Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 16 Μαΐου 2009 στις 00:45

Σωστό ή Λάθος;

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο x0 ανήκει στο εσωτερικό του Δ. Αν ή f΄ έχει όριο στο x0 τότε η f έχει συνεχή παράγωγο στο x0.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος;

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ. Αν η f είναι 3 φορές παραγωγίσιμη στο x0 ανήκει στο εσωτερικό του Δ με f΄΄(x0)=0 και f΄΄΄(x0) διάφορο του 0 τότε το (x0,f(x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος;

Αν f συνεχής στο [α,β] τότε για κάθε x0 στο [α,β] υπάρχουν δ>0, ε>0 τέτοια ώστε για κάθε x στο (χ0-δ, χ0+δ) να ισχύει

f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε

zoezaxariadi · 16 Μαΐου 2009 στις 02:15

σωστο νομιζω

Civilara · 16 Μαΐου 2009 στις 07:20

ποιο απ' όλα;

Civilara · 16 Μαΐου 2009 στις 17:37

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Α, τότε υπάρχει διάστημα Β υποσύνολο του Α στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη.

Civilara · 17 Μαΐου 2009 στις 03:38

Αν f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] να αποδείξετε ότι:

(S(α,β)f(x)*g(x)dx)^2<=(S(α,β)(f(x)^2)dx)*(S(α,β)(g(x)^2)dx)

nikolas17 · 17 Μαΐου 2009 στις 11:02

Λοιπόν διορθώστε με ελεύθερα μιάς και έχω λάθη σίγουρα

Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Α, τότε υπάρχει διάστημα Β υποσύνολο του Α στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη.

Νομίζω σωστό είναι αυτό, δεδομένου ότι τουλάχιστον σε ένα πολύ πολύ μικρό διάστημα Β, η f θα είναι παραγωγίσιμη κάποια στιγμή...άρα σωστό

Σωστό ή Λάθος;

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο x0 ανήκει στο εσωτερικό του Δ. Αν ή f΄ έχει όριο στο x0 τότε η f έχει συνεχή παράγωγο στο x0.

Εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη στο χ0, άρα είναι και συνεχής στο χ0. Επειδή δεν γνωρίζουμε αν το όριο της f'(x) είναι ίσο εκατέρωθεν του χ0, επομένως δεν γνωρίζουμε εάν είναι συνεχής η f'(x) στο χ0.Επομένως λάθος.

Σωστό ή Λάθος;

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ. Αν η f είναι 3 φορές παραγωγίσιμη στο x0 ανήκει στο εσωτερικό του Δ με f΄΄(x0)=0 και f΄΄΄(x0) διάφορο του 0 τότε το (x0,f(x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

Για να είναι σημείο καμπής πρέπει αφ'ενός f΄΄(x0)=0 και αφ'ετέρου να αλλάζει κυρτότητα η f στο χο, δηλαδή να έχει διαφορετική κυρτότητα πριν το χο και διαφορετική μετά.
Επειδή όμως f΄΄΄(x0) $\neq$ 0 η f'' δεν γίνεται να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του χ0. Άρα λάθος?

Σωστό ή Λάθος;

Αν f συνεχής στο [α,β] τότε για κάθε x0 στο [α,β] υπάρχουν δ>0, ε>0 τέτοια ώστε για κάθε x στο (χ0-δ, χ0+δ) να ισχύει

f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε

Σ' αυτό δεν έχω ιδέα

(όχι ότι είχα και στα υπόλοιπα

)

m3Lt3D · 17 Μαΐου 2009 στις 11:09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Α, τότε υπάρχει διάστημα Β υποσύνολο του Α στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη.

Δεν μπορω να καταλαβω τι προσπαθεις να καταφερεις με τετοια Σ/Λ.
Παντως οχι να μας προετοιμασεις για το 1ο Θεμα που θα γραψουμε την Τεταρτη.

Η απαντηση ειναι: ΛΑΘΟΣ

(η συνάρτηση weierstrass ειναι συνεχης στο R αλλα ΠΟΥΘΕΝΑ παραγωγισιμη)

kvgreco · 17 Μαΐου 2009 στις 14:32

Η παραγωγισιμότητα της αντίστροφης αποδεικνύεται εύκολα με τον ορισμό της παραγώγου $({f}^{-1})'({y}_{0})=\lim_{y\rightarrow {y}_{0}}\frac{{f}^{-1}(y)-{f}^{-1}({y}_{0})}{y-{y}_{0}}$

καί η συνέχειά της είναι αυτονόητη δεδομένου ότι η f είναι συνεχής άρα θα ισχύει και ότι το x θα τείνει στο xo, όταν το y θα τείνει στο yo.

Αλλά σήμερα διαβάζουμε μαθηματικά γενικής και ας το αφήσουμε γιά όταν θα δίνουμε μαθηματικά κατεύθυνσης.
Καλό κουράγιο σε όλους μας.

Civilara · 17 Μαΐου 2009 στις 18:16

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Θεωρείται η συνάρτηση g(x)=f(x)-((f(β)-f(α))/(β-α))*(x-α)

Η g είναι συνεχής στο [α,β] αφού f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) αφού f παραγωγίσιμη (α,β) με g΄(x)=f΄(x)-((f(β)-f(α))/(β-α))

g(α)=g(β)=f(α)

g συνεχής [α,β], g παραγωγίσιμη (α,β), g(α)=g(β) -> Θεώρημα Rolle: υπάρχει ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=0 -> f΄(ξ)=((f(β)-f(α))/(β-α))
-----------------------------------------
Αν f 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0) διάφορο 0, τότε η αντίστροφη συνάρτηση (f-1) είναι παραγωγίσιμη στο y0=f(x0) με παράγωγο:

(f-1)΄(y0)=1/f΄((f-1)(y0))

ή (f-1)΄(f(x0))=1/f΄(x0)

Αν f΄(x0)=0 τότε η (f-1)΄(y) δεν ορίζεται στο f(x0).

Αν f συνεχής στο R να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x0 στο R τέτοιο ώστε

$f(x0)>\frac{\int_{ln({x}^{2}+1)}^{{x}^{2}+1}{e}^{f(t)}dt}{{x}^{2}+1-ln({x}^{2}+1)}$

Civilara · 17 Μαΐου 2009 στις 21:00

Σωστό ή Λάθος;

Αν f συνεχής στο [α,β] και f(α)f(β)f((α+β)/2)<0 τότε υπάρχει x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0

m3Lt3D · 17 Μαΐου 2009 στις 21:24

Λαθος. γιατι μπορει f(a),f(b),f((a+b)/2)<0. οποτε δεν ξερουμε αν πληρειται η προυποθεση για bolzano.

Αυτο το Σ/Λ ηταν καλο, αλλα ορισμενα προηγουμενα ειναι εκτος πνευματος εξετασεων και πραγματικα δεν βρισκω λογο να τα ανεβαζεις,γιατι αγχωνεται κοσμος αδικα.

Civilara · 18 Μαΐου 2009 στις 03:36

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία μη σταθερή συνάρτηση f ορισμένη στο R, παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο M και μοναδικό τοπικό ελάχιστο m, τότε m<=f(x)<=M για κάθε x στο R.

tasosatha · 18 Μαΐου 2009 στις 23:19

Δίνεται η συναρτηση $f(x)=ln\frac{1-x}{x}$
α. Να την μελετησετε ως προς την μονοτονια
β. Να βρειτε το σύνολο τιμων της.
γ. να δειξετε οτι αντιστρεφεται και να βρειτε την αντιστροφη της.
δ. να υπολογισετε το εμβαδο Ε του χωριου που περικλειεται απο την Cf(αντιστροφη) τους αξονες χ'χ, ψ'ψ και την ευθεια χ=1.

Οποιος μπορει ας βοηθησει...

Harispgp · 18 Μαΐου 2009 στις 23:25

Παιδια να ενα ωραιο και σχετικο,κατα τη γνωμη μου, θεμα...

Να βρεθει η ελαχιστη αποσταση των συναρτησεων f(x)=e^x και g(x)=lnx

kvgreco · 18 Μαΐου 2009 στις 23:35

Αρχική Δημοσίευση από Harispgp:
Παιδια να ενα ωραιο και σχετικο,κατα τη γνωμη μου, θεμα...

Να βρεθει η ελαχιστη αποσταση των συναρτησεων f(x)=e^x και g(x)=lnx

Αρκεί να βρείς την ελάχιστη απόσταση της μιάς συνάρτησης(όποια σου κάνει γιά πιό εύκολη) από την ευθεία y=x και να τη διπλασιάσεις.

nikolas17 · 18 Μαΐου 2009 στις 23:46

Σταδιακά την λύνω...ελπίζω να είναι σωστή! (τα μαθηματικά δεν είναι το δυνατό μου σημείο

) Εγώ ακόμα λύνω και ο άλλος την έλυσε

Harispgp · 18 Μαΐου 2009 στις 23:53

α)Η f για καθε χ στο (0,1) ειναι παραγωγισιμη με f'(x)= - 1/(1-x)x (κατοπιν πραξεων)
o παρανομαστης προφανως θετικος στο (0,1) αρα f'(x)<0 και αντιστοιχα f(x) γνησιως φθινουσα.

β)για το συνολο τιμων παιρνεις τα ορια στα ακρα με lim ln[(1-x)/x] να κανει + απειρο για χ-->0+ και αντιστοιχα το αλλο οριο κανει -απειρο στο 1-
Ωστε Συνολο τιμων το R

γ)αφου ειναι γνησιως μονοτονη ειναι και 1-1 αρα αντιστρεφεται
Η αντιστροφη της ειναι παλι κατοπιν πραξεων αφου θεσεις Υ=f(x) και λυσεις ως προς x βγαινει ενδεχομενως f-1(x) = 1/(1+e^x)

δ)Πολυ αργα να το λυσω ! :Ρ εχει παει 12 κοντα !

Harispgp · 18 Μαΐου 2009 στις 23:56

nice!
Ειναι δυσκολο θεμα αν δεν καταλαβεις οτι παιζει η αντιστροφη μεσα!

azzuro · 18 Μαΐου 2009 στις 23:57

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Σωστό ή Λάθος;

Αν μία μη σταθερή συνάρτηση f ορισμένη στο R, παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο M και μοναδικό τοπικό ελάχιστο m, τότε m<=f(x)<=M για κάθε x στο R.

Λαθος, πρεπει να ξερουμε αν ειναι συνεχης.

Harispgp · 19 Μαΐου 2009 στις 00:03

Λαθος.Προφανως για να δημιουργηθει ακροτατο(μεγιστο η ελαχιστο) θα πρεπει να ασχοληθουμε με μια περιοχη γυρω του οπου πιθανως ,για παραδειγμα στο μεγιστο, να υπαρχει χαμηλοτερες τιμες.
Αυτες δεν ξερουμε αν συμπιπτουν , αν ειναι μεγαλυτερες ή μικροτερες του m ελαχιστου.
Βασικα εχει να κανει κυριως με το διαστημα (α,β) στο οποιο η συναρτηση οριζεται

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος