Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 26-10-11

Αρχική Δημοσίευση από Demlogic:
hey

λοιπον στο φροντιστηριο μου υπάρχει μια μέθοδος επίλυσης, αλλα εγώ αμφιβάλω ως προς την ορθή αιτιολόγηση της

έστω οτι θέλουμε να υπολογίσουμε το lim f(x) με τα παρακάτω δεδομένα

lim[ f(x)/x ]=5 με x->0 για παράδειγμα

τότε λέμε, αφού το όριο έχει ως αποτέλεσμα το
5 e R τη στιγμή που lim x με x->0 είναι ίσο με 0
θα ΠΡΕΠΕΙ και lim f(x) με x->0 να είναι ίσο με 0 ωστε να δημιουργείται απροσδιοριστία που θα άρεται

δηλαδη lim f(x) = 0

Κοντά στο 0 ισχύει f(x)=(f(x)/x)*x, οπότε lim(x->0)f(x)=lim(x->0)[(f(x)/x)*x]=lim(x->0)(f(x)/x)*lim(x->0)x=5*0=0

Demlogic · 27-10-11

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Κοντά στο 0 ισχύει f(x)=(f(x)/x)*x, οπότε lim(x->0)f(x)=lim(x->0)[(f(x)/x)*x]=lim(x->0)(f(x)/x)*lim(x->0)x=5*0=0

infamous · 27-10-11

Eρωτηση: δινοωται οι μυγαδικοι για τους οποιους ισχυει Ζ1/Ζ2 + Ζ2/Ζ1=1
Ι) NA αποδειξετε οτι οι εικονες τους και το σημειο(0,0) σχηματιζουν ισοπλευρο τριγωνο.
ΙΙ)να αποδειξετε οτι (Ζ1/Ζ2)^2000 +(Ζ2/Ζ1)^2000=-1
Για τ ΙΙ Δν εχω ιδεα...HELP

rebel · 28-10-11

Δύο στοιχεία:
α) Στο πρώτο ερώτημα φαντάζομαι έβγαλες $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^3=1$

β)Από την δοθείσα υψώνοντας στο τετράγωνο έχεις $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2+\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^2=-1$

Συμπλήρωσε εσύ τα κενά...

infamous · 28-10-11

εγω απο το ζητουμενο προσπαθησα να βγαλω οτι μετρο ζι=μετρο ζ2=μετρο ζι-ζ2
τα υψωσα στο τετραγωνο και βρηκα μια σχεση τν οποια προσπαθησα να κατασκευασω απο το δεδ... εσυ τι προτεινεισ?

rebel · 28-10-11

Καλημέρα και χρόνια πολλά. Για το πρώτο ερώτημα λες;

$\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_1}=1 \Rightarrow z_1^2+z_2^2-z_1z_2=0 \,\,\,(1)\Rightarrow (z_1-z_2)(z_1^2+z_2^2-z_1z_2)=0 \Rightarrow z_1^3-z_2^3=0 \,\,\, (2) \Rightarrow |z_1|^3=|z_2|^3 \Rightarrow |z_1|=|z_2|\,\,\,(3)$

Eπίσης

$(1)\Rightarrow z_1^2+z_2^2-2z_1z_2=-z_1z_2\Rightarrow (z_1-z_2)^2=-z_1z_2 \Rightarrow |z_1-z_2|^2=|-z_1z_2|\stackrel{(3)}{\Rightarrow} |z_1-z_2|^2=|z_1|^2 \Rightarrow |z_1-z_2|=|z_1|$

Οπότε η σχέση που έγραψα σαν στοιχεία α προκύπτει ουσιαστικά από την σχέση (2) που προέκυψε στην πορεία και κάπως έτσι πίστευα ότι το έχεις πάει.

infamous · 28-10-11

χρονια πολλα...εκει που γραφεις (1) μετα απο διπλα πολλαπλασιαζεις με (Z1-Z2) TI Κανεις ακριβως?
μετα για το ΙΙ) ζητουμενο? καταλαβα οτι τα υψωνουμε στο τετραγωνο αλλα πως θα εμφανισουμε το εις την 2000?
ευχαριστω πολυ by the way!

drosos · 28 Οκτωβρίου 2011

Πολλαπλασιασε και στα δυο μελη (ζ1-ζ2) ωστε να φτιαξει την ταυτοτητα(στο δευτερο μελος ειναι 0 επι (ζ1-ζ2)=0)
Επισης μια συμβουλη... οταν βλεπεις εξισωσεις υψωμενες σε μεγαλη δυναμη(ή και νιοστη) οι οποιες δεν ειναι της μορφης (α+βi)+(β+αi)... περνα μετρα και θα καταληξεις σε κατι που ισχυει

rebel · 28-10-11

Aπό το πρώτο ερώτημα όπως έγραψα ισχύει $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^3=1=\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^3\,\, (*)$ . Έχουμε:

$\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{2000}+ \left(\frac{z_2}{z_1}\right)^{2000} = \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{3\cdot666+2} +\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^{3\cdot666+2}= \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2\left(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^3\right)^{number \,\, of \,\, the \,\, beast} +\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^2 \left(\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^3\right)^{number \,\, of \,\, the \,\, beast} \stackrel{(*)}{=}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2+\left(\frac{z_2}{z_1}\right)^2=-1$

infamous · 28-10-11

ευχαριστω πολυ...μια αλλη ερωτηση: δινεται ο μιγαδικος W για τον οποιο ισχυει 1+W+W^2=0. ΝΔΟ:
1)w^3=1 σε αυτην λεω οτι θελουμε να δειξουμε πως w^3-1=0-> και κανω την ταυτοτητα και βγαινει 2)w^3p+w^3p+1+w^3p+2=0 εδω γραφω w^3p+(w^3)^p+1/3+(w^3)^p+2/3=1^3p + 1^p+1/3 +1^p+2/3 τι λαθος κανω??? αν ομως το αναλυσω με το w τοτε μου βγαινει το δεδομενο και μου βγαινει=0..3) w^9+w^8+(συζυγης του w εις την δευτερα)=0 μια απορια σε αυτο..απο το z^3=1...νομιζω πως δεν γινεται να πω πως z^9=1 αλλα γιατι???
4) (1+w)^5=-w δεν το εβγαλα... 5)(3+3w+5w^2)^12=2^12 εδω κατεληξα οτι (2w^2)^12=2^12 θελω βοηθεια....
κατι τελευταιο αν υψωσουμε το z^3=1 πχ εις την 2/3 ???

antwwwnis · 28-10-11

Αρχική Δημοσίευση από infamous:
ευχαριστω πολυ...μια αλλη ερωτηση: δινεται ο μιγαδικος W για τον οποιο ισχυει 1+W+W^2=0. ΝΔΟ:
1)w^3=1 σε αυτην λεω οτι θελουμε να δειξουμε πως w^3-1=0-> και κανω την ταυτοτητα και βγαινει 2)w^3p+w^3p+1+w^3p+2=0 εδω γραφω w^3p+(w^3)^p+1/3+(w^3)^p+2/3=1^3p + 1^p+1/3 +1^p+2/3 τι λαθος κανω??? αν ομως το αναλυσω με το w τοτε μου βγαινει το δεδομενο και μου βγαινει=0..3) w^9+w^8+(συζυγης του w εις την δευτερα)=0 μια απορια σε αυτο..απο το z^3=1...νομιζω πως δεν γινεται να πω πως z^9=1 αλλα γιατι???
4) (1+w)^5=-w δεν το εβγαλα... 5)(3+3w+5w^2)^12=2^12 εδω κατεληξα οτι (2w^2)^12=2^12 θελω βοηθεια....
κατι τελευταιο αν υψωσουμε το z^3=1 πχ εις την 2/3 ???

1)1+W+W^2=0
ω+ω²+ω³=0
ω³=-(ω²+ω) (1)

Αλλά και 1+W+W^2=0
ω²+ω=-1
Αρα (1) ισοδυνάμως
ω³=-(1)=1

rebel · 28 Οκτωβρίου 2011

2) O τρόπος που έκανες και σου βγήκε 0 είναι μία χαρά. Η δύναμη ενός μιγαδικού έχει οριστεί μόνο με εκθέτη ακέραιο αριθμό, (όχι ότι δεν ορίζεται δύναμη σε ρητό, πραγματικό ή ακόμα σε μιγαδικό αλλά για να ορίσεις κάτι τέτοιο πρέπει να ορίσεις άλλα πράγματα τα οποία ξεφεύγουν από την ύλη του Λυκείου) οπότε το πρώτο που έκανες το ξεχνάς.

3) Για τις ακέραιες δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν όλες οι ιδιότητες που ισχύουν και για τις αντίστοιχες δυνάμεις πραγματικών αριθμών συμπεριλαμβανομένων και των $z^\mu \cdot z^\nu =z^{\mu+\nu}, \left(z^k\right)^\lambda=z^{k \cdot \lambda}$ . Άρα αυτό που γράφεις $w^9=w^{3\cdot 3}=\left(w^3\right)^3=1$ ισχύει.
Επίσης σκέψου ότι
$w^3=1\Rightarrow |w|^3=1 \Rightarrow |w|=1 \Rightarrow |w|^2=1 \Rightarrow w\bar{w}=1 \Rightarrow \bar{w}=\frac{1}{w} \Rightarrow \\ \bar{w}^2=\frac{1}{w^2}$
Αυτό το αποτέλεσμα σε συνδυασμό με αυτό που βρήκες ( $w^9=1$ ) αλλά και την σχέση $w^2+w+1=0$ που σου δίνεται θα σε οδηγήσουν στο αποτέλεσμα. Επίσης σκέψου πως μπορείς να κατεβάσεις τον εκθέτη του $w^8=w^{2\cdot 3+2}\ldots$

4) $1+w=-w^2$ ...ιδιότητες των δυνάμεων κλπ

5) $3+5w+5w^2=5-2+5w+5w^2=5(1+w+w^2)-2=-2$ ...

infamous · 29 Οκτωβρίου 2011

ευχαριστω πολυ...δηλαδη πχ στο μπαρλα εχει μια ασκηση που λεει z^3=1 NA βρειτε την τιμη z^2008 να μν το γραψω (Ζ^3)^2008/3 ?? ΑΛΛΑ να το σπασω ως γινομενο και αθροισμα?

α και εννοεις δλδη πως αν εχω z^3=1 ισχυει με διπλη συνεπαγωγη οτι πχ z^12=1?η μονο με -> ?

rebel · 29 Οκτωβρίου 2011

Ναι, αφού σου δίνει ότι $z^3=1$ πρέπει να κάνεις την διαίρεση του μεγάλου εκθέτη με το 3. Έτσι θα γράψεις τον εκθέτη, ας πούμε $\nu$ στην μορφή $\nu=3\delta+\upsilon, \,\,\, 0\leq \upsilon \leq 2$ οπότε $z^\nu=z^{3\delta+\upsilon}=\left(z^3\right)^\delta z^\upsilon=1\cdot z^\upsilon$ . Σε όλες τις προηγούμενες ασκήσεις αυτό κάναμε.

Μόνο η προς τα δεξιά συνεπαγωγή ισχύει και όχι ισοδυναμία στο άλλο που γράφεις. Κι αυτό γιατί οι μιγαδικοί που ικανοποιούν την σχέση $z^3=1 (1)$ , είναι δηλαδή ρίζες αυτής, προφανώς ικανοποιούν και την $z^{12}=1(2)$ . Όμως όλοι οι μιγαδικοί που ικανοποιούν την (2) δεν ικανοποιούν όλοι την (1). Η (2) σαν εξίσωση έχει 12 ρίζες διαφορετικές μεταξύ τους ενώ η (1) έχει 3(οι οποίες βέβαια περιέχονται στις ρίζες της (2)).

infamous · 29-10-11

ok..ευχαριστω και παλι..με εχεις καλυψει απολυτα..

infamous · 29-10-11

για τους μιγαδικους 1/z1+z2i= συζηγης του z1 + (σιζηγης του z2)i ??? σωστο η λαθος κ γιατι?

drosos · 29-10-11

γτ δεν βαζεις α+βi και χ+yi για ν δεις αν ισχυει;

exc · 29-10-11

Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι δεν ισχύει με αντιπαράδειγμα.
πχ για z1=1 και z2=3i η σχέση δεν ισχύει.

mikri_tulubitsa · 30-10-11

Αν f(x)=x^x +3,x>0 να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο xo=1 και να δείξετε ότι σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 9/2. Βρήκα εφαπτομένη την ψ=χ αλλά μετά δεν ξέρω τι να κάνω για το εμβαδόν.Λίγη βοήθεια?

g1wrg0s · 30-10-11

Η συναρτηση ειναι f(x)=χ^(χ+3 ) ;

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος