+)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=lim(x->0+)[((x^2)lnx)/x]=lim(x->0+)(xlnx)=0
Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0 με πρώτη παράγωγο f΄(0)=0. Συνεπώς η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+οο).
f΄(0)=f΄(1/SQRT(e))=0
Η f είναι συνεχής στο [0,1/SQRT(e)], παραγωγίσιμη στο (0,1/SQRT(e)) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (0,1/SQRT(e)). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1/SQRT(e)].
Η f είναι συνεχής στο [1/SQRT(e),+οο), παραγωγίσιμη στο (1/SQRT(e),+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (1/SQRT(e),+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1/SQRT(e),+οο).
Η f είναι συνεχής στο [0,+οο), γνησίως φθίνουσα στο [0,1/SQRT(e)] και γνησίως αύξουσα στο [1/SQRT(e),+οο). Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0΄=1/SQRT(e) με τιμή f(1/SQRT(e))=-1/(2e)
H f΄ είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο), οπότε η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με δεύτερη παράγωγο
f΄΄(x)=2lnx+3, x>0
lim(x->0+)[((f΄(x)-f΄(0))/(x-0)]=lim(x->0+)(2lnx+1)=-oo εφόσον lim(x->0+)lnx=-oo
Άρα η f δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x0=0.
Έχουμε f΄΄(1/(eSQRT(e)))=0
Η f είναι συνεχής στο [0,1/(eSQRT(e))], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,1/(eSQRT(e))) και ισχύει f΄΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (0,1/(eSQRT(e))). Άρα η f είναι κοίλη στο [0,1/(eSQRT(e))].
Η f είναι συνεχής στο [1/(eSQRT(e)),+οο), παραγωγίσιμη στο (1/(eSQRT(e)),+οο) και ισχύει f΄΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (1/(eSQRT(e)),+οο). Άρα η f είναι κυρτή στο [1/(eSQRT(e)),+οο).
Το σημείο Α(1/(eSQRT(e)),f(1/(eSQRT(e)))) είναι σημείο καμπής της Cf. Έχουμε f(1/(eSQRT(e)))=-3/(2(e^3))
γ) Επειδή lim(x->+oo)(x^2)=lim(x->+oo)lnx=+oo τότε lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[(x^2)lnx]=+oo.
Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [0,1/SQRT(e)]. Επομένως
f([0,1/SQRT(e)])=[f(1/SQRT(e)),f(0)]=[-1/(2e),0]
Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [1/SQRT(e),+οο). Επομένως
f([1/SQRT(e),+οο))=[f(1/SQRT(e)),lim(x->+oo)f(x))=[-1/(2e),+oo)
Στη συνέχεια θα προσδιοριστεί το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f(x)=α όπου α ανήκει R.
Αν α<-1/(2e) τότε η εξίσωση f(x)=α είναι αδύνατη αφού f(x)>=-1/(2e) για κάθε x ανήκει [0,+οο)
Αν α=-1/(2e) τότε η εξίσωση f(x)=α έχει μοναδική λύση την x=1/SQRT(e) που είναι και η θέση του ελαχίστου
Αν -1/(2e)<α<=0 τότε η εξίσωση f(x)=α έχει δύο ρίζες, την x1 ανήκει [0,1/SQRT(e)) και την x2 ανήκει (1/SQRT(e),1]
Αν α>0 τότε η εξίσωση f(x)=α έχει μοναδική λύση στο διάστημα (1,+οο) (καθώς για x>1 έχουμε f(x)>f(1) => f(x)>0 λόγω της μονοτονίας της f)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
2)εστω f μια συναρτηση δυο φορες παραγωγισιμη στο R με ,,για καθε ,f'(1)>0 και η συναρτηση
α) να βρεθουν οι ριζες και το προσημο της Cg.
β)να βρεθουν τα διαστηματα που η g ειναι κυρτη ή κοιλη και τα σημεια καμπης της Cg.
α) Επειδή η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η f΄ είναι παραγωγίσιμη στο R οπότε και συνεχής στο R. Επιεδή η f΄ είναι συνεχής στο R και ισχύει f΄(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R τότε η f΄ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Επειδή η f΄ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R και f΄(1)>0 τότε f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R οπότε είναι και συνεχής στο R.
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο R, οπότε και συνεχής στο R, με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=f΄(x)+f΄(2-x), x ανήκει R
Επειδή f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R τότε f΄(2-x)>0 για κάθε x ανήκει R. Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες ανισότητες προκύπτει:
f΄(x)+f΄(2-x)>0 => g΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει g΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Έχουμε:
g(1)=f(1)-f(2-1)=f(1)-f(1)=0
x<1 <=> g(x)<g(1) <=> g(x)<0
x>1 <=> g(x)>g(1) <=> g(x)>0
Άρα g(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,1), g(x)>0 για κάθε x ανήκει (1,+οο) και g(1)=0
β) Επειδή η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R τότε και η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με δεύτερη παράγωγο:
g΄΄(x)=f΄΄(x)-f΄΄(2-x), x ανήκει R
Γνωρίζουμε ότι η f΄΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Έχουμε:
g΄΄(1)=f΄΄(1)-f΄΄(2-1)=f΄΄(1)-f΄΄(1)=0
x<1 <=> 2x<2 <=> x+x<2 <=> x<2-x <=> f΄΄(x)>f΄΄(2-x) <=> f΄΄(x)-f΄΄(2-x)>0 <=> g΄΄(x)>0
x>1 <=> 2x>2 <=> x+x>2 <=> x>2-x <=> f΄΄(x)<f΄΄(2-x) <=> f΄΄(x)-f΄΄(2-x)<0 <=> g΄΄(x)<0
Η g είναι συνεχής στο (-οο,1], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (-οο,1) και ισχύει g΄΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (-οο,1). Άρα η g είναι κυρτή στο (-οο,1). Η g είναι συνεχής στο [1,+οο), δύο φορές παραγωγίσιμη στο (1,+οο) και ισχύει g΄΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (1,+οο). Άρα η g είναι κοίλη στο [1,+οο).
Η g είναι συνεχής στο R, κυρτή στο (-οο,1] και κοίλη στο [1,+οο). Επομένως το σημείο M(1,g(1)) είναι σημείο καμπής της Cg.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1)ενα κινητο κινειται στο μιγαδικο επιπεδο με τετοιο τροπο ,ωστε τη χρονικη στιγμη t να βρισκεται στο σημειο που ειναι εικονα του μιγαδικοu z=3συνt-(3ημt-2)i
α)να αποδειξετε οτι το κινητο κινειται σε κυκλο με κεντρο την εικονα του μιγαδικου 2i και ακτινα ρ=3
β)να υπολογισετε τη μικροτερη αποσταση του κινητου απο την αρχη των αξονων.
α) Είναι z=x+yi όπου x=συνt και y=-(3ημt-2)=2-3ημt όπου t ανήκει R. Έχουμε:
|z-2i|=|3συνt-(3ημt-2)i-2i|=|3συνt-(3ημt)i|=SQRT[((3συνt)^2)+((-3ημt)^2)]=3SQRT[((συνt)^2)+((ημt)^2)]=3*SQRT(1)=3*1=3
Άρα |z-z0|=ρ όπου z0=2i και ρ=3 που σημαίνει ότι το Μ(z) ανήκει σε κύκλο κέντρο K(2i)=K(0,2) και ακτίνα ρ=3
β) Η απόσταση (ΟΜ) ισούται με:
(ΟΜ)=|z|=|3συνt-(3ημt-2)i|=|3συνt+(2-3ημt)i|=SQRT[((3συνt)^2)+((2-3ημt)^2)]=SQRT[9((συνt)^2)+4-12ημt+9((ημt)^2)]
(ΟΜ)=SQRT[9(((ημt)^2)+((συνt)^2))+4-12ημt]=SQRT(9+4-12ημt)=SQRT(13-12ημt)=f(t)
Άρα f(t)=SQRT(13-12ημt), t ανήκει R
Για κάθε t ανήκει R έχουμε:
-1<=ημt<=1 <=> -12<=-12ημt<=12 <=> 1<=13-12ημt<=25 <=> 1<=SQRT(13-12ημt)<=5 <=> 1<=f(t)<=5
Άρα minf(t)=1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Απορία:
Να δείξετε ότι
Θέτουμε z=x+yi όπου x=Re(z) και y=Im(z). Ο συζυγής του z είναι z_=x-yi. Έχουμε:
f(z)=[(3+4i)/6](x+yi)+(5/6)(x-yi)=...=[(4x-2y)/3]+[(2x-y)/3]i=[(4Re(z)-2Im(z))/3]+[(2Re(z)-Im(z))/3]i
Άρα
Re(f(z))=(4x-2y)/3=(4Re(z)-2Im(z))/3
Im(f(z))=(2x-y)/3=(2Re(z)-Im(z))/3
Έχουμε f(f(z))=Re(f(f(z))+Im(f(f(z))i όπου
Re(f(f(z)))=[4Re(f(z))-2Im(f(z))]/3=(1/3){4[(4x-2y)/3]-2[(2x-y)/3]}=(4x-2y)/3=Re(f(z))
Im(f(f(z)))=[2Re(f(z))-Im(f(z))]/3=(1/3){2[(4x-2y)/3]-[(2x-y)/3]}=(2x-y)/3=Im(f(z))
Επειδή Re(f(f(z)))=Re(f(z)) και Im(f(f(z))=Im(z) για οποιονδήποτε z ανήκει C τότε f(f(z))=f(z)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
θα μπορούσα ακόμα να θέσω αυτό το ολοκλήρωμα έστω f(x) όπου f(χ) παραγωγίσιμη ως πράξη παραγωγισίμων και μετά να δω αμα ενφανίζει τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο και υστερα Θ.fermat?
Ως F(x) ή g(x) γιατί f(x) είναι μέσα στο ολοκλήρωμα. Ναι θα μπορούσες. Κάντο για εξάσκηση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1) Εστω ολοκλήρωμα απο 0 εώς χ^2 f(t-π/3)dt +συνχ^2>=1 να υπολογιστεί το f(-π/3)
Δεν είναι σαφής η εκφώνηση όπως την έχεις γράψει και δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της f. Γι αυτό θεωρώ ότι η f είναι συνεχής στο [-π/3,+οο) και ότι για κάθε x ανήκει [-π/3,+οο) ισχύει:
Θεωρούμε την συνάρτηση F με τύπο
Επειδή η f είναι συνεχής στο [-π/3,+οο) τότε η F είναι παραγωγίσιμη στο [-π/3,+οο) με πρώτη παράγωγο F΄(x)=f(x) για κάθε x ανήκει [-π/3,+οο).
Θεωρούμε την αλλαγή μεταβλητής u=t-(π/3) <=> t=u+(π/3) => dt=du
u2=(x^2)-(π/3)
u1=-(π/3)
Η αρχική ανισότητα γράφεται ισοδύναμα
Θεωρούμε y=(x^2)-(π/3)>=-(π/3) για κάθε x ανήκει R, οπότε η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα
όπου y ανήκει [-π/3,+οο)
Άρα ισχύει
για κάθε x ανήκει [-π/3,+οο)
Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο:
Επειδή η F είναι παραγωγίσιμη στο [-π/3,+οο) τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο [-π/3,+οο) με πρώτη παράγωγο:
Έχουμε g(-π/3)=1 και g΄(-π/3)=F'(-π/3)=f(-π/3) και για κάθε x>=-(π/3) ισχύει g(x)>=1 => g(x)>=g(-π/3)
Η g είναι ορισμένη στο [-π/3,+οο), παραγωγίσιμη στο x0=-π/3 και ισχύει g(x)>=g(-π/3) για κάθε x>=-π/3 που σημαίνει ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=-π/3. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει g΄(-π/3)>=0 => f(-π/3)>=0
Σημείωση: Δεν μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα f(-π/3)=0 καθώς το x0=-π/3 είναι άκρο διαστήματος για το οποίο ισχύει η ανισότητα g(x)>=g(-π/3). Αν υπήρχε α<-π/3 έτσι ώστε g(x)>=g(-π/3) για κάθε x>=α τότε θα μπορούσαμε να βγάλουμε το συμπέρασμα f΄(-π/3)=0 .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1) δινεται η συναρτηση f με f(χ) ={ α(e^x), x<0
{ (χ^3)+β(χ^2)+γχ+β+γ, χ>=0
να υπολογισετε τα α,β,γ ε R ωστε να εφαρμοζεται το θεωρημα rolle για την f στο[-1,1] και να βρειτε ξ ε(-1,1) ωστε f'(ξ)=0
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=α(e^x), x ανήκει R. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=α(e^x), x ανήκει R
Έχουμε g(0)=g΄(0)=α. Επειδή η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0 έχουμε:
lim(x->0)g(x)=g(0)=α <=> lim(x->0-)g(x)=lim(x->0+)g(x)=α
lim(x->0)[(g(x)-g(0))/(x-0)]=g΄(0)=α <=> lim(x->0-)[(g(x)-g(0))/(x-0)]=lim(x->0+)[(g(x)-g(0))/(x-0)]=α
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(x^3)+β(x^2)+γx+β+γ, x ανήκει R. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
h΄(x)=3(x^2)+2βx+γ, x ανήκει R
Έχουμε h(0)=β+γ και h΄(0)=γ. Επειδή η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0 έχουμε:
lim(x->0)h(x)=h(0)=β+γ <=> lim(x->0)h(x)=lim(x->0+)h(x)=β+γ
lim(x->0)[(h(x)-h(0))/(x-0)]=h΄(0)=γ <=> lim(x->0-)[(h(x)-h(0))/(x-0)]=lim(x->0+)[(h(x)-h(0))/(x-0)]=γ
Για την συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι:
f(x)=g(x) για x<0
f(x)=h(x) για x>=0
Επειδή για κάθε x ανήκει (-οο,0) ισχύει f(x)=g(x) τότε η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (-οο,0) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=g΄(x) για κάθε x ανήκει (-οο,0). Επειδή για κάθε x ανήκει (0,+οο) ισχύει f(x)=h(x) τότε η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+oo) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=h΄(x) για κάθε x ανήκει (0,=oo).
Για να εφαρμόζεται για την f το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [-1,1] πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-1,1], παραγωγίσιμη στο (-1,1) και να ισχύει f(-1)=f(1). Για να είναι η f συνεχής στο [-1,1] και παραγωγίσιμη στο (-1,1) πρέπει η f να είναι παραγωγίσιμη στο x0=0 (οπότε θα είναι και συνεχής στο x0=0) καθώς είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R*.
Για να είναι η f συνεχής στο x0=0 πρέπει να υπάρχει το lim(x->0)f(x) και να ισούται με f(0).
Έχουμε:
lim(x->0-)f(x)=lim(x->0-)g(x)=g(0)=α
lim(x->0+)f(x)=lim(x->0+)h(x)=β+γ
Για να υπάρχει το lim(x->0)f(x) πρέπει να ισχύει lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x). Έχουμε
lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x) <=> α=β+γ
Επομένως έχουμε:
g(x)=(β+γ)(e^x)
h(x)=(x^3)+β(x^2)+γx+β+γ
Άρα έχουμε lim(x->0)f(x)=(β+γ) και f(0)=β+γ. Άρα lim(x->0)f(x)=f(0) που σημαίνει ότι η f είναι συνεχής στο x0=0 για α=β+γ
Στη συνέχεια θα ελεγχθεί η παραγωγισιμότητα της f στο x0=0. Έχουμε:
lim(x->0-)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=lim(x->0-)[(g(x)-g(0))/(x-0)]=α=β+γ
lim(x->0+)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=lim(x->0+)[(h(x)-h(0))/(x-0)]=γ
Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο x0=0 πρέπει ισχύει:
lim(x->0-)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=lim(x->0+)[(f(x)-f(0))/(x-0)] <=> β+γ=γ <=> β=0
Επομένως έχουμε:
g(x)=γ(e^x)
h(x)=(x^3)+γx+γ
Επομένως για β=0 προκύπτει:
lim(x->0-)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=lim(x->0+)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=γ <=> lim(x->0)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=γ
Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0 με παράγωγο f΄(0)=γ
Έχουμε:
f(-1)=g(-1)=γ(e^(-1))=γ/e
f(1)=h(1)=(1^3)+γ*1+γ=1+2γ
Επειδή f(-1)=f(1) έχουμε:
γ/e=1+2γ <=> γ=e+2eγ <=> (2e-1)γ=-e <=> γ=-e/(2e-1)
Άρα α=β+γ => α=0+γ=γ => α=γ=-e/(2e-1)
Τελικά έχουμε:
β=0
α=γ=-e/(2e-1)
Συνεπώς
g(x)=-(e^(x+1))/(2e-1)
h(x)=(x^3)-[e/(2e-1)]x-[e/(2e-1)]
Για x<0 είναι f΄(x)=g΄(x)=-(e^(x+1))/(2e-1)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0)
Για x=0 είναι f΄(0)=γ=-e/(2e-1)<0
Για x>0 είναι f΄(x)=h΄(x)=3(x^2)-[e/(2e-1)]=3{x+SQRT[e/(3(2e-1))]}{x-SQRT[e/(3(2e-1))]}
Επειδή ισχύει 0<SQRT[e/(3(2e-1))]<1 (απλή η απόδειξη) τότε έχουμε -1<-ξ<0<ξ<1 όπου
ξ=SQRT[e/(3(2e-1))]
και ισχύει f΄(-ξ)=f΄(ξ)=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
3)εστω f συναρτηση ορισμενη και συνεχης στο [α,β],παραγωγισιμη στο (α,β) ωστε f(α)=f(β)=0
να αποδειξετε οτι για καθε υπαρχει ξ ε (α,β) ωστε (ξ-γ)f'(ξ)=3f(ξ)
Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g(x)=f(x)/[(x-γ)^3] όπου x ανήκει [α,β] και γ δεν ανήκει [α,β].
Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] τότε και η g είναι συνεχής στο [α,β].
Έχουμε g(α)=f(α)/[(α-γ)^3]=0 και g(β)=f(β)/[(β-γ)^3]=0. Επομένως g(α)=g(β)=0.
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=[f΄(x)(x-γ)-3f(x)]/[(x-γ)^4], x ανήκει (α,β)
Η g είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και ισχύει g(α)=g(β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=0. Έχουμε:
g΄(ξ)=0 <=> [f΄(ξ)(ξ-γ)-3f(ξ)]/[(ξ-γ)^4]=0 <=> f΄(ξ)(ξ-γ)-3f(ξ)=0 <=> f΄(ξ)(ξ-γ)=3f(ξ)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
4)δινεται συναρτηση g δυο φορες παραγωγισιμη στο R ωστε να ισχυει 2g(x)+4xg'(x)+(x^2)g''(x) διαφορο του μηδενος για καθε χ ε R και g(0) διαφορο του μηδενος.Να αποδειξετε οτι η εξισωση g(x)=0 εχει το πολυ μια λυση στο R*.
Θεωρούμε την συνάρτηση f με τύπο f(x)=(x^2)g(x) και πεδίο ορισμού το Α=R.
Επειδή η g είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R τότε και η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με παραγώγους:
f΄(x)=2xg(x)+(x^2)g΄(x)=x[2g(x)+xg΄(x)], x ανήκει R
f΄΄(x)=2g(x)+4xg΄(x)+(x^2)g΄΄(x), x ανήκει R
Έχουμε
f(0)=(0^2)*g(0)=0
f΄(0)=0*[2g(0)+0*g΄(0)]=0
f΄΄(0)=2g(0)+4*0*g΄(0)+(0^2)*g΄΄(0)=2g(0) διάφορο 0 εφόσον g(0) διάφορο 0
Η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R οπότε η f και η f΄ είναι συνεχείς στο R
Για κάθε x<0, η f΄ είναι συνεχής στο [x,0] και παραγωγίσιμη στο (x,0). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ1 ανήκει (x,0) τέτοιο ώστε:
f΄΄(ξ1)=[f΄(0)-f΄(x)]/(0-x)=f΄(x)/x=2g(x)+xg΄(x)
Για κάθε x>0, η f΄ είναι συνεχής στο [0,x] και παραγωγίσιμη στο (0,x). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ2 ανήκει (0,x) τέτοιο ώστε:
f΄΄(ξ2)=[f΄(x)-f΄(0)]/(x-0)=f΄(x)/x=2g(x)+xg΄(x)
Άρα για κάθε x ανήκει R* υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ διάφορο x και διάφορο 0 τέτοιο ώστε f΄΄(ξ)=2g(x)+xg(x)
Επίσης επειδή f΄΄(0)=2g(0), η παραπάνω σχέση ικανοποιείται για ξ=x=0.
Επομένως για κάθε x ανήκει R υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει R τέτοιο ώστε f΄΄(ξ)=2g(x)+xg(x)
f΄΄(ξ) διάφορο 0 => 2g(x)+xg(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R
(Για x=0 προκύπτει g(0) διάφορο 0 που δίνεται. Επομένως δεν είναι απαραίτητο να δίνεται στην εκφώνηση ότι g(0) διάφορο 0 αφού προκύπτει)
Επειδή f΄(x)=x[2g(x)+xg΄(x)] τότε ισχύει f΄(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R*.
Για κάθε x<0, η f είναι συνεχής στο [x,0] και παραγωγίσιμη στο (x,0). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ3 ανήκει (x,0) τέτοιο ώστε:
f΄(ξ3)=[f(0)-f(x)]/(0-x)=f(x)/x=xg(x)
Για κάθε x>0, η f είναι συνεχής στο [0,x] και παραγωγίσιμη στο (0,x). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ4 ανήκει (0,x) τέτοιο ώστε:
f΄(ξ4)=[f(x)-f(0)]/(x-0)=f(x)/x=xg(x)
Άρα για κάθε x ανήκει R* υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ΄ διάφορο x και διάφορο 0 τέτοιο ώστε f΄(ξ΄)=xg(x).
Έχουμε
f΄(ξ΄) διάφορο 0 => xg(x) διάφορο 0 => g(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R*
Επειδή g(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R* και g(0) διάφορο 0 τότε g(x) διάφορο 0 για κάθε x ανήκει R.
Επομένως η εξίσωση g(x)=0 δεν έχει καμία πραγματική λύση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Μια ερώτηση. Έχω μια συνάρτηση f δις παραγωγίσημη.
Κάνω Θ.Rolle στην f και βγάζω ξ που ανείκη στο (α,β): f'(ξ)=0
Κάνω Θ.Rolle στην f' και βγάζω ξ που ανείκη στο (α,β): f''(ξ)=0
Αυτά τα δύο ξ δεν είναι το ίδιο, έτσι;
Μπορεί να είναι αλλά μπορεί και να μην είναι.
Δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσα αλλά ούτε και αποκλείεται. Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=ημx+συνx, x ανήκει R. Η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με παρσγώγους:
f΄(x)=συνx-ημx
f΄΄(x)=-ημx-συνx=-f(x)
Λύνουμε τις εξισώσεις f(x)=0, f΄(x)=0, f΄΄(x)=0. (Οι εξισώσεις f(x)=0 και f΄΄(x)=0 είναι ισοδύναμες αφού f΄΄(x)=-f(x))
f΄΄(x)=0 <=> f(x)=0 <=> ημx+συνx=0 <=> ημx=-συνx <=> εφx=-1 <=> εφx=εφ(-π/4) <=> x=κπ-(π/4) όπου κ ανήκει Ζ
f΄(x)=0 <=> συνx-ημx=0 <=> ημx=συνx <=> εφx=1 <=> εφx=εφ(π/4) <=> x=λπ+(π/4) όπου λ ανήκει Ζ
Για να έχουν κοινές ρίζες οι εξισώσεις f΄(x)=0 και f΄΄(x)=0 πρέπει να υπάρχουν ακέραιοι κ,λ τέτοιοι ώστε:
κπ-(π/4)=λπ+(π/4) <=> κπ=λπ+(π/2) <=> κ=λ+(1/2) που είναι άτοπο αφού για κάθε λ ανήκει Ζ ο [λ+(1/2)] δεν είναι ακέραιος.
Για κ ανήκει Ζ έχουμε:
ημ(κπ+φ)=ημ(κπ)συνφ+συν(κπ)ημφ=0*συνφ+((-1)^|κ|)ημφ=[(-1)^|κ|]ημφ
συν(κπ+φ)=συν(κπ)συνφ-ημ(κπ)ημφ=((-1)^|κ|)συνφ-0*ημφ=[(-1)^|κ|]συνφ
Άρα
ημ(κπ-(π/4))=[(-1)^|κ|]ημ(-π/4)=-(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]
συν(κπ-(π/4))=[(-1)^|κ|]συν(-π/4)=(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]
ημ(κπ+(π/4))=[(-1)^|κ|]ημ(π/4)=(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]
συν(κπ+(π/4))=[(-1)^|κ|]συν(π/4)=(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]
f΄(κπ-(π/4))=(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]+(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]=SQRT(2)*[(-1)^|κ|] διάφορο 0
f΄΄(κπ-(π/4))=(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]-(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]=0
f΄(κπ+(π/4))=(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]-(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]=0
f΄΄(κπ+(π/4))=-(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]-(SQRT(2)/2)*[(-1)^|κ|]=-SQRT(2)*[(-1)^|κ|] διάφορο 0
Οι συναρτήσεις f, f΄ και f΄΄ είναι περιοδικές με περίοδο Τ=2π. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε κ ανήκει Ζ* και για κάθε x ανήκει R ισχύουν:
f(x+2κπ)=f(x)
f΄(x+2κπ)=f΄(x)
f΄΄(x+2κπ)=f΄΄(x)
Η f είναι συνεχής στο διάστημα [x0+2κπ, x0+2(κ+1)π], παραγωγίσιμη στο (x0+2κπ, x0+2(κ+1)π) και ισχύει f(x0+2(κ+1)π)=f(x0+2κπ)=f(x0) για κάθε κ ανήκει Z και όπου x0 ανήκει R. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ1 στο διάστημα (x0+2κπ, x0+2(κ+1)π) τέτοιο ώστε f΄(ξ1)=0.
Η f΄ είναι συνεχής στο διάστημα [x0+2κπ, x0+2(κ+1)π], παραγωγίσιμη στο (x0+2κπ, x0+2(κ+1)π) και ισχύει f΄(x0+2(κ+1)π)=f΄(x0+2κπ)=f΄(x0) για κάθε κ ανήκει Z και όπου x0 ανήκει R. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ2 στο διάστημα (x0+2κπ, x0+2(κ+1)π) τέτοιο ώστε f΄΄(ξ2)=0.
Όμως επειδή οι εξισώσεις f΄(x)=0 και f΄΄(x)=0 δεν έχουν καμία κοινή ρίζα τότε ισχύει ξ1 διάφορο ξ2.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
καλησπερα!θα ηθελα τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις:
1)δινεται η συναρτηση
α)να βρειτε την ελαχιστη τιμη της f
β)να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των σημειων Μ(x,f(x)) οπου χ η θεση ελαχιστου της f
γ)να βρειτε τη μεγαλυτερη τιμη του λ για την οποια ισχυει
δ)για τη μεγαλυτερη τιμη του λ που θα βρειτε παραπανω ,να αποδειξετε οτι η ευθεια εφαπτεται της γραφικης παραστασης της συναρτησης
α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο
f΄(x)=lnx+1-λ, x>0
f΄(x)=0 <=> lnx+1-λ=0 <=> lnx=λ-1 <=> x=e^(λ-1)
Η f είναι συνεχής στο (0,e^(λ-1)], παραγωγίσιμη στο (0,e^(λ-1)) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,e^(λ-1)). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,e^(λ-1)]. Η f είναι συνεχής στο [e^(λ-1),+οο), παραγωγίσιμη στο (e^(λ-1),+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (e^(λ-1),+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [e^(λ-1),+οο).
Η f είναι συνεχής στο (0,+οο), γνησίως φθίνουσα στο (0,e^(λ-1)] και γνησίως αύξουσα στο [e^(λ-1),+οο). Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=e^(λ-1) με τιμή f(x0)=f(e^(λ-1))=1-(e^(λ-1))
β) Το σημείο Μ(x,y) ελαχίστου της Cf έχει συντεταγμένες:
x=e^(λ-1)
y=1-(e^(λ-1))
όπου λ ανήκει R
Άρα y=1-x. Επομένως το σημείο Μ βρίσκεται στην ευθεία (ε) y=-x+1 για τις διάφορες τιμές του λ ανήκει R.
γ) Έχουμε:
xlnx>=λx-1 <=> xlnx-λx+1>=0 <=> f(x)>=0 για κάθε x>0
Εφόσον η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0 τότε ισχύει f(x)>=f(x0) για κάθε x>0. Επομένως για να ισχύει f(x)>=0 για κάθε x>0 πρέπει να ισχύει f(x0)>=0. Έχουμε:
f(x0)=1-(e^(λ-1))=h(λ) όπου λ ανήκει R. Επομένως πρέπει να ισχύει g(λ)>=0
Η συνάρτηση h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο h΄(λ)=-e^(λ-1)<0 για κάθε λ ανήκει R.
Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει h΄(λ)<0 για κάθε λ ανήκει R. Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
Έχουμε h(1)=0.
λ<1 => h(λ)>h(1) =>h(λ)>0
λ>1 => h(λ)<h(1) => h(λ)<0
Επομένως για λ<=1 ισχύει h(λ)>=0. Η μέγιστη τιμή του λ για την οποία f(x)>=0 για κάθε x>0 είναι η λmax=1.
δ) Για λ=1 η ευθεία είναι η (ζ) y=x-1
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο g΄(x)=lnx+1, x>0
Θα προσδιορίσουμε την εφαπτομένη της Cg στο σημείο A(1,g(1)). Έχουμε g(1)=0 και g΄(1)=1. Συνεπώς
y-g(1)=g΄(1)(x-1) <=> y-0=1*(x-1) <=> y=x-1
Άρα η (ζ) είναι εφαπτομένη της Cg στο σημείο Α(1,g(1)).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1)Αν η συνάρτηση f παρουσιαζει ακροτατο σε σημείο χο του πεδίου ορισμού της τότε ισχύει ότι f'(xo)=0. Σωστό ή λάθος
2)έστω f παραγωγισιμη συνάρτηση σε διάστημα Δ και ε εφαπτομενη της Cf σε σημείο χο του Δ.Αν η f στρέφει τα κοιλα άνω στο Δ τότε η Cf δεν βρίσκεται κάτω από την ε. Σωστό ή λάθος
Εγώ νομίζω πως και το 1 και το 2 είναι σωστά...μπορεί κάποιος να το επιβεβαιώσει...???
1) Λάθος.
Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=x^2 με πεδίο ορισμού Α=[1,+οο). Η f είναι παραγωγίσιμη στο [1,+οο) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2x, x>=1. Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=1 με f΄(1)=2 διάφορο 0.
Επίσης η συνάρτηση g(x)=|x| με πεδίο ορισμού το R παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=0 αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό.
2) Σωστό
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
2. Eστω μια συναρτηση η οποια ειναι δυο φορες παραγωγισιμη και ισχυει , για καθε . Να δειξετε οτι η f δεν παρουσιαζει καμπη!!!
Μια διαφορετική προσέγγιση που έχει περισσότερο διδακτικό χαρακτήρα. Έχουμε
f(x)(2f(x)-1)=x-(x^2) <=> 2(f(x)^2)-f(x)=-(x^2)+x <=> 2(f(x)^2)-f(x)+(1/8 )=-(x^2)+x+(1/8 ) <=> 2{[f(x)-(1/4)]^2}=-(x^2)+x+(1/8 )
Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=-(x^2)+x+(1/8 ), x ανήκει R.
Η διακρίνουσα της εξίσωσης P(x)=0 είναι Δ=(1^2)-4*(-1)*(1/8 )=3/2>0. Επομένως η εξίσωση P(x)=0 έχει δύο πραγματικές λύσεις:
x1=[2-SQRT(6)]/4
x2=[2+SQRT(6)]/4
Για να έχει λύση η 2{[f(x)-(1/4)]^2}=P(x) ως προς f(x) πρέπει να ισχύει P(x)>=0. Αυτό ισχύει όταν:
[2-SQRT(6)]/4<=x<=[2+SQRT(6)]/4
Επειδή [2-SQRT(6)]/4<0<1<[2+SQRT(6)]/4 τότε η παραπάνω εξίσωση έχει λύση για κάθε x ανήκει (0,1). Επομένως έχουμε:
2{[f(x)-(1/4)]^2}=P(x) <=> [f(x)-(1/4)]^2=P(x)/2 <=> |f(x)-(1/4)|=SQRT(P(x)/2) για 0<x<1
Αν f(x)>=1/4 για κάθε 0<x<1 τότε έχουμε
f(x)-(1/4)=SQRT(P(x)/2) <=> f(x)=(1/4)+SQRT(P(x)/2) <=> f(x)=(1/4)[1+SQRT(-8(x^2)+8x+1)]
Αν f(x)<1/4 για κάθε 0<x<1 τότε έχουμε
f(x)-(1/4)=-SQRT(P(x)/2) <=> f(x)=(1/4)-SQRT(P(x)/2) <=> f(x)=(1/4)[1-SQRT(-8(x^2)+8x+1)]
Επομένως η εξίσωση f(x)(2f(x)-1)=x-(x^2) γράφεται ισοδύναμα
[f(x)-g(x)][f(x)-h(x)]=0 για κάθε 0<x<1 όπου
g(x)=(1/4)[1-SQRT(-8(x^2)+8x+1)], 0<x<1
h(x)=(1/4)[1+SQRT(-8(x^2)+8x+1)], 0<x<1
Επομένως για δύο 0<x1<x2<1 είναι δυνατόν να ισχύει f(x1)=g(x1) και f(x2)=h(x2)
Μπορεί να αποδειχθεί ότι καμία από τις g και h δεν έχουν σημεία καμπής στο πεδίο ορισμού τους. Αυτό αφήνεται ως άσκηση.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι h, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο (0,1) και για κάθε x ανήκει (0,1) ισχύουν οι σχέσεις:
h(x)=-g(x)+(1/2)
h΄(x)=-g΄(x)
h΄΄(x)=-g΄΄(x)
προκύπτει ότι οι h και g έχουν αντίθετα είδη μονοτονίας και κυρτότητας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1)Εστω μια συναρτηση η οποια ειναι παραγωγισιμη και ισχυει για καθε x που ανηκει στο R. Να εξετασετε την f ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=(x^3)+x, x ανήκει Dg=R. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=3(x^2)+1>=1>0 για κάθε x ανήκει R.
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα και 1-1. Επομένως ισχύει η ισοδυναμία:
y=g(x) <=> x=(g-1)(y) για κάθε x ανήκει Dg=R, y ανήκει g(Dg)=R
Είναι g(1)=2 <=> (g-1)(2)=1
lim(x->-oo)g(x)=lim(x->-oo)[(x^3)+x]=lim(x->-oo)(x^3)=-oo
lim(x->+oo)g(x)=lim(x->+oo)[(x^3)+x]=lim(x->-oo)(x^3)=+oo
Η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, οπότε g(Dg)=g(R)=(lim(x->-oo)g(x),lim(x->+oo)g(x))=(-oo,+oo)=R
Θεωρούμε την σύνθεση (gof)(x)=g(f(x))=[f(x)^3]+f(x). Για να ορίζεται η gof πρέπει x ανήκει Df=R και f(x) ανήκει Dg=R. Άρα Dgof=R. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο Df=R και η g είναι παραγωγίσιμη στο f(Df) υποσύνολο του R τότε η gof είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
(gof)΄(x)=g΄(f(x))f΄(x)=[3(f(x)^2)+1]f΄(x), x ανήκει R
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(e^x)-x+1, x ανήκει Dh=R. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
h΄(x)=(e^x)-1. Έχουμε h΄(0)=0.
Η h είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει h΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η h είναι συνεχής στο [0,+οο), παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει h΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).
Η h είναι συνεχής στο R, γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0] και γνησίως αύξουσα στο [0,+οο). Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=0 με τιμή h(0)=2
h(x)>=h(0) <=> h(x)>=2>0 για κάθε x ανήκει R
Η εξίσωση [f(x)^3]+f(x)=(e^x)-x+1 γράφεται ισοδύναμα
(gof)(x)=h(x) <=> g(f(x))=h(x) για κάθε x ανήκει R
Επομένως
(gof)΄(x)=h΄(x) <=> [3(f(x)^2)+1]f΄(x)=h΄(x) <=> f΄(x)=h΄(x)/ [3(f(x)^2)+1]=[(e^x)-1]/[3(f(x)^2)+1]
Η f είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η f είναι συνεχής στο [0,+οο), παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).
Η f είναι συνεχής στο R, γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0] και γνησίως αύξουσα στο [0,+οο). Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=0.
Για x=0 έχουμε
g(f(0))=h(0) <=> f(0)=(g-1)(h(0)) <=> f(0)=(g-1)(2) <=> f(0)=1
Άρα f(x)>=f(0) <=> f(x)>=1 για κάθε x ανήκει R.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1Δινεται η εξισωση ,
i Να δειξετε οτι για καθε η εξισωση εχει μονο μια ριζα
ii Να βρειτε τις τιμες του λ ωστε η εξισωση να εχει μοναδικη ριζα στο διαστημα (0,1)
τη θετω f(x) βρισκω την 1η παραγωγο και μετα τη 2η αρα εχω οτι η 1η παραγωγος ειναι γνησιως αυξουσα για καθε x>1 Μετα τι κανω για να δειξω τα παραπανω??
Έχει λυθεί στο #6144
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Έχω και για κάθε x που ανήκει R με f παραγωγίσημη και μου ζητάει την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στο Α(1,f(1)). Για ρίξτε κανα τιπ πως να βρω το f(1).
Ποια είναι η g; Μήπως ζητείται η εφαπτομένη στο A(1,g(1));
Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Α(1,f(1)) είναι η
y=x+f(1)-1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Εστω η συναρτηση f συνεχης στο [0,1] παραγωγισιμη στο (0,1) και f(x)>0 για καθε xeR.Αν f(0)=ln2 kai f(1)=ln(e+1), δειξτε οτι υπαρχει ξε(0,1) ωστε f'(ξ)/2ξ=1-e^-f(ξ). (^ --->εις την ...).
f(x)>0 <=> -f(x)<0 <=> e^(-f(x))<1 <=> 1-[e^(-f(x))]>0 για κάθε x ανήκει R
f(x)>0 <=> e^f(x)>1 <=> (e^f(x))-1>0 για κάθε x ανήκει R
Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο g(x)=ln[(e^f(x))-1]-(x^2), x ανήκει R.
Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,1] τότε και η g είναι συνεχής στο [0,1]
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,1) με πρώτη παράγωγο
g΄(x)={(e^f(x))/[(e^f(x))-1]}f΄(x)-2x=[f΄(x)/(1-(e^(-f(x))))]-2x
Έχουμε
g(0)=ln[(e^f(0))-1]-(0^2)=ln[(e^ln2)-1]-0=ln(2-1)=ln1=0
g(1)=ln[(e^f(1))-1]-(1^2)=ln[(e^ln(e+1))-1]-1=ln(e+1-1)-1=lne-1=1-1=0
Άρα g(0)=g(1)=0
Η g είναι συνεχής στο [0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει g(0)=g(1). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ανήκει (0,1) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=0. Συνεπώς
g΄(ξ)=0 <=> [f΄(ξ)/(1-(e^(-f(ξ))))]-2ξ=0 <=> f΄(ξ)/(2ξ)=1-[e^(-f(ξ))]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
θα ηθελα αν μπορουσε να μου απαντησει καποιος στην ερωτηση:''γινεται να ισχυει το θεωρημα bolzano και Rolle ταυτοχρονα για μια συναρτηση f ;;; ''
εγω νομιζω πως δεν γινεται,αλλα δεν ειμαι πολυ σιγουρη για την αιτιολογηση...αν μπορει και ξερει καποιος ας μου απαντησει αιτιολογημενα!!
Φυσικά και γίνεται αλλά όχι για το ίδιο διάστημα. Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β)=k. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0.
Αν k=0 τότε f(α)=f(β)=0 και η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο [α,β] αλλά δεν γνωρίζουμε αν έχει ρίζες στο (α,β).
Αν k διάφορο 0 τότε f(α)f(β)=(k^2)>0 οπότε δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα αν η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζες στο (α,β).
Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=(x^2)-1. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2x
Έχουμε f(-1)=f(1)=0. Η f είναι συνεχής στο [-1,1], παραγωγίσιμη στο (-1,1) και ισχύει f(-1)=f(1). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (-1,1) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ξ=0.
Έχουμε f(0)=-1<0 και f(2)=3>0. Επομένως f(0)f(2)<0. Η f είναι συνεχής στο [0,2] και ισχύει f(0)f(2)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (0,2) τέτοιο ώστε f(x0)=0. Στη συγκεκριμένη περίπτωση x0=1.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
iii Να αποδειξετε οτι οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων και εχουν μονο ενα κοινο σημειο στο οποιο εχουν κοινη εφαπτομενη
Θεωρούμε την συνάρτηση P με τύπο P(x)=g(x)-h(x), x ανήκει R. Έχουμε:
P(x)=g(x)-h(x)=(e^x)-1+(1/2)(x^2)-x=(e^x)+(1/2)(x^2)-x-1=(1/2)[2(e^x)+(x^2)-2x]-1=(1/2)φ(x)-1
Η P είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
P΄(x)=g΄(x)-h΄(x)=(1/2)φ΄(x)=(1/2)*2f(x)=f(x)
Έχει βρεθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε και η P΄ είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς είναι και 1-1 και η P είναι κυρτή στο R.
Έχουμε
P(0)=(1/2)φ(0)-1=(1/2)*2-1=1-1=0 <=> g(0)-h(0)=0 <=> g(0)=h(0)=β
P΄(0)=f(0)=0 <=> g΄(0)-h΄(0)=0 <=> g΄(0)=h΄(0)=λ
Επειδή η P΄ είναι 1-1 τότε για κάθε x διάφορο 0 ισχύει P΄(x) διάφορο P΄(0), οπότε P΄(x) διάφορο 0 <=> g΄(x) διάφορο h΄(x) για κάθε x ανήκει R*.
Επειδή g(0)=h(0)=β και g΄(0)=h΄(0)=λ τότε οι Cg και Ch έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη στο σημείο (0,β) με εξίσωση:
y-β=λ(x-0) <=> y=λx+β
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
ii Να μελετησετε ως προς τα ακροτατα τη συναρτηση και να βρειτε το προσημο της
φ(x)=2(e^x)+(x^2)-2x, x ανήκει R
Η φ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο φ΄(x)=2(e^x)+2x-2=2[(e^x)+x-1]=2f(x), x ανήκει R.
Για x<0 είναι f(x)<0 οπότε φ΄(x)<0
Για x>0 είναι f(x)>0 οπότε φ΄(x)>0
φ΄(0)=2f(0)=2*0=0
Η φ είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει φ΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0]. Η φ είναι συνεχής στο [0,+οο), παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει φ΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+οο). Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο).
Επομένης η Cφ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=0 με τιμή φ(0)=2*(e^0)+(0^2)-2*0=2*1+0-0=2
φ(x)>=φ(0) <=> φ(x)>=2>0 για κάθε x ανήκει R
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
i Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα και να βρειτε τις ριζες και το προσημο της συναρτησης
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=(e^x)+1>1>0 για κάθε x ανήκει R.
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς και 1-1.
Επειδή lim(x->-oo)(e^x)=0 και lim(x->-oo)(x-1)=lim(x->-oo)x=-oo τότε lim(x->-oo)f(x)=-oo
Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+οο και lim(x->+oo)(x-1)=lim(x->+oo)x=+oo τότε lim(x->+oo)f(x)=+oo
Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, οπότε f(R)=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(-oo,+oo)=R
Επειδή ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R τότε η Cf δεν παρουσιάζει ακρότατα
f(0)=(e^0)+0-1=1-1=0
και επειδή η f είναι 1-1 η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική λύση την x0=0.
x<0 => f(x)<f(0) => f(x)<0 (εφόσον f γνησίως αύξουσα)
x>0 => f(x)>f(0) => f(x)>0 (εφόσον f γνησίως αύξουσα)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
δηλαδή εδώ αποδείχθηκε ότι στο σημείο Μ(χ0,y0) αφού η φ ΄΄(χ0)=0 παρουσιάζει σημείο καμπής;
Δεν είναι σαφής η ερώτησή σου. Λογικά αναφέρεσαι στη γραφική παράσταση της φ. Το σημείο Μ(x0,y0) ανήκει στη Cφ εφόσον φ(x0)=y0 που δεν το γνωρίζουμε. Επομένως το σημείο (x0,φ(x0)) δεν συμπίπτει απαραίτητα με το Μ. Το (x0,φ(x0)) είναι σημείο καμπής της Cφ εφόσον αλλάζει το πρόσημο της φ '' εκατέρωθεν του x0 που επίσης δεν γνωρίζουμε. Η πληροφορία φ΄΄(x0)=0 δεν επαρκεί για να είναι το (x0,φ(x0)) είναι σημείο καμπής της Cφ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Μια άσκηση
Εστω f(X),g(X),φ(Χ) συναρτήσεισ στο R.Αν η f(X) είναι παραγωγίσιμη στο R και η φ(Χ) διπλά παραγωγίσιμη,όπου επίσησ ισχύουν και τα: g(x)=f(x)*φ΄(χ), για κάθε xeR,f΄(χ)#0,φ^2(χ)+(φ΄(χ))^2=1, για κάθε xεR,τότε να δείξετε:Αν οι γραφικές παραστάσεις των f(x),g(x) έχουν κοινό σημείο,έστω Μ(χ0,ψ0),τότε στο κοινό τους αυτό σημείο δέχονται την ίδια εφαπτομένη.
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R και η φ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=f΄(x)φ΄(x)+f(x)φ΄΄(x), x ανήκει R
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(φ(x)^2)+(φ΄(x)^2)-1, x ανήκει R. Επειδή η φ είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η h είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
h΄(x)=2φ(x)φ΄(x)+2φ΄(x)φ΄΄(x)=2φ΄(x)(φ(x)+φ΄΄(x)), x ανήκει R
Επειδή φ^2(χ)+(φ΄(χ))^2=1 τότε ισχύει h(x)=0 για κάθε x ανήκει R οπότε και h΄(x)=0 για κάθε x ανήκει R. Άρα:
2φ΄(x)(φ(x)+φ΄΄(x))=0 <=> φ΄(x)(φ(x)+φ΄΄(x))=0 για κάθε x ανήκει R
Είναι f(x0)=g(x0)=y0, οπότε έχουμε
f(x0)=g(x0) <=> f(x0)=f(x0)φ΄(x0) <=> f(x)(φ΄(x0)-1)=0 <=> φ΄(x0)-1=0 (εφόσον f(x0) διάφορο 0) <=> φ΄(x0)=1
(φ(x0)^2)+(φ΄(x0)^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+(1^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+1=1 <=> (φ(x0)^2)=0 <=> φ(x0)=0
φ΄(x0)(φ(x0)+φ΄΄(x0))=0 <=> 1*(0+φ΄΄(x0))=0 <=> φ΄΄(x0)=0
Άρα έχουμε
g΄(x0)=f΄(x0)φ΄(x0)+f(x0)φ΄΄(x0)=f΄(x0)*1+f(x0)*0=f΄(x0) => g΄(x0)=f΄(x0)
Επειδή f(x0)=g(x0)=y0 και f΄(x0)=g΄(x0)=λ τότε οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στο Μ(x0,y0) με εξίσωση:
y-y0=λ(x-x0) <=> y=λx+y0-λx0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
2)Αν ισχύειν.δ.οκαιόπουπραγματικοί!
Άσκηση πολυωνύμων Β λυκείου!
Θεωρούμε τα πολυώνυμα P(x)=f(x)+g(x) και Q(x)=f(x)g(x). Για να ισχύει P(x)=Q(x) για κάθε x ανήκει R πρέπει τα πολυώνυμα P και Q να έχουν τον ίδιο βαθμό nP=nQ.
α) Αν τα πολυώνυμα f και g έχουν τον ίδιο βαθμό nf=ng=n τότε nP=n και nQ=2n. Επομένως έχουμε:
n=2n <=> n=0
που σημαίνει ότι τα f και g είναι σταθερά πολυώνυμα, δηλαδή f(x)=α και g(x)=β για κάθε x ανήκει R όπου α,β ανήκουν R
f(x)+g(x)=f(x)g(x) <=> α+β=αβ
Αν α=1 τότε 1+β=β που είναι αδύνατη, οπότε α διάφορο 1
Αν β=1 τότε α+1=1 που είναι αδύνατη, οπότε β διάφορο 1
Άρα α διάφορο 1 και β διάφορο 1. Τότε έχουμε:
α+β=αβ <=> αβ-β=α <=> (α-1)β=α <=> β=α/(α-1)
β) Αν nf>=ng τότε nP=nf και nQ=nf+ng. Επομένως έχουμε
nf=nf+ng <=> ng=0 που σημαίνει ότι το g είναι σταθερό πολυώνυμο, δηλαδή g(x)=β για κάθε x ανήκει R όπου β ανήκει R. Έχουμε
P(x)=f(x)+g(x)=f(x)+β
Q(x)=f(x)g(x)=βf(x)
P(x)=Q(x) <=> f(x)+β=βf(x) <=> βf(x)-f(x)=β <=> (β-1)f(x)=β
(i) Αν β=1 τότε g(x)=1 για κάθε x ανήκει R και επομένως
P(x)=f(x)+1
Q(x)=f(x)
1>0 => f(x)+1>f(x) <=> P(x)>Q(x) για κάθε x ανήκει R
Άρα όταν g(x)=β=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο f ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R
(ii) Αν β διάφορο 1 τότε f(x)=β/(β-1)=α που σημαίνει ότι και το f είναι σταθερό πολυώνυμο (nf=0).
Τότε έχουμε P(x)=Q(x)=(β^2)/(β-1) για κάθε x ανήκει R
β) Αν nf<=ng τότε nP=ng και nQ=nf+ng. Επομένως έχουμε
ng=nf+ng <=> nf=0 που σημαίνει ότι το f είναι σταθερό πολυώνυμο, δηλαδή f(x)=α για κάθε x ανήκει R όπου α ανήκει R. Έχουμε
P(x)=f(x)+g(x)=g(x)+α
Q(x)=f(x)g(x)=αg(x)
P(x)=Q(x) <=> g(x)+α=αg(x) <=> αg(x)-g(x)=α <=> (α-1)g(x)=α
(i) Αν α=1 τότε f(x)=1 για κάθε x ανήκει R και επομένως
P(x)=g(x)+1
Q(x)=g(x)
1>0 => g(x)+1>g(x) <=> P(x)>Q(x) για κάθε x ανήκει R
Άρα όταν f(x)=α=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο g ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R
(ii) Αν α διάφορο 1 τότε g(x)=α/(α-1)=β που σημαίνει ότι και το g είναι σταθερό πολυώνυμο (ng=0).
Τότε έχουμε P(x)=Q(x)=(α^2)/(α-1) για κάθε x ανήκει R
Επομένως όταν f(x)=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο g ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R και η εξίσωση f(x)+g(x)=f(x)g(x) είναι αδύνατη. Επίσης όταν g(x)=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο f ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R και η εξίσωση f(x)+g(x)=f(x)g(x) είναι αδύνατη.
Επειδή ισχύει f(x)+g(x)=f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R τότε είναι αδύνατον να είναι f(x)=1 για κάθε x ανήκει R και g(x)=1 για κάθε ανήκει R. Επομένως σε αυτήν την περίπτωση όπως δείχτηκε είναι f(x)=α, α διάφορο 1 και g(x)=β, β διάφορο 1 όπου β=α/(α-1).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Επανέρχομαι. Μπορώ όμως να πω πως για κάθε x ανείκει στο R;
Φυσικά. Εφόσον το πεδίο ορισμού είναι το R και το πεδίο τιμών είναι το (-οο,1) τότε f(x)<1 για κάθε x ανήκει R.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Eεε, έκανα ορθογραφικό λάθος. ήθελα να πω.
Όχι.
Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^x). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->+oo)f(x)=-oo.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Παιδιά αν έχω μια συνάρτηση μπορώ να πω ότι ;
Όχι.
Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^(-x)). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->-oo)f(x)=-oo.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Δε ξέρω που αλλού να το ποστάρω... Χρειάζομαι μια μικρή βοήθεια με το
Είναι εκτός ύλης των μαθηματικών κατεύθυνσης.
με για κάθε x ανήκει R.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
2)Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (α+1)συν(βπχ), με α,β > 0 . Αν η f έχει μέγιστη τιμή 3 και περίοδο 4, τότε :
α) να βρείτε τους αριθμούς α και β
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιά x παίρνει την τιμή αυτη΄.
γ)να λύσετε την εξίσωση f(x)= 3/2
α) Επειδή α>0 τότε α+1>1>0. Για κάθε x ανήκει R ισχύει -1<=συν(βπx)<=1, οπότε έχουμε:
-1<=συν(βπx)<=1 <=> -(α+1)<=(α+1)συν(βπx)<=α+1 <=> -(α+1)<=f(x)<=α+1 για κάθε x ανήκει R
Η μέγιστη τιμή της f ισούται με (α+1). Επομένως έχουμε:
α+1=3 <=> α=2
Άρα f(x)=3συν(βπx) για κάθε x ανήκει R. Η f έχει τη μορφή f(x)=Aσυν(ωx) όπου Α=3 και ω=βπ με β>0. Επομένως η f είναι περιοδική με περίοδο T=2π/ω=2π/(βπ)=2/β. Επειδή είναι Τ=4 τότε έχουμε:
2/β=4 <=> β=1/2
Άρα f(x)=3συν(πx/2), x ανήκει R
β) Για α=2 τότε από την ανισότητα -(α+1)<=f(x)<=α+1 προκύπτει ότι -3<=f(x)<=3 για κάθε x ανήκει R
Θα λύσουμε την εξίσωση f(x)=-3
f(x)=-3 <=> 3συν(πx/2)=-3 <=> συν(πx/2)=-1 <=> συν(πx/2)=συνπ <=> πx/2=(2κ+1)π <=> x=4κ+2 όπου κ ακέραιος
Η λύση πx/2=(2λ-1)π <=> x=4λ-2 όπου λ ακέραιος είναι ισοδύναμη με την πρώτη όταν λ=κ+1 και δίνει τις ίδιες λύσεις.
Επομένως f(4κ+2)=-3 για κάθε κ ανήκει Z.
γ) f(x)=3/2 <=> 3συν(πx/2)=3/2 <=> συν(πx/2)=1/2 <=> συν(πx/2)=συν(π/3) <=> πx/2=2κπ+(π/3) ή πx/2=2κπ-(π/3) όπου κ ανήκει Ζ
(i) πx/2=2κπ+(π/3) <=> x=4κ+(2/3) όπου κ ανήκει Z
(ii) πx/2=2κπ-(π/3) <=> x=4κ-(2/3) όπου κ ανήκει Ζ
Άρα f(4κ-(2/3))=f(4κ+(2/3))=3/2 για κάθε κ ανήκει Ζ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
γιατι θεωρησαμε την f(x)=x/[(x^2)-4]......???
δεν θα επρεπε να θεωρησουμε την f(x)=x/[(x^2)-1].....???
Ναι, έχεις δίκιο. Το ίδιο πράγμα είναι, δεν αλλάζει κάτι στη διαδικασία.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=[(x^3)+x+2]/[(x^2)-4]=[(x^3)+x+2]/[(x-2)(x+2)] με πεδίο ορισμού το A=(-oo,-2)U(-2,2)U(2,+oo). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή και επομένως είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα Δ υποσύνολο του Α.
Η συνάρτηση f γράφεται ισοδύναμα για κάθε x ανήκει Α ως εξής:
f(x)=[(x^3)+x+2]/[(x-2)(x+2)]=[(x^3)+(x+2)]/[(x-2)(x+2)]
f(x)={(x^3)/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]={[(x^3)-8+8]/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]
f(x)={[(x^3)-8]/[(x-2)(x+2)]}+8{1/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]
f(x)={[(x-2)((x^2)+2x+4)]/[(x-2)(x+2)]}+2{[(x+2)-(x-2)]/[(x-2)(x+2)]}+[1/(x-2)]
f(x)={[(x^2)+2x+4]/(x+2)}+2[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]+[1/(x-2)]
f(x)={[x(x+2)+4]/(x+2)}+3[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]
f(x)={[x(x+2)]/(x+2)}+[4/(x+2)]+3[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]
f(x)=x+4[1/(x+2)]+3[1/(x-2)]-2[1/(x+2)]
f(x)=x+2[1/(x+2)]+3[1/(x-2)]
Άρα f(x)=x+3[1/(x-2)]+2[1/(x+2)] για κάθε x ανήκει A.
Ολοκληρώνοντας την f στο διάστημα Δ παίρνουμε:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x/[(x^2)-4]=x/[(x-2)(x+2)] με πεδίο ορισμού το A=(-oo,-2)U(-2,2)U(2,+oo). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή και επομένως είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα Δ υποσύνολο του Α.
Ολοκληρώνοντας την f στο Δ έχουμε:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
iii) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(x^3)/(x-1) με πεδίο ορισμού το Α=(-οο,1)U(1,+οο). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή και συνεπώς είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα Δ υποσύνολο του Α. Για κάθε x ανήκει Α έχουμε:
f(x)=(x^3)/(x-1)=[(x^3)-1+1]/(x-1)={[(x^3)-1]/(x-1)}+[1/(x-1)]={[(x-1)[(x^2)+x+1)]/(x-1)}+[1/(x-1)]=(x^2)+x+1+[1/(x-1)]
Ολοκληρώνοντας την f στο Δ έχουμε:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
ii) Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=(x^2)-3x+2, x ανήκει R. Επειδή P(1)=P(2)=0 τότε P(x)=(x-1)(x-2).
Θεωρούμε το πολυώνυμο Q(x)=xP(x)=x[(x^2)-3x+2]=(x^3)-3(x^2)+2x, x ανήκει R το οποίο γράφεται ισοδύναμα Q(x)=x(x-1)(x-2), x ανήκει R.
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=1/Q(x)=1/[(x^3)-3(x^2)+2x]=1/[x(x-1)(x-2)] με πεδίο ορισμού A=(-oo,0)U(0,1)U(1,2)U(2,+oo). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή και επομένως είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα Δ υποσύνολο του Α.
Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β, Γ ώστε για κάθε x ανήκει A να ισχύει:
f(x)=(A/x)+[B/(x-1)]+[Γ/(x-2)] <=> 1/[x(x-1)(x-2)]=(A/x)+[B/(x-1)]+[Γ/(x-2)] <=> A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Γx(x-1)=1 <=>
<=> (A+B+Γ)(x^2)+(-3A-2B-Γ)x+2Α=1
Επομένως πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:
Α+Β+Γ=0 (1)
-3Α-2Β-Γ=0 (2)
2Α=1 (3)
Από την (3) έχουμε Α=1/2 και αν αντικαταστήσουμε στις (1) και (2) προκύπτουν οι εξής σχέσεις:
Β+Γ=-1/2 <=> Γ=-Β-(1/2) (4)
2Β+Γ=-3/2 <=> Γ=-2Β-(3/2) (5)
Από τις (4) και (5) προκύπτει
-Β-(1/2)=-2Β-(3/2) <=> Β=-1, επομένως Γ=1/2
Άρα
f(x)=[1/(2x)]-[1/(x-1)]+[1/(2(x-2))] για κάθε x ανήκει A
Ολοκληρώνοντας την f στο διάστημα Δ έχουμε:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
i) Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=(x^2)-4x+3, x ανήκει R. Επειδή P(1)=P(3)=0 τότε P(x)=(x-1)(x-3).
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(x+1)/((x^2)-4x+3)=(x+1)/P(x)=(x+1)/[(x-1)(x-3)] με πεδίο ορισμού Α=(-οο,1)U(1,3)U(3,+oo). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή. Συνεπώς είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε κλειστό διάστημα Δ υποσύνολο του Α.
Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β ώστε για κάθε x ανήκει Α να ισχύει:
f(x)=[A/(x-1)]+[B/(x-3)] <=> (x+1)/[(x-1)(x-3)]=[A/(x-1)]+[B/(x-3)] <=> A(x-3)+B(x-1)=x+1 <=> (A+B)x+(-3A-B)=x+1
Επομένως πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:
A+B=1 <=> B=1-A
-3A-B=1 <=> B=-1-3A
Άρα 1-A=-1-3A <=> 2A=-2 <=> A=-1 και επομένως B=2
Συνεπώς
f(x)=-[1/(x-1)]+[2/(x-3)] για κάθε x ανήκει Α
Επομένως στο διάστημα Δ έχουμε:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Εστω μια συνεχης συναρτηση η οποια ειναι παραγωγισιμη στο . Αν και για καθε να δειξετε οτι για καθε
HELP PLEASE!!
Έχει λυθεί στο μήνυμα #6143
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Έχω την παρακάτω άσκηση την οποία έλυσα απλώς θέλω να τσεκάρω λύσεις. Το β,γ αναλυτικά παρακαλώ
Μια συνάρτηση έχει την ιδιότητα:
Έστω μεταβλητή ευθεία η οποία διέρχεται απο το σημείο και τέμνει τη σε δύο διαφορετικά σημεία Α και Β.
α) Να βρεθεί ο τύπος της f
β) Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτόμενες της στα Α,Β τέμνονται κάθετα.
γ) Να αποδειχθεί ότι το σημείο τομής των παραπάνω εφαπτομένων κινείται στην σταθερή ευθεία με εξίσωση
(α) Για κάθε x ανήκει R ισχύει f(x-2)<=(x^2)-3x+2. Επομένως έχουμε:
f((x+2)-2)<=((x+2)^2)-3(x+2)+2 <=> f(x)<=(x^2)+4x+4-3x-6+2 <=> f(x)<=(x^2)+x, x ανήκει R
Για κάθε x ανήκει R ισχύει f(x-3)+2x-4>=(x^2)-3x+2 <=> f(x-3)>=(x^2)-5x+6. Επομένως έχουμε:
f((x+3)-3)>=((x+3)^2)-5(x+3)+6 <=> f(x)>=(x^2)+6x+9-5x-15+6 <=> f(x)>=(x^2)+x, x ανήκει R
Επειδή (x^2)+x<=f(x)<=(x^2)+x για κάθε x ανήκει R τότε f(x)=(x^2)+x=x(x+1) για κάθε x ανήκει R.
Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2x+1.
(β) Εφόσον η ευθεία (ζ) τέμνει την Cf σε δύο διαφορετικά σημεία A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)) με x1<x2 τότε η ευθεία (ζ) δεν είναι κατακόρυφη. Επομένως αν η ευθεία (ζ) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο (0,β) τότε έχει εξίσωση της μορφής:
(ζ): y=λx+β
Η (ζ) διέρχεται από το Μ(-1/2,0) οπότε έχουμε:
0=λ*(-1/2)+β <=> β=λ/2
Επομένως η εξίσωση της (ζ) έχει τη μορφή:
(ζ): y=λx+λ/2 <=> y=λ(x+(1/2)), λ ανήκει R
Για να βρούμε τα σημεία τομής της Cf με την (ζ) λύνουμε την εξίσωση y=f(x) όπου y=λ(x+(1/2)). Έχουμε:
f(x)=λ(x+(1/2)) <=> (x^2)+x=λx+(λ/2) <=> (x^2)+(1-λ)x-(λ/2)=0 <=> 2(x^2)+2(1-λ)x-λ=0
Η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι:
Δ=[(2(1-λ))^2]-4*2*(-λ)=4((λ^2)+1)>0 για κάθε λ ανήκει R => SQRT(Δ)=2SQRT((λ^2)+1)
Άρα η εξίσωση f(x)=y έχει για κάθε λ ανήκει R δύο άνισες πραγματικές ρίζες:
x1=[-(2(1-λ))-2SQRT((λ^2)+1)]/4=[λ-1-SQRT((λ^2)+1)]/2
x2=[-(2(1-λ))+2SQRT((λ^2)+1)]/4=[λ-1+SQRT((λ^2)+1)]/2
Έχουμε
f(x1)=x1(x1+1)=...=[(λ-1-SQRT((λ^2)+1))(λ+1-SQRT((λ^2)+1))]/4
f(x2)=x2(x2+1)=...=[(λ-1+SQRT((λ^2)+1))(λ+1+SQRT((λ^2)+1))]/4
f΄(x1)=2x1+1=...=λ-SQRT((λ^2)+1)
f΄(x2)=2x2+1=...=λ+SQRT((λ^2)+1)
Τα σημεία τομής της (ζ) με την Cf είναι τα Α(x1,f(x1)), Β(x2,f(x2)) και οι εφαπτομένες (ε1) και (ε2) της Cf στα Α και Β έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ1=f΄(x1)=λ-SQRT((λ^2)+1) και λ2=f΄(x2)=λ-+QRT((λ^2)+1) αντίστοιχα.
