Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

StratosBaz · 02-11-11

Γεια σας εχω ξοδεψει πολλες ωρες για μια φαινομενικα ευκολη ασκηση αλλα δεν

Να βρεθει ο Γ.Τ. των εικονων του z=3/(2+συνθ+iημθ)
η ζητουμενη λυση ειναι (x-2)^2+y^2=1 και το μονο αποτελεσμα που εχω βρει(γιατι εχω δοκιμασει διαφορα που παρατησα στη πορεια)δεν ειναι ουτε κυκλος και εχει μεσα το ημθ (4χημθ+9y-3ημθ=0)
Thanks in advance :redface:

antwwwnis · 02-11-11

Αρχική Δημοσίευση από StratosBaz:
Γεια σας εχω ξοδεψει πολλες ωρες για μια φαινομενικα ευκολη ασκηση αλλα δεν
Να βρεθει ο Γ.Τ. των εικονων του z=3/(2+συνθ+iημθ)
η ζητουμενη λυση ειναι (x-2)^2+y^2=1 και το μονο αποτελεσμα που εχω βρει(γιατι εχω δοκιμασει διαφορα που παρατησα στη πορεια)δεν ειναι ουτε κυκλος και εχει μεσα το ημθ (4χημθ+9y-3ημθ=0)
Thanks in advance

Δοκίμασε να φέρεις το πηλίκο αριστερά στη μορφή α+βι.
Μετά απλά παίρνεις χ=α και y=β και επιλύεις ως προς τον τριγωνομετρικό.
Τα υψώνεις στο τετράγωνο και τα προσθέτεις.
Θα χρησιμοποιήσες σίγουρα το συν²θ+ημ²θ=1

StratosBaz · 02-11-11

το πρωτο που ειχα δοκιμασει αλλα δε βγηκε....

antwwwnis · 02-11-11

Αρχική Δημοσίευση από StratosBaz:
το πρωτο που ειχα δοκιμασει αλλα δε βγηκε....

Αν και βγαίνει λίγο μεγάλη λύση, τελικά βγαίνει. Αρκεί να μην κάνεις λάθος στις πράξεις.

StratosBaz · 02-11-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Αν και βγαίνει λίγο μεγάλη λύση, τελικά βγαίνει. Αρκεί να μην κάνεις λάθος στις πράξεις.

ακαλα μ'αρεσει που την ειχα ξεκινησει απο την αρχη 2 φορες με αυτον τον τροπο...ευχαριστω θα ξαναρχισω με περισσοτερη προσοχη

NoName · 04-11-11

lim {(λ-1)χ[στην 3η] + μχ* +χ+1} / μχ[στην 3η] +λχ +1 χ---> +00 να βρεθει το οριο για τις διαφορες τιμες των λ,μ eR...... την δοκιμασα αλλα με μπερδεψε λιγο...την μεθοδολογια την ξερω αλλα δεν μου βγαινει...

giorgos_dr · 4 Νοεμβρίου 2011

καλησπερα μια βοηθεια σε 2 ασκησεις

και

Ευχαριστω!

1 να βρεθουν τα α.β

2

κανεις?

natasoula... · 04-11-11

Τα έλυσα με παραγώγους και βρήκα στο πρώτο α=β=-1 και στο δεύτερο 19/6(παίζει λάθος στις πράξεις,δεν τις ξανακοίταξα!)...Αλλά δεν ξέρω αν έχεις κάνει παραγώγους...

Civilara · 4 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από giorgos_dr:
1 να βρεθουν τα α.β

Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=(αx^2-(β+3)x+2α+β)/(x^2-4x+3)=(αx^2-(β+3)x+2α+β)/[(x-1)(x+3)]
Το πεδίο ορισμού της f είναι το A=(-άπειρο,-3)U(-3,1)U(1,+άπειρο), οπότε έχει νόημα το lim(x->1)f(x). Γνωρίζουμε ότι lim(x->1)f(x)=2

Για κάθε x στο Α ισχύει αx^2-(β+3)x+2α+β=f(x)(x-1)(x+3). Άρα lim(x->1)(αx^2-(β+3)x+2α+β)=lim(x->1)f(x)*lim(x->1)(x-1)(x+3)=2*0=0. Όμως lim(x->1)(αx^2-(β+3)x+2α+β)=α-(β+3)+2α+β=3α-3. Επομένως πρέπει 3α-3=0 => 3α=3 => α=1

Η f γράφεται f(x)=(x^2-(β+3)x+β+2)/[(x-1)(x+3)]=(x^2-(β+2)x-x+β+2)/[(x-1)(x+3)]=[x(x-β-2)-(x-β-2)]/[(x-1)(x+3)]=[(x-β-2)(x-1)]/[(x-1)(x+3)] =>
=> f(x)=(x-β-2)/(x+3) όπου x ανήκει A.

Άρα lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x-β-2)/(x+3)]=(-β-1)/4=-[(β+1)/4]. Επομένως πρέπει -[(β+1)/4]=2 => β+1=-8 => β=-9

Αρχική Δημοσίευση από giorgos_dr:
2

Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6)

Για να ορίζεται η f πρέπει το τριώνυμο P(x)=x^2+2x+6 να μην είναι αρνητικό. Αυτό ισχύει καθώς
P(x)=x^2+2x+6=x^2+2x+4+2=(x+2)^2+2>=2>0. Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=R.

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με παράγωγο:

f΄(x)=4x^3+2x+1-[(x+1)/SQRT(x^2+2x+6)], x ανήκει R

Για x=1 προκύπτει f(1)=0 και f΄(1)=19/3. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο έχουμε:

lim(x->1)[(f(x)-f(1))/(x-1)]=f΄(1) => lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x-1)]=19/3

Επομένως

lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x^2-1)]=lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x-1)(x+1)]=
=lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x-1)]*lim(x->1)[1/(x+1)]=(19/3)*(1/2)=19/6

Άρα lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x^2-1)]=19/6

exc · 4 Νοεμβρίου 2011

Civilara, δεν είδα αναλυτικά τις λύσεις σου, αλλά τα αποτελέσματα στα οποία καταλήγεις είναι λανθασμένα.

Στην 2η βγαίνει 19/6 το όριο. Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε παραγώγους: πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή, δηλ. με $x^4+x^2+x+\sqrt{x^2+2x+6}$ , κάνουμε πράξεις στον αριθμητή και απλοποιούμε (πχ με διαίρεση πολυωνύμων) τον αριθμητή με το (χ^2-1) και καταλήγουμε στο ζητούμενο όριο (19/6).

Στην πρώτη, πρέπει οπωσδήποτε α=1 για να είναι το όριο πεπερασμένο. Και μετά με Hospital βρίσκουμε ότι το όριο ισούται με (1+β)/2. Για να κάνει 2, πρέπει β=3. Χωρίς Hospital, βγαίνει με παραγοντοποίηση, αφού χ^2-(β+3)χ+β+2=(χ-1)(χ-β-2) και χ^2-4χ+3=(χ-1)(χ-3).

rebel · 04-11-11

Μία λύση ακόμα για το 2ο. H συνάρτηση γράφεται:

$\frac{x^4+x^2+x+2-2-\sqrt{x^2+2x+6}}{x^2-1}=\frac{x^4+x^2-2}{x^2-1}+\frac{x+2-\sqrt{x^2+2x+6}}{x^2-1}$

$\lim_{x \to 1}\frac{x^4+x^2-2}{x^2-1}=\lim_{x \to 1}\frac{(x^2-1)(x^2+1)+x^2-1}{x^2-1}=\lim_{x \to 1}(x^2+2)=3$

$\lim_{x \to 1}\frac{x+2-\sqrt{x^2+2x+6}}{x^2-1}=\lim_{x \to 1}\frac{\left(x+2-\sqrt{x^2+2x+6}\right)\left(x+2+\sqrt{x^2+2x+6}\right)}{(x^2-1)\left(x+2+\sqrt{x^2+2x+6}\right)} =\lim_{x \to 1}\frac{2(x-1)}{(x^2-1)\left(x+2+\sqrt{x^2+2x+6}\right)}=\lim_{x \to 1}\frac{2}{(x+1)\left(x+2+\sqrt{x^2+2x+6}\right)}=\frac{2}{12}$

Tελικά το όριο είναι $3+\frac{2}{12}=\frac{38}{12}=\frac{19}{6}$

Civilara · 04-11-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Στην πρώτη, πρέπει οπωσδήποτε α=1 για να είναι το όριο πεπερασμένο. Και μετά με Hospital βρίσκουμε ότι το όριο ισούται με (1+β)/2. Για να κάνει 2, πρέπει β=3. Δεν μπορώ να σκεφτώ πώς θα το βγάζαμε χωρίς Hospital (δε νομίζω πως γίνεται).

Έλεγξα την 1η άσκηση και κατέληξα πάλι στο ίδιο. Αν το πάρουμε αντίστροφα για την f(x)=[αx^2-(β+3)+2α+β)]/(x^2-4x+3) έχουμε το εξής:

Για α=1 και β=-9 (δικιά μου λύση) έχουμε

f(x)=(x^2+6x-7)/(x^2-4x+3)=[(x+7)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x+7)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x+7)/(x+3)]=(1+7)/(1+3)=8/4=2 όπως δίνεται στην εκφώνηση

Για α=1 και β=3 έχουμε

f(x)=(x^2-6x+5)/(x^2-4x+3)=[(x-5)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x-5)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x-5)/(x+3)]=(1-5)/(1+3)=-4/4=-1 που είναι διαφορετικό από αυτό της εκφώνησης

exc · 04-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Έλεγξα την 1η άσκηση και κατέληξα πάλι στο ίδιο. Αν το πάρουμε αντίστροφα για την f(x)=[αx^2-(β+3)+2α+β)]/(x^2-4x+3) έχουμε το εξής:

Για α=1 και β=-9 (δικιά μου λύση) έχουμε

f(x)=(x^2+6x-7)/(x^2-4x+3)=[(x+7)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x+7)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x+7)/(x+3)]=(1+7)/(1+3)=8/4=2 όπως δίνεται στην εκφώνηση

Για α=1 και β=3 έχουμε

f(x)=(x^2-6x+5)/(x^2-4x+3)=[(x-5)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x-5)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x-5)/(x+3)]=(1-5)/(1+3)=-4/4=-1 που είναι διαφορετικό από αυτό της εκφώνησης

Ok. Έχεις ένα πρόσημο στην παραγοντοποίηση λάθος. χ^2-4χ+3=(χ-1)(χ-3), όχι +.

Civilara · 04-11-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Ok. Έχεις ένα πρόσημο στην παραγοντοποίηση λάθος. χ^2-4χ+3=(χ-1)(χ-3), όχι +.

Έχεις δίκιο.

rebel · 4 Νοεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από NoName:
lim {(λ-1)χ[στην 3η] + μχ* +χ+1} / μχ[στην 3η] +λχ +1 χ---> +00 να βρεθει το οριο για τις διαφορες τιμες των λ,μ eR...... την δοκιμασα αλλα με μπερδεψε λιγο...την μεθοδολογια την ξερω αλλα δεν μου βγαινει...

Εν συντομία βρήκα τις εξής περιπτώσεις:

$\lambda=1,\,\,\mu=0 \to 1$
$\lambda=1,\,\, \mu\neq 0 \to 0$
$\mu=0, \,\, \lambda=0 \to -\infty$
$\mu=0, \,\, 0<\lambda<1 \to -\infty$
$\mu=0, \,\, \lambda<0 \,\,\dot \eta \,\, \lambda>1 \to +\infty$
$\lambda \neq 1 \,\, \kappa a \iota \,\, \mu \neq 0 \to \frac{\lambda-1}{\mu}$

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.

g1wrg0s · 05-11-11

Παιδια μια βοηθεια.
ποσο κανει το οριο lim (2-cotθ) οταν θ->0 ;

Ευχαριστω για καθε απαντηση .

trick · 05-11-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Παιδια μια βοηθεια.
ποσο κανει το οριο lim (2-cotθ) οταν θ->0 ;

Ευχαριστω για καθε απαντηση .

Εφόσον το όριο cotθ όταν θ->0 είναι όριο του συνημιτόνου θ, δηλαδή 1, προς το ημίτονο θ, δηλαδή 0, το lim(cotθ) όταν θ->0 είναι + ∞ .
Έτσι lim(2-cotθ) όταν θ->0 κάνει - ∞ .

g1wrg0s · 05-11-11

Αρχική Δημοσίευση από trick:
Εφόσον το όριο cotθ όταν θ->0 είναι όριο του συνημιτόνου θ, δηλαδή 1, προς το ημίτονο θ, δηλαδή 0, το lim(cotθ) όταν θ->0 είναι + ∞ .
Έτσι lim(2-cotθ) όταν θ->0 κάνει - ∞ .

Το οριο lim(cotθ) για θ->0+ ειναι +οο , ενω για θ->0- ειναι -οο . Αν η απαντηση στο παραπανω οριο ειναι οτι ο παραπανω οριο δεν υπαρχει τοτε δεκτη . Κατι που ομως δεν νομιζω διοτι αν εφαρμωσω κανονα de L' Hopital (προφανως δεν επιτρεπεται να χρησιμοποιησω) τοτε ολο το οριο βγαινει 2 (αν δεν κανω λαθος)

rebel · 05-11-11

$\lim_{x\to 0^-}(2-\cot x)=+\infty$
$\lim_{x\to 0^+}(2-\cot x)=-\infty$
Δεν υπάρχει το όριο.

trick · 05-11-11

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Το οριο lim(cotθ) για θ->0+ ειναι +οο , ενω για θ->0- ειναι -οο . Αν η απαντηση στο παραπανω οριο ειναι οτι ο παραπανω οριο δεν υπαρχει τοτε δεκτη . Κατι που ομως δεν νομιζω διοτι αν εφαρμωσω κανονα de L' Hopital (προφανως δεν επιτρεπεται να χρησιμοποιησω) τοτε ολο το οριο βγαινει 2 (αν δεν κανω λαθος)

Δεν έχω κάνει κανόνα de L' Hopital ακόμα... Η απάντησή μου είναι ότι το όριο είναι μείον άπειρο, δεν είναι πραγματικός αριθμός δηλαδή.

Επεξεργασία: χμ, δεν κοίταξα τα πλευρικά, ο Κώστας από πάνω έχει δίκιο.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος