Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Civilara]

Eεε, έκανα ορθογραφικό λάθος. ήθελα να πω.

Όχι.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^x). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->+oo)f(x)=-oo.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[demetr]

2)Αν ισχύει

ν.δ.ο

και

όπου

πραγματικοί!

Άσκηση πολυωνύμων Β λυκείου!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[JKaradakov]

είναι γνησίως αύξουσα η συνάρτηση;

Όχι δεν είναι καν γν. μονότονη.

Όχι.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=1-(e^x). Η f έχει πεδίο ορισμού το Α=R, πεδίο τιμών το f(Α)=(-οο,1) και ισχύει
lim(x->+oo)f(x)=-oo.

Οκ. Ευχαριστώ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[P@NT?LO$]

εστω η συναρτηση η οποια εινα 2 φορες παραγωγισγιμη και ισχυει για καθε x που ανηκει στο R.Να δειξετε οτι:
i) Υπαρχει τετοιο ωστε
ii)
iii)Η εξισωση εχει 2 τουλαχιστον ριζες στο (0,1)

βοηθεια!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

i) Για στην αρχική παίρνουμε . Όμοια για προκύπτει ότι . Από Rolle υπάρχει με
ii) Θεωρούμε την συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σαν σύνθεση παραγωγίσιμων με . Έχουμε λόγω της αρχικής σχέσης ότι και επίσης λόγω του πρώτου ερωτήματος . Άρα και για κάθε . Δηλαδή η παρουσιάζει ελάχιστο στα σημεία οπότε από Fermat παίρνουμε . Όμως


iii) Εύκολο από Rolle για την στα διαστήματα όπου το σημείο του ερωτήματος i)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[JKaradakov]

Παιδιά αν έχω μια συνάρτηση μπορώ να πω ότι ;

Επανέρχομαι. Μπορώ όμως να πω πως για κάθε x ανείκει στο R;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Επανέρχομαι. Μπορώ όμως να πω πως για κάθε x ανείκει στο R;

Φυσικά. Εφόσον το πεδίο ορισμού είναι το R και το πεδίο τιμών είναι το (-οο,1) τότε f(x)<1 για κάθε x ανήκει R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[JKaradakov]

Φυσικά. Εφόσον το πεδίο ορισμού είναι το R και το πεδίο τιμών είναι το (-οο,1) τότε f(x)<1 για κάθε x ανήκει R.

Οκ, ευχαριστώ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[angietrelaful15]

Ευχαριστώ για τη βοήθεια styt_geia , vimaproto και civilara !

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

2)Αν ισχύει

ν.δ.ο

και

όπου

πραγματικοί!

Άσκηση πολυωνύμων Β λυκείου!

Θεωρούμε τα πολυώνυμα P(x)=f(x)+g(x) και Q(x)=f(x)g(x). Για να ισχύει P(x)=Q(x) για κάθε x ανήκει R πρέπει τα πολυώνυμα P και Q να έχουν τον ίδιο βαθμό nP=nQ.

α) Αν τα πολυώνυμα f και g έχουν τον ίδιο βαθμό nf=ng=n τότε nP=n και nQ=2n. Επομένως έχουμε:
n=2n <=> n=0
που σημαίνει ότι τα f και g είναι σταθερά πολυώνυμα, δηλαδή f(x)=α και g(x)=β για κάθε x ανήκει R όπου α,β ανήκουν R

f(x)+g(x)=f(x)g(x) <=> α+β=αβ

Αν α=1 τότε 1+β=β που είναι αδύνατη, οπότε α διάφορο 1
Αν β=1 τότε α+1=1 που είναι αδύνατη, οπότε β διάφορο 1

Άρα α διάφορο 1 και β διάφορο 1. Τότε έχουμε:

α+β=αβ <=> αβ-β=α <=> (α-1)β=α <=> β=α/(α-1)

β) Αν nf>=ng τότε nP=nf και nQ=nf+ng. Επομένως έχουμε
nf=nf+ng <=> ng=0 που σημαίνει ότι το g είναι σταθερό πολυώνυμο, δηλαδή g(x)=β για κάθε x ανήκει R όπου β ανήκει R. Έχουμε

P(x)=f(x)+g(x)=f(x)+β
Q(x)=f(x)g(x)=βf(x)

P(x)=Q(x) <=> f(x)+β=βf(x) <=> βf(x)-f(x)=β <=> (β-1)f(x)=β

(i) Αν β=1 τότε g(x)=1 για κάθε x ανήκει R και επομένως
P(x)=f(x)+1
Q(x)=f(x)

1>0 => f(x)+1>f(x) <=> P(x)>Q(x) για κάθε x ανήκει R

Άρα όταν g(x)=β=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο f ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R

(ii) Αν β διάφορο 1 τότε f(x)=β/(β-1)=α που σημαίνει ότι και το f είναι σταθερό πολυώνυμο (nf=0).

Τότε έχουμε P(x)=Q(x)=(β^2)/(β-1) για κάθε x ανήκει R

β) Αν nf<=ng τότε nP=ng και nQ=nf+ng. Επομένως έχουμε
ng=nf+ng <=> nf=0 που σημαίνει ότι το f είναι σταθερό πολυώνυμο, δηλαδή f(x)=α για κάθε x ανήκει R όπου α ανήκει R. Έχουμε

P(x)=f(x)+g(x)=g(x)+α
Q(x)=f(x)g(x)=αg(x)

P(x)=Q(x) <=> g(x)+α=αg(x) <=> αg(x)-g(x)=α <=> (α-1)g(x)=α

(i) Αν α=1 τότε f(x)=1 για κάθε x ανήκει R και επομένως
P(x)=g(x)+1
Q(x)=g(x)

1>0 => g(x)+1>g(x) <=> P(x)>Q(x) για κάθε x ανήκει R

Άρα όταν f(x)=α=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο g ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R

(ii) Αν α διάφορο 1 τότε g(x)=α/(α-1)=β που σημαίνει ότι και το g είναι σταθερό πολυώνυμο (ng=0).

Τότε έχουμε P(x)=Q(x)=(α^2)/(α-1) για κάθε x ανήκει R

Επομένως όταν f(x)=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο g ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R και η εξίσωση f(x)+g(x)=f(x)g(x) είναι αδύνατη. Επίσης όταν g(x)=1 τότε για οποιοδήποτε πολυώνυμο f ισχύει f(x)+g(x)>f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R και η εξίσωση f(x)+g(x)=f(x)g(x) είναι αδύνατη.

Επειδή ισχύει f(x)+g(x)=f(x)g(x) για κάθε x ανήκει R τότε είναι αδύνατον να είναι f(x)=1 για κάθε x ανήκει R και g(x)=1 για κάθε ανήκει R. Επομένως σε αυτήν την περίπτωση όπως δείχτηκε είναι f(x)=α, α διάφορο 1 και g(x)=β, β διάφορο 1 όπου β=α/(α-1).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aris-bas]

γεια σας!μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στα παρακατω...?


ζητω συγνωμη για το πληθος των ερωτηματων

ευχαριστω εκ των προτερων!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aris-bas]

γεια σας!μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στα παρακατω...?


ζητω συγνωμη για το πληθος των ερωτηματων

ευχαριστω εκ των προτερων!!

και αλλη μια....
εστω z ε C με |z-8|=2|z-2|
α) να βρεθει ο γ.τ των εικονων του z
β)αν z1,z2 δυο μιγαδικοι που οι εικονες τους ανηκουν στο προηγουμενο γ.τ. ν.δ.ο [(z1^v)+(z2^v)]/[z1+z2)^v] ε R , v ε Ν*

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[antonisd95]

και αλλη μια....
εστω z ε C με |z-8|=2|z-2|
α) να βρεθει ο γ.τ των εικονων του z
β)αν z1,z2 δυο μιγαδικοι που οι εικονες τους ανηκουν στο προηγουμενο γ.τ. ν.δ.ο [(z1^v)+(z2^v)]/[z1+z2)^v] ε R , v ε Ν*

Στο α, ύψωσε στο τετράγωνο (μιας και δεν έχεις πρόβλημα, αφού τα μέλη είναι μη-αρνητικά) και θα σου βγει.
Στο β, θυμήσου πως αν ένας μιγαδικός είναι ίσος με τον συζυγή του, τότε ανήκει στους πραγματικούς.Πάρε λοιπόν τον συζυγή ολόκληρης της παράστασης και κάνοντας τις πράξεις, θα σου βγει ίσος με την αρχική παράσταση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

γεια σας!μηπως μπορει να βοηθησει κανεις στα παρακατω...?


ζητω συγνωμη για το πληθος των ερωτηματων

ευχαριστω εκ των προτερων!!

Όλα είναι άμεσα από παραγοντική ολοκλήρωση.

και αλλη μια....
εστω z ε C με |z-8|=2|z-2|
α) να βρεθει ο γ.τ των εικονων του z
β)αν z1,z2 δυο μιγαδικοι που οι εικονες τους ανηκουν στο προηγουμενο γ.τ. ν.δ.ο [(z1^v)+(z2^v)]/[z1+z2)^v] ε R , v ε Ν*

Μήπως δίνει ότι οι είναι συζυγείς ή κάτι άλλο; Γιατί μου φαίνεται ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει πάντοτε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vimaproto]

1)


2)


3)


4) Είναι μέρος της 2

5) Ονομάζεις χ²=y και έχεις την 4



6)
Ονομάζεις y=3^x ==>lny= xln3 ==> dy/y=dx.ln3 ==>dx=dy/y.ln3 κλπ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[t00nS]

Μια άσκηση
Εστω f(X),g(X),φ(Χ) συναρτήσεισ στο R.Αν η f(X) είναι παραγωγίσιμη στο R και η φ(Χ) διπλά παραγωγίσιμη,όπου επίσησ ισχύουν και τα: g(x)=f(x)*φ΄(χ), για κάθε xeR,f΄(χ)#0,φ^2(χ)+(φ΄(χ))^2=1, για κάθε xεR,τότε να δείξετε:Αν οι γραφικές παραστάσεις των f(x),g(x) έχουν κοινό σημείο,έστω Μ(χ0,ψ0),τότε στο κοινό τους αυτό σημείο δέχονται την ίδια εφαπτομένη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Μια άσκηση
Εστω f(X),g(X),φ(Χ) συναρτήσεισ στο R.Αν η f(X) είναι παραγωγίσιμη στο R και η φ(Χ) διπλά παραγωγίσιμη,όπου επίσησ ισχύουν και τα: g(x)=f(x)*φ΄(χ), για κάθε xeR,f΄(χ)#0,φ^2(χ)+(φ΄(χ))^2=1, για κάθε xεR,τότε να δείξετε:Αν οι γραφικές παραστάσεις των f(x),g(x) έχουν κοινό σημείο,έστω Μ(χ0,ψ0),τότε στο κοινό τους αυτό σημείο δέχονται την ίδια εφαπτομένη.

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R και η φ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=f΄(x)φ΄(x)+f(x)φ΄΄(x), x ανήκει R

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=(φ(x)^2)+(φ΄(x)^2)-1, x ανήκει R. Επειδή η φ είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η h είναι παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:

h΄(x)=2φ(x)φ΄(x)+2φ΄(x)φ΄΄(x)=2φ΄(x)(φ(x)+φ΄΄(x)), x ανήκει R

Επειδή φ^2(χ)+(φ΄(χ))^2=1 τότε ισχύει h(x)=0 για κάθε x ανήκει R οπότε και h΄(x)=0 για κάθε x ανήκει R. Άρα:

2φ΄(x)(φ(x)+φ΄΄(x))=0 <=> φ΄(x)(φ(x)+φ΄΄(x))=0 για κάθε x ανήκει R

Είναι f(x0)=g(x0)=y0, οπότε έχουμε
f(x0)=g(x0) <=> f(x0)=f(x0)φ΄(x0) <=> f(x)(φ΄(x0)-1)=0 <=> φ΄(x0)-1=0 (εφόσον f(x0) διάφορο 0) <=> φ΄(x0)=1
(φ(x0)^2)+(φ΄(x0)^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+(1^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+1=1 <=> (φ(x0)^2)=0 <=> φ(x0)=0
φ΄(x0)(φ(x0)+φ΄΄(x0))=0 <=> 1*(0+φ΄΄(x0))=0 <=> φ΄΄(x0)=0

Άρα έχουμε
g΄(x0)=f΄(x0)φ΄(x0)+f(x0)φ΄΄(x0)=f΄(x0)*1+f(x0)*0=f΄(x0) => g΄(x0)=f΄(x0)

Επειδή f(x0)=g(x0)=y0 και f΄(x0)=g΄(x0)=λ τότε οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στο Μ(x0,y0) με εξίσωση:

y-y0=λ(x-x0) <=> y=λx+y0-λx0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[t00nS]

Είναι f(x0)=g(x0)=y0, οπότε έχουμε
f(x0)=g(x0) <=> f(x0)=f(x0)φ΄(x0) <=> f(x)(φ΄(x0)-1)=0 <=> φ΄(x0)-1=0 (εφόσον f(x0) διάφορο 0) <=> φ΄(x0)=1
(φ(x0)^2)+(φ΄(x0)^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+(1^2)=1 <=> (φ(x0)^2)+1=1 <=> (φ(x0)^2)=0 <=> φ(x0)=0
φ΄(x0)(φ(x0)+φ΄΄(x0))=0 <=> 1*(0+φ΄΄(x0))=0 <=> φ΄΄(x0)=0

δηλαδή εδώ αποδείχθηκε ότι στο σημείο Μ(χ0,y0) αφού η φ ΄΄(χ0)=0 παρουσιάζει σημείο καμπής;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

δηλαδή εδώ αποδείχθηκε ότι στο σημείο Μ(χ0,y0) αφού η φ ΄΄(χ0)=0 παρουσιάζει σημείο καμπής;

Δεν είναι σαφής η ερώτησή σου. Λογικά αναφέρεσαι στη γραφική παράσταση της φ. Το σημείο Μ(x0,y0) ανήκει στη Cφ εφόσον φ(x0)=y0 που δεν το γνωρίζουμε. Επομένως το σημείο (x0,φ(x0)) δεν συμπίπτει απαραίτητα με το Μ. Το (x0,φ(x0)) είναι σημείο καμπής της Cφ εφόσον αλλάζει το πρόσημο της φ '' εκατέρωθεν του x0 που επίσης δεν γνωρίζουμε. Η πληροφορία φ΄΄(x0)=0 δεν επαρκεί για να είναι το (x0,φ(x0)) είναι σημείο καμπής της Cφ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[P@NT?LO$]

Ασκηση 22 μπαρλας σελ 164 β βιβλιο
i Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα και να βρειτε τις ριζες και το προσημο της συναρτησης
ii Να μελετησετε ως προς τα ακροτατα τη συναρτηση και να βρειτε το προσημο της
iii Να αποδειξετε οτι οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων και εχουν μονο ενα κοινο σημειο στο οποιο εχουν κοινη εφαπτομενη
την θελω για αυριο το μεσημερι...ας την λυσει καποιος,παρακαλω...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.