Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

exc · 31 Ιουλίου 2011 στις 00:37

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Λάθος, διότι το 0 ανήκει και στο IR και στο Ι

Κάνεις λάθος. Είναι δύο διαφορετικά μηδενικά.
Το σύνολο των φανταστικών αριθμών δεν σχετίζεται με το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Αν δηλώσω ότι βρίσκομαι στο σύνολο των φανταστικών και συγκεκριμένα στο 0*i, τότε στη μετάβαση στους μιγαδικούς δεν ξέρετε σε ποιόν πραγματικό βρίσκομαι.
Και επειδή ίσως δεν είναι απόλυτα κατανοητό, θα δώσω ένα παράδειγμα από τα διανύσματα στο επίπεδο xy και κάθε σημείο - διάνυσμα από την αρχή των αξόνων τον συμβολίζω με (χ,y):
Μπορεί ένα διάνυσμα που είναι κατά τον άξονα y να έχει συνιστώσα κατά τον χ; Προφανώς όχι, γιατί οι άξονες χ και y είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, για αυτό είναι και ορθογώνιοι. Αν πω ότι y=0, συνεπάγεται ότι χ=0; Όχι, τα δύο μηδενικά δεν έχουν καμία σχέση μεταξύ τους.
---
Οι ρίζες ενός τριωνύμου με Δ=<0 είναι πάντα συζυγείς μιγαδικά. Δεν έχετε παρά να δείτε τον τύπο που δίνει τις ρίζες του τριωνύμου.

Dias · 31 Ιουλίου 2011 στις 02:15

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Το σύνολο των φανταστικών αριθμών δεν σχετίζεται με το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Να το εικονογραφήσω?

Civilara · 31 Ιουλίου 2011 στις 03:05

Αρχική Δημοσίευση από Dias:

Που 'σαι Δία. Μια μικρή διορθωσούλα για να είναι τέλειο το σχήμα. Τα περιγράμματα των διαγραμμάτων Venn των συνόλων R και I πρέπει να έχουν ένα κοινό σημείο που είναι το 0.

exc · 31 Ιουλίου 2011 στις 04:01

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Που 'σαι Δία. Μια μικρή διορθωσούλα για να είναι τέλειο το σχήμα. Τα περιγράμματα των διαγραμμάτων Venn των συνόλων R και I πρέπει να έχουν ένα κοινό σημείο που είναι το 0.

Civilara, διάβασες τι είπα επ' αυτού πριν;
Άλλο παράδειγμα:
Και οι 2χ2 πίνακες έχουν ένα μηδενικό στοιχείο και οι 3χ3 και οι nxm, αλλά αυτά τα μηδενικά ΔΕΝ είναι ίδια μεταξύ τους. Πρόκειται για διαφορετικούς χώρους.
Άλλος ο χώρος των πραγματικών, άλλος ο χώρος των φανταστικών.

ΥΓ: Αυτός που έφτιαξε πάντως το διάγραμμα ξεχνάει τους άρρητους.

Guest 278211 · 31 Ιουλίου 2011 στις 11:07

@ exc: Το (0) παντού μηδέν είναι. Και είναι το κοινό σημείο ανάμεσα σε I και R.
Να το θέσω διαφορετικά. Ο άξονας x'x περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο R. Ο άξονας y'y περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο I. Έχουν ένα κοινό σημείο, το (x,y)=(0,0), δηλαδή το 0+0*i ή πιο απλά 0.

dark_knight · 31 Ιουλίου 2011 στις 11:28

Πάλι τίθεται θέμα του τί έχεις ορίσει ως φανταστικό αριθμό. Δηλαδή αν φανταστικός είναι κάθε αριθμός της μορφής $a+bi, \ \ a=0, \ \ b \in \mathbb{R}$ , τότε το μηδέν είναι και φανταστικός.
Αν $b \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ , τότε δεν είναι. Το βιβλίο δε βάζει επιπλέον περιορισμό στο b (σελ. 87), επομένως τον θεωρεί και φανταστικό και πραγματικό.

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Είναι δύο διαφορετικά μηδενικά.

Το ταυτοτικό στοιχείο μιας ομάδας είναι πάντοτε μοναδικό. Το σύνολο $\mathbb{C}$ με πράξη την πρόσθεση είναι ομάδα με ταυτοτικό στοιχείο το μηδέν και τα $\mathbb{R},\mathbb{I}\leq\mathbb{C}$ υποομάδες της. Τα ταυτοτικά στοιχεία των υποομάδων μιας ομάδας ταυτίζονται με το ταυτοτικό στοιχείο της αρχικής. (πχ. εδώ, ιδιότητα 3)

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Και οι 2χ2 πίνακες έχουν ένα μηδενικό στοιχείο και οι 3χ3 και οι nxm, αλλά αυτά τα μηδενικά ΔΕΝ είναι ίδια μεταξύ τους. Πρόκειται για διαφορετικούς χώρους.
Άλλος ο χώρος των πραγματικών, άλλος ο χώρος των φανταστικών.

Εδώ οι χώροι $\Pi_{2\times 2}(F)$ και $\Pi_{3\times 3}(F)$ δεν είναι υποομάδες κάποιας ίδιας ομάδας. Από όσο τουλάχιστον μπορώ να διακρίνω.

antwwwnis · 31 Ιουλίου 2011 στις 11:43

Αν ήταν ξένα σύνολα, τότε θα 'επρεπε 0i =/= 0. Αλλά τα στοιχεία αυτά ταυτίζονται, το i δεν είναι κάποιου είδους δείκτης, είναι ένα στοιχείο που εφηύραμε, και παθαίνει ότι και οι υπόλοιποι αριθμοί όταν πολλαπλασιαστεί με το 0. Εξαφανίζεται.

Edit.
Το ζήτημα είναι ανάλογο του πως ορίσαμε τους φανταστικούς.
Αν ειναι Ι={z€R/z=bi, b€R} τότε το μηδέν είναι κοινό στοιχείο, σύμφωνα με τα παραπάνω.
Αν είναι Ι={z€R/z=bi, b€R*} τότε το μηδέν δεν ανήκει στους φανταστικούς.

Σε σχολικό επίπεδο χρησιμοποιούμε, αν θυμάμαι καλά, τον πρώτο ορισμό.

Dias · 31 Ιουλίου 2011 στις 12:51

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Το σύνολο των φανταστικών αριθμών δεν σχετίζεται με το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Τα περιγράμματα των διαγραμμάτων Venn των συνόλων R και I πρέπει να έχουν ένα κοινό σημείο που είναι το 0.

H έρευνα που έκανα με κάνει να συμφωνήσω με τον exc, δηλαδή ότι Ι={z€R/z=bi, b€R*}, δηλαδή το 0 δεν ανήκει στους φανταστικούς αριθμούς, άρα δεν αλλάζω το σχήμα.

Αρχική Δημοσίευση από dark_knight:
Το ταυτοτικό στοιχείο μιας ομάδας είναι πάντοτε μοναδικό. Το σύνολο $\mathbb{C}$ με πράξη την πρόσθεση είναι ομάδα με ταυτοτικό στοιχείο το μηδέν και τα $\mathbb{R},\mathbb{I}\leq\mathbb{C}$ υποομάδες της. Τα ταυτοτικά στοιχεία των υποομάδων μιας ομάδας ταυτίζονται με το ταυτοτικό στοιχείο της αρχικής..

Νομίζω ότι το σύνολο των φανταστικών αριθμών ΔΕΝ είναι υποομάδα του συνόλου των πραγματικών, καθώς ΔΕΝ είναι κλειστό ως προς τις πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός.

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Αυτός που έφτιαξε πάντως το διάγραμμα ξεχνάει τους άρρητους.

Όχι δα! Οι άρρητοι είναι στο (κίτρινο) R-Q.

dark_knight · 31 Ιουλίου 2011 στις 13:20

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Νομίζω ότι το σύνολο των φανταστικών αριθμών ΔΕΝ είναι υποομάδα του συνόλου των μιγαδικών, καθώς ΔΕΝ είναι κλειστό ως προς τις πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός.

Μια ομάδα είναι εφοδιασμένη μόνο μία πράξη, στην προκειμένη την πρόσθεση. Δύο πράξεις έχεις σε έναν δακτύλιο. Αυτό που λες είναι ότι ο C είναι δακτύλιος όταν εφοδιαστεί με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, αλλά το Ι δεν είναι υποδακτύλιός του, αφού δεν είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό, ενώ το R είναι. Όντως το Ι δεν είναι υποδακτύλιος των μιγαδικών, αλλά ως προς την πρόσθεση είναι κλειστό και είναι υποομάδα.

Guest 278211 · 31 Ιουλίου 2011 στις 13:30

Αρχική Δημοσίευση από dark_knight:
$b \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ Το βιβλίο δε βάζει επιπλέον περιορισμό στο b (σελ. 87), επομένως τον θεωρεί και φανταστικό και πραγματικό.

Αυτή είναι η σωστή απάντηση. Τώρα ακολουθούμε αυτά που λέει το βιβλίο, ακόμα και αν λέει βλακείες. Αυτό είναι το σύστημα, σε αυτό πρέπει να προσαρμοστούμε. Πέρα από αυτό, τις παραπάνω γνώσεις που παίρνουμε τις χρησιμοποιούμε μόνο για τον εαυτό μας και όχι σε εξετάσεις τύπου Πανελληνίων.

Τώρα, η γνώμη μου είναι ότι το (0) δεν είναι δυνατόν να είναι φανταστικός, αφού είναι πραγματικός. Άλλο η φαντασία και άλλο η πραγματικότητα!!

Dias · 31 Ιουλίου 2011 στις 13:39

Αρχική Δημοσίευση από dark_knight:
1) Μια ομάδα είναι εφοδιασμένη μόνο μία πράξη, στην προκειμένη την πρόσθεση. Δύο πράξεις έχεις σε έναν δακτύλιο. Αυτό που λες είναι ότι ο C είναι δακτύλιος όταν εφοδιαστεί με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, αλλά το Ι δεν είναι υποδακτύλιός του, αφού δεν είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό, ενώ το R είναι.
2) Όντως το Ι δεν είναι υποδακτύλιος των μιγαδικών, αλλά ως προς την πρόσθεση είναι κλειστό και είναι υποομάδα.

Έχεις δίκιο στο 1 (πάει καιρός που τα είχα διαβάσει αυτά). Για το 2: θα ήταν κλειστό και υποομάδα ΑΝ δεχόμασταν ότι το 0 ανήκει στο σύνολο των φανταστικών. Από όσο το έψαξα, καταλήγω ότι δεν ανήκει. Ίσως είναι θέμα ορισμού του συνόλου. Κάθε γνώμη είναι σεβαστή. Τελικά, μάλλον η συζήτηση είναι θεωρητική και σίγουρα δεν θα γίνει τέτοιο μπέρδεμα στις πανελλήνιες. Πάντως, κανένας δεν ασχολείται πουθενά με πράξεις στο Ι, αλλά μόνο στο C.

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
1) τις παραπάνω γνώσεις που παίρνουμε τις χρησιμοποιούμε μόνο για τον εαυτό μας και όχι σε εξετάσεις τύπου Πανελληνίων.
2) Τώρα, η γνώμη μου είναι ότι το (0) δεν είναι δυνατόν να είναι φανταστικός, αφού είναι πραγματικός. Άλλο η φαντασία και άλλο η πραγματικότητα!!

1) E, να μην έχουμε και κάτι να ασχολιόμαστε?
2) Λογικό, αλλά μερικές φορές η φαντασία και η πραγματικότητα μπερδεύονται (π.χ. στο internet).

dark_knight · 31 Ιουλίου 2011 στις 13:52

Από τη στιγμή που έχεις την ελευθερία να ορίσεις κάτι όπως το θες εσύ, σημασία έχει τί σου προσφέρει ο ένας ορισμός που δεν σου προσφέρει ο άλλος. Για παράδειγμα το 1 διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα, αλλά τον εξαιρούμε από τους πρώτους για διάφορους λόγους (πχ. για να πάρει το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής μια πιο κομψή μορφή).
Έτσι, αν θεωρήσεις το μηδέν φανταστικό, τότε το $(\mathbb{I},+)$ γίνεται ομάδα και μάλιστα ισομορφική με το $(\mathbb{R},+)$ μέσω της $\phi : (\mathbb{R},+)\rightarrow(\mathbb{I},+),$ για την οποία $\phi(a)=ia, \ \forall a \in \mathbb{R}$ .

Αρχική Δημοσίευση από Dias:
Για το 2: θα ήταν κλειστό και υποομάδα ΑΝ δεχόμασταν ότι το 0 ανήκει στο σύνολο των φανταστικών.

Ακριβώς. Πρόσεξε όμως ότι χρησιμοποίησα αυτό το επιχείρημα απαντώντας στον ισχυρισμό του exc, ότι το μηδέν στο R και το μηδέν στο I είναι δύο διαφορετικά μηδενικά. Αυτό δηλαδή που ισχυρίστηκα είναι ότι αν το Ι έχει μηδενικό στοιχείο, τότε αναγκαστικά αυτό θα ταυτίζεται με το μηδέν του R και το μηδέν του C. Το αν τελικά το Ι έχει μηδενικό στοιχείο είναι καθαρά θέμα ορισμού και τίποτε παραπάνω. Για το σχολικό βιβλίο του λύκειο ανήκει, για τον Μπάρλα ανήκει, το ίδιο και για κάποια πανεπιστημιακά βιβλία που κοίταξα.

Αντώνης · 4 Αυγούστου 2011 στις 16:42

Χθες αναικοινώθηκε η ύλη, σύμφωνα με το pdf της ΦΕΚ (https://www.alfavita.gr/downit.php?id=41133) η ύλη ,μεταξύ των υπολόιποων, των μαθηματικών κατεύθυνσης φτάνει μέχρι και το 2.9, και παραλείπονται εντελώς τα ολοκληρώματα;! Υπάρχει περίπτωση λάθους;

toi_toi · 4 Αυγούστου 2011 στις 16:49

Αρχική Δημοσίευση από Αντώνης:
Χθες αναικοινώθηκε η ύλη, σύμφωνα με το pdf της ΦΕΚ (https://www.alfavita.gr/downit.php?id=41133) η ύλη ,μεταξύ των υπολόιποων, των μαθηματικών κατεύθυνσης φτάνει μέχρι και το 2.9, και παραλείπονται εντελώς τα ολοκληρώματα;! Υπάρχει περίπτωση λάθους;

μεσα ειναι τα ολοκληρωματα! μηπως κοιταζες την υλη των εσπερινων?

OLSon-X · 4 Αυγούστου 2011 στις 16:51

omg..εχω ακουσει οτι στα ολοκληρωματα (4 θέμα ) γινεται σφαγή.. πολυ καλο αυτο αλλα μην χαιρομαστε διοτι μπορει να γινει και αλλου σφαγή

mariophys · 4 Αυγούστου 2011 στις 16:54

Άλλη μια προσπάθεια να στραβώσουν τον κόσμο τα καθάρματα.

OLSon-X · 4 Αυγούστου 2011 στις 16:54

Κεφάλαιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός
Παρ. 3.1 Αόριστο ολοκλήρωμα. (Μόνο η υποπαρά−
γραφος «Αρχική συνάρτηση» που θα συνοδεύεται από
πίνακα παραγουσών συναρτήσεων ο οποίος θα περι−
λαμβάνεται στις διδακτικές οδηγίες)
Παρ. 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα
Παρ. 3.5. Η συνάρτηση
Παρ. 3.7 Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφαρ−
μογή 3 της σελίδας 348.

κριμα

ειναι μεσα

g1wrg0s · 4 Αυγούστου 2011 στις 17:00

Σιγα μην βγαζανε τα ολοκληρωματα..Παιδια τα ολοκληρωματα ειναι τα πιο σημαντικα και χρειαζονται και για μετεπειτα...

papas · 4 Αυγούστου 2011 στις 17:05

Αρχική Δημοσίευση από mariophys:
Άλλη μια προσπάθεια να στραβώσουν τον κόσμο τα καθάρματα.

Γτ ρε; Το φετινο 4ο θεμα σου φανηκε δυσκολο;

moxa15 · 4 Αυγούστου 2011 στις 17:17

Αρχική Δημοσίευση από papas:
Γτ ρε; Το φετινο 4ο θεμα σου φανηκε δυσκολο;

εμενα μου φανηκε δυσκολο οπως επισης και του μισου και παραπανω πληθυσμου της θετικοτεχνολογικης κατευθυνσης....
αχ τα ριμαδο μαθηματικα και κυριως η σκατοφυσικη μας εφαγαν.... :/:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος