καλησπερα θα ηθελα τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις:
1)δινεται η συναρτηση f(x)={
{0 , x=0
α) να δειξετε οτι η f ειναι συνεχης
β)να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια,τα ακροτατα,τα κοιλα και να βρειτε τα σημεια καμπης της Cf.
γ)να βρειτε το συνολο τιμων της f και το πληθος των ριζων της εξισωσης
α) Θεωρούμε τις συναρτήσεις g(x)=1/x, Dg=R* και h(x)=lnx, Dh=(0,+oo).
Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R* με πρώτη παράγωγο g΄(x)=-1/(x^2).
Είναι lim(x->0+)g(x)=lim(x->0+)(1/x)=+oo
Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (0,+oo) με πρώτη παράγωγο h΄(x)=1/x.
Είναι lim(x->0+)h(x)=lim(x->0+)lnx=-oo
Έχουμε
lim(x->0+)[h΄(x)/g΄(x)]=lim(x->0+)[(1/x)/(-1/(x^2))]=lim(x->0+)[-(x^2)/x]=lim(x->0+)(-x)=-0=0
Επειδή lim(x->0+)h(x)=-oo και lim(x->0+)g(x)=+oo τότε σύμφωνα με τον 2ο κανόνα De L' Hospital έχουμε:
lim(x->0+)[h(x)/g(x)]=lim(x->0+)[h΄(x)/g΄(x)]=0
Άρα
lim(x->0+)(xlnx)=lim(x->0+)[lnx/(1/x)]=lim(x->0+)[h(x)/g(x)]=0
lim(x->0+)f(x)=lim(x->0+)[(x^2)lnx]=[lim(x->0+)x]*[lim(x->0+)(xlnx)]=0*0=0=f(0)
Επειδή lim(x->0+)f(x)=f(0) τότε η f είναι συνεχής στο x0=0. Για x>0 είναι f(x)=(x^2)lnx, οπότε η f είναι συνεχής στο (0,+οο) ως γινόμενο συνεχών συνρτήσεων. Άρα η f είναι συνεχής στο [0,+οο).
β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=2xlnx+x=(2lnx+1)x, x>0
lim(x->0+)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=lim(x->0+)[((x^2)lnx)/x]=lim(x->0+)(xlnx)=0
Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=0 με πρώτη παράγωγο f΄(0)=0. Συνεπώς η f είναι παραγωγίσιμη στο [0,+οο).
f΄(0)=f΄(1/SQRT(e))=0
Η f είναι συνεχής στο [0,1/SQRT(e)], παραγωγίσιμη στο (0,1/SQRT(e)) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (0,1/SQRT(e)). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1/SQRT(e)].
Η f είναι συνεχής στο [1/SQRT(e),+οο), παραγωγίσιμη στο (1/SQRT(e),+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (1/SQRT(e),+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1/SQRT(e),+οο).
Η f είναι συνεχής στο [0,+οο), γνησίως φθίνουσα στο [0,1/SQRT(e)] και γνησίως αύξουσα στο [1/SQRT(e),+οο). Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0΄=1/SQRT(e) με τιμή f(1/SQRT(e))=-1/(2e)
H f΄ είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο), οπότε η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με δεύτερη παράγωγο
f΄΄(x)=2lnx+3, x>0
lim(x->0+)[((f΄(x)-f΄(0))/(x-0)]=lim(x->0+)(2lnx+1)=-oo εφόσον lim(x->0+)lnx=-oo
Άρα η f δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x0=0.
Έχουμε f΄΄(1/(eSQRT(e)))=0
Η f είναι συνεχής στο [0,1/(eSQRT(e))], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,1/(eSQRT(e))) και ισχύει f΄΄(x)<0 για κάθε x ανήκει (0,1/(eSQRT(e))). Άρα η f είναι κοίλη στο [0,1/(eSQRT(e))].
Η f είναι συνεχής στο [1/(eSQRT(e)),+οο), παραγωγίσιμη στο (1/(eSQRT(e)),+οο) και ισχύει f΄΄(x)>0 για κάθε x ανήκει (1/(eSQRT(e)),+οο). Άρα η f είναι κυρτή στο [1/(eSQRT(e)),+οο).
Το σημείο Α(1/(eSQRT(e)),f(1/(eSQRT(e)))) είναι σημείο καμπής της Cf. Έχουμε f(1/(eSQRT(e)))=-3/(2(e^3))
γ) Επειδή lim(x->+oo)(x^2)=lim(x->+oo)lnx=+oo τότε lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)[(x^2)lnx]=+oo.
Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [0,1/SQRT(e)]. Επομένως
f([0,1/SQRT(e)])=[f(1/SQRT(e)),f(0)]=[-1/(2e),0]
Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [1/SQRT(e),+οο). Επομένως
f([1/SQRT(e),+οο))=[f(1/SQRT(e)),lim(x->+oo)f(x))=[-1/(2e),+oo)
Στη συνέχεια θα προσδιοριστεί το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f(x)=α όπου α ανήκει R.
Αν α<-1/(2e) τότε η εξίσωση f(x)=α είναι αδύνατη αφού f(x)>=-1/(2e) για κάθε x ανήκει [0,+οο)
Αν α=-1/(2e) τότε η εξίσωση f(x)=α έχει μοναδική λύση την x=1/SQRT(e) που είναι και η θέση του ελαχίστου
Αν -1/(2e)<α<=0 τότε η εξίσωση f(x)=α έχει δύο ρίζες, την x1 ανήκει [0,1/SQRT(e)) και την x2 ανήκει (1/SQRT(e),1]
Αν α>0 τότε η εξίσωση f(x)=α έχει μοναδική λύση στο διάστημα (1,+οο) (καθώς για x>1 έχουμε f(x)>f(1) => f(x)>0 λόγω της μονοτονίας της f)
