Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

StratosBaz · 2 Νοεμβρίου 2011 στις 22:02

Γεια σας εχω ξοδεψει πολλες ωρες για μια φαινομενικα ευκολη ασκηση αλλα δεν

Να βρεθει ο Γ.Τ. των εικονων του z=3/(2+συνθ+iημθ)
η ζητουμενη λυση ειναι (x-2)^2+y^2=1 και το μονο αποτελεσμα που εχω βρει(γιατι εχω δοκιμασει διαφορα που παρατησα στη πορεια)δεν ειναι ουτε κυκλος και εχει μεσα το ημθ (4χημθ+9y-3ημθ=0)
Thanks in advance :redface:

antwwwnis · 2 Νοεμβρίου 2011 στις 22:12

Αρχική Δημοσίευση από StratosBaz:
Γεια σας εχω ξοδεψει πολλες ωρες για μια φαινομενικα ευκολη ασκηση αλλα δεν
Να βρεθει ο Γ.Τ. των εικονων του z=3/(2+συνθ+iημθ)
η ζητουμενη λυση ειναι (x-2)^2+y^2=1 και το μονο αποτελεσμα που εχω βρει(γιατι εχω δοκιμασει διαφορα που παρατησα στη πορεια)δεν ειναι ουτε κυκλος και εχει μεσα το ημθ (4χημθ+9y-3ημθ=0)
Thanks in advance

Δοκίμασε να φέρεις το πηλίκο αριστερά στη μορφή α+βι.
Μετά απλά παίρνεις χ=α και y=β και επιλύεις ως προς τον τριγωνομετρικό.
Τα υψώνεις στο τετράγωνο και τα προσθέτεις.
Θα χρησιμοποιήσες σίγουρα το συν²θ+ημ²θ=1

StratosBaz · 2 Νοεμβρίου 2011 στις 22:16

το πρωτο που ειχα δοκιμασει αλλα δε βγηκε....

antwwwnis · 2 Νοεμβρίου 2011 στις 22:22

Αρχική Δημοσίευση από StratosBaz:
το πρωτο που ειχα δοκιμασει αλλα δε βγηκε....

Αν και βγαίνει λίγο μεγάλη λύση, τελικά βγαίνει. Αρκεί να μην κάνεις λάθος στις πράξεις.

StratosBaz · 2 Νοεμβρίου 2011 στις 22:28

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Αν και βγαίνει λίγο μεγάλη λύση, τελικά βγαίνει. Αρκεί να μην κάνεις λάθος στις πράξεις.

ακαλα μ'αρεσει που την ειχα ξεκινησει απο την αρχη 2 φορες με αυτον τον τροπο...ευχαριστω θα ξαναρχισω με περισσοτερη προσοχη

NoName · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 15:43

lim {(λ-1)χ[στην 3η] + μχ* +χ+1} / μχ[στην 3η] +λχ +1 χ---> +00 να βρεθει το οριο για τις διαφορες τιμες των λ,μ eR...... την δοκιμασα αλλα με μπερδεψε λιγο...την μεθοδολογια την ξερω αλλα δεν μου βγαινει...

giorgos_dr · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 16:24

καλησπερα μια βοηθεια σε 2 ασκησεις

και

Ευχαριστω!

1 να βρεθουν τα α.β

2

κανεις?

natasoula... · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 17:50

Τα έλυσα με παραγώγους και βρήκα στο πρώτο α=β=-1 και στο δεύτερο 19/6(παίζει λάθος στις πράξεις,δεν τις ξανακοίταξα!)...Αλλά δεν ξέρω αν έχεις κάνει παραγώγους...

Civilara · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 19:02

Αρχική Δημοσίευση από giorgos_dr:
1 να βρεθουν τα α.β

Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=(αx^2-(β+3)x+2α+β)/(x^2-4x+3)=(αx^2-(β+3)x+2α+β)/[(x-1)(x+3)]
Το πεδίο ορισμού της f είναι το A=(-άπειρο,-3)U(-3,1)U(1,+άπειρο), οπότε έχει νόημα το lim(x->1)f(x). Γνωρίζουμε ότι lim(x->1)f(x)=2

Για κάθε x στο Α ισχύει αx^2-(β+3)x+2α+β=f(x)(x-1)(x+3). Άρα lim(x->1)(αx^2-(β+3)x+2α+β)=lim(x->1)f(x)*lim(x->1)(x-1)(x+3)=2*0=0. Όμως lim(x->1)(αx^2-(β+3)x+2α+β)=α-(β+3)+2α+β=3α-3. Επομένως πρέπει 3α-3=0 => 3α=3 => α=1

Η f γράφεται f(x)=(x^2-(β+3)x+β+2)/[(x-1)(x+3)]=(x^2-(β+2)x-x+β+2)/[(x-1)(x+3)]=[x(x-β-2)-(x-β-2)]/[(x-1)(x+3)]=[(x-β-2)(x-1)]/[(x-1)(x+3)] =>
=> f(x)=(x-β-2)/(x+3) όπου x ανήκει A.

Άρα lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x-β-2)/(x+3)]=(-β-1)/4=-[(β+1)/4]. Επομένως πρέπει -[(β+1)/4]=2 => β+1=-8 => β=-9

Αρχική Δημοσίευση από giorgos_dr:
2

Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6)

Για να ορίζεται η f πρέπει το τριώνυμο P(x)=x^2+2x+6 να μην είναι αρνητικό. Αυτό ισχύει καθώς
P(x)=x^2+2x+6=x^2+2x+4+2=(x+2)^2+2>=2>0. Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=R.

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με παράγωγο:

f΄(x)=4x^3+2x+1-[(x+1)/SQRT(x^2+2x+6)], x ανήκει R

Για x=1 προκύπτει f(1)=0 και f΄(1)=19/3. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο έχουμε:

lim(x->1)[(f(x)-f(1))/(x-1)]=f΄(1) => lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x-1)]=19/3

Επομένως

lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x^2-1)]=lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x-1)(x+1)]=
=lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x-1)]*lim(x->1)[1/(x+1)]=(19/3)*(1/2)=19/6

Άρα lim(x->1)[(x^4+x^2+x-SQRT(x^2+2x+6))/(x^2-1)]=19/6

exc · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 19:37

Civilara, δεν είδα αναλυτικά τις λύσεις σου, αλλά τα αποτελέσματα στα οποία καταλήγεις είναι λανθασμένα.

Στην 2η βγαίνει 19/6 το όριο. Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε παραγώγους: πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή, δηλ. με $x^4+x^2+x+\sqrt{x^2+2x+6}$ , κάνουμε πράξεις στον αριθμητή και απλοποιούμε (πχ με διαίρεση πολυωνύμων) τον αριθμητή με το (χ^2-1) και καταλήγουμε στο ζητούμενο όριο (19/6).

Στην πρώτη, πρέπει οπωσδήποτε α=1 για να είναι το όριο πεπερασμένο. Και μετά με Hospital βρίσκουμε ότι το όριο ισούται με (1+β)/2. Για να κάνει 2, πρέπει β=3. Χωρίς Hospital, βγαίνει με παραγοντοποίηση, αφού χ^2-(β+3)χ+β+2=(χ-1)(χ-β-2) και χ^2-4χ+3=(χ-1)(χ-3).

rebel · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 19:51

Μία λύση ακόμα για το 2ο. H συνάρτηση γράφεται:

$\frac{x^4+x^2+x+2-2-\sqrt{x^2+2x+6}}{x^2-1}=\frac{x^4+x^2-2}{x^2-1}+\frac{x+2-\sqrt{x^2+2x+6}}{x^2-1}$

$\lim_{x \to 1}\frac{x^4+x^2-2}{x^2-1}=\lim_{x \to 1}\frac{(x^2-1)(x^2+1)+x^2-1}{x^2-1}=\lim_{x \to 1}(x^2+2)=3$

$\lim_{x \to 1}\frac{x+2-\sqrt{x^2+2x+6}}{x^2-1}=\lim_{x \to 1}\frac{\left(x+2-\sqrt{x^2+2x+6}\right)\left(x+2+\sqrt{x^2+2x+6}\right)}{(x^2-1)\left(x+2+\sqrt{x^2+2x+6}\right)} =\lim_{x \to 1}\frac{2(x-1)}{(x^2-1)\left(x+2+\sqrt{x^2+2x+6}\right)}=\lim_{x \to 1}\frac{2}{(x+1)\left(x+2+\sqrt{x^2+2x+6}\right)}=\frac{2}{12}$

Tελικά το όριο είναι $3+\frac{2}{12}=\frac{38}{12}=\frac{19}{6}$

Civilara · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 19:56

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Στην πρώτη, πρέπει οπωσδήποτε α=1 για να είναι το όριο πεπερασμένο. Και μετά με Hospital βρίσκουμε ότι το όριο ισούται με (1+β)/2. Για να κάνει 2, πρέπει β=3. Δεν μπορώ να σκεφτώ πώς θα το βγάζαμε χωρίς Hospital (δε νομίζω πως γίνεται).

Έλεγξα την 1η άσκηση και κατέληξα πάλι στο ίδιο. Αν το πάρουμε αντίστροφα για την f(x)=[αx^2-(β+3)+2α+β)]/(x^2-4x+3) έχουμε το εξής:

Για α=1 και β=-9 (δικιά μου λύση) έχουμε

f(x)=(x^2+6x-7)/(x^2-4x+3)=[(x+7)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x+7)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x+7)/(x+3)]=(1+7)/(1+3)=8/4=2 όπως δίνεται στην εκφώνηση

Για α=1 και β=3 έχουμε

f(x)=(x^2-6x+5)/(x^2-4x+3)=[(x-5)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x-5)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x-5)/(x+3)]=(1-5)/(1+3)=-4/4=-1 που είναι διαφορετικό από αυτό της εκφώνησης

exc · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 20:13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Έλεγξα την 1η άσκηση και κατέληξα πάλι στο ίδιο. Αν το πάρουμε αντίστροφα για την f(x)=[αx^2-(β+3)+2α+β)]/(x^2-4x+3) έχουμε το εξής:

Για α=1 και β=-9 (δικιά μου λύση) έχουμε

f(x)=(x^2+6x-7)/(x^2-4x+3)=[(x+7)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x+7)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x+7)/(x+3)]=(1+7)/(1+3)=8/4=2 όπως δίνεται στην εκφώνηση

Για α=1 και β=3 έχουμε

f(x)=(x^2-6x+5)/(x^2-4x+3)=[(x-5)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x-5)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x-5)/(x+3)]=(1-5)/(1+3)=-4/4=-1 που είναι διαφορετικό από αυτό της εκφώνησης

Ok. Έχεις ένα πρόσημο στην παραγοντοποίηση λάθος. χ^2-4χ+3=(χ-1)(χ-3), όχι +.

Civilara · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 20:42

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Ok. Έχεις ένα πρόσημο στην παραγοντοποίηση λάθος. χ^2-4χ+3=(χ-1)(χ-3), όχι +.

Έχεις δίκιο.

rebel · 4 Νοεμβρίου 2011 στις 21:09

Αρχική Δημοσίευση από NoName:
lim {(λ-1)χ[στην 3η] + μχ* +χ+1} / μχ[στην 3η] +λχ +1 χ---> +00 να βρεθει το οριο για τις διαφορες τιμες των λ,μ eR...... την δοκιμασα αλλα με μπερδεψε λιγο...την μεθοδολογια την ξερω αλλα δεν μου βγαινει...

Εν συντομία βρήκα τις εξής περιπτώσεις:

$\lambda=1,\,\,\mu=0 \to 1$
$\lambda=1,\,\, \mu\neq 0 \to 0$
$\mu=0, \,\, \lambda=0 \to -\infty$
$\mu=0, \,\, 0<\lambda<1 \to -\infty$
$\mu=0, \,\, \lambda<0 \,\,\dot \eta \,\, \lambda>1 \to +\infty$
$\lambda \neq 1 \,\, \kappa a \iota \,\, \mu \neq 0 \to \frac{\lambda-1}{\mu}$

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.

g1wrg0s · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 11:13

Παιδια μια βοηθεια.
ποσο κανει το οριο lim (2-cotθ) οταν θ->0 ;

Ευχαριστω για καθε απαντηση .

trick · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 11:40

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Παιδια μια βοηθεια.
ποσο κανει το οριο lim (2-cotθ) οταν θ->0 ;

Ευχαριστω για καθε απαντηση .

Εφόσον το όριο cotθ όταν θ->0 είναι όριο του συνημιτόνου θ, δηλαδή 1, προς το ημίτονο θ, δηλαδή 0, το lim(cotθ) όταν θ->0 είναι + ∞ .
Έτσι lim(2-cotθ) όταν θ->0 κάνει - ∞ .

g1wrg0s · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 12:01

Αρχική Δημοσίευση από trick:
Εφόσον το όριο cotθ όταν θ->0 είναι όριο του συνημιτόνου θ, δηλαδή 1, προς το ημίτονο θ, δηλαδή 0, το lim(cotθ) όταν θ->0 είναι + ∞ .
Έτσι lim(2-cotθ) όταν θ->0 κάνει - ∞ .

Το οριο lim(cotθ) για θ->0+ ειναι +οο , ενω για θ->0- ειναι -οο . Αν η απαντηση στο παραπανω οριο ειναι οτι ο παραπανω οριο δεν υπαρχει τοτε δεκτη . Κατι που ομως δεν νομιζω διοτι αν εφαρμωσω κανονα de L' Hopital (προφανως δεν επιτρεπεται να χρησιμοποιησω) τοτε ολο το οριο βγαινει 2 (αν δεν κανω λαθος)

rebel · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 12:02

$\lim_{x\to 0^-}(2-\cot x)=+\infty$
$\lim_{x\to 0^+}(2-\cot x)=-\infty$
Δεν υπάρχει το όριο.

trick · 5 Νοεμβρίου 2011 στις 12:05

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Το οριο lim(cotθ) για θ->0+ ειναι +οο , ενω για θ->0- ειναι -οο . Αν η απαντηση στο παραπανω οριο ειναι οτι ο παραπανω οριο δεν υπαρχει τοτε δεκτη . Κατι που ομως δεν νομιζω διοτι αν εφαρμωσω κανονα de L' Hopital (προφανως δεν επιτρεπεται να χρησιμοποιησω) τοτε ολο το οριο βγαινει 2 (αν δεν κανω λαθος)

Δεν έχω κάνει κανόνα de L' Hopital ακόμα... Η απάντησή μου είναι ότι το όριο είναι μείον άπειρο, δεν είναι πραγματικός αριθμός δηλαδή.

Επεξεργασία: χμ, δεν κοίταξα τα πλευρικά, ο Κώστας από πάνω έχει δίκιο.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος