μια βοηθεια στις παρακατω ασκησεις...
2η άσκηση
α) Η f έχει πεδίο τιμών το f(R)=R και ισχύει 3f(x)+συνf(x)=x για κάθε x ανήκει R.
Θεωρούμε x1, x2 ανήκουν R με f(x1)=f(x2) οπότε προκύπτει 3f(x1)=3f(x2) και συνf(x1)=συνf(x2). Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
3f(x1)+συνf(x1)=3f(x2)+συνf(x2) => x1=x2
Άρα η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη. Επομένως ισχύει η ισοδυναμία:
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει R και y ανήκει f(R)=R
Συνεπώς έχουμε (f-1)(y)=3y+συνy όπου y ανήκει R. Άρα (f-1)(x)=3x+συνx για κάθε x ανήκει R. Έχουμε:
(f-1)(x)=3x+συνx <=> [(f-1)(x)-συνx]/3=x για κάθε x ανήκει R
β) (f-1)(0)=3*0+συν0=0+1=1 <=> f(1)=0
(f-1)(π/2)=3*(π/2)+συν(π/2)=(3π/2) <=> f(3π/2)=π/2
Άρα η Cf διέρχεται από τα σημεία Α(1,0) και Β(3π/2,π/2)
γ) f(f(f(x)+1)+(3π/2))=π/2 <=> f(f(f(x)+1)+(3π/2))=f(3π/2) <=> f(f(x)+1)+(3π/2)=3π/2 <=> f(f(x)+1)=0 <=> f(f(x)+1)=f(1) <=> f(x)+1=1 <=> f(x)=0 <=> f(x)=f(1) <=> x=1
δ) Η συνάρτηση f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
(f-1)΄(y)=3-ημy
Για y=0 έχουμε (f-1)(0)=1 και (f-1)΄(0)=3. Από τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο έχουμε:
lim(y->0){[(f-1)(y)-(f-1)(0)]/(y-0)}=(f-1)΄(0) <=> lim(y->0){[(f-1)(y)-1]/y}=3
Άρα lim(x->0){[(f-1)(x)-1]/x}=3 <=> lim(x->0){[((f-1)(x)-1)/x]-3}=0
Για κάθε y ανήκει R ισχύει -1<=συνy<=1 => 3y-1<=3y+συνy<=3y+1 => 3y-1<=(f-1)(y)<=3y+1
Για y>1/3 ισχύει 3y-1>0 και 37+1>2>0, οπότε έχουμε:
3y-1<=(f-1)(y)<=3y+1 => 1/(3y+1)<=1/(f-1)(y)<=1/(3y-1) => y/(3y+1)<=y/(f-1)(y)<=y/(3y-1)
Επειδή lim(y->+oo)[y/(3y-1)]=lim(y->+oo)[y/(3y+1)]=lim(y->+oo)[y/(3y)]=lim(y->+oo)(1/3)=1/3 τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει lim(y->+oo)[y/(f-1)(y)]=1/3
Επειδή lim(y->+oo)(3y-1)=lim(y->+oo)(3y+1)=lim(y->+oo)(3y)=+oo τότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει
lim(y->+oo)(f-1)(y)=+oo
Θεωρούμε τον μετασχηματισμό y=f(x) <=> x=(f-1)(y). Επειδή lim(y->+oo)(f-1)(y)=+oo τότε έχουμε:
lim(x->+oo)[f(x)/x]=lim(y->+oo)[y/(f-1)(y)]=1/3
Συνεπώς lim(x->+oo)[f(x)/x]=1/3 <=> lim(x->+oo){[f(x)/x]-(1/3)}=0
ε) Όπως αναφέρθηκε η f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο (f-1)΄(y)=3-ημy. Για κάθε y ανήκει R ισχύει -1<=ημy<=1, οπότε έχουμε:
-1<=ημy<=1 => -1<=-ημy<=1 => 2<=3-ημy<=4 => 2<=(f-1)΄(y)<=4 => (f-1)΄(y)>0 για κάθε y ανήκει R
Επειδή η f-1 είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (f-1)΄(y)>0 για κάθε y ανήκει R τότε η f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο R.
Επειδή η f-1 είναι γνησίως αύξουσα στο R τότε και η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.
Επειδή η f-1 είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (f-1)΄(y) διάφορο 0 για κάθε y ανήκει R τότε η f είναι πραγωγίσιμη στο R (δεν χρειάζεται να δώσει η εκφώνηση ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R αφού προκύπτει από τα δεδομένα) με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=1/(f-1)΄(f(x)), x ανήκει R
Για x=1 προκύπτει f΄(1)=1/(f-1)΄(f(1))=1/(f-1)΄(0)=1/3
Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(1,f(1)) έχει εξίσωση:
y-f(1)=f΄(1)(x-1) => y-0=(1/3)(x-1) => y=(1/3)x-(1/3)
Θεωρούμε την συνάρτηση
g(x)=(f-1)(x)-[(1/3)x-(1/3)]=3x+συνx-(1/3)x+(1/3)=(8/3)x+συνx+(1/3), x ανήκει R
Η g είναι συνεχής στο R
g(-π/2)=(1-4π)/3<0
g(0)=4/3>0
Η g είναι συνεχής στο [-π/2,0] και ισχύει g(-π/2)g(0)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ανήκει (-π/2,0) τέτοιο ώστε g(x0)=0 <=> (f-1)(x0)=(1/3)x0-(1/3)=y0 όπου y0=(1/3)x0-(1/3)