Παρατηρούμε ότι
λ1λ2=[λ-SQRT((λ^2)+1)][λ+SQRT((λ^2)+1)]=(λ^2)-((λ^2)+1)=-1
Άρα λ1λ2=-1 για κάθε λ ανήκει R, που σημαίνει ότι οι (ε1) και (ε2) είναι κάθετες
(γ) Οι εξισώσεις των (ε1) και (ε2) είναι οι εξής:
(ε1): y-f(x1)=f΄(x1)(x-x1) <=> y=f΄(x1)x+f(x1)-x1f΄(x1) <=>
<=> y=[λ-SQRT((λ^2)+1)]x+{[(λ-1-SQRT((λ^2)+1))(λ+1-SQRT((λ^2)+1))]/4}-[{λ-1-SQRT((λ^2)+1)]/2}[λ-SQRT((λ^2)+1)] <=>
<=> y=[λ-SQRT((λ^2)+1)]x-{[(λ-1-SQRT((λ^2)+1))^2]/4}
(ε2): y-f(x2)=f΄(x2)(x-x2) <=> y=f΄(x2)x+f(x2)-x2f΄(x2) <=>
<=> y=[λ+SQRT((λ^2)+1)]x+{[(λ-1+SQRT((λ^2)+1))(λ+1+SQRT((λ^2)+1))]/4}-[{λ-1+SQRT((λ^2)+1)]/2}[λ+SQRT((λ^2)+1)] <=>
<=> y=[λ+SQRT((λ^2)+1)]x-{[(λ-1+SQRT((λ^2)+1))^2]/4}
Οι συντεταγμένες του σημείου τομής Γ(x0,y0) των (ε1) και (ε2) (οι οποίες τέμνονται εφόσον είναι κάθετες) ικανοποιεί τις εξισώσεις και των δύο ευθειών:
y0=[λ-SQRT((λ^2)+1)]x0-{[(λ-1-SQRT((λ^2)+1))^2]/4} (1)
y0=[λ+SQRT((λ^2)+1)]x0-{[(λ-1+SQRT((λ^2)+1))^2]/4} (2)
Εξισώνοντας τα μέλη των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει:
[λ-SQRT((λ^2)+1)]x0-{[(λ-1-SQRT((λ^2)+1))^2]/4} =[λ+SQRT((λ^2)+1)]x0-{[(λ-1+SQRT((λ^2)+1))^2]/4}
................
2SQRT((λ^2)+1)x0=(λ-1)SQRT((λ^2)+1) <=> x0=(λ-1)/2
Αντικαθιστώντας την x0=(λ-1)/2 είτε στην (1) είτε στην (2) προκύπτει και μετά την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει ότι y0=-1/2 για κάθε λ ανήκει R.
Άρα το σημείο Μ((λ-1)/2,-1/2) κινείται στην ευθεία y=-1/2 για κάθε λ ανήκει R.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
αν θελω να χρησιμοποιησω τη μονοτονια της αντιστροφης πρεπει αποδειξη;
Ναι. Η απόδειξη είναι απλή και την έχω παραθέσει κάπου εδώ μέσα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Αντε μωρε, εμεις δεν εχουμε κανει τριγωνομετρικα, γι' αυτο δεν μου εβγαινε...
Και ενα ακομα: Ολοκληρωμα 1/(χ^2-1)^2 dx
Θεωρούμε την συνάρτηση f με τύπο f(x)=1/[((x^2)-1)^2] με πεδίο ορισμού Α=(-00,-1)U(-1,1)U(1,+oo). Η f είναι συνεχής στο Α ως ρητή, επομένως είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα Δ που είναι υποσύνολο του Α. Για κάθε x ανήκει Α έχουμε:
f(x)=1/[((x^2)-1)^2]=1/[((x-1)(x+1))^2]=1/[((x-1)^2)((x+1)^2)]
Στη συνέχεια θα προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί Α, Β, Γ, Δ έτσι ώστε για κάθε x ανήκει Α να ισχύει:
f(x)=[A/(x-1)]+[B/((x-1)^2)]+[Γ/(x+1)]+[Δ/((x+1)^2)]
Έχουμε για κάθε x ανήκει Α:
[A/(x-1)]+[B/((x-1)^2)]+[Γ/(x+1)]+[Δ/((x+1)^2)]=1/[((x-1)^2)((x+1)^2)
A((x+1)^2)(x-1)+B((x+1)^2)+Γ((x-1)^2)(x+1)+Δ((x-1)^2)=1
........
(Α+Γ)(x^3)+(Α+Β-Γ+Δ)(x^2)+(-Α+2Β-Γ-2Δ)x+(-Α+Β+Γ+Δ-1)=0 για κάθε x ανήκει Α
Επομένως πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:
Α+Γ=0 (1)
Α+Β-Γ+Δ=0 (2)
-Α+2Β-Γ-2Δ=0 (3)
-Α+Β+Γ+Δ-1=0 (4)
Από την επίλυση του παραπάνω συστήματος βρίσκουμε ότι Α=-1/4 και Β=Γ=Δ=1/4. Συνεπώς:
f(x)=1/[((x^2)-1)^2]=1/[((x-1)^2)((x+1)^2)]=-(1/4)[1/(x-1)]+(1/4)[1/((x-1)^2)]+(1/4)[1/(x+1)]+(1/4)[1/((x+1)^2)]
Λαμβάνοντας υπόψη τα ολοκληρώματα:
Έχουμε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Μπορει καποιος να υπολογισει το ολοκληρωμα του συν^2(χ)?
Εχω κολλησει ασχημα!
όπου
cosx=συνx
sinx=ημx
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Αν f(x)=x^2 x ανήκει R, να αποδείξετε ότι για κάθε α,β ανήκει R ισχύει: f(α)+f(β)≥2f(α+β/2)
Pleaaaase όποιος μπορεί, μου χει σπάσει τα νεύρα...
(α-β)^2>=0 <=> (α^2)+(β^2)-2αβ>=0 <=> (α^2)+(β^2)>=2αβ <=> (α^2)+(β^2)+(α^2)+(β^2)>=(α^2)+(β^2)+2αβ <=>
<=> 2(α^2)+2(β^2)>=(α+β)^2 <=> (α^2)+(β^2)>=((α+β)^2)/2 <=> (α^2)+(β^2)>=2[((α+β)/2)^2] <=> f(α)+f(β)>=2f((α+β)/2)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
1)εστω η συναρτηση f : R->R η οποια ειναι παραγωγισιμη τετοια ωστε f(1)=3 και f(x)>=2x+1 για καθε χ ε R.
α) να αποδειξετε οτι η ευθεια y=2x+1 εφαπτεπται της Cf.
β)να βρειτε το οριο
γ) αν η f΄ ειναι συνεχης να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον χο ε (0,1)τετοιο ωστε f(xo)=2xof'(xo)
α) f(x)>=2x+1 <=> f(x)-2x>=1 για κάθε x ανήκει R
Θεωρούμε την συνάρτηση g με τύπο g(x)=f(x)-2x. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο g΄(x)=f΄(x)-2, x ανήκει R. Έχουμε g(1)=f(1)-2=3-2=1 και g΄(1)=f΄(1)-2.
g(x)>=1 <=> g(x)>=g(1) για κάθε x ανήκει R. Επομένως η g παρουσιάζει ολικό (άρα και τοπικό) ελάχιστο στο x1=1.
Η g είναι ορισμένη στο R, παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x1=1 και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει g΄(1)=0 <=> f΄(1)=2
Η εφαπτομένη της Cf στο (1,f(1)) έχει εξίσωση:
y-f(1)=f΄(1)(x-1) <=> y-3=2(x-1) <=> y=2x+1
β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0=1. Άρα έχουμε:
lim(x->1)[(f(x)-f(1))/(x-1)]=f΄(1) <=> lim(x->1)[(f(x)-3)/(x-1)]=2
Άρα
lim(x->1)[(f(x)-3)/(SQRT(x)-1)]=lim(x->1)[((f(x)-3)(SQRT(x)+1))/((SQRT(x)-1)(SQRT(x)+1)]=lim(x->1)[((f(x)-3)(SQRT(x)+1))/(x-1)]=lim(x->1)[(f(x)-3)/(x-1)]*lim(x->1)(SQRT(x)+1)=2*(SQRT(1)+1)=2*(1+1)=2*2=4
Θεωρούμε την συνάρτηση F με τύπο F(x)=f(x)-3x, x ανήκει R. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε και η F είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο F΄(x)=f΄(x)-3. Έχουμε F(1)=f(1)-3=3-3=0 και F΄(1)=f΄(1)-3=2-3=-1. Από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε:
lim(x->1)[(F(x)-F(1))/(x-1)]=F΄(1) => lim(x->1)[(f(x)-3x)/(x-1)]=-1
Άρα
lim(x->1)[(f(x)-3x)/(SQRT(x)-1)]=lim(x->1)[((f(x)-3x)(SQRT(x)+1))/((SQRT(x)-1)(SQRT(x)+1)]=
=lim(x->1)[((f(x)-3x)(SQRT(x)+1))/(x-1)]=lim(x->1)[(f(x)-3x)/(x-1)]*lim(x->1)(SQRT(x)+1)=
=(-1)*(SQRT(1)+1)=-(1+1)=-2
γ) Για x=0 έχουμε
f(0)>=1 <=> -f(0)<=-1<0
Θεωρούμε την συνάρτηση h με τύπο h(x)=2xf΄(x)-f(x), x ανήκει R. Επειδή η f΄ είναι συνεχής στο [0,1] τότε και η h είναι συνεχής στο [0,1].
Έχουμε
h(0)=-f(0)<0
h(1)=2f΄(1)-f(1)=2*2-3=4-3=1>0
Άρα h(0)h(1)<0
Η h είναι συνεχής στο [0,1] και ισχύει h(0)h(1)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (0,1) τέτοιο ώστε h(x0)=0 <=> f(x0)=2x0f΄(x0).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
2)δινεται η συναρτηση f(x)=αlnx-x-2, x>0 α>0
α)να αποδειξετε οτι:
β)να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια και να αποδειξετε οτι η μεγιστη τιμη της συναρτησης ειναι f(α)
γ)για α=1 αποδειξτε οτι:
ι)η μεγιστη τιμη της f ειναι ελαχιστη
ιι)υπαρχει χο ε (1,e) τετοιο ωστε
α) lim(x->0)(-x-2)=-0-2=-2 <=> lim(x->0-)(-x-2)=lim(x->0+)(-x-2)=-2
lim(x->0+)lnx=-oo => lim(x->0+)(αlnx)=-oo εφόσον α>0
Άρα lim(x->0+)f(x)=lim(x->0+)(αlnx-x-2)=-oo
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f1(x)=lnx, x>0 και f2(x)=x, x ανήκει R. Η f1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγος f1΄(x)=1/x. Η f2 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f2΄(x)=1. Έχουμε:
lim(x->+oo)[f1΄(x)/f2΄(x)]=lim(x->+oo)(1/x)=0
Έχουμε lim(x->+oo)f1(x)=lim(x->+oo)lnx=+oo και lim(x->+oo)f2(x)=lim(x->+oo)x=+oo. Επειδή lim(x->+oo)f1(x)=lim(x->+oo)f2(x)=+oo τότε ο όριο lim(x->+oo)[f1(x)/f2(x)] οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή (+οο)/(+οο). Επομένως σύμφωνα με τον 2ο κανόνα De L' Hospital είναι:
lim(x->+oo)[f1(x)/f2(x)]=lim(x->+oo)[f1΄(x)/f2΄(x)]=0
Επομένως lim(x->+oo)(lnx/x)=0
Έχουμε
lim(x->+oo)[α(lnx/x)-1]=α*0-1=-1, α>0
Επειδή lim(x->+oo)x=+oo και lim(x->+oo)[α(lnx/x)-1]=-1<0 τότε lim(x->+oo)(αlnx-x)=lim(x->+oo)[x(α(lnx/x)-1)]=-oo
Άρα lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)(αlnx-x-2)=-oo
β) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=(α/x)-1. Ισχύει f΄(α)=1
Η f είναι συνεχής στο (0,α], παραγωγίσιμη στο (0,α) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,α). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,α].
Η f είναι συνεχής στο [α,+οο), παραγωγίσιμη στο (α,+οο) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (α,+οο). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α,+οο).
Επομένως η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο α με τιμή f(α)=αlnα-α-2, α>0
γ) Θεωρούμε την συνάρτηση g(α)=f(α)=αlnα-α-2, α>0. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο
g΄(α)=lnα. Ισχύει g΄(1)=0
(i) Η g είναι συνεχής στο (0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1) και ισχύει g΄(x)<0 για κάθε α ανήκει (0,1). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1]. Η g είναι συνεχής στο [1,+οο), παραγωγίσιμη στο (1,+οο) και ισχύει g΄(x)>0 για κάθε α ανήκει (1,+οο). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+οο).
Επομένως η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο α0=1 με τιμή g(1)=-3.
(ii) Για α=1 έχουμε f(x)=lnx-x-2, x>0. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο f΄(x)=(1/x)-1, x>0.
Έχουμε f(1)=-3 και f(e)=-e-1. Η f είναι συνεχής στο [1,e] και παραγωγίσιμη στο (1,e). Επομένως σύμφωνα μμε το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (1,e) τέτοιο ώστε:
f΄(x0)=(f(e)-f(1))/(e-1)=(2-e)/(e-1)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Να βρειτε τον τυπο της συναρτησης
2 και
f΄(x)=(1/(x^2))-(f(x)/x) <=> (f(x)/x)+f΄(x)=1/(x^2) <=> f(x)+xf΄(x)=1/x <=> f(x)+xf΄(x)-(1/x)=0, x ανήκει
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=xf(x)-ln|x|, x ανήκει R*. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R* τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο R*, οπότε και συνεχής στο R*, με πρώτη παράγωγο
g΄(x)=f(x)+xf΄(x)-(1/x)=0 για κάθε x ανήκει R*
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει g(x)=0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Επομένως υπάρχει πραγματική σταθερά c1 έτσι ώστε να ισχύει g(x)=c1 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα
g(x)=c1 <=> xf(x)-ln|x|=c1 <=> xf(x)=c1+ln|x| <=> f(x)=(c1+ln|x|)/x
Άρα f(x)=(c1+ln(-x))/x, x<0
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+oo) και ισχύει g(x)=0 για κάθε x ανήκει (0,+oo). Επομένως υπάρχει πραγματική σταθερά c1 έτσι ώστε να ισχύει g(x)=c1 για κάθε x ανήκει (0,+oo). Άρα
g(x)=c2 <=> xf(x)-ln|x|=c2 <=> xf(x)=c2+ln|x| <=> f(x)=(c2+ln|x|)/x
Άρα f(x)=(c2+lnx)/x, x>0
Γνωρίζουμε ότι f(1)=e και f(-1)=-e
Έχουμε
f(-1)=-c1 και f(-1)=-e => c1=e
f(1)=c2 και f(1)=1 => c2=e
Άρα
f(x)=(e+ln(-x))/x, x<0
f(x)=(e+lnx)/x, x>0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Να βρειτε τον τυπο της συναρτησης
1 , και
f΄(x)+2x(f(x)^2)=0 <=> [f΄(x)/(f(x)^2)]+2x=0 για κάθε x ανήκει R
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=(1/f(x))-(x^2), x ανήκει R. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε και η g είναι παραγωγίσιμη στο R, οπότε και συνεχής στο R, με πρώτη παράγωγο
g΄(x)=-[((f΄(x))/(f(x)^2))+2x]=-0=0
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει g΄(x)=0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως υπάρχει πραγματική σταθερά c έτσι ώστε να ισχύει g(x)=c για κάθε x ανήκει R. Έχουμε:
g(0)=(1/f(0))-(0^2)=(1/1)-0=1
g(0)=c
Επομένως c=1. Άρα
g(x)=1 <=> (1/f(x))-(x^2)=1 <=> f(x)=1/((x^2)+1), x ανήκει R
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
3)εστω f(x)=x-ln(1+(e^x)) , x ε R
α)να δειξετε οτι f(1)=1+f(-1)
β)να αποδειξετε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα χο ε (-1,1) τετοιο ωστε 2f'(xo)=1
γ)να βρεθει η εφαπτομενη της Cf // x-2y+1=0
δ)να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια
ε)να βρειτε τη θεση της Cf ως προς την εφαπτομενη του (γ) ερωτηματος
ζ)να αποδειξετε οτι lim f(x)=-00
x->-00
η)να βρειτε το lim f(x)
x->+00
θ)να δειξετε οτι η y=x ειναι ασυμπτωτη της Cf.
α) f(x)=x-ln(1+(e^x))=ln(e^x)-ln(1+(e^x))=ln[(e^x)/(1+(e^x))]=ln[1/((e^(-x))+1)]=ln{[((e^(-x))+1]^(-1)}=-ln[((e^(-x))+1], x ανήκει R
f(1)=1-ln(1+(e^1))=1-ln(1+e)=1-ln(1+e)
f(-1)=-ln[((e^(-(-1)))+1]=-ln[(e^1)+1]=-ln(1+e)
Επομένως f(1)=1+f(-1) <=> f(1)-f(-1)=1
β) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=(-ln[((e^(-x))+1])΄=1/((e^x)+1)
Η f είναι συνεχής στο [-1,1] και παραγωγίσιμη στο (-1,1). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (-1,1) τέτοιο ώστε f΄(x0)=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))=1/2 <=> 2f΄(x0)=1
γ) (ε): x-2y+1=0 <=> 2y=x+1 <=> y=(1/2)x+(1/2)
Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λε=1/2=f΄(x0)
Για να προσδιοριστεί το x0 λύνουμε την εξίσωση f΄(x0)=1/2
f΄(x0)=1/2 <=> 1/((e^x0)+1)=1/2 <=> (e^x0)+1=2 <=> e^x0=1 <=> x=0
Έχουμε f(0)=0-ln(1+(e^0))=-ln(1+1)=-ln2 και f΄(0)=1/2
Η εφαπτομένη (ζ) της Cf στο σημείο (0,f(0)) έχει εξίσωση:
y-f(0)=f΄(0)(x-0) <=> y=f΄(0)x+f(0) <=> y=(1/2)x-ln2
δ) Έχει βρεθεί ότι f΄(x)=1/((e^x)+1)
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
ε) Θεωρούμε την συνάρτηση φ(x)=(e^x)-2(e^(x/2))+1, x ανήκει R. Η συνάρτηση φ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο φ΄(x)=(e^x)-(e^(x/2))=(e^(x/2))((e^(x/2))-1)
φ΄(x)=0 <=> e^(x/2)=1 <=> x/2=0 <=> x=0
Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο (-οο,0], παραγωγίσιμη στο (-οο,0) και ισχύει φ(x)<0 για κάθε x ανήκει (-οο,0). Άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,0].Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο [0,+oo), παραγωγίσιμη στο (0,+oo) και ισχύει φ(x)>0 για κάθε x ανήκει (0,+oo). Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+οο). Επομένως η φ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 με τιμή φ(0)=1-2+1=0.
x<0 => φ(x)>φ(0) => φ(x)>0
x>0 => φ(x)>φ(0) => φ(x)>0
Επομένως για κάθε x ανήκει R* ισχύει φ(x)>0. Για κάθε x ανήκει R* έχουμε:
φ(x)>0 <=> (e^x)-2(e^(x/2))+1>0 <=> 2(e^(x/2))<(e^x)+1 <=> [2(e^(x/2))]/[(e^x)+1]<1 <=> ln{[2(e^(x/2))]/[(e^x)+1]}<0 για κάθε x ανήκει R*
Θεωρούμε την συνάρτηση g της εφαπτομένης της Cf στο (0,f(0)) με τύπο g(x)=(1/2)x-ln2, x ανήκει R.
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x), x ανήκει R. Έχουμε
h(x)=x-ln(1+(e^x))-(x/2)+ln2=(x/2)+ln[2/(1+(e^x))]=ln(e^(x/2))+ln[2/(1+(e^x))]=ln{[2(e^(x/2))]/(1+(e^x))]}
Έχουμε βρει ότι για κάθε x ανήκει R* ισχύει ln{[2(e^(x/2))]/[(e^x)+1]}<0 <=> h(x)<0 <=> f(x)<g(x)
Για x=0 έχουμε f(0)=g(0)=-ln2
ζ) Θεωρούμε τον μετασχηματισμό u=-x. Επειδή lim(x->-oo)(-x)=+oo, έχουμε
lim(x->-oo)(e^(-x))=lim(u->+oo)(e^u)=+oo
Θεωρούμε τον μετασχηματισμό t=(e^(-x)), οπότε
lim(x->-oo)[1+(e^(-x))]=lim(t->+oo)(1+t)=lim(t->+oo)t=+oo
Θεωρούμε τον μετασχηματισμό s=1+(e^(-x))
lim(x->-oo)ln[1+(e^(-x))]=lim(s->+oo)lns=+oo
Επομένως lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo){-ln[1+(e^(-x))]}=-oo
η)
lim(x->+oo)(-x)=-oo
lim(x->+oo)(e^(-x))=lim(u->-oo)(e^u)=0
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo){-ln[1+(e^(-x))]}=-ln(1+0)=-ln1=-0=0
Άρα lim(x->+oo)f(x)=0
θ) Θα υπολογίσουμε το όριο lim(x->-oo)f΄(x). Έχουμε
Επειδή lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε lim(x->-oo)f΄(x)=lim(x->-oo)[1/((e^x)+1)]=1/(0+1)=1/1=1
Θεωρούμε την συνάρτηση P(x)=x. Η P είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο P΄(x)=1 και ισχύει
lim(x->-oo)P(x)=-oo.
Επειδή lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)P(x)=-oo, τότε το όριο lim(x->-oo)[f(x)/P(x)] οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή (-oo)/(-oo). Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο lim(x->-oo)[f΄(x)/P΄(x)]. Έχουμε:
lim(x->-oo)[f΄(x)/P΄(x)]=lim(x->-oo)f΄(x)=1
Επομένως σύμφωνα με τον 2ο κανόνα De L' Hospital είναι lim(x->-oo)[f(x)/P(x)]=lim(x->-oo)[f΄(x)/P΄(x)]=1
Έχουμε
lim(x->-oo)[f(x)/P(x)]=1 => lim(x->-oo)[f(x)/x]=1=λ
Στη συνέχεια θα υπολογιστεί το όριο lim(x->-oo)[f(x)-λx]=lim(x->-oo)[f(x)-x]. Έχουμε:
lim(x->-oo)[f(x)-λx]=lim(x->-oo)[f(x)-x]=lim(x->-oo)[x-ln(1+(e^x))-x]=lim(x->-oo)[-ln(1+(e^x))]=-ln(1+0)=-ln1=-0=0=β
Επομένως η ευθεία (η) y=λx+β <=> y=x είναι ασύμπτωτη της Cf στο -οο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.