Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Βασίλης Δ. · 2011-09-14T23:21:43+0300

στην πρωτη πρεπει να δειξεις οτι g(f(x))=2x^5 + e^f(x) +1 , x e R ειναι 1-1 και στην δευτερη ασκηση την αλλη συνάρτηση

Civilara · 2011-09-14T23:26:12+0300

Αρχική Δημοσίευση από Βασίλης Δ.:
Kαλησπέρα...Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει με αυτές τις 2 συναρτήσεις?

Και στις δύο f : R ---> R
g(f(x))=2x^5 + e^f(x) +1 , x e R
f(f(x))=f(x) +e^x -1 , x e R

Kαι στις δύο πρεπει να δειξεις πως ειναι 1-1

f(f(x))-f(x)=h(x), h(x)=e^x-1, x ανηκει R

Για καθε x1, x2 ανηκει R με h(x1)=h(x2) εχουμε
h(x1)=h(x2) => 2x1^5+1=2x2^5+1 => 2x1^5=2x2^5 => x1^5=x2^5 => x1=x2
Αρα η h ειναι 1-1

Για καθε x1, x2 ανηκει R με m(x1)=m(x2) εχουμε
h(x1)=h(x2) => e^x1-1=e^x1-1 => e^x1=e^x2 => x1=x2
Αρα η h ειναι 1-1

Για καθε x1, x2 ανηκει R με f(x1)=f(x2) εχουμε
f(x1)=f(x2) => f(f(x1))=f(f(x2))
f(x1)=f(x2) => -f(x1)=-f(x2)
Προσθετοντας κατα μελη τις 2 τελευταιες σχεσεις προκυπτει:
f(f(x1))-f(x1)=f(f(x2))-f(x2) => h(x1)=h(x2) => x1=x2 αφου η m ειναι 1-1
Συνεπως για καθε x1, x2 ανηκει R με f(x1)=f(x2) εχουμε x1=x2. Αρα η f ειναι 1-1 επομενως και αντιστρεψιμη.
Για καθε x ανηκει R και y ανκηκει f(R) ισχυει η ισοδυναμια
y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

g(f(x))=2x^5+e^f(x)+1, x ανηκει R => g(y)=2(f-1)^5(y)+e^y+1, y ανηκει f(R) => g(y)=2(f-1)^5+m(y), y ανηκει f(R) οπου m(y)=e^y+1
Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με m(y1)=m(y2) εχουμε
m(y1)=m(y2) => e^y1+1=e^y2+1 => e^y1=e^y2 => y1=y2
Αρα η m ειναι 1-1.

Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με y1 διαφορο y2 εχουμε
y1 διαφορο y2 => (f-1)(y1) διαφορο (f-1)(y2) => (f-1)^5(y1) διαφορο (f-1)^5(y2) => 2(f-1)^5(y1) διαφορο 2(f-2)^5(y2)
y1 διαφορο y2 => m(y1) διαφορο m(y2) αφου η m ειναι 1-1
Προσθετοντας κατα μελη τις 2 τελευταιες σχεσεις προκυπτει:
2(f-1)^5(y1)+m(y1) διαφορο 2(f-1)(y2)+m(y2) => g(y1) διαφορο g(y2)
Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με y1 διαφορο y2 ισχυει g(y1) διαφορο g(y2). Αρα η g ειναι 1-1.

Βασίλης Δ. · 2011-09-14T23:40:05+0300

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
f(f(x))-f(x)=h(x), h(x)=e^x-1, x ανηκει R

Για καθε x1, x2 ανηκει R με h(x1)=h(x2) εχουμε
h(x1)=h(x2) => 2x1^5+1=2x2^5+1 => 2x1^5=2x2^5 => x1^5=x2^5 => x1=x2
Αρα η h ειναι 1-1

Για καθε x1, x2 ανηκει R με m(x1)=m(x2) εχουμε
h(x1)=h(x2) => e^x1-1=e^x1-1 => e^x1=e^x2 => x1=x2
Αρα η h ειναι 1-1

