Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 16-11-12

Ισχύουν οι εξής προτάσεις:

1) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο x0 τότε και η αντίστροφή της είναι συνεχής στο f(x0)

2) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1, παραγωγίσιμη στο x0 και f΄(x0) διάφορο 0 τότε η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) και ισχύει (f-1)΄(f(x0))=1/f΄(x0)

3) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1, παραγωγίσιμη στο x0 και f΄(x0)=0 τότε η αντίστροφή της f-1 δεν είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) και η γραφική της παράσταση παρουσιάζει στο σημείο (f(x0),x0) κατακόρυφη εφαπτομένη

*Serena* · 17-11-12

Εαν για τον μιγαδικό ζ με ζ διάφορο του 4+3ι ισχύει:
ln|z-43i| = 1 - |z-4-3i|
να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
και την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου |z-z(συζηγής)|.

Τι κάνω?

Civilara · 17 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):
Εαν για τον μιγαδικό ζ με ζ διάφορο του 4+3ι ισχύει:
ln|z-43i| = 1 - |z-4-3i|
να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
και την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου |z-z(συζηγής)|.

Τι κάνω?

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x+lnx, x>0. Η f έχει πεδίο ορισμού το A=(0,+άπειρο). Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α με πρώτη παράγωγο f΄(x)=1+(1/x) για κάθε x ανήκει A. Επειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+άπειρο) με f΄(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+άπειρο). Επομένως είναι και 1-1.

Παρατηρούμε ότι f(1)=1+ln1=1 και επειδή η f είναι 1-1 τότε η εξίσωση f(x)=1 έχει μοναδική λύση την x=1. Επομένως f(x)=1 <=> x=1.

Έχουμε:

ln|z-4-3i|=1-|z-4-3i| <=> |z-4-3i|+ln|z-4-3i|=1 <=> f(|z-4-3i|)=1 <=> |z-4-3i|=1

Αν θέσω z=x+yi όπου x,y ανήκουν R τότε |z-4-3i|=|(x-4)+(y-3)i|=[((x-4)^2)+((y-3)^2)]^(1/2) οπότε έχουμε
[((x-4)^2)+((y-3)^2)]^(1/2)=1 <=> ((x-4)^2)+((y-3)^2)=1

Η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο K(4,3) και ακτίνα ρ=1.

Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτού του κύκλου είναι x=4+συνφ, y=3+ημφ όπου 0<=φ<2π

Επομένως z=x+yi=(4+συνφ)+(3+ημφ)i και z_=x-yi=(4+συνφ)-(3+ημφ)i. Επομένως

z-z_=(4+συνφ)+(3+ημφ)i-(4+συνφ)+(3+ημφ)i=2(3+ημφ)i =>
=> |z-z_|=|2(3+ημφ)i|=|2(3+ημφ)|*|i|=2(3+ημφ)

Επειδή -1<=ημφ<=1 τότε 2<=3+ημφ<=4 οπότε 3+ημφ>0 => 2(3+ημφ)>0 => |2(3+ημφ)|=2(3+ημφ)

Επομένως |z-z_|=2(3+ημφ), 0<=φ<2π

Έχουμε βρει ότι 2<=3+ημφ<=4 => 4<=2(3+ημφ)<=8 => 4<=|z-z_|<=8

Άρα
min|z-z_|=4
max|z-z_|=8

*Serena* · 17-11-12

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x+lnx, x>0. Η f έχει πεδίο ορισμού το A=(0,+άπειρο). Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α με πρώτη παράγωγο f΄(x)=1+(1/x) για κάθε x ανήκει A. Επειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+άπειρο) με f΄(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+άπειρο). Επομένως είναι και 1-1.

Παρατηρούμε ότι f(1)=1+ln1=1 και επειδή η f είναι 1-1 τότε η εξίσωση f(x)=1 έχει μοναδική λύση την x=1. Επομένως f(x)=1 <=> x=1.

Έχουμε:

ln|z-4-3i|=1-|z-4-3i| <=> |z-4-3i|+ln|z-4-3i|=1 <=> f(|z-4-3i|)=1 <=> |z-4-3i|=1

Αν θέσω z=z+yi όπου x,y ανήκουν R τότε |z-4-3i|=|(x-4)+(y-3)i|=[((x-4)^2)+((y-3)^2)]^(1/2) οπότε έχουμε
[((x-4)^2)+((y-3)^2)]^(1/2)=1 <=> ((x-4)^2)+((y-3)^2)=1

Η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο K(4,3) και ακτίνα ρ=1.

Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτού του κύκλου είναι x=4+συνφ, y=3+ημφ όπου 0<=φ<2π

Επομένως z=x+yi=(4+συνφ)+(3+ημφ)i και z_=x-yi=(4+συνφ)-(3+ημφ)i. Επομένως

z-z_=(4+συνφ)+(3+ημφ)i-(4+συνφ)+(3+ημφ)i=2(3+ημφ)i =>
=> |z-z_|=|2(3+ημφ)i|=|2(3+ημφ)|*|i|=2(3+ημφ)

Επειδή -1<=ημφ<=1 τότε 2<=3+ημφ<=4 οπότε 3+ημφ>0 => 2(3+ημφ)>0 => |2(3+ημφ)|=2(3+ημφ)

Επομένως |z-z_|=2(3+ημφ), 0<=φ<2π

Έχουμε βρει ότι 2<=3+ημφ<=4 => 4<=2(3+ημφ)<=8 => 4<=|z-z_|<=8

Άρα
min|z-z_|=4
max|z-z_|=8

Χίλια ευχαριστώ! :clapup:

Εκεί με τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου δεν καταλαβαίνω τι κάνεις... :redface:

lowbaper92 · 17-11-12

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):
Εαν για τον μιγαδικό ζ με ζ διάφορο του 4+3ι ισχύει:
ln|z-43i| = 1 - |z-4-3i|
να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
και την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου |z-z(συζηγής)|.

Τι κάνω?

View attachment them_ejetaseon_thema_03_mathjazz.pdf

Civilara · 17-11-12

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):
Χίλια ευχαριστώ!
Εκεί με τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου δεν καταλαβαίνω τι κάνεις...

Ο κύκλος με κέντρο K(x0,y0) και ακτίνα ρ έχει στο σύστημα συντεταγμένων Oxy εξίσωση (x-x0)^2+(y-y0)^2=ρ^2

Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου αυτού είναι οι εξής:

x=x0+ρσυνφ
y=y0+ρημφ

όπου 0<=φ<2π

Αν θεωρήσουμε το σύστημα συντεταγμένων Kx΄y΄ όπου ο x΄ είναι παράλληλος στον x και ο y΄ είναι παράλληλος στον y, τότε η γωνία φ που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο M(x,y) του κύκλου είναι η δεξιόστροφη γωνία (αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού) που σχηματίζεται από τον άξονα Κx΄ και την ακτίνα ΚΜ.

mary-blackrose · 18 Νοεμβρίου 2012

1)δινεται η συναρτηση f(x)=χσυνχ.Ν.δ.ο :
ι)η συναρτηση f ικανοποιει τις υποθεσεις του Θ.Rolle στο [-π/2,π/2]
ιι)η εξισωση χεφχ=1 εχει μαι τουλαχιστον ριζα στο (-π/2,π/2)

2) Εστω f,g δυο συναρτησεις συνεχεις στο [α,β] και παραγωγισιμες στο (α,β) για τις οποιες ισχυουν:
ι)f(α)=g(α)=0 και
ιι)g'(χ)διαφορο του ο στο (α,β).
Ν.δ.ο :
α) g(β) διαφορο του 0.
β) η συναρτηση : h(x)=g(β)f(x)-f(β)g(x) ικανοποιει τις υποθεσεις του Θ.Rolle στο [α,β].
γ) υπαρχει τουλαχιστον ,χ0 ε (α,β) τετοιο ωστε : f'(xo)/g'(xo) = f(β)/g(β).

3) Eστω μια συναρτηση f, συνεχης στο [α,β] και παραγωγισιμη στο (α,β).Αν f(α)=β και f(β)=α να αποδειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον χο ε(α,β) ωστε η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της f στο σημειο M(xo,f(xo)) να ειναι καθετη στην ευθεια ψ-χ=0.

υ.γ το πρωτο ερωτημα της 1 το εχω αποδειξει στο δευτερο το εφτασα μεχρι ενα σημειο συνχ=1/ημχ....μετα κολλησα...

antonisd95 · 17-11-12

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):
Εκεί με τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου δεν καταλαβαίνω τι κάνεις...

Οι παραμετρικές είναι εκτός ύλης στην γ λυκείου.

Civilara · 18 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
1)δινεται η συναρτηση f(x)=χσυνχ.Ν.δ.ο :
ι)η συναρτηση f ικανοποιει τις υποθεσεις του Θ.Rolle στο [-π/2,π/2]
ιι)η εξισωση χεφχ=1 εχει μαι τουλαχιστον ριζα στο (-π/2,π/2)

f(x)=xσυνx, x ανήκει R

ι) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=συνx-xημx, x ανήκει R

f(-π/2)=(-π/2)συν(-π/2)=-(π/2)συν(π/2)=-(π/2)*0=0
f(π/2)=(π/2)συν(π/2)=(π/2)*0=0
Άρα f(-π/2)=f(π/2)=0

Η f είναι συνεχής στο [-π/2,π/2], παραγωγίσιμη στο (-π/2,π/2) και ισχύει f(-π/2)=f(π/2). Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [-π/2, π/2]

ι) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (-π/2, π/2) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0. Επειδή ξ ανήκει (-π/2, π/2) τότε ημξ>=0 και συνξ>0. Επομένως:

f΄(ξ)=0 <=> συνξ-ξημξ=0 <=> ξημξ=συνξ <=> ξεφξ=1 (αφού συνξ διάφορο 0)

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
2) Εστω f,g δυο συναρτησεις συνεχεις στο [α,β] και παραγωγισιμες στο (α,β) για τις οποιες ισχυουν:
ι)f(α)=g(α)=0 και
ιι)g'(χ)διαφορο του ο στο (α,β).
Ν.δ.ο :
α) g(β) διαφορο του 0.
β) η συναρτηση : h(x)=g(β)f(x)-f(β)g(x) ικανοποιει τις υποθεσεις του Θ.Rolle στο [α,β].
γ) υπαρχει τουλαχιστον ,χ0 ε (α,β) τετοιο ωστε : f'(xo)/g'(xo) = f(β)/g(β).

α) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=(g(β)-g(α))/(β-α)=g(β)/(β-α) αφού g(α)=0.

Ισχύει g΄(ξ) διάφορο 0. Επομένως g(β) διάφορο 0.

β) h(x)=g(β)f(x)-f(β)g(x), x ανήκει [α,β]

Επειδή οι f και g είναι συνεχείς στο [α,β] τότε και η h είναι συνεχής στο [α,β]
Επειδή οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο (α,β) τότε και η h είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) με πρώτη παράγωγο h΄(x)=g(β)f΄(x)-f(β)g΄(x) όπου x ανήκει (α,β)

h(α)=g(β)f(α)-f(β)g(α)=g(β)*0-f(β)*)=0
h(β)=g(β)f(β)-f(β)g(β)=0
Επομένως h(α)=h(β)=0

Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και ισχύει h(α)=h(β). Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [α,β].

γ) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε h΄(x0)=0. Επομένως έχουμε:

h΄(x0)=0 <=> g(β)f΄(x0)-f(β)g΄(x0)=0 <=> g(β)f΄(x0)=f(β)g΄(x0) <=> f΄(x0)/g΄(x0)=f(β)/g(β) εφόσον g(β) διάφορο 0 και g΄(x0) διάφορο 0

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
3) Eστω μια συναρτηση f, συνεχης στο [α,β] και παραγωγισιμη στο (α,β).Αν f(α)=β και f(β)=α να αποδειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον χο ε(α,β) ωστε η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της f στο σημειο M(xo,f(xo)) να ειναι καθετη στην ευθεια ψ-χ=0.

Η f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f΄(x0)=(f(β)-f(α))/(β-α)=(α-β)/(β-α)=[-(β-α)]/(β-α)=-1

Η εφαπτομένη (ε) της Cf στο (x0,f(x0)) έχει συντελεστή διεύθυνσης λε=f΄(x0)=-1
Η ευθεία (ζ) με εξίσωση y-x=0 <=> y=x έχει συντελεστή διεύθυνσης λζ=1

Παρατηρούμε ότι λελζ=(-1)*1=-1 που σημαίνει ότι οι ευθείες (ε) και (ζ) είναι κάθετες.

mary-blackrose · 18-11-12

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
f(x)=xσυνx, x ανήκει R

ι) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=συνx-xημx, x ανήκει R

f(-π/2)=(-π/2)συν(-π/2)=-(π/2)συν(π/2)=-(π/2)*0=0
f(π/2)=(π/2)συν(π/2)=(π/2)*0=0
Άρα f(-π/2)=f(π/2)=0

Η f είναι συνεχής στο [-π/2,π/2], παραγωγίσιμη στο (-π/2,π/2) και ισχύει f(-π/2)=f(π/2). Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [-π/2, π/2]

ι) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (-π/2, π/2) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0. Επειδή ξ ανήκει (-π/2, π/2) τότε ημξ>=0 και συνξ>0. Επομένως:

f΄(ξ)=0 <=> συνξ-ξημξ=0 <=> ξημξ=συνξ <=> ξεφξ=1 (αφού συνξ διάφορο 0)

α) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=(g(β)-g(α))/(β-α)=g(β)/(β-α) αφού g(α)=0.

Ισχύει g΄(ξ) διάφορο 0. Επομένως g(β) διάφορο 0.

β) h(x)=g(β)f(x)-f(β)g(x), x ανήκει [α,β]

Επειδή οι f και g είναι συνεχείς στο [α,β] τότε και η h είναι συνεχής στο [α,β]
Επειδή οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο (α,β) τότε και η h είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) με πρώτη παράγωγο h΄(x)=g(β)f΄(x)-f(β)g΄(x) όπου x ανήκει (α,β)

h(α)=g(β)f(α)-f(β)g(α)=g(β)*0-f(β)*)=0
h(β)=g(β)f(β)-f(β)g(β)=0
Επομένως h(α)=h(β)=0

Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και ισχύει h(α)=h(β). Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [α,β].

γ) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε h΄(x0)=0. Επομένως έχουμε:

h΄(x0)=0 <=> g(β)f΄(x0)-f(β)g΄(x0)=0 <=> g(β)f΄(x0)=f(β)g΄(x0) <=> f΄(x0)/g΄(x0)=f(β)/g(β) εφόσον g(β) διάφορο 0 και g΄(x0) διάφορο 0

Η f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f΄(x0)=(f(β)-f(α))/(β-α)=(α-β)/(β-α)=[-(β-α)]/(β-α)=-1

Η εφαπτομένη (ε) της Cf στο (x0,f(x0)) έχει συντελεστή διεύθυνσης λε=f΄(x0)=-1
Η ευθεία (ζ) με εξίσωση y-x=0 <=> y=x έχει συντελεστή διεύθυνσης λζ=1

Παρατηρούμε ότι λελζ=(-1)*1=-1 που σημαίνει ότι οι ευθείες (ε) και (ζ) είναι κάθετες.

σ ευχαριστω πολυ και συγνωμη αν σε εβαλα σε μεγαλο κοπο με την επιλυση των ασκησεων :redface:

!!!

Civilara · 18-11-12

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
σ ευχαριστω πολυ και συγνωμη αν σε εβαλα σε μεγαλο κοπο με την επιλυση των ασκησεων!!!

Βρε Μαίρη, δεν με υποχρέωσες κιόλας. Κανένας κόπος. Όλα καλά.

liofagos · 18-11-12

xf(x)+3ημχ=χ^2
α)βρειτε τον τυπο της f κομπλε
β)να βρειτε τ οριο της f(x) οταν το χ τεινει στο συν απειρο κομπλε
γ)δειξτε οτι η εξισωση f(x)=e^-x εχει τουλαχιστον μια θετικη ριζα, αυτο δν μπορω να κανω και ας μ πει καποιος οταν θα ζηταει θετικη ριζα πως θα το χειριζομαι

Civilara · 18 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από liofagos:
xf(x)+3ημχ=χ^2
α)βρειτε τον τυπο της f κομπλε
β)να βρειτε τ οριο της f(x) οταν το χ τεινει στο συν απειρο κομπλε
γ)δειξτε οτι η εξισωση f(x)=e^-x εχει τουλαχιστον μια θετικη ριζα, αυτο δν μπορω να κανω και ας μ πει καποιος οταν θα ζηταει θετικη ριζα πως θα το χειριζομαι

α) Επειδή δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της f θεωρείται ότι είναι το R και η f είναι συνεχής στο 0. Για x=0 η δοθείσα εξίσωση ικανοποιείται ταυτοτικά. Έχουμε:

xf(x)=(x^2)-3ημx για κάθε x ανήκει R

Για x ανήκει R* προκύπτει f(x)=x-3(ημx/x) και συνεπώς η f είναι συνεχής στο R*

Έχουμε lim(x->0)f(x)=lim(x->0)x-3lim(x->0)(ημx/x)=0-3*1=-3
Επειδή η f είναι συνεχής στο 0 τότε f(0)=lim(x->0)f(x)=-3

Επομένως f(x)=x-3(ημx/x), x ανήκει R* και f(0)=-3. Η f είναι συνεχής σε όλο το R

β) Για κάθε x ανήκει R ισχύει η ταυτότητα |ημx|<=|x| <=> -|x|<=ημx<=|x|

Αν x>0 τότε |x|=x οπότε
-x<=ημx<=x <=> -1<=ημx/x<=1 <=> -1<=-(ημx/x)<=1

Αν x<0 τότε |x|=-x, οπότε
x<=ημx<=-x <=> -1<=-(ημx/x)<=1

Επομένως για κάθε x στο R* ισχύει -1<=-(ημx/x)<=1. Άρα

-1<=-(ημx/x)<=1 <=> -3<=-3(ημx/x)<=3 <=> x-3<=x-3(ημx/x)<=x+3 <=> x-3<=f(x)<=x+3, x ανήκει R*

Για x=0 παρατηρούμε ότι η ανωτέρω ανισότητα επαληθεύεται αφού αποκτά την μορφή -3<=f(0)<=3 και f(0)=-3. Επομένως
x-3<=f(x)<=x+3, x ανήκει R

lim(x->+άπειρο)(x-3)=lim(x->+άπειρο)(x+3)=+άπειρο
Επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει lim(x->+άπειρο)f(x)=+άπειρο

γ) Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=f(x)-e^(-x) όπου x ανήκει R

Για x ανήκει R* έχουμε g(x)=x-e^(-x)-3(ημx/x)
Για x=0 έχουμε g(0)=f(0)-e^(-0)=-3-1=-4

Επειδή η f είναι συνεχής στο R τότε και η g είναι συνεχής στο R (δεν χρειάζεται να ελέγξουμε εκ νέου τη συνέχεια της g στο 0 αφού η f είναι συνεχής στο 0).

Έχουμε g(π)=π-e^(-π)-3(ημπ/π)=π-e^(-π)=π-(1/(e^π))=(π(e^π)-1)/(e^π)>0 αφού
e>1 => e^π>1 => π(e^π)>π>1 αφού π>1 => π(e^π)-1>0

Επίσης g(0)=-4<0

Η g είναι συνεχής στο [0,π] και ισχύει g(0)g(π)<0. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (0,π) (0<x0<π οπότε το x0 είναι θετικό) τέτοιο ώστε g(x0)=0 <=> f(x0)=e^(-x0)

liofagos · 18-11-12

γιατι f(π)=π ?

Civilara · 18-11-12

Αρχική Δημοσίευση από liofagos:
γιατι f(π)=π ?

Επειδή ημπ=0

P@NT?LO$ · 19-11-12

1) Αν $f(x)={e}^{-\lambda \chi }$ ,να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε $2f''(x)+f'(x)-3f(x)=0$

2) Τους παρακατω παραγωγους
i $(1+{{e}^{x}})^{lnx}$

ii ${\eta \mu \chi }^{\chi }$ με χ>0

iii ${(2+\sigma \upsilon \nu \chi )}^{\eta \mu \chi }$

Ας τις λυσει καποιος! ευχαριστω!!

Bemanos · 19-11-12

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
1) Αν $f(x)={e}^{-\lambda \chi }$ ,να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε $2f''(x)+f'(x)-3f(x)=0$

2) Τους παρακατω παραγωγους
i $(1+{{e}^{x}})^{lnx}$

ii ${\eta \mu \chi }^{\chi }$ με χ>0

iii ${(2+\sigma \upsilon \nu \chi )}^{\eta \mu \chi }$

Ας τις λυσει καποιος! ευχαριστω!!

δεν θα μαθεις αν στα λυνουμε ολα εδω , καλυτερα να τις παλεψεις μονος σου ,υποδείξεις οσες θες.

mary-blackrose · 19-11-12

1)εστω f, g :R-->R
3g(x)+f(x-1)=g(g(x)) για καθε χ ε R
Av n f ειναι ''1-1'':
α)τοτε νδ.ο η g ειναι ''1-1''
β)να λυθει η εξισωση g((e^x)+x+1)=g(2-(x^3))

2)δινεται η συναρτηση f(x)=-(x^3)-x+12
i)N.δ.ο η f αντιστρεφεται
ιι)να βρεθουν τα σημεια τομης τησ CF^-1 με την ευθεια ψ=χ
ιιι) να λυθει η ανισωση f^(-1) [(f|x|-1)+8]<1

t00nS · 19-11-12

Αν για το μιγαδικό ισχύει /z/<1, να δείξετε ότι Re(2/z+1)>1
Υψωσα στο τετράγωνο αλλά μετά δεν μου βγήκε..

rebel · 19-11-12

Γενικά ξέρουμε ότι για μιγαδικό $w$ ισχύει $w+\bar{w}=2\Re(w),(1)$
Αρκεί να δείξουμε ότι
$2\Re\left(\frac{2}{z+1}\right)>2 \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} \frac{2}{z+1}+\frac{2}{\bar{z}+1}>2 \Leftrightarrow \frac{2(z+\bar{z})+4}{(z+1)(\bar{z}+1)}>2 \Leftrightarrow \\ 2(z+\bar{z})+4>2z\bar{z}+2(z+\bar{z})+2 \Leftrightarrow z\bar{z}<1 \Leftrightarrow |z|^2<1 \Leftrightarrow |z|<1$
Η τελευταία σχέση είναι αληθής άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Παρατήρηση: Δεν ορίζεται ανισότητα μεταξύ μιγαδικών. Παρ' όλα αυτά, στις παραπάνω ανισότητες όλοι οι αριθμοί είναι πραγματικοί αφού $z \bar{z} \in \mathbb{R},\,\,z+\bar{z} \in \mathbb{R}$ οπότε φαντάζομαι ότι δεν υπάρχει πρόβλημα.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος