Επειδή η f είναι κοίλη (και παραγωγίσιμη) στο R, τότε η πρώτη παράγωγος f' είανι γνησίως φθίνουσα στο R που σημαίνει ότι για κάθε
με
ισχύει
>f\left( {x}_{2}\right))
>f'\left( {x}_{0}\right))
<f'\left( {x}_{0}\right))
Άρα
>f'\left( {x}_{0}\right))
για κάθε
)
και
<f'\left( {x}_{0}\right))
για κάθε
)
όπου
Θεωρώ την συνάρτηση
=f(x)-xf'\left( {x}_{0}\right)-f\left({x}_{0} \right)+{x}_{0}f'\left( {x}_{0}\right))
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R αφού είναι και η f και ισχύει
=f'(x)-f'\left( {x}_{0}\right))
για κάθε
Για
είναι
>0)
και για
είναι
<0)
Η g είναι συνεχής στο
, παραγωγίσιμη στο
)
και ισχύει
για κάθε
)
. Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο
Η g είναι συνεχής στο
)
, παραγωγίσιμη στο
)
και ισχύει
για κάθε
)
. Συνεπώς η g είναι γνησίως φθίνουσα στο
.
Άρα η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο
\leq g({x}_{0})\Rightarrow f(x)\leq xf'({x}_{0})+f({x}_{0})-{x}_{0}f'({x}_{0}))
για κάθε
, που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία της εφαπτομένης της στο σημείο
\right))
με μοναδικό κοινό σημείο το σημείο επαφής.
Αν υπάρχει ένα
τέτοιο ώστε
=0)
τότε αυτό είναι μοναδικό καθώς η f' είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και 1-1. Τότε
>f'(\xi )\Rightarrow f'(x)>0)
<f'(\xi )\Rightarrow f'(x)<0)
Δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση ισχύει
>0)
για
και
<0)
για
Άρα στην αυτή περίπτωση υπάρχουν
με
τέτοια ώστε
>0)
και
<0)
Αν
\neq 0)
για κάθε
, τότε δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν
με
τέτοια ώστε
<0<f'({x}_{2}))
γιατί τότε σύμφωνα με το θεώρημα Darboux θα υπήρχε τουλάχιστον ένα
)
τέτοιο ώστε
(είτε είναι συνεχής είτε δεν είναι συνεχής η πρώτη παράγωγος της f στο
ισχύει αυτό. Το θεώρημα Darboux δεν το διδάσκεστε στο λύκειο)
Άρα σε αυτήν την περίπτωση η πρώτη παράγωγος f' της f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R που σημαίνει ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο R. Δηλαδή ισχύει είτε f'(x)>0 για κάθε
είτε f'(x)<0 για κάθε
Σε κάθε περίπτωση, υπάρχει
τέτοιο ώστε
\neq 0)
, οπότε είτε
>0)
είτε
<0)
Η εφαπτομένη της γαρφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο
" /> παριστάνεται από την εξίσωση y=h(x) όπου h συνάρτηση με τύπο
=xf'({x}_{0})+f({x}_{0})-{x}_{0}f'({x}_{0}))
Αν
τότε έχουμε
<0\Rightarrow xf'({x}_{0})+f({x}_{0})-{x}_{0}f'({x}_{0})<0\Rightarrow x<\alpha )
όπου
-f({x}_{0})}{f'({x}_{0})})
Συνεπώς υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε
<0)
για κάθε
)
Συνεπώς επειδή
\leq h(x))
για κάθε
και
για κάθε
τότε
<0)
για κάθε
Αν
τότε έχουμε
<0\Rightarrow xf'({x}_{0})+f({x}_{0})-{x}_{0}f'({x}_{0})<0\Rightarrow x>\alpha )
όπου
Συνεπώς υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε
για κάθε
)
Συνεπώς επειδή
για κάθε
και
για κάθε
τότε
για κάθε
Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει διάστημα Δ στο οποίο ισχύει f(x)<0 για κάθε
