λοιπον...
...
Έστω f
0, +oo) ---> R ,μια συναρτηση με f(x) = 1/x - x^3 + 1
a.να βρειτε το συνολο τιμων της f
β. να δειξετε οτι υπαρχει η αντιστροφη συναρτηση f(-1)(x) και οτι ειναι γνησιως φθινουσα
γ.αν θεωρησουμε γνωστο οτι η αντιστροφη της f ειναι συνεχης τοτε να βρειτε το οριο ιμ(χ-->-00) [[ f(-1)(x) - x] /[ x + f(-1)(x)] ]
(α) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(1/x)-(x^3)+1=((-x^4)+x+1)/x με πεδίο ορισμού το A=(0,+oo). Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=-(1/(x^2))-3(x^2)=-((3(x^4)+1)/(x^2))<0 για κάθε x>0
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+οο) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (0,+οο). Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο) και συνεπώς είναι και 1-1. Άρα η f είναι αντιστρέψιμη.
Επειδή lim(x->0+)(1/x)=+oo και lim(x->0+)(-(x^3)+1)=1 τότε lim(x->0+)f(x)=+oo
Επειδή lim(x->+oo)(1/x)=0 και lim(x->+oo)(-(x^3)+1)=lim(x->+oo)(-(x^3))=-oo τότε lim(x->+oo)f(x)=-oo
Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο) οπότε το πεδίο τιμών της είναι το εξής σύνολο:
f(A)=f((0,+oo))=(lim(x->+oo)f(x),lim(x->0+)f(x))=(-oo,+oo)=R => f(A)=R
(β) Επειδή η f είναι 1-1 τότε είναι αντιιστρέψιμη και ισχύει η ισοδυναμία
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) για κάθε x ανήκει A, y ανήκει f(A)
Επειδή η f είναι συνεχής τότε και η f-1 είναι συνεχής (έχει αποδειχθεί σε προηγούμενο post)
Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε και η f-1 είναι γνησίως φθίνουσα (έχει αποδειχθεί σε προηγούμενο post)
(γ) Θεωρούμε την συνάρτηση g(y)=[(f-1)(y)-y]/[(f-1)(y)+y] όπου y ανήκουν f(A)=R για τα οποία (f-1)(y) διάφορο -y
Με αντικατάσταση y=f(x) προκύπτει g(f(x))=[(f-1)(f(x))-f(x)]/[(f-1)(f(x))+f(x)]=[x-f(x)]/[x+f(x)]
Η σύνθεση (gof)(x)=g(f(x)) ορίζεται για εκείνα τα x στο Α για τα οποία f(x) διάφορο -x
Έχουμε
(gof)(x)=g(f(x))=[x-f(x)]/[x+f(x)]=[x-(1/x)+(x^3)-1]/[x+(1/x)-(x^3)+1]=[(x^4)+(x^2)-x-1]/[-(x^4)+(x^2)+x+1]
lim(x->+oo)g(f(x))=lim(x->+oo){[(x^4)+(x^2)-x-1]/[-(x^4)+(x^2)+x+1]}=lim(x->+oo)[(x^4)/(-(x^4))]=lim(x->+oo)(-1)=-1
Άρα lim(x->+oo)g(f(x))=-1
Θεωρούμε τον μετασχηματισμό y=f(x). Επειδή lim(x->+oo)f(x)=-oo τότε έχουμε:
lim(x->+oo)g(f(x))=lim(y->-oo)g(y)
Άρα lim(y->-oo)g(y)=lim(x->+oo)g(f(x))=-1
Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι
lim(x->-oo)g(x)=-1 <=> lim(x->-oo){[(f-1)(x)-x]/[(f-1)(x)+x]}=-1
