Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Civilara]

Για την ακριβεια ζηταει την του (22) , απλά θεώρησα πως πρέπει να βρω την και εν συνεχεία να βάλω όπου χ το 22

f(3)=22 <=> (f-1)(22)=3

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[IasonasM]

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pavlos13]

Ευχαριστώ! Κατι ακομα για τα κοινα σημεια των Cf kai Cf-1 εξισωσωνω y=f(x) και y=f(x) . αλλα με τι τυπους?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Ευχαριστώ! Κατι ακομα για τα κοινα σημεια των Cf kai Cf-1 εξισωσωνω y=f(x) και y=f(x) . αλλα με τι τυπους?

Οι εξισώσεις f(x)=(f-1)(x) και f(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή έχουν τις ίδιες λύσεις (αναζητούνται οι λύσεις στο σύνολο Ατομήf(Α) υποσύνολο του R όπου Α το πεδίο ορισμού της f).

Για f(x)=(x^3)+x-8 έχουμε A=f(A)=R. Επομένως

f(x)=(f-1)(x) <=> f(x)=x <=> (x^3)+x-8=x <=> (x^3)-8=0 <=> x^3=8 <=> x=2

Έχουμε f(2)=2 <=> (f-1)(2)=2

Το σημείο Μ(2,2) είναι το μοναδικό σημείο τομής των Cf και C(f-1)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pavlos13]

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pavlos13]

Δίνεται η και στο i ερωτημα ζητείται να βρεθεί η αντίθετη της , δινοντας μας την }απαντηση

Έχουμε και λεμε θέτω

και έχω ξεφύγει τελειως απο το αποτέλεσμα που ψάχνω να βρω!
Μπορεί κάποιος να μου εντοπίσει το λάθος?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[greekgohan]

Δίνεται η και στο i ερωτημα ζητείται να βρεθεί η αντίθετη της , δινοντας μας την }απαντηση

Έχουμε και λεμε θέτω

και έχω ξεφύγει τελειως απο το αποτέλεσμα που ψάχνω να βρω!
Μπορεί κάποιος να μου εντοπίσει το λάθος?

Εδω ειναι το λαθος ...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Δίνεται η και στο i ερωτημα ζητείται να βρεθεί η αντίθετη της , δινοντας μας την }απαντηση

Έχουμε και λεμε θέτω

και έχω ξεφύγει τελειως απο το αποτέλεσμα που ψάχνω να βρω!
Μπορεί κάποιος να μου εντοπίσει το λάθος?

H f έχει πεδίο ορισμού το A=R και γράφεται ισοδύναμα:
f(x)=[(e^x)-(e^(-x))]/2=(e^(2x)-1)/(2(e^x))=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)), x ανήκει R

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=[(e^x)+(e^(-x))]/2=(e^(2x)+1)/(2(e^x))>0 για κάθε x ανήκει R

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άρα είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη.

Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo και lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε θέτοντας u=e^x έχουμε:

lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->0+){[(u^2)-1]/(2u)}=-oo
εφόσον lim(u->0+)(1/u)=+oo και lim(u->0+){[(u^2)-1]/2}=-1/2<0

lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->+οο){[(u^2)-1]/(2u)}=lim(u->+οο)[(u^2)/(2u)]=lim(u->+οο)(u/2)=+oo

Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, επομένως το πεδίο τιμών της είναι:
f(A)=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(-oo,+oo)=R

Συνεπώς A=f(A)=R

Η f είναι αντιστρέψιμη, οπότε ισχύει η ισοδυναμία
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A, y ανήκει f(A)

y=f(x) <=> y=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)) <=> 2y(e^x)=((e^x)^2)-1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)=1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)+(y^2)=(y^2)+1 <=> [(e^x)-y]^2=(y^2)+1 <=> |(e^x)-y|=SQRT((y^2)+1) <=> (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) ή (e^x)-y=SQRT((y^2)+1)

i) (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y-SQRT((y^2)+1)=g(y)

όπου g(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R

1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>x => -SQRT((x^2)+1)<-x => x-SQRT((x^2)+1)<0 => g(x)<0 για κάθε x ανήκει R που είναι άτοπο καθώς πρέπει e^x=g(y) με e^x>0 για κάθε x ανήκει R και g(y)<0 για κάθε y ανήκει R

ii) (e^x)-y=SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y+SQRT((y^2)+1)=h(y)

όπου h(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R

1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=-x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>-x => x+SQRT((x^2)+1)>0 => h(x)>0 για κάθε x ανήκει R

Έχουμε

e^x=h(y) <=> x=lnh(y) <=> x=ln[y+SQRT((y^2)+1)] <=> (f-1)(y)=ln[y+SQRT((y^2)+1)]

Άρα (f-1)(x)=ln[x+SQRT((x^2)+1)], x ανήκει f(A)=R

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[greekgohan]

H f έχει πεδίο ορισμού το A=R και γράφεται ισοδύναμα:
f(x)=[(e^x)-(e^(-x))]/2=(e^(2x)-1)/(2(e^x))=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)), x ανήκει R

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=[(e^x)+(e^(-x))]/2=(e^(2x)+1)/(2(e^x))>0 για κάθε x ανήκει R

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άρα είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη.

Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo και lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε θέτοντας u=e^x έχουμε:

lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->0+){[(u^2)-1]/(2u)}=-oo
εφόσον lim(u->0+)(1/u)=+oo και lim(u->0+){[(u^2)-1]/2}=-1/2<0

lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->+οο){[(u^2)-1]/(2u)}=lim(u->+οο)[(u^2)/(2u)]=lim(u->+οο)(u/2)=+oo

Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, επομένως το πεδίο τιμών της είναι:
f(A)=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(-oo,+oo)=R

Συνεπώς A=f(A)=R

Η f είναι αντιστρέψιμη, οπότε ισχύει η ισοδυναμία
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A, y ανήκει f(A)

y=f(x) <=> y=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)) <=> 2y(e^x)=((e^x)^2)-1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)=1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)+(y^2)=(y^2)+1 <=> [(e^x)-y]^2=(y^2)+1 <=> |(e^x)-y|=SQRT((y^2)+1) <=> (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) ή (e^x)-y=SQRT((y^2)+1)

i) (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y-SQRT((y^2)+1)=g(y)

όπου g(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R

1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>x => -SQRT((x^2)+1)<-x => x-SQRT((x^2)+1)<0 => g(x)<0 για κάθε x ανήκει R που είναι άτοπο καθώς πρέπει e^x=g(y) με e^x>0 για κάθε x ανήκει R και g(y)<0 για κάθε y ανήκει R

ii) (e^x)-y=SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y+SQRT((y^2)+1)=h(y)

όπου h(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R

1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=-x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>-x => x+SQRT((x^2)+1)>0 => h(x)>0 για κάθε x ανήκει R

Έχουμε

e^x=h(y) <=> x=lnh(y) <=> x=ln[y+SQRT((y^2)+1)] <=> (f-1)(y)=ln[y+SQRT((y^2)+1)]

Άρα (f-1)(x)=ln[x+SQRT((x^2)+1)], x ανήκει f(A)=R

Καταλαβαινω οτι θελεις να το γραψεις αναλυτικα αλλα γινεται πιο δυσνοητο,δεν χρειαζεται να αποδειξεις οτι οντως εχει αντιστροφη αφου η ασκηση στην ζηταει και σου εδωσε και την λυση το παιδι.Μπραβο για το κουραγιο σου ομως...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pavlos13]

Εδω ειναι το λαθος ...

Λάθος στην ιδιότητα δυνάμεων ?

Spoiler

CIVILARA ΘΕΟΣ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[antonisd95]

Λάθος στην ιδιότητα δυνάμεων ?

Άλγεβρα β λυκείου.Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση.Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη.-->Επανάληψη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[gth]

Λάθος στην ιδιότητα δυνάμεων ?

Spoiler

CIVILARA ΘΕΟΣ

x^a -x^b =x^a/b????? ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΥΤΟ.



Είναι (α^x)*(a^y)=a^x+y

και

(α^x)/(a^y)=a^(x-y)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vimaproto]

Γιατί δεν κάνετε κάτι πιο απλό αφού καθορίσετε τα πεδία ορισμού και τιμών.
Βάζω όπου χ το y και όπου y το χ θα είναι τώρα
έτσι
ονομάζω
και
αφού η άλλη τιμή του ω είναι αρνητική.
Τότε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pavlos13]

Γιατί δεν κάνετε κάτι πιο απλό αφού καθορίσετε τα πεδία ορισμού και τιμών.
Βάζω όπου χ το y και όπου y το χ θα είναι τώρα
έτσι
ονομάζω
και
αφού η άλλη τιμή του ω είναι αρνητική.
Τότε

Χμμ , απλο και κατανοητο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dr.Quantum]

Σπαζοκεφαλιάζω,ξέρω τη μεθοδολογία,δοκίμασα και άλλα πράγματα,άλλα παραδίνομαι.Τη παλεύω ώρες.Το πήρα προσωπικά.Ηττήθηκα :Ρ

Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία (ε): χ+ψ=1,να δείξετε ότι η εικόνα Ν του μιγαδικού w = (z+1)/(z-1) , βρίσκεται σε ευθεία που είναι κάθετη στην (ε).

Pleaze Help.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

συστημα ελυσες;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dr.Quantum]

Περίπου.Δοκίμασα κάτι,να εκφράσω το χ συναρτήσει του ψ μέσω της εξίσωσης της ευθείας και να αντικαταστήσω στο z,διάφορα έχω δοκιμάσει.Κάποια στιγμή στις πράξεις βγάζει 2 ύποπτες ταυτότητες στον αριθμητή και το παρανομαστή το κλάσμα..που δε γίνεται να βγήκαν τυχαία,άλλα μέχρι εκεί.Αν διώξεις το γιοτ από τον παρανομαστή και κάνεις πράξεις σου βγαίνουν τα τετράγωνα,άλλα δε φαίνεται να συνεχίζει.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[φρι]

Περίπου.Δοκίμασα κάτι,να εκφράσω το χ συναρτήσει του ψ μέσω της εξίσωσης της ευθείας και να αντικαταστήσω στο z,διάφορα έχω δοκιμάσει.Κάποια στιγμή στις πράξεις βγάζει 2 ύποπτες ταυτότητες στον αριθμητή και το παρανομαστή το κλάσμα..που δε γίνεται να βγήκαν τυχαία,άλλα μέχρι εκεί.Αν διώξεις το γιοτ από τον παρανομαστή και κάνεις πράξεις σου βγαίνουν τα τετράγωνα,άλλα δε φαίνεται να συνεχίζει.

θα το δω αυριο,τωρα νυσταζω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Σπαζοκεφαλιάζω,ξέρω τη μεθοδολογία,δοκίμασα και άλλα πράγματα,άλλα παραδίνομαι.Τη παλεύω ώρες.Το πήρα προσωπικά.Ηττήθηκα :Ρ

Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία (ε): χ+ψ=1,να δείξετε ότι η εικόνα Ν του μιγαδικού w = (z+1)/(z-1) , βρίσκεται σε ευθεία που είναι κάθετη στην (ε).

Pleaze Help.

Έστω z=x+yi όπου x,y ανήκουν R και w=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R
Το Μ(z) ανήκει στην (ε): y=-x+1 => z=x+(-x+1)i=x+(1-x)i

Αντικαθιστούμε στο w και έχουμε:
w=[(x+1)+(1-x)i]/[(x-1)+(1-x)i]=...=[(xSQRT(2))/(x-1)]+[SQRT(2)/(x-1)]i

Για να ορίζεται ο w πρέπει z διάφορο 1 => x διάφορο 1

Επομένως w=X+Yi όπου
X=(xSQRT(2))/(x-1) (1)
Y=SQRT(2)/(x-1) (2)
x ανήκει (-οο,1)U(1,+οο)

Από την (2) προκύπτει:
x=(SQRT(2)/Y)+1

Αντικαθιστούμε στην (1) οπότε προκύπτει μετά από πράξεις
X=Y+SQRT(2) => Y=X-SQRT(2) όπου X διάφορο SQRT(2) επειδή x διάφορο 1

Άρα αν ο z ανήκει στην ευθεία (ε): y=-x+1, x ανήκει R τότε ο w ανήκει στην ευθεία (η): y=x-SQRT(2), x ανήκει (-οο,SQRT(2))U(SQRT(2),+oo)

Είναι λε=-1 και λη=1. Επομένως λε*λη=-1 που σημαίνει ότι οι ευθείες (ε) και (η) είναι κάθετες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dr.Quantum]

Δε το πιστεύω!!! Έχω γεμίσει 8 σελίδες τετραδίου,κυριολεκτικά 8 σελίδες με πράξεις και δοκιμές,και αυτή τη μέθοδο τη δοκίμασα,απλώς είχα ήδη διώξει το γιότα από το παρανομαστή και μου έβγαιναν πράξεις τούμπανα.Δε μου πήγε το μυαλό στο να το δοκιμάσω κατευθείαν.Αν είναι δυνατόν... =.=
Χίλια ευχαριστώ!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.