Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Βασίλης Δ.]

στην πρωτη πρεπει να δειξεις οτι g(f(x))=2x^5 + e^f(x) +1 , x e R ειναι 1-1 και στην δευτερη ασκηση την αλλη συνάρτηση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Kαλησπέρα...Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει με αυτές τις 2 συναρτήσεις?

Και στις δύο f : R ---> R
g(f(x))=2x^5 + e^f(x) +1 , x e R
f(f(x))=f(x) +e^x -1 , x e R

Kαι στις δύο πρεπει να δειξεις πως ειναι 1-1

f(f(x))-f(x)=h(x), h(x)=e^x-1, x ανηκει R

Για καθε x1, x2 ανηκει R με h(x1)=h(x2) εχουμε
h(x1)=h(x2) => 2x1^5+1=2x2^5+1 => 2x1^5=2x2^5 => x1^5=x2^5 => x1=x2
Αρα η h ειναι 1-1

Για καθε x1, x2 ανηκει R με m(x1)=m(x2) εχουμε
h(x1)=h(x2) => e^x1-1=e^x1-1 => e^x1=e^x2 => x1=x2
Αρα η h ειναι 1-1

Για καθε x1, x2 ανηκει R με f(x1)=f(x2) εχουμε
f(x1)=f(x2) => f(f(x1))=f(f(x2))
f(x1)=f(x2) => -f(x1)=-f(x2)
Προσθετοντας κατα μελη τις 2 τελευταιες σχεσεις προκυπτει:
f(f(x1))-f(x1)=f(f(x2))-f(x2) => h(x1)=h(x2) => x1=x2 αφου η m ειναι 1-1
Συνεπως για καθε x1, x2 ανηκει R με f(x1)=f(x2) εχουμε x1=x2. Αρα η f ειναι 1-1 επομενως και αντιστρεψιμη.
Για καθε x ανηκει R και y ανκηκει f(R) ισχυει η ισοδυναμια
y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

g(f(x))=2x^5+e^f(x)+1, x ανηκει R => g(y)=2(f-1)^5(y)+e^y+1, y ανηκει f(R) => g(y)=2(f-1)^5+m(y), y ανηκει f(R) οπου m(y)=e^y+1
Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με m(y1)=m(y2) εχουμε
m(y1)=m(y2) => e^y1+1=e^y2+1 => e^y1=e^y2 => y1=y2
Αρα η m ειναι 1-1.

Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με y1 διαφορο y2 εχουμε
y1 διαφορο y2 => (f-1)(y1) διαφορο (f-1)(y2) => (f-1)^5(y1) διαφορο (f-1)^5(y2) => 2(f-1)^5(y1) διαφορο 2(f-2)^5(y2)
y1 διαφορο y2 => m(y1) διαφορο m(y2) αφου η m ειναι 1-1
Προσθετοντας κατα μελη τις 2 τελευταιες σχεσεις προκυπτει:
2(f-1)^5(y1)+m(y1) διαφορο 2(f-1)(y2)+m(y2) => g(y1) διαφορο g(y2)
Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με y1 διαφορο y2 ισχυει g(y1) διαφορο g(y2). Αρα η g ειναι 1-1.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Βασίλης Δ.]

f(f(x))-f(x)=h(x), h(x)=e^x-1, x ανηκει R

Για καθε x1, x2 ανηκει R με h(x1)=h(x2) εχουμε
h(x1)=h(x2) => 2x1^5+1=2x2^5+1 => 2x1^5=2x2^5 => x1^5=x2^5 => x1=x2
Αρα η h ειναι 1-1

Για καθε x1, x2 ανηκει R με m(x1)=m(x2) εχουμε
h(x1)=h(x2) => e^x1-1=e^x1-1 => e^x1=e^x2 => x1=x2
Αρα η h ειναι 1-1

Για καθε x1, x2 ανηκει R με f(x1)=f(x2) εχουμε
f(x1)=f(x2) => f(f(x1))=f(f(x2))
f(x1)=f(x2) => -f(x1)=-f(x2)
Προσθετοντας κατα μελη τις 2 τελευταιες σχεσεις προκυπτει:
f(f(x1))-f(x1)=f(f(x2))-f(x2) => h(x1)=h(x2) => x1=x2 αφου η m ειναι 1-1
Συνεπως για καθε x1, x2 ανηκει R με f(x1)=f(x2) εχουμε x1=x2. Αρα η f ειναι 1-1 επομενως και αντιστρεψιμη.
Για καθε x ανηκει R και y ανκηκει f(R) ισχυει η ισοδυναμια
y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

g(f(x))=2x^5+e^f(x)+1, x ανηκει R => g(y)=2(f-1)^5(y)+e^y+1, y ανηκει f(R) => g(y)=2(f-1)^5+m(y), y ανηκει f(R) οπου m(y)=e^y+1
Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με m(y1)=m(y2) εχουμε
m(y1)=m(y2) => e^y1+1=e^y2+1 => e^y1=e^y2 => y1=y2
Αρα η m ειναι 1-1.

Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με y1 διαφορο y2 εχουμε
y1 διαφορο y2 => (f-1)(y1) διαφορο (f-1)(y2) => (f-1)^5(y1) διαφορο (f-1)^5(y2) => 2(f-1)^5(y1) διαφορο 2(f-2)^5(y2)
y1 διαφορο y2 => m(y1) διαφορο m(y2) αφου η m ειναι 1-1
Προσθετοντας κατα μελη τις 2 τελευταιες σχεσεις προκυπτει:
2(f-1)^5(y1)+m(y1) διαφορο 2(f-1)(y2)+m(y2) => g(y1) διαφορο g(y2)
Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με y1 διαφορο y2 ισχυει g(y1) διαφορο g(y2). Αρα η g ειναι 1-1.

μαλλον λαθος διατύπωση απο μένα...Σορρυ που σε εβαλα και έγραψες κατι τετοιο ειναι διαφορετικες ασκήσεις..περνεις την μια συνάρτηση δείχνεις πως ειναι 1-1 και περνεις την αλλη και δειχνεις πως ειναι 1-1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[OoOkoβοldOoO]

Ρε σεις έχω κολλήσει σε μια άσκηση και δεν μπορώ να τη βγάλω. Μου φαίνεται αρκετά μπερδεμα...
limx->+oo (f(x) +2x²ημ1/χ)/χ-ρίζα(χ²+1)=2 και ζητάει να δείξω ότι το limx->+oo του f(x)/x=-2
Είναι από το διαγώνισμα του μπάρλα 217 σελ 4ο θέμα το α. Μπορεί να βοηθήσει κανείς;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Ρε σεις έχω κολλήσει σε μια άσκηση και δεν μπορώ να τη βγάλω. Μου φαίνεται αρκετά μπερδεμα...
limx->+oo (f(x) +2x²ημ1/χ)/χ-ρίζα(χ²+1)=2 και ζητάει να δείξω ότι το limx->+oo του f(x)/x=-2

Θετω g(x)=[f(x)+2(x^2)ημ(1/x)]/[x-((x^2)+1)^(1/2)] με lim(x->+απειρο)g(x)=2, οπου x ανηκει Α=[(-απειρο, 0)U(0,+απειρο)]τομηDf

Για να εχει νοημα το οριο που δινεται στην εκφωνηση πρεπει η g και η f να οριζονται σε διαστημα της μορφης (α, +απειρο) οπου α>0. Εχουμε f(x)=g(x)[x-((x^2)+1)^(1/2)]-2(x^2)ημ(1/x) => f(x)/x=g(x){[x-((x^2)+1)^(1/2)]/x}-2xημ(1/x), x ανηκει (α, +απειρο).

lim(x->+απειρο){[x-((x^2)+1)^(1/2)]/x}=lim(x->+απειρο){1-[(((x^2)+1)^(1/2))/x]=lim(x->+απειρο){1-[1+(1/(x^2))]^(1/2)}=1-(1+0)^(1/2)=1-1=0
lim(x->+απειρο)[xημ(1/x)]=lim(x->+απειρο) [ημ(1/x)/(1/x)]=lim(u->0+)(ημu/u)=1 οπου u=1/x.

Αρα lim(x->+απειρο)[f(x)/x]=2*0-2*1=0-2=-2

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[drosos]

Παρτε και μια ευκολη να εξακριβωσω απλως τον τροπο λυσης μου

για καθε

i)Να βρεθουν οι τιμες f(1),f(2)
ii)ΝΔΟ οτι η f δεν ειναι 1-1
iii)ΝΔΟ οτι η g δεν ειναι 1-1 για την οποια ισχυει
για καθε

Τα πρωτα δυο ερωτηματα βγαινουν ψιλοευκολα.

Τωρα για το (iii) ελυσα ως προς f(x) αφου () ειναι >0 αρα και η g δεν ειναι 1-1 αλλα δεν ειμαι σιγουρος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

f(1)=f(2)=2 και g(1)=g(2)=2 δεν βγάζεις;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ryuzaki]

f(1)=f(2)=2 και g(1)=g(2)=2 δεν βγάζεις;

Σωστός, έχοντας δείξει στο i) ερώτημα ότι f(1)=f(2)=2, βάζεις στην g x=1 και x=2 αντίστοιχα και καταλήγεις ότι g(1)=g(2)=2.
Για δύο διαφορετικές τιμές του χ η g παίρνει την ίδια τιμή y άρα δεν είναι 1-1. Είναι το ίδιο με το ερώτημα ii)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Το πρωτο ερωτημα πως το εβγαλες;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ryuzaki]

Το πρωτο ερωτημα πως το εβγαλες;

Θέτω στην σχέση που μου δίνει (σχέση (1)) x=1, κάνω πράξεις, και καταλήγω ότι f(f(1))=1.
Μετά πάλι στην (1) θέτω x=f(1), χρησιμοποιώ ότι f(f(1))=1 που βρήκα παραπάνω, κάνω τις πράξεις και καταλήγω ότι [f(1)-2]^2=0, άρα f(1)-2=0, δηλ f(1)=2.

Όμοια εργαζόμαστε για να βρούμε το f(2).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Θέτω στην σχέση που μου δίνει (σχέση (1)) x=1, κάνω πράξεις, και καταλήγω ότι f(f(1))=1.
Μετά πάλι στην (1) θέτω x=f(1), χρησιμοποιώ ότι f(f(1))=1 που βρήκα παραπάνω, κάνω τις πράξεις και καταλήγω ότι [f(1)-2]^2=0, άρα f(1)-2=0, δηλ f(1)=2.

Όμοια εργαζόμαστε για να βρούμε το f(2).

Ευχαριστω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[drosos]

Ναι το πρωτο κ το δευτερο βγαινουν σχετικα ευκολα το iii πως το δειξατε?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

Ναι το πρωτο κ το δευτερο βγαινουν σχετικα ευκολα το iii πως το δειξατε?

Απο τον ορισμο της συναρτησης 1-1 λεει οτι :
μια συναρτηση f :Α-> IR λεγεται συναρτηση 1-1 , οταν για οποιαδηποτε χ1,χ2 ε Α ισχυει η συνεπαγωγη:
αν χ1 διαφορο του χ2, τοτε f(x1) διαφορο του f(x2)
Αυτη ειναι 1-1 στο π.ο της (IR)

Αυτη η συναρτηση δεν ειναι 1-1 στο π.ο της (IR)

Ποια η διαφορα τους; Για να ειναι μια συναρτηση 1-1 θα πρεπει να μην υπαρχουν 2-3-...-ν (ν ε Ν με ν>3) που να δινουν την ιδια τιμη y.
Στην πρωτη γραφικη παρασταση καθε χ του π.ο της δινει διαφορετικη τιμη y. Αντιθετα στην δευτερη βλεπεις οτι υπαρχουν δυο χ τα οποια δινουν την ιδια τιμη y (π.χ την τιμη -2 την παιρνεις για χ=-1 και για χ=1 , δηλαδη f(-1)=f(1)= -2) αρα δεν ειναι 1-1.

Στην ασκηση σου τωρα:
Απο το πρωτο ερωτημα εχεις βρει οτι f(1)=f(2)=2 .Αν στο τριτο ερωτημα βαλεις στην συναρτηση οπου χ το 1 και το 2 αντιστοιχα θα παρατηρησεις οτι g(1)=g(2) .Δηλαδη για δυο διαφορετικες τιμες του χ παιρνεις την ιδια τιμη χ,. Επομενως η συναρτη g(x) δεν ειναι συναρτηση 1-1 .....

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[drosos]

Δλδ ο τροπος που το λυσα ειναι λαθος;... ελυσα ως προς f(x) αφου το αλλο ειναι μονο θετικο αρα αφου η f δεν ειναι 1-1 τοτε δεν θα ναι και h g

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[g1wrg0s]

iii)ΝΔΟ οτι η g δεν ειναι 1-1 για την οποια ισχυει
για καθε

Αν αυτη ειναι η g τοτε πως ελυσες ως προς f(x); αν ελυσες ως προς f(x) τοτε αυτο που εβγαλες θα ισχυει για χ ε IR-{-1,1} και οχι για ολο το IR

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[drosos]

Ωχ ναι βλακεια δεν βγαινει καν ετσι ξεχασε το Ευχαριστω για την βοηθεια!

Δίνονται οι μιγαδικοι με την ιδιοτητα

α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικονας Μ του z
(Σελ 101 θεμα 4ο βοηθημα μαθηματικων κατ Στεργιου-Νακη)

Το βοηθημα στις υποδειξεις γραφει οτι ο γτ της εικονας του z ειναι μια ευθεια αλλα οι καθηγητες μου στο φροντιστηριο λενε οτι ειναι ελλειψη αλλα με διαφορετικες εστιες οχι οπως αυτη που μαθαμε στην β' λυκειου. Ποια η γνωμη σας :/ ;;;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Boom]

Δίνονται οι μιγαδικοι με την ιδιοτητα

α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικονας Μ του z
(Σελ 101 θεμα 4ο βοηθημα μαθηματικων κατ Στεργιου-Νακη)

Το βοηθημα στις υποδειξεις γραφει οτι ο γτ της εικονας του z ειναι μια ευθεια αλλα οι καθηγητες μου στο φροντιστηριο λενε οτι ειναι ελλειψη αλλα με διαφορετικες εστιες οχι οπως αυτη που μαθαμε στην β' λυκειου. Ποια η γνωμη σας :/ ;;;

Ίσως έχουν δίκαιο απο άποψη προχωρημένων μαθηματικών.
Εμείς όμως διδασκόμαστε άλλη έλλειψη άρα η απάντηση θα έλεγα πως είναι ευθεία.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[antwwwnis]

Δίνονται οι μιγαδικοι με την ιδιοτητα

α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικονας Μ του z
(Σελ 101 θεμα 4ο βοηθημα μαθηματικων κατ Στεργιου-Νακη)

Το βοηθημα στις υποδειξεις γραφει οτι ο γτ της εικονας του z ειναι μια ευθεια αλλα οι καθηγητες μου στο φροντιστηριο λενε οτι ειναι ελλειψη αλλα με διαφορετικες εστιες οχι οπως αυτη που μαθαμε στην β' λυκειου. Ποια η γνωμη σας :/ ;;;

Έχεις όρεξη για πράξεις;

Θέσε z= x+yi, x,y E R. Μετά χωρίζεις στα μέτρα πραγματικό από φανταστικό μέρος, υψωνεις και τα δυο μέλη στο τετράγωνο, αναπτύσεις το τετραγωνο, πραξεις, χωριζεις ριζες από μη ρίζες, ξαναυψωνεις στο τετραγωνο(φεύγει η ρίζα), και σου μένει μια εξίσωση.Πραξεις. Λοιπόν, αν είναι της μορφής Αχ+Βy+Γ=0 είναι ευθεία, ενω αν είναι Αχ²+Βy²+Γχ+Δy+E=0 με Α διαφορο Β και ομόσημα είναι έλλειψη.

Είναι σχεδόν ο ίδιος τρόπος με τον οποίο τα περσινά βιβλία έκαναν τις αποδείξεις των κωνικών τομών.

*Αν έχει την μορφή Αχ²+Βy²+Γχ+Δy+E+Ζχy=0 είναι πέρα από τα όρια των μαθηματικών βιβλίων του λυκείου. Εννοώ τα εντος ύλης, αν οι γραμμικοί μετασχηματισμοί ήταν εντός, μια χαρά βγαίνει.( Πχ Έλλειψη που γερνει :Ρ)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[qwerty111]

Δίνονται οι μιγαδικοι με την ιδιοτητα

α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικονας Μ του z
(Σελ 101 θεμα 4ο βοηθημα μαθηματικων κατ Στεργιου-Νακη)

Το βοηθημα στις υποδειξεις γραφει οτι ο γτ της εικονας του z ειναι μια ευθεια αλλα οι καθηγητες μου στο φροντιστηριο λενε οτι ειναι ελλειψη αλλα με διαφορετικες εστιες οχι οπως αυτη που μαθαμε στην β' λυκειου. Ποια η γνωμη σας :/ ;;;

Έχουμε |z+3|+|z-4i|=5 (πήρα το συζυγή του μιγαδικού στο δεύτερο μέτρο)
Έστω Α(-3, 0), Β(0, 4), και Μ η εικόνα του z.
(ΑΒ)=5
(ΜΑ)+(ΜB)=5=(ΑΒ)
Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία που διέρχεται από τα Α και Β, την εξίσωση της οποίας μπορείς να βρεις τώρα.
Ο γεωμετρικός τόπος ΔΕΝ είναι έλλειψη. (Εκτός και αν η ευθεία θεωρείται μια επιμηκυμένη έλλειψη.)
Στην έλλειψη το σταθερό άθροισμα 2α είναι μεγαλύτερο της απόστασης των δύο εστίων, κάτι που δεν συμβαίνει στην συγκεκριμένη περίπτωση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[christina123]

παιδια μια ερωτηση θελω να κανω.
οι συναρτησιακες σχεσεις ειναι μεσα στην υλη; γιατι ακουω διαφορα....
π.χ f(x) + f(y) = f(x+y) .........

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.