Για καθε x1, x2 ανηκει R με f(x1)=f(x2) εχουμε
f(x1)=f(x2) => f(f(x1))=f(f(x2))
f(x1)=f(x2) => -f(x1)=-f(x2)
Προσθετοντας κατα μελη τις 2 τελευταιες σχεσεις προκυπτει:
f(f(x1))-f(x1)=f(f(x2))-f(x2) => h(x1)=h(x2) => x1=x2 αφου η m ειναι 1-1
Συνεπως για καθε x1, x2 ανηκει R με f(x1)=f(x2) εχουμε x1=x2. Αρα η f ειναι 1-1 επομενως και αντιστρεψιμη.
Για καθε x ανηκει R και y ανκηκει f(R) ισχυει η ισοδυναμια
y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

g(f(x))=2x^5+e^f(x)+1, x ανηκει R => g(y)=2(f-1)^5(y)+e^y+1, y ανηκει f(R) => g(y)=2(f-1)^5+m(y), y ανηκει f(R) οπου m(y)=e^y+1
Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με m(y1)=m(y2) εχουμε
m(y1)=m(y2) => e^y1+1=e^y2+1 => e^y1=e^y2 => y1=y2
Αρα η m ειναι 1-1.

Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με y1 διαφορο y2 εχουμε
y1 διαφορο y2 => (f-1)(y1) διαφορο (f-1)(y2) => (f-1)^5(y1) διαφορο (f-1)^5(y2) => 2(f-1)^5(y1) διαφορο 2(f-2)^5(y2)
y1 διαφορο y2 => m(y1) διαφορο m(y2) αφου η m ειναι 1-1
Προσθετοντας κατα μελη τις 2 τελευταιες σχεσεις προκυπτει:
2(f-1)^5(y1)+m(y1) διαφορο 2(f-1)(y2)+m(y2) => g(y1) διαφορο g(y2)
Για καθε y1, y2 ανηκει f(R) με y1 διαφορο y2 ισχυει g(y1) διαφορο g(y2). Αρα η g ειναι 1-1.

μαλλον λαθος διατύπωση απο μένα...Σορρυ που σε εβαλα και έγραψες κατι τετοιο

ειναι διαφορετικες ασκήσεις..περνεις την μια συνάρτηση δείχνεις πως ειναι 1-1 και περνεις την αλλη και δειχνεις πως ειναι 1-1

OoOkoβοldOoO · 2011-09-15T23:30:15+0300

Ρε σεις έχω κολλήσει σε μια άσκηση και δεν μπορώ να τη βγάλω. Μου φαίνεται αρκετά μπερδεμα...
limx->+oo (f(x) +2x²ημ1/χ)/χ-ρίζα(χ²+1)=2 και ζητάει να δείξω ότι το limx->+oo του f(x)/x=-2
Είναι από το διαγώνισμα του μπάρλα 217 σελ 4ο θέμα το α. Μπορεί να βοηθήσει κανείς;

Civilara · 2011-09-15T23:47:30+0300

Αρχική Δημοσίευση από OoOkoβοldOoO:
Ρε σεις έχω κολλήσει σε μια άσκηση και δεν μπορώ να τη βγάλω. Μου φαίνεται αρκετά μπερδεμα...
limx->+oo (f(x) +2x²ημ1/χ)/χ-ρίζα(χ²+1)=2 και ζητάει να δείξω ότι το limx->+oo του f(x)/x=-2

Θετω g(x)=[f(x)+2(x^2)ημ(1/x)]/[x-((x^2)+1)^(1/2)] με lim(x->+απειρο)g(x)=2, οπου x ανηκει Α=[(-απειρο, 0)U(0,+απειρο)]τομηDf

Για να εχει νοημα το οριο που δινεται στην εκφωνηση πρεπει η g και η f να οριζονται σε διαστημα της μορφης (α, +απειρο) οπου α>0. Εχουμε f(x)=g(x)[x-((x^2)+1)^(1/2)]-2(x^2)ημ(1/x) => f(x)/x=g(x){[x-((x^2)+1)^(1/2)]/x}-2xημ(1/x), x ανηκει (α, +απειρο).

lim(x->+απειρο){[x-((x^2)+1)^(1/2)]/x}=lim(x->+απειρο){1-[(((x^2)+1)^(1/2))/x]=lim(x->+απειρο){1-[1+(1/(x^2))]^(1/2)}=1-(1+0)^(1/2)=1-1=0
lim(x->+απειρο)[xημ(1/x)]=lim(x->+απειρο) [ημ(1/x)/(1/x)]=lim(u->0+)(ημu/u)=1 οπου u=1/x.

Αρα lim(x->+απειρο)[f(x)/x]=2*0-2*1=0-2=-2

drosos · 2011-09-16T00:27:35+0300

Παρτε και μια ευκολη να εξακριβωσω απλως τον τροπο λυσης μου

$f(f(x))={x}^{2}-3x+4$ για καθε $x\in R$

i)Να βρεθουν οι τιμες f(1),f(2)
ii)ΝΔΟ οτι η f δεν ειναι 1-1
iii)ΝΔΟ οτι η g δεν ειναι 1-1 για την οποια ισχυει
$g(x)=2{x}^{2}+(1-{x}^{2})f(x)$ για καθε $x\in R$

Τα πρωτα δυο ερωτηματα βγαινουν ψιλοευκολα.

Τωρα για το (iii) ελυσα ως προς f(x) αφου ( $2{x}^{2}+(1-{x}^{2}$ ) ειναι >0 αρα και η g δεν ειναι 1-1 αλλα δεν ειμαι σιγουρος.

rebel · 2011-09-16T03:23:57+0300

f(1)=f(2)=2 και g(1)=g(2)=2 δεν βγάζεις;

Ryuzaki · 2011-09-16T09:54:25+0300

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
f(1)=f(2)=2 και g(1)=g(2)=2 δεν βγάζεις;

Σωστός, έχοντας δείξει στο i) ερώτημα ότι f(1)=f(2)=2, βάζεις στην g x=1 και x=2 αντίστοιχα και καταλήγεις ότι g(1)=g(2)=2.
Για δύο διαφορετικές τιμές του χ η g παίρνει την ίδια τιμή y άρα δεν είναι 1-1. Είναι το ίδιο με το ερώτημα ii)

g1wrg0s · 2011-09-16T09:55:50+0300

Το πρωτο ερωτημα πως το εβγαλες;

Ryuzaki · 2011-09-16T10:25:59+0300

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Το πρωτο ερωτημα πως το εβγαλες;

Θέτω στην σχέση που μου δίνει (σχέση (1)) x=1, κάνω πράξεις, και καταλήγω ότι f(f(1))=1.
Μετά πάλι στην (1) θέτω x=f(1), χρησιμοποιώ ότι f(f(1))=1 που βρήκα παραπάνω, κάνω τις πράξεις και καταλήγω ότι [f(1)-2]^2=0, άρα f(1)-2=0, δηλ f(1)=2.

Όμοια εργαζόμαστε για να βρούμε το f(2).

g1wrg0s · 2011-09-16T10:30:29+0300

Αρχική Δημοσίευση από Ryuzaki:
Θέτω στην σχέση που μου δίνει (σχέση (1)) x=1, κάνω πράξεις, και καταλήγω ότι f(f(1))=1.
Μετά πάλι στην (1) θέτω x=f(1), χρησιμοποιώ ότι f(f(1))=1 που βρήκα παραπάνω, κάνω τις πράξεις και καταλήγω ότι [f(1)-2]^2=0, άρα f(1)-2=0, δηλ f(1)=2.

Όμοια εργαζόμαστε για να βρούμε το f(2).

Ευχαριστω

drosos · 2011-09-16T13:34:53+0300

Ναι το πρωτο κ το δευτερο βγαινουν σχετικα ευκολα το iii πως το δειξατε?

g1wrg0s · 2011-09-16T13:58:07+0300

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Ναι το πρωτο κ το δευτερο βγαινουν σχετικα ευκολα το iii πως το δειξατε?

Απο τον ορισμο της συναρτησης 1-1 λεει οτι :
μια συναρτηση f :Α-> IR λεγεται συναρτηση 1-1 , οταν για οποιαδηποτε χ1,χ2 ε Α ισχυει η συνεπαγωγη:
αν χ1 διαφορο του χ2, τοτε f(x1) διαφορο του f(x2)
Αυτη ειναι 1-1 στο π.ο της (IR)

Αυτη η συναρτηση δεν ειναι 1-1 στο π.ο της (IR)

Ποια η διαφορα τους; Για να ειναι μια συναρτηση 1-1 θα πρεπει να μην υπαρχουν 2-3-...-ν (ν ε Ν με ν>3) που να δινουν την ιδια τιμη y.
Στην πρωτη γραφικη παρασταση καθε χ του π.ο της δινει διαφορετικη τιμη y. Αντιθετα στην δευτερη βλεπεις οτι υπαρχουν δυο χ τα οποια δινουν την ιδια τιμη y (π.χ την τιμη -2 την παιρνεις για χ=-1 και για χ=1 , δηλαδη f(-1)=f(1)= -2) αρα δεν ειναι 1-1.

Στην ασκηση σου τωρα:
Απο το πρωτο ερωτημα εχεις βρει οτι f(1)=f(2)=2 .Αν στο τριτο ερωτημα βαλεις στην συναρτηση οπου χ το 1 και το 2 αντιστοιχα θα παρατηρησεις οτι g(1)=g(2) .Δηλαδη για δυο διαφορετικες τιμες του χ παιρνεις την ιδια τιμη χ,. Επομενως η συναρτη g(x) δεν ειναι συναρτηση 1-1 .....

drosos · 2011-09-16T14:09:02+0300

Δλδ ο τροπος που το λυσα ειναι λαθος;... ελυσα ως προς f(x) αφου το αλλο ειναι μονο θετικο αρα αφου η f δεν ειναι 1-1 τοτε δεν θα ναι και h g

g1wrg0s · 2011-09-16T14:24:56+0300

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
iii)ΝΔΟ οτι η g δεν ειναι 1-1 για την οποια ισχυει
$g(x)=2{x}^{2}+(1-{x}^{2})f(x)$ για καθε $x\in R$

Αν αυτη ειναι η g τοτε πως ελυσες ως προς f(x); αν ελυσες ως προς f(x) τοτε αυτο που εβγαλες θα ισχυει για χ ε IR-{-1,1} και οχι για ολο το IR

drosos · 2011-09-16T14:34:49+0300

Ωχ ναι βλακεια δεν βγαινει καν ετσι ξεχασε το

Ευχαριστω για την βοηθεια!

Δίνονται οι μιγαδικοι με την ιδιοτητα $\left|z+3 \right|+\left|\bar{z} +4i \right|=5$

α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικονας Μ του z
(Σελ 101 θεμα 4ο βοηθημα μαθηματικων κατ Στεργιου-Νακη)

Το βοηθημα στις υποδειξεις γραφει οτι ο γτ της εικονας του z ειναι μια ευθεια αλλα οι καθηγητες μου στο φροντιστηριο λενε οτι ειναι ελλειψη αλλα με διαφορετικες εστιες οχι οπως αυτη που μαθαμε στην β' λυκειου. Ποια η γνωμη σας :/ ;;;

Boom · 2011-09-16T22:27:36+0300

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Δίνονται οι μιγαδικοι με την ιδιοτητα $\left|z+3 \right|+\left|\bar{z} +4i \right|=5$

α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικονας Μ του z
(Σελ 101 θεμα 4ο βοηθημα μαθηματικων κατ Στεργιου-Νακη)

Το βοηθημα στις υποδειξεις γραφει οτι ο γτ της εικονας του z ειναι μια ευθεια αλλα οι καθηγητες μου στο φροντιστηριο λενε οτι ειναι ελλειψη αλλα με διαφορετικες εστιες οχι οπως αυτη που μαθαμε στην β' λυκειου. Ποια η γνωμη σας :/ ;;;

Ίσως έχουν δίκαιο απο άποψη προχωρημένων μαθηματικών.
Εμείς όμως διδασκόμαστε άλλη έλλειψη άρα η απάντηση θα έλεγα πως είναι ευθεία.

antwwwnis · 2011-09-16T22:29:44+0300

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Δίνονται οι μιγαδικοι με την ιδιοτητα $\left|z+3 \right|+\left|\bar{z} +4i \right|=5$

α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικονας Μ του z
(Σελ 101 θεμα 4ο βοηθημα μαθηματικων κατ Στεργιου-Νακη)

Το βοηθημα στις υποδειξεις γραφει οτι ο γτ της εικονας του z ειναι μια ευθεια αλλα οι καθηγητες μου στο φροντιστηριο λενε οτι ειναι ελλειψη αλλα με διαφορετικες εστιες οχι οπως αυτη που μαθαμε στην β' λυκειου. Ποια η γνωμη σας :/ ;;;

Έχεις όρεξη για πράξεις;

Θέσε z= x+yi, x,y E R. Μετά χωρίζεις στα μέτρα πραγματικό από φανταστικό μέρος, υψωνεις και τα δυο μέλη στο τετράγωνο, αναπτύσεις το τετραγωνο, πραξεις, χωριζεις ριζες από μη ρίζες, ξαναυψωνεις στο τετραγωνο(φεύγει η ρίζα), και σου μένει μια εξίσωση.Πραξεις. Λοιπόν, αν είναι της μορφής Αχ+Βy+Γ=0 είναι ευθεία, ενω αν είναι Αχ²+Βy²+Γχ+Δy+E=0 με Α διαφορο Β και ομόσημα είναι έλλειψη.

Είναι σχεδόν ο ίδιος τρόπος με τον οποίο τα περσινά βιβλία έκαναν τις αποδείξεις των κωνικών τομών.

*Αν έχει την μορφή Αχ²+Βy²+Γχ+Δy+E+Ζχy=0 είναι πέρα από τα όρια των μαθηματικών βιβλίων του λυκείου. Εννοώ τα εντος ύλης, αν οι γραμμικοί μετασχηματισμοί ήταν εντός, μια χαρά βγαίνει.( Πχ Έλλειψη που γερνει :Ρ)

qwerty111 · 2011-09-16T22:47:57+0300

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Δίνονται οι μιγαδικοι με την ιδιοτητα $\left|z+3 \right|+\left|\bar{z} +4i \right|=5$

α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικονας Μ του z
(Σελ 101 θεμα 4ο βοηθημα μαθηματικων κατ Στεργιου-Νακη)

Το βοηθημα στις υποδειξεις γραφει οτι ο γτ της εικονας του z ειναι μια ευθεια αλλα οι καθηγητες μου στο φροντιστηριο λενε οτι ειναι ελλειψη αλλα με διαφορετικες εστιες οχι οπως αυτη που μαθαμε στην β' λυκειου. Ποια η γνωμη σας :/ ;;;

Έχουμε |z+3|+|z-4i|=5 (πήρα το συζυγή του μιγαδικού στο δεύτερο μέτρο)
Έστω Α(-3, 0), Β(0, 4), και Μ η εικόνα του z.
(ΑΒ)=5
(ΜΑ)+(ΜB)=5=(ΑΒ)
Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία που διέρχεται από τα Α και Β, την εξίσωση της οποίας μπορείς να βρεις τώρα.
Ο γεωμετρικός τόπος ΔΕΝ είναι έλλειψη. (Εκτός και αν η ευθεία θεωρείται μια επιμηκυμένη έλλειψη.)
Στην έλλειψη το σταθερό άθροισμα 2α είναι μεγαλύτερο της απόστασης των δύο εστίων, κάτι που δεν συμβαίνει στην συγκεκριμένη περίπτωση.

christina123 · 2011-09-16T23:44:38+0300

παιδια μια ερωτηση θελω να κανω.
οι συναρτησιακες σχεσεις ειναι μεσα στην υλη; γιατι ακουω διαφορα....
π.χ f(x) + f(y) = f(x+y) :confused:

.........

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος