Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

g1wrg0s · 22-09-11

Οπως το λες ειναι...ο βαθμος της εξισωσης καθοριζει το μεγιστο αριθμο των πραγματικων ριζων της και οχι των αριθμο των πραγματικων ριζων της. Στη συγκεκριμενη περιπτωση η εξισωση χ^3-1=0 μπορει να εχει καμια, μια, δυο ή ρεις το πολυ πραγματικες ριζες

kosmas13green · 22-09-11

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z με την ιδιότητα |z+3|+|(συζυγή του)z+4i|=5
α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικόνας Μ του z;
β)Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του |z|;
γ)Ποιος από τους παραπάνω αριθμούς z έχει το μέγιστο μέτρο;

Το α) το έλυσα. Τώρα στο β) επειδή βρήκα ΑΒ=5 και είναι ευθεία τότε χρειάζομαι την εξίσωση της η οποία είναι της μορφής Αx+By+Γ=0 αλλά πως την βρίσκω με τα δεδομένα που έχω; (δυστυχώς πέρυσι στην κατεύθυνση είχα καθηγητή που περισσότερο με δούλευε για την Ρεαλ παρά έκανε μάθημα...) :/:

. Και μια βοήθεια για το γ). Ευχαριστώ!

Boom · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από christina123:
pfff με αυτες τις ισοδυναμιες και τις επαγωγες.ποτε βαζουμε το ενα ποτε το αλλο;
και κατι αλλο. πρεπει να αναλυουμε ή μαλλον να υπεραναλυουμε τα οσα γραφουμε οταν λυνουμε μια ασκηση μαθηματικων;

Για το πρώτο δες και εδώ: https://ischool.e-steki.gr/α-λυκείου/συνεπάγεται-ισοδυναμεί-48772/

dannaros · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Ο βαθμος καθοριζει ποσες το πολυ ριζες εχει και μιγαδικες και πραγματικες.Για τις μιγαδικες δεν ξερω παντως για να βρεις τις πραγματικες στο χ³=1 ριζωνεις με την 3η ριζα και η τριτη ριζα του 1 ειναι 1 . Ενω στην περιπτωση του χ²=1 αν ριζωσεις με 2η ριζα θα σου βγαλει +-1 γιατι δυο αριθμοι την επαληθευουν το 1 και το -1. Να θυμασαι οταν ριζωνεις με αρτια ριζα πχ. 2,4,8 παντα μπροστα απο την ριζα που σου δινει το αποτελεσμα να βαζεις +- ή το χ που ειναι μεστην ριζα να το βαλεις μεσα σε απολυτο. Πιστευω να σε καλυψα και οχι να σε μπερδεψα.

η αλήθεια είναι ότι το ήξερα απλά ήθελα να δω πως θα το εξηγούσατε... πολύ ωραία απάντηση...

Pagitas · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Ο βαθμος καθοριζει ποσες το πολυ ριζες εχει και μιγαδικες και πραγματικες.

"Για πραγματα για τα οποια δε γνωριζουμε κατι, καλυτερα να σωπαινουμε"

dannaros · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από Pagitas:
"Για πραγματα για τα οποια δε γνωριζουμε κατι, καλυτερα να σωπαινουμε"

x^2=1 έχει δύο πραγματικές ρίζες... και δύο μιγαδικές... χ=1,-1,i,-i

Pagitas · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από dannaros:
x^2=1 έχει δύο πραγματικές ρίζες... και δύο μιγαδικές... χ=1,-1,i,-i

Παντως, το "ποσες ριζες εχει η εξισωση χ³=1" δε λεει τιποτα απο μονο του. Πρεπει να δωσεις και το συνολο στο οποιο ανηκει το χ.
Ο Μικρος που βιαστηκε να απαντησει να περιμενει καλυτερα μεχρι την Γ' Λυκειου.

Guest 278211 · 22-09-11

Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας: (by d'Alembert και ολοκληρωμένα by Gauss)

κάθε πολυωνυμική εξίσωση ν βαθμού έχει στο σύνολο των μιγαδικών ν ακριβώς ρίζες

Αυτό σημαίνει πως στους πραγματικούς έχει το πολύ ν ρίζες. Α, και μετράμε τις διπλές-τριπλές-κλπ ρίζες ως δύο-τρεις-διαφορετικές διαφορετικές ρίζες που ταυτίζονται.

dannaros · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας: (by d'Alembert και ολοκληρωμένα by Gauss)

Αυτό σημαίνει πως στους πραγματικούς έχει το πολύ ν ρίζες. Α, και μετράμε τις διπλές-τριπλές-κλπ ρίζες ως δύο-τρεις-διαφορετικές διαφορετικές ρίζες που ταυτίζονται.

οπότε μαζί έχουν 2ν πάντα?

Guest 278211 · 22 Σεπτεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από dannaros:
οπότε μαζί έχουν 2ν πάντα?

Το πολύ ν στο R, ακριβώς ν στο C. Θυμήσου ότι το R είναι υποσύνολο του C.

dannaros · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
Το πολύ ν στο R, ακριβώς ν στο C.

κάτσε το χ^2=1 έχει δύο λύσεις στο R ενώ στο C έχει 4 λύσεις (αφού το R είναι υποσύνολο του C). το ακριβώς δεν καταλαβαίνω λοιπόν... το "τουλάχιστον" το καταλαβαίνω ή το "ακριβώς 2ν στο C" επίσης... τι είναι τελικά?

Guest 278211 · 22 Σεπτεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από dannaros:
κάτσε το χ^2=1 έχει δύο λύσεις στο R ενώ στο C έχει 4 λύσεις (αφού το R είναι υποσύνολο του C). το ακριβώς δεν καταλαβαίνω λοιπόν... το "τουλάχιστον" το καταλαβαίνω ή το "ακριβώς 2ν στο C" επίσης... τι είναι τελικά?

Έχεις δίκιο, δεν είπα ολοκληρωμένα αυτό που ήθελα, γιατί βιαζόμουν.

Αν έχουμε μια πολυωνυμική εξίσωση και δεν ξέρουμε ποιου βαθμού είναι και ξέρουμε πως έχει k λύσεις στο R, έχει τουλάχιστον k λύσεις στο C και είναι τουλάχιστον βαθμού k.

Το 2 ν, από πού το συμπέρανες; δεν είπα κάτι τέτοιο.

Χμμ... ${x}^{2}+2x+1=0 \Leftrightarrow {(x+1)}^{2}=0 \Leftrightarrow x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$
Εδώ το (-1) είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης, και για αυτό λέμε ότι έχουμε δύο ρίζες που ταυτίζονται.

dannaros · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
Το 2 ν, από πού το συμπέρανες; δεν είπα κάτι τέτοιο.

λάθος μου... γιατί και καλά στο χ^2=1 έχει δύο στο R και 4 στο C... Λάθος όμως

Guest 278211 · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από dannaros:
x^2=1 έχει δύο πραγματικές ρίζες... και δύο μιγαδικές... χ=1,-1,i,-i

${i}^{2}=-1$
${(-i)}^{2}={(-1i)}^{2}={-1}^{2} {i}^{2}=1{i}^{2=}-1$

dannaros · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
${i}^{2}=-1$
${(-i)}^{2}={(-1i)}^{2}={-1}^{2} {i}^{2}=1{i}^{2=}-1$

Σωστός !! άρα καταλήγουμε ότι έστω ν ο μέγιστος αριθμός ριζών στο R, τότε είναι ν τουλάχιστον ρίζες στο C. Άμα θες διόρθωσε πιο πάνω στο μήνυμα σου το "ακριβώς", γιατί γράφει ότι το έχεις επεξεργαστεί και το ολοκλήρωσες, ενώ η λέξη όμως παραμένει εκεί...

vassilis498 · 22-09-11

δε νομίζω ότι ισχύει αυτό με τις ν ακριβώς ρίζες στο C... η x³=1 στο C ξέρω γω έχει μια ρίζα το 1, οι άλλες 2 μιγαδικές ρίζες ποιες είναι;

Civilara · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
δε νομίζω ότι ισχύει αυτό με τις ν ακριβώς ρίζες στο C... η x³=1 στο C ξέρω γω έχει μια ρίζα το 1, οι άλλες 2 μιγαδικές ρίζες ποιες είναι;

Βασίλη, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας δεν χωράει αμφισβήτηση. Η ισχύς του έχει αποδειχθεί εδώ και πάρα πολλά χρόνια. Η εξίσωση x^3=1 έχει ακριβώς 3 μιγαδικές ρίζες: x1=1, x2=-(1/2)+(sqrt(3)/2)i, x3=-(1/2)-(sqrt(3)/2)i.

Guest 278211 · 22-09-11

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
δε νομίζω ότι ισχύει αυτό με τις ν ακριβώς ρίζες στο C... η x³=1 στο C ξέρω γω έχει μια ρίζα το 1, οι άλλες 2 μιγαδικές ρίζες ποιες είναι;

Δε γνωρίζω την απόδειξη, όμως ισχύει. Δες τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης σελίδα 112-113. (εκτός ύλης, όμως χρήσιμο)

Και στο συγκεκριμένο: x^3-1=0 <=> (x-1)(x^2+x+1)=0 κλπ

vassilis498 · 22 Σεπτεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Βασίλη, το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας δεν χωράει αμφισβήτηση. Η ισχύς του έχει αποδειχθεί εδώ και πάρα πολλά χρόνια. Η εξίσωση x^3=1 έχει ακριβώς 3 μιγαδικές ρίζες: x1=1, x2=-(1/2)+(sqrt(3)/2)i, x3=-(1/2)-(sqrt(3)/2)i.

Να φανταστώ όμως οι άλλες 2 δεν βρίσκονται με κάποιον τρόπο που μαθαίνουμε στο σχολείο.
edit: άκυρο, από κάτω

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
Δε γνωρίζω την απόδειξη, όμως ισχύει. Δες τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης σελίδα 112-113. (εκτός ύλης, όμως χρήσιμο)

Και στο συγκεκριμένο: x^3-1=0 <=> (x-1)(x^2+x+1)=0 κλπ

α ναι όντως γίνεται και με παραγντοποίηση δεν το σκέφτηκα

g1wrg0s · 22-09-11

ρε παιδια με τοσα που εχουν γραφτει εγω προσωπικα μπερδευτηκα.
Εστω ενα μη μηδενικο πολυώνυμο ν βαθμου τοτε θα εχει ν μιγαδικες ριζες. Μπορει για παραδειγμα οι ν-2 να ειναι πραγματικες και οι αλλες δυο να ειναι της μορφης α+βi .
Δηλαδη το συνολο των ριζων που ειναι πραγματικες και το συνολο των ριζων της μορφης α+βi ειναι ν .
Αυτο ισχυει ή τιποτα αλλο;

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Διακεκριμένο μέλος

Επιφανές μέλος