Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Civilara]

Ισχύουν οι εξής προτάσεις:

1) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο x0 τότε και η αντίστροφή της είναι συνεχής στο f(x0)

2) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1, παραγωγίσιμη στο x0 και f΄(x0) διάφορο 0 τότε η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) και ισχύει (f-1)΄(f(x0))=1/f΄(x0)

3) Αν η συνάρτηση f είναι 1-1, παραγωγίσιμη στο x0 και f΄(x0)=0 τότε η αντίστροφή της f-1 δεν είναι παραγωγίσιμη στο f(x0) και η γραφική της παράσταση παρουσιάζει στο σημείο (f(x0),x0) κατακόρυφη εφαπτομένη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[*Serena*]

Εαν για τον μιγαδικό ζ με ζ διάφορο του 4+3ι ισχύει:
ln|z-43i| = 1 - |z-4-3i|
να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
και την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου |z-z(συζηγής)|.

Τι κάνω?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Εαν για τον μιγαδικό ζ με ζ διάφορο του 4+3ι ισχύει:
ln|z-43i| = 1 - |z-4-3i|
να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
και την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου |z-z(συζηγής)|.

Τι κάνω?

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x+lnx, x>0. Η f έχει πεδίο ορισμού το A=(0,+άπειρο). Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α με πρώτη παράγωγο f΄(x)=1+(1/x) για κάθε x ανήκει A. Επειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+άπειρο) με f΄(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+άπειρο). Επομένως είναι και 1-1.

Παρατηρούμε ότι f(1)=1+ln1=1 και επειδή η f είναι 1-1 τότε η εξίσωση f(x)=1 έχει μοναδική λύση την x=1. Επομένως f(x)=1 <=> x=1.

Έχουμε:

ln|z-4-3i|=1-|z-4-3i| <=> |z-4-3i|+ln|z-4-3i|=1 <=> f(|z-4-3i|)=1 <=> |z-4-3i|=1

Αν θέσω z=x+yi όπου x,y ανήκουν R τότε |z-4-3i|=|(x-4)+(y-3)i|=[((x-4)^2)+((y-3)^2)]^(1/2) οπότε έχουμε
[((x-4)^2)+((y-3)^2)]^(1/2)=1 <=> ((x-4)^2)+((y-3)^2)=1

Η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο K(4,3) και ακτίνα ρ=1.

Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτού του κύκλου είναι x=4+συνφ, y=3+ημφ όπου 0<=φ<2π

Επομένως z=x+yi=(4+συνφ)+(3+ημφ)i και z_=x-yi=(4+συνφ)-(3+ημφ)i. Επομένως

z-z_=(4+συνφ)+(3+ημφ)i-(4+συνφ)+(3+ημφ)i=2(3+ημφ)i =>
=> |z-z_|=|2(3+ημφ)i|=|2(3+ημφ)|*|i|=2(3+ημφ)

Επειδή -1<=ημφ<=1 τότε 2<=3+ημφ<=4 οπότε 3+ημφ>0 => 2(3+ημφ)>0 => |2(3+ημφ)|=2(3+ημφ)

Επομένως |z-z_|=2(3+ημφ), 0<=φ<2π

Έχουμε βρει ότι 2<=3+ημφ<=4 => 4<=2(3+ημφ)<=8 => 4<=|z-z_|<=8

Άρα
min|z-z_|=4
max|z-z_|=8

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[*Serena*]

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x+lnx, x>0. Η f έχει πεδίο ορισμού το A=(0,+άπειρο). Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α με πρώτη παράγωγο f΄(x)=1+(1/x) για κάθε x ανήκει A. Επειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+άπειρο) με f΄(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+άπειρο). Επομένως είναι και 1-1.

Παρατηρούμε ότι f(1)=1+ln1=1 και επειδή η f είναι 1-1 τότε η εξίσωση f(x)=1 έχει μοναδική λύση την x=1. Επομένως f(x)=1 <=> x=1.

Έχουμε:

ln|z-4-3i|=1-|z-4-3i| <=> |z-4-3i|+ln|z-4-3i|=1 <=> f(|z-4-3i|)=1 <=> |z-4-3i|=1

Αν θέσω z=z+yi όπου x,y ανήκουν R τότε |z-4-3i|=|(x-4)+(y-3)i|=[((x-4)^2)+((y-3)^2)]^(1/2) οπότε έχουμε
[((x-4)^2)+((y-3)^2)]^(1/2)=1 <=> ((x-4)^2)+((y-3)^2)=1

Η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο K(4,3) και ακτίνα ρ=1.

Οι παραμετρικές εξισώσεις αυτού του κύκλου είναι x=4+συνφ, y=3+ημφ όπου 0<=φ<2π

Επομένως z=x+yi=(4+συνφ)+(3+ημφ)i και z_=x-yi=(4+συνφ)-(3+ημφ)i. Επομένως

z-z_=(4+συνφ)+(3+ημφ)i-(4+συνφ)+(3+ημφ)i=2(3+ημφ)i =>
=> |z-z_|=|2(3+ημφ)i|=|2(3+ημφ)|*|i|=2(3+ημφ)

Επειδή -1<=ημφ<=1 τότε 2<=3+ημφ<=4 οπότε 3+ημφ>0 => 2(3+ημφ)>0 => |2(3+ημφ)|=2(3+ημφ)

Επομένως |z-z_|=2(3+ημφ), 0<=φ<2π

Έχουμε βρει ότι 2<=3+ημφ<=4 => 4<=2(3+ημφ)<=8 => 4<=|z-z_|<=8

Άρα
min|z-z_|=4
max|z-z_|=8

Χίλια ευχαριστώ!
Εκεί με τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου δεν καταλαβαίνω τι κάνεις...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lowbaper92]

Εαν για τον μιγαδικό ζ με ζ διάφορο του 4+3ι ισχύει:
ln|z-43i| = 1 - |z-4-3i|
να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
και την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου |z-z(συζηγής)|.

Τι κάνω?

View attachment them_ejetaseon_thema_03_mathjazz.pdf

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Χίλια ευχαριστώ!
Εκεί με τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου δεν καταλαβαίνω τι κάνεις...

Ο κύκλος με κέντρο K(x0,y0) και ακτίνα ρ έχει στο σύστημα συντεταγμένων Oxy εξίσωση (x-x0)^2+(y-y0)^2=ρ^2

Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου αυτού είναι οι εξής:

x=x0+ρσυνφ
y=y0+ρημφ

όπου 0<=φ<2π

Αν θεωρήσουμε το σύστημα συντεταγμένων Kx΄y΄ όπου ο x΄ είναι παράλληλος στον x και ο y΄ είναι παράλληλος στον y, τότε η γωνία φ που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο M(x,y) του κύκλου είναι η δεξιόστροφη γωνία (αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού) που σχηματίζεται από τον άξονα Κx΄ και την ακτίνα ΚΜ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mary-blackrose]

1)δινεται η συναρτηση f(x)=χσυνχ.Ν.δ.ο :
ι)η συναρτηση f ικανοποιει τις υποθεσεις του Θ.Rolle στο [-π/2,π/2]
ιι)η εξισωση χεφχ=1 εχει μαι τουλαχιστον ριζα στο (-π/2,π/2)



2) Εστω f,g δυο συναρτησεις συνεχεις στο [α,β] και παραγωγισιμες στο (α,β) για τις οποιες ισχυουν:
ι)f(α)=g(α)=0 και
ιι)g'(χ)διαφορο του ο στο (α,β).
Ν.δ.ο :
α) g(β) διαφορο του 0.
β) η συναρτηση : h(x)=g(β)f(x)-f(β)g(x) ικανοποιει τις υποθεσεις του Θ.Rolle στο [α,β].
γ) υπαρχει τουλαχιστον ,χ0 ε (α,β) τετοιο ωστε : f'(xo)/g'(xo) = f(β)/g(β).




3) Eστω μια συναρτηση f, συνεχης στο [α,β] και παραγωγισιμη στο (α,β).Αν f(α)=β και f(β)=α να αποδειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον χο ε(α,β) ωστε η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της f στο σημειο M(xo,f(xo)) να ειναι καθετη στην ευθεια ψ-χ=0.


υ.γ το πρωτο ερωτημα της 1 το εχω αποδειξει στο δευτερο το εφτασα μεχρι ενα σημειο συνχ=1/ημχ....μετα κολλησα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[antonisd95]

Εκεί με τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου δεν καταλαβαίνω τι κάνεις...

Οι παραμετρικές είναι εκτός ύλης στην γ λυκείου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

1)δινεται η συναρτηση f(x)=χσυνχ.Ν.δ.ο :
ι)η συναρτηση f ικανοποιει τις υποθεσεις του Θ.Rolle στο [-π/2,π/2]
ιι)η εξισωση χεφχ=1 εχει μαι τουλαχιστον ριζα στο (-π/2,π/2)

f(x)=xσυνx, x ανήκει R

ι) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=συνx-xημx, x ανήκει R

f(-π/2)=(-π/2)συν(-π/2)=-(π/2)συν(π/2)=-(π/2)*0=0
f(π/2)=(π/2)συν(π/2)=(π/2)*0=0
Άρα f(-π/2)=f(π/2)=0

Η f είναι συνεχής στο [-π/2,π/2], παραγωγίσιμη στο (-π/2,π/2) και ισχύει f(-π/2)=f(π/2). Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [-π/2, π/2]

ι) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (-π/2, π/2) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0. Επειδή ξ ανήκει (-π/2, π/2) τότε ημξ>=0 και συνξ>0. Επομένως:

f΄(ξ)=0 <=> συνξ-ξημξ=0 <=> ξημξ=συνξ <=> ξεφξ=1 (αφού συνξ διάφορο 0)

2) Εστω f,g δυο συναρτησεις συνεχεις στο [α,β] και παραγωγισιμες στο (α,β) για τις οποιες ισχυουν:
ι)f(α)=g(α)=0 και
ιι)g'(χ)διαφορο του ο στο (α,β).
Ν.δ.ο :
α) g(β) διαφορο του 0.
β) η συναρτηση : h(x)=g(β)f(x)-f(β)g(x) ικανοποιει τις υποθεσεις του Θ.Rolle στο [α,β].
γ) υπαρχει τουλαχιστον ,χ0 ε (α,β) τετοιο ωστε : f'(xo)/g'(xo) = f(β)/g(β).

α) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=(g(β)-g(α))/(β-α)=g(β)/(β-α) αφού g(α)=0.

Ισχύει g΄(ξ) διάφορο 0. Επομένως g(β) διάφορο 0.

β) h(x)=g(β)f(x)-f(β)g(x), x ανήκει [α,β]

Επειδή οι f και g είναι συνεχείς στο [α,β] τότε και η h είναι συνεχής στο [α,β]
Επειδή οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο (α,β) τότε και η h είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) με πρώτη παράγωγο h΄(x)=g(β)f΄(x)-f(β)g΄(x) όπου x ανήκει (α,β)

h(α)=g(β)f(α)-f(β)g(α)=g(β)*0-f(β)*)=0
h(β)=g(β)f(β)-f(β)g(β)=0
Επομένως h(α)=h(β)=0

Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και ισχύει h(α)=h(β). Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [α,β].

γ) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε h΄(x0)=0. Επομένως έχουμε:

h΄(x0)=0 <=> g(β)f΄(x0)-f(β)g΄(x0)=0 <=> g(β)f΄(x0)=f(β)g΄(x0) <=> f΄(x0)/g΄(x0)=f(β)/g(β) εφόσον g(β) διάφορο 0 και g΄(x0) διάφορο 0

3) Eστω μια συναρτηση f, συνεχης στο [α,β] και παραγωγισιμη στο (α,β).Αν f(α)=β και f(β)=α να αποδειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον χο ε(α,β) ωστε η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της f στο σημειο M(xo,f(xo)) να ειναι καθετη στην ευθεια ψ-χ=0.

Η f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f΄(x0)=(f(β)-f(α))/(β-α)=(α-β)/(β-α)=[-(β-α)]/(β-α)=-1

Η εφαπτομένη (ε) της Cf στο (x0,f(x0)) έχει συντελεστή διεύθυνσης λε=f΄(x0)=-1
Η ευθεία (ζ) με εξίσωση y-x=0 <=> y=x έχει συντελεστή διεύθυνσης λζ=1

Παρατηρούμε ότι λελζ=(-1)*1=-1 που σημαίνει ότι οι ευθείες (ε) και (ζ) είναι κάθετες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mary-blackrose]

f(x)=xσυνx, x ανήκει R

ι) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=συνx-xημx, x ανήκει R

f(-π/2)=(-π/2)συν(-π/2)=-(π/2)συν(π/2)=-(π/2)*0=0
f(π/2)=(π/2)συν(π/2)=(π/2)*0=0
Άρα f(-π/2)=f(π/2)=0

Η f είναι συνεχής στο [-π/2,π/2], παραγωγίσιμη στο (-π/2,π/2) και ισχύει f(-π/2)=f(π/2). Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [-π/2, π/2]

ι) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (-π/2, π/2) τέτοιο ώστε f΄(ξ)=0. Επειδή ξ ανήκει (-π/2, π/2) τότε ημξ>=0 και συνξ>0. Επομένως:

f΄(ξ)=0 <=> συνξ-ξημξ=0 <=> ξημξ=συνξ <=> ξεφξ=1 (αφού συνξ διάφορο 0)



α) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=(g(β)-g(α))/(β-α)=g(β)/(β-α) αφού g(α)=0.

Ισχύει g΄(ξ) διάφορο 0. Επομένως g(β) διάφορο 0.

β) h(x)=g(β)f(x)-f(β)g(x), x ανήκει [α,β]

Επειδή οι f και g είναι συνεχείς στο [α,β] τότε και η h είναι συνεχής στο [α,β]
Επειδή οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο (α,β) τότε και η h είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) με πρώτη παράγωγο h΄(x)=g(β)f΄(x)-f(β)g΄(x) όπου x ανήκει (α,β)

h(α)=g(β)f(α)-f(β)g(α)=g(β)*0-f(β)*)=0
h(β)=g(β)f(β)-f(β)g(β)=0
Επομένως h(α)=h(β)=0

Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και ισχύει h(α)=h(β). Επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [α,β].

γ) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε h΄(x0)=0. Επομένως έχουμε:

h΄(x0)=0 <=> g(β)f΄(x0)-f(β)g΄(x0)=0 <=> g(β)f΄(x0)=f(β)g΄(x0) <=> f΄(x0)/g΄(x0)=f(β)/g(β) εφόσον g(β) διάφορο 0 και g΄(x0) διάφορο 0



Η f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f΄(x0)=(f(β)-f(α))/(β-α)=(α-β)/(β-α)=[-(β-α)]/(β-α)=-1

Η εφαπτομένη (ε) της Cf στο (x0,f(x0)) έχει συντελεστή διεύθυνσης λε=f΄(x0)=-1
Η ευθεία (ζ) με εξίσωση y-x=0 <=> y=x έχει συντελεστή διεύθυνσης λζ=1

Παρατηρούμε ότι λελζ=(-1)*1=-1 που σημαίνει ότι οι ευθείες (ε) και (ζ) είναι κάθετες.

σ ευχαριστω πολυ και συγνωμη αν σε εβαλα σε μεγαλο κοπο με την επιλυση των ασκησεων!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

σ ευχαριστω πολυ και συγνωμη αν σε εβαλα σε μεγαλο κοπο με την επιλυση των ασκησεων!!!

Βρε Μαίρη, δεν με υποχρέωσες κιόλας. Κανένας κόπος. Όλα καλά.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[liofagos]

xf(x)+3ημχ=χ^2
α)βρειτε τον τυπο της f κομπλε
β)να βρειτε τ οριο της f(x) οταν το χ τεινει στο συν απειρο κομπλε
γ)δειξτε οτι η εξισωση f(x)=e^-x εχει τουλαχιστον μια θετικη ριζα, αυτο δν μπορω να κανω και ας μ πει καποιος οταν θα ζηταει θετικη ριζα πως θα το χειριζομαι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

xf(x)+3ημχ=χ^2
α)βρειτε τον τυπο της f κομπλε
β)να βρειτε τ οριο της f(x) οταν το χ τεινει στο συν απειρο κομπλε
γ)δειξτε οτι η εξισωση f(x)=e^-x εχει τουλαχιστον μια θετικη ριζα, αυτο δν μπορω να κανω και ας μ πει καποιος οταν θα ζηταει θετικη ριζα πως θα το χειριζομαι

α) Επειδή δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της f θεωρείται ότι είναι το R και η f είναι συνεχής στο 0. Για x=0 η δοθείσα εξίσωση ικανοποιείται ταυτοτικά. Έχουμε:

xf(x)=(x^2)-3ημx για κάθε x ανήκει R

Για x ανήκει R* προκύπτει f(x)=x-3(ημx/x) και συνεπώς η f είναι συνεχής στο R*

Έχουμε lim(x->0)f(x)=lim(x->0)x-3lim(x->0)(ημx/x)=0-3*1=-3
Επειδή η f είναι συνεχής στο 0 τότε f(0)=lim(x->0)f(x)=-3

Επομένως f(x)=x-3(ημx/x), x ανήκει R* και f(0)=-3. Η f είναι συνεχής σε όλο το R

β) Για κάθε x ανήκει R ισχύει η ταυτότητα |ημx|<=|x| <=> -|x|<=ημx<=|x|

Αν x>0 τότε |x|=x οπότε
-x<=ημx<=x <=> -1<=ημx/x<=1 <=> -1<=-(ημx/x)<=1

Αν x<0 τότε |x|=-x, οπότε
x<=ημx<=-x <=> -1<=-(ημx/x)<=1

Επομένως για κάθε x στο R* ισχύει -1<=-(ημx/x)<=1. Άρα

-1<=-(ημx/x)<=1 <=> -3<=-3(ημx/x)<=3 <=> x-3<=x-3(ημx/x)<=x+3 <=> x-3<=f(x)<=x+3, x ανήκει R*

Για x=0 παρατηρούμε ότι η ανωτέρω ανισότητα επαληθεύεται αφού αποκτά την μορφή -3<=f(0)<=3 και f(0)=-3. Επομένως
x-3<=f(x)<=x+3, x ανήκει R

lim(x->+άπειρο)(x-3)=lim(x->+άπειρο)(x+3)=+άπειρο
Επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει lim(x->+άπειρο)f(x)=+άπειρο

γ) Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=f(x)-e^(-x) όπου x ανήκει R

Για x ανήκει R* έχουμε g(x)=x-e^(-x)-3(ημx/x)
Για x=0 έχουμε g(0)=f(0)-e^(-0)=-3-1=-4

Επειδή η f είναι συνεχής στο R τότε και η g είναι συνεχής στο R (δεν χρειάζεται να ελέγξουμε εκ νέου τη συνέχεια της g στο 0 αφού η f είναι συνεχής στο 0).

Έχουμε g(π)=π-e^(-π)-3(ημπ/π)=π-e^(-π)=π-(1/(e^π))=(π(e^π)-1)/(e^π)>0 αφού
e>1 => e^π>1 => π(e^π)>π>1 αφού π>1 => π(e^π)-1>0

Επίσης g(0)=-4<0

Η g είναι συνεχής στο [0,π] και ισχύει g(0)g(π)<0. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (0,π) (0<x0<π οπότε το x0 είναι θετικό) τέτοιο ώστε g(x0)=0 <=> f(x0)=e^(-x0)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[liofagos]

γιατι f(π)=π ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

γιατι f(π)=π ?

Επειδή ημπ=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[P@NT?LO$]

1) Αν ,να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε

2) Τους παρακατω παραγωγους
i

ii με χ>0

iii

Ας τις λυσει καποιος! ευχαριστω!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Bemanos]

1) Αν ,να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε

2) Τους παρακατω παραγωγους
i

ii με χ>0

iii

Ας τις λυσει καποιος! ευχαριστω!!

δεν θα μαθεις αν στα λυνουμε ολα εδω , καλυτερα να τις παλεψεις μονος σου ,υποδείξεις οσες θες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mary-blackrose]

1)εστω f, g :R-->R
3g(x)+f(x-1)=g(g(x)) για καθε χ ε R
Av n f ειναι ''1-1'':
α)τοτε νδ.ο η g ειναι ''1-1''
β)να λυθει η εξισωση g((e^x)+x+1)=g(2-(x^3))

2)δινεται η συναρτηση f(x)=-(x^3)-x+12
i)N.δ.ο η f αντιστρεφεται
ιι)να βρεθουν τα σημεια τομης τησ CF^-1 με την ευθεια ψ=χ
ιιι) να λυθει η ανισωση f^(-1) [(f|x|-1)+8]<1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[t00nS]

Αν για το μιγαδικό ισχύει /z/<1, να δείξετε ότι Re(2/z+1)>1
Υψωσα στο τετράγωνο αλλά μετά δεν μου βγήκε..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Γενικά ξέρουμε ότι για μιγαδικό ισχύει
Αρκεί να δείξουμε ότι

Η τελευταία σχέση είναι αληθής άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Παρατήρηση: Δεν ορίζεται ανισότητα μεταξύ μιγαδικών. Παρ' όλα αυτά, στις παραπάνω ανισότητες όλοι οι αριθμοί είναι πραγματικοί αφού οπότε φαντάζομαι ότι δεν υπάρχει πρόβλημα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.