Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

^MaRiA7^ · 1 Οκτωβρίου 2011 στις 23:25

Ευχαριστω για την αμεση ανταποκριση, απλως με μπερδεψε οτι ηταν εις την 2001 η παρασταση :$

antonio2761994 · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 14:24

Έχουμε 3 συναρτησεις f,g,h για τις οποίες ισχύει f(a)=g(a)=h(a) και f'(a)=h'(a) και f(x)<g(x)<h(x) ( μικρότερο και ίσο και στις 2 ανισότητες) για κάθε χ που ανήκει στο R.
A) νδο η συνάρτηση g είναι παραγωγισιμη στο χ1= α
Β) νδο g'(a)= f'(a)=h'(a)

Νομίζω πως είναι αρκετά απλό, αλλα δεν είμαι σίγουρος ότι έχω δείξει το Α με σωστό τροπο

kosmas13green · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 14:35

Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης: f(x)=x-2/x-3. Λογικά βρίσκω πρώτα το πεδίο ορισμού της που είναι το Df= R-{3}. Μετά πως συνεχίζω? Βάζω f(x)=y και...? :confused:

drosos · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 14:43

Λύνεις ως προς x βαζεις περιορισμους στα y και ολο αυτο που βρηκες να ανηκει στο πεδιο ορισμου σου.

Κάπως έτσι
$\frac{x-2}{x-3}=y\Leftrightarrow (x-3)y=x-2\Leftrightarrow xy-x=3y-2\Leftrightarrow x(y-1)=3y-2\Leftrightarrow x=\frac{3y-2}{y-1}$

$y<>1$ (<>=Διάφορο)
$\frac{3y-2}{y-1}\varepsilon Af$

Με συναλήθευση βρίσκεις το σύνολο τιμών

rebel · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 16:41

Αρχική Δημοσίευση από antonio2761994:
Έχουμε 3 συναρτησεις f,g,h για τις οποίες ισχύει f(a)=g(a)=h(a) και f'(a)=h'(a) και f(x)<g(x)<h(x) ( μικρότερο και ίσο και στις 2 ανισότητες) για κάθε χ που ανήκει στο R.
A) νδο η συνάρτηση g είναι παραγωγισιμη στο χ1= α
Β) νδο g'(a)= f'(a)=h'(a)

Νομίζω πως είναι αρκετά απλό, αλλα δεν είμαι σίγουρος ότι έχω δείξει το Α με σωστό τροπο

Για χ>α:
$f(x) \leq g(x) \leq h(x) \Rightarrow f(x)-f(a) \leq g(x)-g(a) \leq h(x)-h(a) \stackrel{x>a}{\Rightarrow} \frac{ f(x)-f(a)}{x-a} \leq \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \leq \frac{h(x)-h(a)}{x-a}$

Επειδή $\lim_{x\to a^+}\frac{ f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a^+}\frac{ h(x)-h(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)=h^{\prime}(a)$ , από κριτήριο παρεμβολής $\lim_{x\to a^+}\frac{ g(x)-g(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)=h^{\prime}(a)$

Όμοια δείχνεται ότι $\lim_{x\to a^-}\frac{ g(x)-g(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)=h^{\prime}(a)$ .
Άρα $\lim_{x\to a^-}\frac{ g(x)-g(a)}{x-a}=\lim_{x\to a^+}\frac{ g(x)-g(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)=h^{\prime}(a)$ οπότε η g είναι παραγωγίσιμη στο α και επιπλέον $g^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)=h^{\prime}(a)$

Αρχική Δημοσίευση από kosmas13green:
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης: f(x)=x-2/x-3. Λογικά βρίσκω πρώτα το πεδίο ορισμού της που είναι το Df= R-{3}. Μετά πως συνεχίζω? Βάζω f(x)=y και...?

Το πεδίο ορισμού της f είναι το $A=\mathbb{R}- \left\{ 3 \right\}$ . Θα βρούμε τους αριθμούς y για τους οποίους η εξίσωση $f(x)=y$ έχει μία τουλάχιστον λύση στο Α. Για $y\in \mathbb{R}$ και $x \in A$ έχουμε:

$f(x)=y \Leftrightarrow \frac{x-2}{x-3}=y \Leftrightarrow x(y-1)=3y-2 \, (1)$ . H (1) είναι πρωτοβάθμια ως προς χ, επομένως έχει μία τουλάχιστον λύση στο Α αν και μόνο αν o συντελεστής του αγνώστου είναι διαφορετικός από το 0(ή y-1=0 και 3y-2=0 ταυτόχρονα, πράγματα ασυμβίβαστα) και το 3 δεν επαληθεύει την (1), δηλαδή:

$\left \{ \begin{matrix} y-1 \neq 0 \\ 3(y-1) \neq 3y-2\end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} y \neq 1 \\ -3 \neq -2 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow y \neq 1$ .

Τελικά $f(A)=\mathbb{R}- \left\{ 1 \right\}$

Δες και αυτή την πολύ ενδιαφέρουσα εργασία.

antonio2761994 · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 16:59

καπως έτσι το εχω κανει κι εγώ. ουσιαστικά βγάζεις και τα 2 ερωτήματα μαζί και αυτό με παραξενεψε

antwwwnis · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 17:05

Όταν κάνουμε ασύμπτωτες, το σύνολο τιμών αυτής της άσκησης θα μπορεί να βγαίνει και με ΘΕΤ;

Ryuzaki · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 17:37

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Όταν κάνουμε ασύμπτωτες, το σύνολο τιμών αυτής της άσκησης θα μπορεί να βγαίνει και με ΘΕΤ;

ΘΕΤ = Θεώρημα Ενδοιάμεσων Τιμών...;
Σύνολο τιμών εννοείς σύνολο τιμών της συνάρτησης για την οποία σου ζητάει την ασύμπτωτη; Γίνε λίγο πιο συγκεκριμένος...

kosmas13green · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 22:28

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Λύνεις ως προς x βαζεις περιορισμους στα y και ολο αυτο που βρηκες να ανηκει στο πεδιο ορισμου σου.

Κάπως έτσι
$\frac{x-2}{x-3}=y\Leftrightarrow (x-3)y=x-2\Leftrightarrow xy-x=3y-2\Leftrightarrow x(y-1)=3y-2\Leftrightarrow x=\frac{3y-2}{y-1}$

$y<>1$ (<>=Διάφορο)
$\frac{3y-2}{y-1}\varepsilon Af$

Με συναλήθευση βρίσκεις το σύνολο τιμών

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Το πεδίο ορισμού της f είναι το $A=\mathbb{R}- \left\{ 3 \right\}$ . Θα βρούμε τους αριθμούς y για τους οποίους η εξίσωση $f(x)=y$ έχει μία τουλάχιστον λύση στο Α. Για $y\in \mathbb{R}$ και $x \in A$ έχουμε:
$f(x)=y \Leftrightarrow \frac{x-2}{x-3}=y \Leftrightarrow x(y-1)=3y-2 \, (1)$ . H (1) είναι πρωτοβάθμια ως προς χ, επομένως έχει μία τουλάχιστον λύση στο Α αν και μόνο αν o συντελεστής του αγνώστου είναι διαφορετικός από το 0(ή y-1=0 και 3y-2=0 ταυτόχρονα, πράγματα ασυμβίβαστα) και το 3 δεν επαληθεύει την (1), δηλαδή:

$\left \{ \begin{matrix} y-1 \neq 0 \\ 3(y-1) \neq 3y-2\end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} y \neq 1 \\ -3 \neq -2 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow y \neq 1$ .

Τελικά $f(A)=\mathbb{R}- \left\{ 1 \right\}$

Δες και αυτή την πολύ ενδιαφέρουσα εργασία.

Ευχαριστώ παιδιά :clapup:

Τώρα έχω ένα άλλο... Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης: $f(x)=e^x^-1+3$ ... Το πεδίο ορισμού της είναι το R αλλά τώρα δυσκολεύομαι με το e όταν θέτω f(x)=y

stathis1214 · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 22:47

Αρχική Δημοσίευση από kosmas13green:
Ευχαριστώ παιδιά Τώρα έχω ένα άλλο... Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης: $f(x)=e^x^-1+3$ ... Το πεδίο ορισμού της είναι το R αλλά τώρα δυσκολεύομαι με το e όταν θέτω f(x)=y

ειναι e^x-1>0 και e^x-1+3>3 αρα το συνολο τιμων ειναι το ανοιχτο 3 εως το συν απειρο

Pagitas · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 22:51

Αρχική Δημοσίευση από kosmas13green:
Ευχαριστώ παιδιά Τώρα έχω ένα άλλο... Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης: $f(x)=e^x^-1+3$ ... Το πεδίο ορισμού της είναι το R αλλά τώρα δυσκολεύομαι με το e όταν θέτω f(x)=y

Χρησιμοποιεις τη λογαριθμικη, ωστε να κατεβει το x απο τον εκθετη.

Johnny15 · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 23:09

Καμιά άσκηση με μιγαδικούς παίζει?

Or3st1s SOAD · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 23:14

Eστω οι μιγαδικοι z,w για τους οποιους ισχυουν οι σχεσεις IzI=3 και w=z+(ριζα7)i/z+3
i) νδο Iw-1I>=2/3
ιι) να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των w
iii) αν w φανταστικος να δειξετε οτι 3Re(z)+(ριζα 7)Im(z)+9=0
Eστω συναρτησεις f(x)=x-e^3+(ριζα7) και g(x)=e^x
iv) νδο (fog)(IwI Iz(συζηγης)+3I)<=0

Δοκιμασε αυτην την ειχα γραψει σε προηγουμενο αλλα μονο ενας την προσπαθησε.Ειχε πεσει τεταρτο θεμα σε διαγωνισμα στο φροντιστηριο ,αλλα δεν πιστευω οτι ειναι πολυ δυσκολη.

Johnny15 · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 23:30

Θα την κοιτάξω μέσα στην εβδομάδα όταν βρω χρόνο πάω για ύπνο τώρα

antwwwnis · 2 Οκτωβρίου 2011 στις 23:52

Αρχική Δημοσίευση από Ryuzaki:
ΘΕΤ = Θεώρημα Ενδοιάμεσων Τιμών...;
Σύνολο τιμών εννοείς σύνολο τιμών της συνάρτησης για την οποία σου ζητάει την ασύμπτωτη; Γίνε λίγο πιο συγκεκριμένος...

Μιλώ για την ακόλουθη άσκηση.

Αρχική Δημοσίευση από kosmas13green:
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης: f(x)=x-2/x-3. Λογικά βρίσκω πρώτα το πεδίο ορισμού της που είναι το Df= R-{3}. Μετά πως συνεχίζω? Βάζω f(x)=y και...?

Εμ έκανα λάθος, δεν χρειάζεται η έννοια της ασύμπτωτης για να βρούμε σύνολο τιμών της f.
Η f oρίζεται στο (-οο,3)U(3,+οο)
Βρίσκουμε τα όρια της f στο -οο, 3(+),3(-),+οο και βάσει του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών έχουμε ότι το σύνολο τιμών είναι το (-οο,1)U(1,+οο).

rebel · 3 Οκτωβρίου 2011 στις 00:46

Αρχική Δημοσίευση από kosmas13green:
Ευχαριστώ παιδιά Τώρα έχω ένα άλλο... Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης: $f(x)=e^x^-1+3$ ... Το πεδίο ορισμού της είναι το R αλλά τώρα δυσκολεύομαι με το e όταν θέτω f(x)=y

Απλά $f(x)=y \Leftrightarrow e^{x-1}=y-3 \, (1)$

Για ποια y τώρα η εξίσωση (1) έχει λύση ως χ;

Αρχική Δημοσίευση από Or3st1s SOAD:
Eστω οι μιγαδικοι z,w για τους οποιους ισχυουν οι σχεσεις IzI=3 και w=z+(ριζα7)i/z+3
i) νδο Iw-1I>=2/3
ιι) να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των w
iii) αν w φανταστικος να δειξετε οτι 3Re(z)+(ριζα 7)Im(z)+9=0
Eστω συναρτησεις f(x)=x-e^3+(ριζα7) και g(x)=e^x
iv) νδο (fog)(IwI Iz(συζηγης)+3I)<=0

Δοκιμασε αυτην την ειχα γραψει σε προηγουμενο αλλα μονο ενας την προσπαθησε.Ειχε πεσει τεταρτο θεμα σε διαγωνισμα στο φροντιστηριο ,αλλα δεν πιστευω οτι ειναι πολυ δυσκολη.

Χμ τώρα που την ξαναβλέπω παρατηρώ ότι στο 4ο ερώτημα είχα διαβάσει λάθος τον τύπο της f

$f(x)=x-e^3+\sqrt{7}$ αντί $f(x)=x-e^{3+\sqrt{7}}$ που είναι το σωστό. Αυτό για όποιον προσπαθήσει να την λύσει. Φιλιά!

kosmas13green · 3 Οκτωβρίου 2011 στις 01:11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Απλά $f(x)=y \Leftrightarrow e^{x-1}=y-3 \, (1)$

Για ποια y τώρα η εξίσωση (1) έχει λύση ως χ;

Μέχρι εκεί το έφτασα και εγώ αλλά το e με μπερδεύει :mad:

rebel · 3 Οκτωβρίου 2011 στις 02:05

Για να έχει λύση η (1) πρέπει και αρκεί $y-3>0 \Leftrightarrow y>3$ . (Αν $y \leq 3$ η (1) δεν θα είχε λύση αφού $e^{x-1}>0 \, \forall x \in \mathbb{R}$ ). Άρα σύνολο τιμών είναι τελικά το $(3,+\infty)$

kosmas13green · 3 Οκτωβρίου 2011 στις 10:57

Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης: $f(x)=ln(x-2)$ . Εγώ βρήκα πεδίο ορισμού το Α=(2,+οο) ( $x-2>0 \Leftrightarrow x>2$ ) και σύνολο τιμών το $f(A)= R$ . Είμαι σωστός? (για το σύνολο τιμών έκανα $f(x)=y \Leftrightarrow ln(x-2)=y \Leftrightarrow e^y=x-2$ και το άφησα εκεί... :confused:

g1wrg0s · 3 Οκτωβρίου 2011 στις 11:14

Τα Π.Ο και το Σ.Τ τα βρηκες σωστα. Εκει που το εχεις φτασει ειναι μια χαρα αλλα καλο ειναι να λυνεις παντα ως προος χ και μετα να συνοψιζεις τους περιορισμους που εχεις για το y.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος