Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

g1wrg0s · 05-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
$\lim_{x\to 0^-}(2-\cot x)=+\infty$
$\lim_{x\to 0^+}(2-\cot x)=-\infty$
Δεν υπάρχει το όριο.

Aμα παρω ξεχωριστα το οριο της cotθ και κανω de L' Hopital τοτε θα βγει 0 και το τελικο οριο ισο με 2 . Σιγουρα δεν βγαινει με καποια τργωνομετρικη ταυτοτητα ;

rebel · 05-11-11

Ο κανόνας de L'Hospital εφαρμόζεται μόνο για απροσδιόριστες μορφές του τύπου: $\left(\frac{0}{0}\right),\left(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\right)$ . Eδώ δεν έχουμε κάτι τέτοιο οπότε...
Μία γραφική παράσταση θα σε πείσει

g1wrg0s · 05-11-11

Ευχαριστω.

Or3st1s SOAD · 05-11-11

Εστω f συναρτηση με πεδιο ορισμου το Α=(0,+οο) και f(α)=f'(α)=π
Να βρειτε το οριο $<b><i>\lim_{\chi \rightarrow \alpha }\frac{\chi f(\alpha )-\alpha f(\chi )}{\sin \chi -\sin \alpha }</i></b>$
Oποιος μπορει να βοηθησει γιατι εχω κολλησει.

rebel · 05-11-11

Για χ κοντά στο α είναι:
$g(x)=\frac{xf(a)-af(a)+af(a)-af(x)}{\sin x- \sin a}= \\ \frac{f(a)(x-a)-(f(x)-f(a))a}{x-a}}:\frac{\sin x - \sin a}{x-a}$
Παίρνοντας όρια:

$\lim_{x\to a}g(x)=\frac{f(a)-af^\prime(a)}{\cos a}$

Or3st1s SOAD · 05-11-11

Το cosα πως προεκυψε,γιατι εγω δεν ηξερα τι να κανω με τα ημιτονα.

rebel · 05-11-11

Η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο. Άρα:

$\left . (\sin x)^\prime \right|_{x=a}=\lim_{x\to a}\frac{\sin x-\sin a}{x-a}=\cos a$

Or3st1s SOAD · 05-11-11

Ευχαριστω!
Δεν εχουμε κανει ακομα παραγωγους βασικων συναρτησεων,ειμαστε στην αρχη.Μπορει να βγει αλλιως?

xtsirkinidhs · 6 Νοεμβρίου 2011

λάθος είναι

Civilara · 06-11-11

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Για χ κοντά στο α είναι:
$g(x)=\frac{xf(a)-af(a)+af(a)-af(x)}{\sin x- \sin a}= \\ \frac{f(a)(x-a)-(f(x)-f(a))a}{x-a}}:\frac{\sin x - \sin a}{x-a}$
Παίρνοντας όρια:

$\lim_{x\to a}g(x)=\frac{f(a)-af^\prime(a)}{\cos a}$

Τι συμβαίνει όμως αν α=π/2 ή α=3π/2;

rebel · 06-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Τι συμβαίνει όμως αν α=π/2 ή α=3π/2;

Παίρνουμε πλευρικά όρια και λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο; :hmm:

terus · 06-11-11

θελω βοηθεια σε μια ασκηση...Δινεται η συνεχης και μη σταθερη συναρτηση f:[1,4]-->R*+ για την οποια ισχυει: f(1)xf(2)xf(4)=8.Να αποδειξετε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ στ [1,4] τετοιο ωστε f(ξ)=ξ......

rebel · 06-11-11

$f(1)f(2)f(4)=8 \Rightarrow \frac{f(1)}{1}\cdot \frac{f(2)}{2}\cdot \frac{f(4)}{4}=1$ .

Αν $\frac{f(1)}{1}=\frac{f(2)}{2}=\frac{f(4)}{4}=1$ το ζητούμενο είναι προφανές. Αλλιώς θα υπάρχουν δύο αριθμοί από τους τρεις που ο ένας θα είναι μεγαλύτερος του 1 και ο άλλος μικρότερο του 1. Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας πούμε ότι
$\frac{f(1)}{1}<1<\frac{f(2)}{2}$ .
Bolzano για την $\frac{f(x)}{x}-1$ στο $[1,2]$ και τελειώσαμε.

Tasos28 · 07-11-11

Γεια σας παιδια, θελω βοηθεια στην παρακατω ασκηση μιας και την παλευω αρκετη ωρα και πιστευω πως οι ιδεες μου εχουν στερεψει, ισως βεβαια ειναι κατι πολυ απλο αλλα μετα απο 6 ωρες δεν μπορω να το δω

:

Έστω g:IR*+->IR με g γνησιως φθίνουσα στο IR*+ .
Aν f(x)=xg(x) για καθε xεIR*+ ν.δ.ο.

f(x+ψ)< f(x) + f(ψ), για καθε χ,ψ ε IR*+.

Kαι μια ακομη, αν καποιος ειναι προθυμος:

Αν για τη συναρτηση f ισχυει |f(x) - (fψ)| < |x-ψ| για καθε χ,ψ ε IR, νδο η g(x)=f(x)-x ειναι γνησιως φθίνουσα στο IR.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

exc · 07-11-11

Αρχική Δημοσίευση από Tasos28:
Γεια σας παιδια, θελω βοηθεια στην παρακατω ασκηση μιας και την παλευω αρκετη ωρα και πιστευω πως οι ιδεες μου εχουν στερεψει, ισως βεβαια ειναι κατι πολυ απλο αλλα μετα απο 6 ωρες δεν μπορω να το δω :
1)Έστω g:IR*+->IR με g γνησιως φθίνουσα στο IR*+ .
Aν f(x)=xg(x) για καθε xεIR*+ ν.δ.ο.
f(x+ψ)< f(x) + f(ψ), για καθε χ,ψ ε IR*+.

2)Kαι μια ακομη, αν καποιος ειναι προθυμος:
Αν για τη συναρτηση f ισχυει |f(x) - (fψ)| < |x-ψ| για καθε χ,ψ ε IR, νδο η g(x)=f(x)-x ειναι γνησιως φθίνουσα στο IR.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

1) f(x+y)=(x+y)g(x+y)=xg(x+y)+yg(x+y)<xg(x)+yg(y)=f(x)+f(y)
όπου χρησιμοποίησα ότι για δεδομένα x,y στο πεδίο ορισμού και δεδομένου ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα: g(χ+y)<g(x)=> xg(x+y)<xg(x) και όμοια για το y.

2) |f(x)-f(y)|<|x-y|=>|[f(x)-f(y)]/[x-y]|<1=>|f'(x)|<1=>-1<f'(x)<1
g'(x)=f'(x)-1<0 άρα g γνησίως φθίνουσα.

rebel · 07-11-11

2) Έστω $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με $x_1<x_2$ . Τότε

$f(x_2)-f(x_1) \leq |f(x_2)-f(x_1)|<|x_2-x_1|=x_2-x_1 \Rightarrow \\ f(x_2)-x_2 < f(x_1)-x_1 \Rightarrow g(x_2)<g(x_1)$

Tasos28 · 07-11-11

Eυχαριστω πολυ και τους 2 σας. Στην πρωτη ασκηση θεβρηθηκε οτι ισχυει η αποδεικτεα σχεση και με ισοδυναμιες κατεληξες σε κατι π ισχυει? Συγγνωμη για τις βλακωδεις ερωτησεις αλλα που και που χρειαζονται και αυτες

rebel · 07-11-11

Όχι, όπως βλέπεις καταλήγει στο ζητούμενο χρησιμοποιώντας τα δεδομένα(μονοτονία της g).

OoOkoβοldOoO · 07-11-11

Παιδια δες τε λίγο την εκφώνηση και πες τε πως μπορεί να λυθεί το ερώτημα γιατί στα δεδομένα νομίζω ότι κάτι δεν παίρνω σωστά
Έστω f,g:[α.β]->R δύο συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς στο [α,β] και παραγωγίσημες στο (α,β) με g'(x)διάφορο του 0 για κάθε χ(α,β)
Και λέει νδο g(a)διάφορο(β)
Πως θα το αποδείξω αυτό; Αρχικά θεώρησα ότι ισχύει g(a)=g(b) αλλά δεν κατέληξα κάπου γι αυτό πλιζ λίγη βοήθεια μπας και ξεμπλοκάρω...

rebel · 07-11-11

Υπόδειξη: Συνέχισε όπως άρχισες με Rolle στο [α,β] για την g και θα καταλήξεις σε άτοπο.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος