Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

dark_knight · 31-08-11

Πρώτα απ΄όλα οι σχέσεις αυτές όντως σου δίνουν μια λύση. Το ερώτημα λοιπόν είναι γιατί η λύση αυτή είναι μοναδική. Αυτό συνήθως προκύπτει από τη μορφή της διαφορικής εξίσωσης και των αρχικών συνθηκών του φυσικού προβλήματος που μελετάς.

Εδώ μπορείς ευκολότερα να προσπαθήσεις να δείξεις ότι αν a,b,c,d σταθερές, η σχέση $\cos{at} \sin{bt} = \cos{ct}\sin{dt}, \forall t \in \mathbb{R}$ συνεπάγεται ότι $a=c$ και $b=d.$ Αφού η σχέση αυτή ισχύει για κάθε πραγματικό t, μια ιδέα είναι να θέσεις διαδοχικά $t_0=\frac{\pi}{b}, \frac{\pi}{d}, \frac{\pi}{2a}, \frac{\pi}{2c},$ οπότε παίρνεις 4 ζεύγη εξισώσεων. Δεν τα έλεγξα γιατί έχουν αρκετές πράξεις, αλλά αν δε βαριέσαι κοίταξέ.

Gver · 31-08-11

Οποιος μπορει να βοηθησει εχω μια απορια που μου δημιουργηθηκε απο μια ασκηση
εχουμε φτασει στο σημειο
limx->0(xf(x)-2ημχ)=0
θετω ας πουμε g(x)=xf(x)-2ημχ με limx->0 g(x)=0
ειναι f(x)=(g(x)+2ημχ)/χ μπορω να σπασω τωρα το οριο εφοσον οριζονται τα δυο ορια? και να πω limx->0(g(x)/x) μεσω κ.π οτι ειναι ειναι μηδεν?

qwerty111 · 31 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από dark_knight:
Πρώτα απ΄όλα οι σχέσεις αυτές όντως σου δίνουν μια λύση. Το ερώτημα λοιπόν είναι γιατί η λύση αυτή είναι μοναδική. Αυτό συνήθως προκύπτει από τη μορφή της διαφορικής εξίσωσης και των αρχικών συνθηκών του φυσικού προβλήματος που μελετάς.

Εδώ μπορείς ευκολότερα να προσπαθήσεις να δείξεις ότι αν a,b,c,d σταθερές, η σχέση $\cos{at} \sin{bt} = \cos{ct}\sin{dt}, \forall t \in \mathbb{R}$ συνεπάγεται ότι $a=c$ και $b=d.$ Αφού η σχέση αυτή ισχύει για κάθε πραγματικό t, μια ιδέα είναι να θέσεις διαδοχικά $t_0=\frac{\pi}{b}, \frac{\pi}{d}, \frac{\pi}{2a}, \frac{\pi}{2c},$ οπότε παίρνεις 4 ζεύγη εξισώσεων. Δεν τα έλεγξα γιατί έχουν αρκετές πράξεις, αλλά αν δε βαριέσαι κοίταξέ.

Και εγώ νόμιζα πως η απάντηση θα ήταν απλή.

Η διαφορική εξίσωση δεν είναι εξίσωση που έχει παράγωγο; Στη συγκεκριμένη περίπτωση που είναι η παράγωγος; Έκανα την αντικατάσταση. Δεν έχω ιδέα όμως πώς λύνονται οι εξισώσεις. Πάντως να υποθέσω ότι στις πανελλήνιες σε παρόμοιο ζήτημα θα έχουμε το δικαίωμα να πούμε κατευθείαν $a=c$ και $b=d.$ ;

Αρχική Δημοσίευση από Gver:
Οποιος μπορει να βοηθησει εχω μια απορια που μου δημιουργηθηκε απο μια ασκηση
εχουμε φτασει στο σημειο
limx->0(xf(x)-2ημχ)=0
θετω ας πουμε g(x)=xf(x)-2ημχ με limx->0 g(x)=0
ειναι f(x)=(g(x)+2ημχ)/χ μπορω να σπασω τωρα το οριο εφοσον οριζονται τα δυο ορια? και να πω limx->0(g(x)/x) μεσω κ.π οτι ειναι ειναι μηδεν?

Δηλαδή πώς θα υπολογίσεις το limx->0(g(x)/x) με κριτήριο παρεμβολής;;; Εξ' αρχής δεν υπάρχει λόγος να σπάσεις το όριο αλλά βρίσκεις κατευθείαν ότι ισούται με 2

Civilara · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Gver:
Οποιος μπορει να βοηθησει εχω μια απορια που μου δημιουργηθηκε απο μια ασκηση
εχουμε φτασει στο σημειο
limx->0(xf(x)-2ημχ)=0
θετω ας πουμε g(x)=xf(x)-2ημχ με limx->0 g(x)=0
ειναι f(x)=(g(x)+2ημχ)/χ μπορω να σπασω τωρα το οριο εφοσον οριζονται τα δυο ορια? και να πω limx->0(g(x)/x) μεσω κ.π οτι ειναι ειναι μηδεν?

Εχουμε lim(x->0)(xf(x))=lim(x->0)((xf(x)-2ημx)+2ημx)=lim(x->0)(xf(x)-2ημx)+lim(x->0)(2ημx)=0+0=0 => lim(x->0)(xf(x))=0. Εστω οτι υπαρχει το οριο lim(x->0)f(x) και ειναι πραγματικος αριθμος c ανηκει R. Τοτε lim(x->0)(xf(x))=0*c=0 για καθε c ανηκει R. Αυτο σημαινει οτι αν υπαρχει το οριο lim(x->0)f(x) και ειναι πραγματικος αριθμος, δεν μπορει να προσδιοριστει γιατι ισχυει lim(x->0)(xf(x))=0 για καθε c ανηκει R. Επισης δεν γνωριζουμε απο την εκφωνηση αν η g(x) οπως την οριζεις οριζεται σε διαστημα (0,α), (β,0) η (γ, δ) οπου α, β ανηκει R και γ<0<δ.

Gver · 31-08-11

Δηλαδή πώς θα υπολογίσεις το limx->0(g(x)/x) με κριτήριο παρεμβολής;;; Εξ' αρχής δεν υπάρχει λόγος να σπάσεις το όριο αλλά βρίσκεις κατευθείαν ότι ισούται με 2

βασικα σαν ερωτηση ηθελα να το θεσω αν γινεται να το βρω το limx->0 g(x)/x
και πως μπορεις να το βρεις εξαρχης?αφου ειναι προς χ δεν ειναι σκετο...

Επισης δεν γνωριζουμε απο την εκφωνηση αν η g(x) οπως την οριζεις οριζεται σε διαστημα (0,α), (β,0) η (γ, δ) οπου α, β ανηκει R και γ<0<δ.

την g(x) εγω την παιρνω σαν βοηθητικη συναρτηση...

παρτε το απο την αρχη δηλαδη εχω |χf(x)-2ημχ|<χ^2 ισχυει κοντα στο χο=0 και ψαχνω το limx->0f(x)
απο κ.π. καταληγω στο limx->0(xf(x)-2ημχ)=0 μετα κολλαω...

qwerty111 · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Gver:
βασικα σαν ερωτηση ηθελα να το θεσω αν γινεται να το βρω το limx->0 g(x)/x
και πως μπορεις να το βρεις εξαρχης?αφου ειναι προς χ δεν ειναι σκετο...
την g(x) εγω την παιρνω σαν βοηθητικη συναρτηση...

Βλακεία είχα πει. Πρόσθεσα ότι έκανα λάθος στο προηγούμενο μήνυμά μου.

Gver · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Βλακεία είχα πει. Πρόσθεσα ότι έκανα λάθος στο προηγούμενο μήνυμά μου.

α σορρυ τοτε...δεν το προσεξα!!

με εχει φουντωσει τωρα αυτο το ασκησακι...δεν μου ρχεται τιποτα και δε θυμαμαι κιολας που το χα δει να τσεκαρω τη λυση...

qwerty111 · 31-08-11

Σε βοήθημα την είχες βρει;

Gver · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Σε βοήθημα την είχες βρει;

Μπορει να ειναι απο μπαρλα αλλα δεν την βρισκω...

g1wrg0s · 31-08-11

gner αν γινεται βαλε σε ενα post ολη την ασκηση και οποιος θελει να την προσπαθησει να το κανει απο εκει...Αν καποιος μπει και θελει να βοηθησει τοτε ενδεχομενως να μην βρει που υπαρχει το ζητουμενο και που τα δεδομενα της ασκησης. . .Σου προτεινω να το κανεις και οποιος θελει ας προσπαθησει

Civilara · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Gver:
παρτε το απο την αρχη δηλαδη εχω |χf(x)-2ημχ|<χ^2 ισχυει κοντα στο χο=0 και ψαχνω το limx->0f(x)
απο κ.π. καταληγω στο limx->0(xf(x)-2ημχ)=0 μετα κολλαω...

Αυτην την εκφωνηση δεν την ειχα δει. Λυνεται αμεσα με κριτηριο παρεμβολης.

|xf(x)-2ημx|<x^2 => -x^2<xf(x)-2ημx<x^2 => 2ημx-x^2<xf(x)<2ημx+x^2

Το οτι η f οριζεται κοντα στο 0 εχει 3 ερμηνειες:
ι) η f οριζεται σε διαστημα της μορφης (α,0), α<0 και οχι σε διαστημα της μορφης (0, β), β>0
ιι) η f οριζεται σε διαστημα της μορφης (β,0), β>0 και οχι σε διαστημα της μορφης (α,0), α<0
ιιι) η f οριζεται σε συνολο της μορφης (α,0)U(0,β) οπου α<0<β

Θα εξεταστει η 3η περιπτωση.

Αν x ανηκει (α,0) τοτε x<0 οποτε 2(ημx/x)+x<f(x)<2(ημx/x)-x
Αν x ανηκει (0,β) τοτε x>0 οποτε 2(ημx/x)-x<f(x)<2(ημx/x)+x

lim(x->0)(2(ημx/x)-x)=2*1-0=2 <=> lim(x->0-)(2(ημx/x)-x)=lim(x->0+)(2(ημx/x)-x)=2
lim(x->0)(2(ημx/x)+x)=2*1+0=2 <=> lim(x->0-)(2(ημx/x)+x)=lim(x->0+)(2(ημx/x)+x)=2

Επειδη lim(x->0-)(2(ημx/x)+x)=lim(x->0-)(2(ημx/x)-x)=2 τοτε lim(x->0-)f(x)=2
Επειδη lim(x->0+)(2(ημx/x)-x)=lim(x->0+)(2(ημx/x)+x)=2 τοτε lim(x->0+)f(x)=2

lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x)=2 <=> lim(x->0)f(x)=2

Αν οριζεται η f μονο σε ενα διαστημα της μορφης (0,α) η (0, β) τοτε το lim(x->0)f(x) ειναι ισο με το αντιστοιχο πλευρικο οριο. Σε ολες τις περιπτωσεις lim(x->0)f(x)=2

Gver · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Αυτην την εκφωνηση δεν την ειχα δει. Λυνεται αμεσα με κριτηριο παρεμβολης.

|xf(x)-2ημx|<x^2 => -x^2<xf(x)-2ημx<x^2 => 2ημx-x^2<xf(x)<2ημx+x^2

Το οτι η f οριζεται κοντα στο 0 εχει 3 ερμηνειες:
ι) η f οριζεται σε διαστημα της μορφης (α,0), α<0 και οχι σε διαστημα της μορφης (0, β), β>0
ιι) η f οριζεται σε διαστημα της μορφης (β,0), β>0 και οχι σε διαστημα της μορφης (α,0), α<0
ιιι) η f οριζεται σε συνολο της μορφης (α,0)U(0,β) οπου α<0<β

Θα εξεταστει η 3η περιπτωση.

Αν x ανηκει (α,0) τοτε x<0 οποτε 2(ημx/x)+x<f(x)<2(ημx/x)-x
Αν x ανηκει (0,β) τοτε x>0 οποτε 2(ημx/x)-x<f(x)<2(ημx/x)+x

lim(x->0)(2(ημx/x)-x)=2*1-0=2 <=> lim(x->0-)(2(ημx/x)-x)=lim(x->0+)(2(ημx/x)-x)=2
lim(x->0)(2(ημx/x)+x)=2*1+0=2 <=> lim(x->0-)(2(ημx/x)+x)=lim(x->0+)(2(ημx/x)+x)=2

Επειδη lim(x->0-)(2(ημx/x)+x)=lim(x->0-)(2(ημx/x)-x)=2 τοτε lim(x->0-)f(x)=2
Επειδη lim(x->0+)(2(ημx/x)-x)=lim(x->0+)(2(ημx/x)+x)=2 τοτε lim(x->0+)f(x)=2

lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x)=2 <=> lim(x->0)f(x)=2

Αν οριζεται η f μονο σε ενα διαστημα της μορφης (0,α) η (0, β) τοτε το lim(x->0)f(x) ειναι ισο με το αντιστοιχο πλευρικο οριο. Σε ολες τις περιπτωσεις lim(x->0)f(x)=2

χμμ ευχαριστω πολυ τελικα δεν ηταν τοσο δυσκολο αν σκεφτεις οτι πρεπει να παρεις περιπτωσεις για το χ...
ο αλλος τροπος με βοηθητικη συναρτηση δεν οδηγει καπου ετσι?

Gver · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Αυτην την εκφωνηση δεν την ειχα δει. Λυνεται αμεσα με κριτηριο παρεμβολης.

|xf(x)-2ημx|<x^2 => -x^2<xf(x)-2ημx<x^2 => 2ημx-x^2<xf(x)<2ημx+x^2

Το οτι η f οριζεται κοντα στο 0 εχει 3 ερμηνειες:
ι) η f οριζεται σε διαστημα της μορφης (α,0), α<0 και οχι σε διαστημα της μορφης (0, β), β>0
ιι) η f οριζεται σε διαστημα της μορφης (β,0), β>0 και οχι σε διαστημα της μορφης (α,0), α<0
ιιι) η f οριζεται σε συνολο της μορφης (α,0)U(0,β) οπου α<0<β

Θα εξεταστει η 3η περιπτωση.

Αν x ανηκει (α,0) τοτε x<0 οποτε 2(ημx/x)+x<f(x)<2(ημx/x)-x
Αν x ανηκει (0,β) τοτε x>0 οποτε 2(ημx/x)-x<f(x)<2(ημx/x)+x

lim(x->0)(2(ημx/x)-x)=2*1-0=2 <=> lim(x->0-)(2(ημx/x)-x)=lim(x->0+)(2(ημx/x)-x)=2
lim(x->0)(2(ημx/x)+x)=2*1+0=2 <=> lim(x->0-)(2(ημx/x)+x)=lim(x->0+)(2(ημx/x)+x)=2

Επειδη lim(x->0-)(2(ημx/x)+x)=lim(x->0-)(2(ημx/x)-x)=2 τοτε lim(x->0-)f(x)=2
Επειδη lim(x->0+)(2(ημx/x)-x)=lim(x->0+)(2(ημx/x)+x)=2 τοτε lim(x->0+)f(x)=2

lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x)=2 <=> lim(x->0)f(x)=2

Αν οριζεται η f μονο σε ενα διαστημα της μορφης (0,α) η (0, β) τοτε το lim(x->0)f(x) ειναι ισο με το αντιστοιχο πλευρικο οριο. Σε ολες τις περιπτωσεις lim(x->0)f(x)=2

χμμ ευχαριστω πολυ τελικα δεν ηταν τοσο δυσκολο αν σκεφτεις οτι πρεπει να παρεις περιπτωσεις για το χ...
ο αλλος "τροπος" με βοηθητικη συναρτηση δεν οδηγει καπου ετσι?

dannaros · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Gver:
χμμ ευχαριστω πολυ τελικα δεν ηταν τοσο δυσκολο αν σκεφτεις οτι πρεπει να παρεις περιπτωσεις για το χ...
ο αλλος "τροπος" με βοηθητικη συναρτηση δεν οδηγει καπου ετσι?

δεν νομίζω

infamous · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
$f(nx)=f(\underset{n}{\underbrace{x+\cdots+x}})=f(\underset{n-1}{\underbrace{x+\cdots+x}}+x)= \\ =f(\underset{n-1}{\underbrace{x+\cdots+x}})+f(x)=f(\underset{n-2}{\underbrace{x+\cdots+x}})+2f(x)= \\ =f(\underset{k\leq n}{\underset{n-k}{\underbrace{x+\cdots+x}}})+kf(x)\overset{k=n}{=}f(0)+nf(x)\overset{f(0)=0}{=}nf(x) \forall n \in \mathbb{N}$

παιδια αυτο που δν καταλαβαινω ειναι πως παμε απο το 3ο βημα στο 4ο και απο το 4ο στο 5ο.Μπορω να εχω ενα παραδειγμα?Ευχαριστω

exc · 31-08-11

Αρχική Δημοσίευση από infamous:
παιδια αυτο που δν καταλαβαινω ειναι πως παμε απο το 3ο βημα στο 4ο και απο το 4ο στο 5ο.Μπορω να εχω ενα παραδειγμα?Ευχαριστω

Δεν είναι κάτι που ισχύει γενικά. Ο/η φίλος/η που έδωσε την άσκηση έδωσε μία γραμμική συνάρτηση, δηλαδή μία συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα: $f(x+y)=f(x)+f(y)$

infamous · 01-09-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Δεν είναι κάτι που ισχύει γενικά. Ο/η φίλος/η που έδωσε την άσκηση έδωσε μία γραμμική συνάρτηση, δηλαδή μία συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα: $f(x+y)=f(x)+f(y)$

A σορρυ δν το προσεξα..ειπα κι εγω τσαμπα εκανα επαναληψη..τπτ δν θυμαμαι...ουφ οκ ευχαριστω..

AntonisR21 · 02-09-11

Γεια σας,
θα μπορούσε να με βοηθήσει κάποιος στην άσκηση 59 σελιδα 65 του Μπάρλα και στην άσκηση 83 σελίδα 68...
επίσης ξέρει κανείς αν υπάρχουν στο βιβλιοπωλείο αναλυτικές λύσεις γιατί υπάρχουν ασκήσεις που ξοδεύω άδικα πολύτιμο χρόνο προσπαθώντας να τις λύσω χωρίς να το καταφέρω τελικά...
ευχαριστώ..

catherine1994 · 02-09-11

Αρχική Δημοσίευση από AntonisR21:
Γεια σας,
θα μπορούσε να με βοηθήσει κάποιος στην άσκηση 59 σελιδα 65 του Μπάρλα και στην άσκηση 83 σελίδα 68...
επίσης ξέρει κανείς αν υπάρχουν στο βιβλιοπωλείο αναλυτικές λύσεις γιατί υπάρχουν ασκήσεις που ξοδεύω άδικα πολύτιμο χρόνο προσπαθώντας να τις λύσω χωρίς να το καταφέρω τελικά...
ευχαριστώ..

Λύνεις το συστημα με αγνωστους z1 και z2.
Βγαινει z1=2-3i z2=-1+i
Οι εικονες των μιγαδικων αυτων ειναι A(2,-3) B(-1,1)
Βρισκεις την εξισωση της ευθειας που οριζεται απο τα Α και Β και μετα βρισκεις την αποσταση του Ο(0,0) απο την ευθεια
Η αποσταση αυτη ειναι το ελαχιστο μετρο του z

Για την 83 κανε το σχημα
ειναι 2 κυκλοι χωριε κοινα σημεια αλλα η μεγιστη αποσταση θα ειναι η διακεντρος συν τις 2 ακτινες και η ελαχιστη η διακεντρος μειον τις 2 ακτινες

red span · 03-09-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Δεν είναι κάτι που ισχύει γενικά. Ο/η φίλος/η που έδωσε την άσκηση έδωσε μία γραμμική συνάρτηση, δηλαδή μία συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα: $f(x+y)=f(x)+f(y)$

Oταν μια συναρτηση ικανοποοιει την παραπανω ιδιοτητα τοτε λεγετε προσθετικη συναρτηση
Φιλικά ,Χάρης

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος