Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Μαριλινάκι]

Πώς βρίσκω το ολοκλήρωμα της ρίζασ 4-χ εις το τετράγωνο ( μόνο το χ έχει τετράγωνο ) μ άκρα ολοκλήρωσης 0,1 και το ολοκλήρωμα e εις τη χ τετράγωνο με τα ίδια άκρα ολοκλήρωσης?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

Πώς βρίσκω το ολοκλήρωμα της ρίζασ 4-χ εις το τετράγωνο ( μόνο το χ έχει τετράγωνο ) μ άκρα ολοκλήρωσης 0,1 και το ολοκλήρωμα e εις τη χ τετράγωνο με τα ίδια άκρα ολοκλήρωσης?

Πού πήγες και τα βρήκες αυτά? Το Ολοκλήρωμα(e^(x^2)) δεν μπορεί να υπολογιστεί...
Το Ολοκλήρωμα(ρίζα(4-χ^2)) [2asin(x/2)+x/2*ρίζα(4-χ^2)]
ό,τι και αν είναι το asin.

Έγινε διόρθωση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Filippos14]

Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παράγουσα της 1: ( 1+ex ) ( 1 προς ένα και ε εις τη χ ) και με τη άσκηση 24 από το β τέυχος του Μπάρλα ( το καινούριο) σελ 401?
Ευχαριστώ

Η ολοκληρο-διαφορικη ειναι λιγο ζορικη,εχει πολλα.Τεσπα την f(x)=1/lnx + c εβγαλα.Δεν βρηκα την σταθερα γιατι τιν εκανα γρηγορα και βαριεμαι κιολας

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Πού πήγες και τα βρήκες αυτά? Το Ολοκλήρωμα(e^(x^2)) δεν ορίζεται...

Μην τα λες αυτά γιατί μπερδεύεις τους υποψηφίους.

Η συνάρτηση f(x)=e^(x^2) είναι συνεχής στο R και επομένως ολοκληρώσιμη σε οποιοδήποτε διάστημα [α,β] υποσύνολο του R. Το ότι δεν υπάρχει κλειστή αναλυτική λύση για το αόριστο ολοκλήρωμα της f στο [α,β] είναι άλλο θέμα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Capellini]

Μην τα λες αυτά γιατί μπερδεύεις τος υποψηφίους.

Η συνάρτηση f(x)=e^(x^2) είναι συνεχής στο R και επομένως ολοκληρώσιμη σε οποιοδήποτε διάστημα [α,β] υποσύνολο του R. Το ότι δεν υπάρχει κλειστή αναλυτική λύση για το αόριστο ολοκλήρωμα της f στο [α,β] είναι άλλο θέμα.

Με σειρές δεν λύνεται αυτό;

Kαι έχω την εντύπωση ότι ένα ολοκλήρωμα με ίδια άκρα είναι μηδέν ή δεν θυμάμαι καλά ;


Το arccos(x) που έγραψε κάποιος πιο πάνω ισούται με την γωνία που έχει συνημίτονο x

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 018946]

Μην τα λες αυτά γιατί μπερδεύεις τος υποψηφίους.

Η συνάρτηση f(x)=e^(x^2) είναι συνεχής στο R και επομένως ολοκληρώσιμη σε οποιοδήποτε διάστημα [α,β] υποσύνολο του R. Το ότι δεν υπάρχει κλειστή αναλυτική λύση για το αόριστο ολοκλήρωμα της f στο [α,β] είναι άλλο θέμα.

για το #7358 ποστ έχεις κάποια άποψη πως μπορεί να προχωρήσει ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Mariaal]

Κάποια απάντηση για την πρώτη άσκηση στο post #7364;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vimaproto]

Πώς βρίσκω το ολοκλήρωμα της ρίζασ 4-χ εις το τετράγωνο ( μόνο το χ έχει τετράγωνο ) μ άκρα ολοκλήρωσης 0,1 και το ολοκλήρωμα e εις τη χ τετράγωνο με τα ίδια άκρα ολοκλήρωσης?

Ονομάζω χ=2ημω ==> dx=2συνωdω
Η ρίζα γίνεται 2συνω και τα όρια αλλάζουν όταν χ=0 και ω=0 ενώ όταν χ=1 ω=π/6
Το ολοκλήρωμα γίνεται (ξέχνα το Latex γιατί ακόμα φορτώνει και έτσι θα σου το περιγράψω) ολοκλ[2συνω.2συνωdω=ολοκλ[4συν²ωdω]=4ολοκλ[((1+συν2ω)/2)dω=(τύπος διπλασίου τόξου)=2ολοκλ[dω]+ολοκλ[συν2ωd(2ω)=2ω+ημ2ω=π/3+ριζα3/2

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikoslarissa]

Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης για την οποία ισχύει
και
για καθε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 018946]

ρε μαλακα δεν φαίνεται

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikoslarissa]

Τι εννοεις δεν φαινεται;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

-

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 018946]

Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης για την οποία ισχύει
και
για καθε

ανταυτου θα σου κάνω μία ερωτηση :

η g(x)=f(x)+xf'(x) είναι η μηδενική ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikoslarissa]

Η f(x) βγαίνει 1/χ;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Filippos14]

Τι εννοεις δεν φαινεται;

Κανε απαλοιφη,βγαινει ταυτοτητα μετα αν τα φερεις μπρωστα ολα.
f(x)= 1/x εβγαλα αλλα μην το δεσεις κομπο γιατι καθως ελυνα ετρωγα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikoslarissa]

Κανε απαλοιφη,βγαινει ταυτοτητα μετα αν τα φερεις μπρωστα ολα.
f(x)= 1/x εβγαλα αλλα μην το δεσεις κομπο γιατι καθως ελυνα ετρωγα.

Τοσο βγαίνει το έκανα με απαλοιφή βγαίνει g(x)^2=0 με g(x) αυτή που έγραψε ο tasos

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Filippos14]

Τοσο βγαίνει το έκανα με απαλοιφή βγαίνει g(x)^2=0 με g(x) αυτή που έγραψε ο tasos

Ωραια και εγω ετσι το βγαλα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Lost in the Fog]

μια βοηθεια στις παρακατω ασκησεις...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

Ερώτημα Β, ρυθμός μεταβολής.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

μια βοηθεια στις παρακατω ασκησεις...

2η άσκηση

α) Η f έχει πεδίο τιμών το f(R)=R και ισχύει 3f(x)+συνf(x)=x για κάθε x ανήκει R.
Θεωρούμε x1, x2 ανήκουν R με f(x1)=f(x2) οπότε προκύπτει 3f(x1)=3f(x2) και συνf(x1)=συνf(x2). Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
3f(x1)+συνf(x1)=3f(x2)+συνf(x2) => x1=x2

Άρα η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη. Επομένως ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει R και y ανήκει f(R)=R

Συνεπώς έχουμε (f-1)(y)=3y+συνy όπου y ανήκει R. Άρα (f-1)(x)=3x+συνx για κάθε x ανήκει R. Έχουμε:
(f-1)(x)=3x+συνx <=> [(f-1)(x)-συνx]/3=x για κάθε x ανήκει R

β) (f-1)(0)=3*0+συν0=0+1=1 <=> f(1)=0
(f-1)(π/2)=3*(π/2)+συν(π/2)=(3π/2) <=> f(3π/2)=π/2

Άρα η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1,0) και Β(3π/2,π/2)

γ) f(f(f(x)+1)+(3π/2))=π/2 <=> f(f(f(x)+1)+(3π/2))=f(3π/2) <=> f(f(x)+1)+(3π/2)=3π/2 <=> f(f(x)+1)=0 <=> f(f(x)+1)=f(1) <=> f(x)+1=1 <=> f(x)=0 <=> f(x)=f(1) <=> x=1

δ) Η συνάρτηση f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
(f-1)΄(y)=3-ημy

Για y=0 έχουμε (f-1)(0)=1 και (f-1)΄(0)=3. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο έχουμε:

lim(y->0){[(f-1)(y)-(f-1)(0)]/(y-0)}=(f-1)΄(0) <=> lim(y->0){[(f-1)(y)-1]/y}=3

Άρα lim(x->0){[(f-1)(x)-1]/x}=3 <=> lim(x->0){[((f-1)(x)-1)/x]-3}=0

Για κάθε y ανήκει R ισχύει -1<=συνy<=1 => 3y-1<=3y+συνy<=3y+1 => 3y-1<=(f-1)(y)<=3y+1

Για y>1/3 ισχύει 3y-1>0 και 37+1>2>0, οπότε έχουμε:
3y-1<=(f-1)(y)<=3y+1 => 1/(3y+1)<=1/(f-1)(y)<=1/(3y-1) => y/(3y+1)<=y/(f-1)(y)<=y/(3y-1)

Επειδή lim(y->+oo)[y/(3y-1)]=lim(y->+oo)[y/(3y+1)]=lim(y->+oo)[y/(3y)]=lim(y->+oo)(1/3)=1/3 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει lim(y->+oo)[y/(f-1)(y)]=1/3

Επειδή lim(y->+oo)(3y-1)=lim(y->+oo)(3y+1)=lim(y->+oo)(3y)=+oo τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει
lim(y->+oo)(f-1)(y)=+oo

Θεωρούμε τον μετασχηματισμό y=f(x) <=> x=(f-1)(y). Επειδή lim(y->+oo)(f-1)(y)=+oo τότε έχουμε:
lim(x->+oo)[f(x)/x]=lim(y->+oo)[y/(f-1)(y)]=1/3

Συνεπώς lim(x->+oo)[f(x)/x]=1/3 <=> lim(x->+oo){[f(x)/x]-(1/3)}=0

ε) Όπως αναφέρθηκε η f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο (f-1)΄(y)=3-ημy. Για κάθε y ανήκει R ισχύει -1<=ημy<=1, οπότε έχουμε:

-1<=ημy<=1 => -1<=-ημy<=1 => 2<=3-ημy<=4 => 2<=(f-1)΄(y)<=4 => (f-1)΄(y)>0 για κάθε y ανήκει R

Επειδή η f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (f-1)΄(y)>0 για κάθε y ανήκει R τότε η f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο R.
Επειδή η f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο R τότε και η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

Επειδή η f-1 είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (f-1)΄(y) διάφορο 0 για κάθε y ανήκει R τότε η f είναι πραγωγίσιμη στο R (δεν χρειάζεται να δώσει η εκφώνηση ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R αφού προκύπτει από τα δεδομένα) με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=1/(f-1)΄(f(x)), x ανήκει R

Για x=1 προκύπτει f΄(1)=1/(f-1)΄(f(1))=1/(f-1)΄(0)=1/3

Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(1,f(1)) έχει εξίσωση:
y-f(1)=f΄(1)(x-1) => y-0=(1/3)(x-1) => y=(1/3)x-(1/3)

Θεωρούμε την συνάρτηση
g(x)=(f-1)(x)-[(1/3)x-(1/3)]=3x+συνx-(1/3)x+(1/3)=(8/3)x+συνx+(1/3), x ανήκει R
Η g είναι συνεχής στο R

g(-π/2)=(1-4π)/3<0
g(0)=4/3>0

Η g είναι συνεχής στο [-π/2,0] και ισχύει g(-π/2)g(0)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (-π/2,0) τέτοιο ώστε g(x0)=0 <=> (f-1)(x0)=(1/3)x0-(1/3)=y0 όπου y0=(1/3)x0-(1/3)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.