Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[antwwwnis]

Oταν μια συναρτηση ικανοποοιει την παραπανω ιδιοτητα τοτε λεγετε προσθετικη συναρτηση
Φιλικά ,Χάρης

Αλλά είναι όντως γραμμική.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[νατ]

χρειαζομαι βοηηηηηηθειιαααα !!!

Ασκηση απο Μπαρλα,Θεμα 63 ,σελ.369

Εστω f :R-->R μια συναρτηση με f(R)=R η οποια ειναι γν.μονοτονη και η γραφικη της παρασταση διερχεται απο τα σημεια Α(0,1) Β(1,2).
Να εξετασετε την f ως προς την μονοτονια
να δειξετε οτι η φ αντιστερφεται
Να βρειτε τις ριζες ξαι το προσημο της f⁻¹
να λυθει f⁻¹(-1+f(x²-1))<0

ΤΕΛΟΣ

Και αυτη επισης
Μπαρλας θεμα 35 σελ.360

Εστω γν.αυξουσα συνάρτηση f :R-->R με συνολο τιμων f(R)=R και η συναρτηση g(x) =f³(χ)+fof(x) xeR
να δειχτει οτι η f,g ειναι 1-1
να δειχει οτι gof⁻¹(x)=x³+f(x)
αν f(1) =1 να λυθει x³+f(x)=2

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Εστω f :R-->R μια συναρτηση με f(R)=R η οποια ειναι γν.μονοτονη και η γραφικη της παρασταση διερχεται απο τα σημεια Α(0,1) Β(1,2).
Να εξετασετε την f ως προς την μονοτονια
να δειξετε οτι η φ αντιστερφεται
Να βρειτε τις ριζες ξαι το προσημο της f⁻¹
να λυθει f⁻¹(-1+f(x²-1))<0

Απο εκφωνηση f(0)=1 και f(1)=2

i) Ειναι 0<1 και f(0)<f(1). Επειδη η f ειναι γνησιως μονοτονη τοτε θα ειναι γνησιως αυξουσα γιατι αν ηταν γνησιως φθινουσα θα ισχυει f(0)>f(1) που ειναι ατοπο.

ii) Η f ειναι γνησιως μονοτονη => η f ειναι 1-1 => η f ειναι αντιστρεψιμη

iii) Επειδη η f ειναι γνησιως αυξουσα στο R, τοτε και η f-1 ειναι γνησιως αυξουσα στο f(R)=R.
Ισχυει η ισοδυναμια y=f(x) <=> x=(f-1)(y) x ανηκει R, y ανηκει f(R)=R

Εχουμε f(0)=1 <=> (f-1)(1)=0 και επειδη η f-1 ειναι αντιστρεψιμη τοτε η ριζα αυτη ειναι μοναδικη.

y>1 => (f-1)(y)>(f-1)(1) => (f-1)(y)>0 αφου f-1 γνησιως αυξουσα
y<1 => (f-1)(y)<(f-1)(1) => (f-1)(y)<0 αφου f-1 γνησιως αυξουσα

iv) (f-1)(-1+f(x^2-1))<0 <=> (f-1)(-1+f(x^2-1))<(f-1)(1) <=> (f-1 γνησιως αυξουσα) -1+f(x^2-1)<1 <=> f(x^2-1)<2 <=> f(x^2-1)<f(1) <=> (f γνησιως αυξουσα) x^2-1<1 <=> x^2<2 <=> |x|<sqrt(2) <=> -sqrt(2)<x<sqrt(2)

Εστω γν.αυξουσα συνάρτηση f :R-->R με συνολο τιμων f(R)=R και η συναρτηση g(x) =f³(χ)+fof(x) xeR
να δειχτει οτι η f,g ειναι 1-1
να δειχει οτι gof⁻¹(x)=x³+f(x)
αν f(1) =1 να λυθει x³+f(x)=2

i) Η f ειναι γνησιως αυξουσα στο R => η f ειναι 1-1
g(x)=(f(x)^3)+(fof)(x)= (f(x)^3)+f(f(x)), x ανηκει R

Αφου η f ειναι 1-1 τοτε για καθε x1, x2 στο R με x1 διαφορο x2 τοτε f(x1) διαφορο f(x2)

f(x1) διαφορο f(x2) => (f: 1-1) f(f(x1)) διαφορο f(f(x2))
f(x1) διαφορο f(x2) => (f(x1))^3 διαφορο (f(x2))^3

Αρα (f(x1))^3+f(f(x1)) διαφορο (f(x2))^3+f(f(x2)) => g(x1) διαφορο g(x2)

Αρα για καθε x1, x2 στο R με x1 διαφορο x2 ισχυει g(x1) διαφορο g(x2) => η g ειναι 1-1

ii) (gof-1)(x)=g(f-1(x))=(f(f-1(x)))^3+f(f(f-1(x)))=x^3+(f(x))^3, x ανηκει R
Αφου η f ειναι 1-1 τοτε για καθε x1, x2 στο R με x1 διαφορο x2 τοτε f(x1) διαφορο f(x2)

f(x1) διαφορο f(x2) => (f(x1))^3 διαφορο (f(x2))^3
x1 διαφορο x2 => x1^3 διαφορο x2^3

Αρα x1^3+f(x1) διαφορο x2^3+f(x2) => (gοf-1(x1) διαφορο (gof-1)(x2)
Αρα για καθε x1, x2 στο R με x1 διαφορο x2 ισχυει (gof-1)(x1) διαφορο (gof-1)(x2) => η gof-1 ειναι 1-1
(Η αναλυση αυτη δε χρειαζοταν αφου η g ειναι ορισμενη στο R και 1-1)

f(1)=1 <=> (f-1)(1)=1
(gof-1)(1)=1^3+(f(1))^3=2
x^3+f(x)=2 <=> (gof-1(x))=(gof-1(1)) <=> (gof-1 1-1) x=1

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[gkm]

Έχω μερικές απορίες, είναι όλες απο πρώτο κεφάλαιοτο ''ε'' σημαίνει ανήκει και το "^2" εις την δευτέρα)
1) Αν z,wεC με z^2 + w^2=0 τοτε z=w=0, το έχει λάθος γιατί;
2) Υπάρχη τιμή του θεR ετσι ωστε ο μιγαδικός αριθμός z=ημθ+iσυνθ να είναι ίσος με το μηδέν, το έχει λάθος γιατί;
3) Οι εικόνες των μιγαδικών z, z συζυγέςς, -z, -z συζυγές είναι κοριφές ορθογωνίου παραλληλογράμου, το έχει σωστό γιατι; δεν θα έπρεπε να ήταν τετράγωνο;
4) Αν Im(z1*z2)=0 τοτε θα ισχύει πάντα Im(z1)*Im(z2)=0 όπου z1,z2 δυο μη μηδενικοί μιγαδικοί, το έχει λάθος γιατι;
5)Αν z1,z2εC τοτε Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2), σωστό ή λάθος και γιατί;
6) Αν η εξίσωση z^2+βz+γ=0 έχει ρίζα 1+i να βρώ τα β=; και γ=;, πως δουλεύω;
7) i^3ν+1=i βγαίνει στίς λύσεις ν=4λ πώς;; όπως και το (-i)^3ν=-1 βγαίνει v=4λ+2, και το (-i)^3ν+2=1 βγαίνει ν=4λ+2, λεΝ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ria_Maimou]

Στο φροντ. ο καθηγητής μας έδωσε κάποια ωραία θεματάκια για "δυνάτους λύτες" όπως λέει... Προσπαθώ να τα λύσω γιατί την Κυριακή γράφουμε. Μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε σε κάποια ώστε να δω τον τρόπο επίλυσης τους?

1.Aν για z που ανήκει στους μιγαδικούς ισχύει |z^2 + 1/z^2| <=2 να δειχθεί |z+1/z|<=2.
2.Aν για z που ανήκει στους μιγαδικούς ισχύει |z^3 + 1/z^3| <=2 να δειχθεί |z+1/z|<=2
3.Aν z1,z2,z3 ανήκουν στο C και z^2=z1*z2 να δειχθεί:
|z1|+|z2|=|(z1+z2)/2 +z|=|(z1+z2)/2 -z|

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vavlas]

Έχω μερικές απορίες, είναι όλες απο πρώτο κεφάλαιοτο ''ε'' σημαίνει ανήκει και το "^2" εις την δευτέρα)
1) Αν z,wεC με z^2 + w^2=0 τοτε z=w=0, το έχει λάθος γιατί;
2) Υπάρχη τιμή του θεR ετσι ωστε ο μιγαδικός αριθμός z=ημθ+iσυνθ να είναι ίσος με το μηδέν, το έχει λάθος γιατί;
3) Οι εικόνες των μιγαδικών z, z συζυγέςς, -z, -z συζυγές είναι κοριφές ορθογωνίου παραλληλογράμου, το έχει σωστό γιατι; δεν θα έπρεπε να ήταν τετράγωνο;
4) Αν Im(z1,z2)=0 τοτε θα ισχύει πάντα Im(z1)*Im(z2)=0 όπου z1,z2 δυο μη μηδενικοί μιγαδικοί, το έχει λάθος γιατι;
5)Αν z1,z2εC τοτε Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2), σωστό ή λάθος και γιατί;
6) Αν η εξίσωση z^2+βz+γ=0 έχει ρίζα 1+i να βρώ τα β=; και γ=;, πως δουλεύω;
7) i^3ν+1=i βγαίνει στίς λύσεις ν=4λ πώς;; όπως και το (-i)^3ν=-1 βγαίνει v=4λ+2, και το (-i)^3ν+2=1 βγαίνει ν=4λ+2, λεΝ

1)Αυτό θα ήταν σωστό στον σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Αν για παράδειγμα z=1 και w=i τότε z²+w²=1²+i²=1-1=0
Δεν είναι δηλαδή απαραίτητο z=w=0.
Υπάρχουν πολλά τέτοια αντιπαραδείγματα.
2)Για να είναι ένα μιγαδικός ίσος με το 0 θα πρέπει και το πραγματικό του μέρος και το φανταστικό να είναι ίσο με το μηδέν.
Υπάρχει γωνία που να δίνει και ημίτονο και συνημίτονο 0;
3)Το τετράγωνο είναι ειδική περίπτωση του ορθογώνιου παραλληλόγραμμου.
6)Τύποι vietta.
7)Θεωρία του βιβλίου στις δυνάμεις του i.

Για τα υπόλοιπα δεν είμαι απολύτως σίγουρος και δεν θέλω να σε μπερδέψω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[pizza1993]

Το 5 ειναι σωστο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lowbaper92]

5)Αν z1,z2εC τοτε Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2), σωστό ή λάθος και γιατί;

Έστω και
Τότε
Άρα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[gkm]

Spoiler

1)Αυτό θα ήταν σωστό στον σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Αν για παράδειγμα z=1 και w=i τότε z²+w²=1²+i²=1-1=0
Δεν είναι δηλαδή απαραίτητο z=w=0.
Υπάρχουν πολλά τέτοια αντιπαραδείγματα.
2)Για να είναι ένα μιγαδικός ίσος με το 0 θα πρέπει και το πραγματικό του μέρος και το φανταστικό να είναι ίσο με το μηδέν.
Υπάρχει γωνία που να δίνει και ημίτονο και συνημίτονο 0;
3)Το τετράγωνο είναι ειδική περίπτωση του ορθογώνιου παραλληλόγραμμου.
6)Τύποι vietta.
7)Θεωρία του βιβλίου στις δυνάμεις του i.

Για τα υπόλοιπα δεν είμαι απολύτως σίγουρος και δεν θέλω να σε μπερδέψω

Το 5 ειναι σωστο.

Έστω και
Τότε
Άρα

Ευχαριστώ πολύ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dannaros]

Ευχαριστώ πολύ

τίποτα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dark_knight]

4) Αν εννοείς γινόμενο,

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[νατ]

Και εγω θα ήθελα βοήθεια γιατί έχω κολλήσει...

Ειναι μια άσκηση από ανάλυση από το βοηθημα του μπάρλα.

σελ.362 Θ.40

Εστω συνάρτηση f:R-->R που ικανοποιει τη σχέση f(X)-f(y)=f(x/y) για κάθε x,y>0 και η εξισωση f(X)=0 ΠΟΥ ΕΧΕΙ μοναδική ρίζα.
α.Να βρείτε το f(1).
β.Να δείξετε ότι η f ειναι 1-1
ii.Nα λύσετε την εξισωση f(χ²-2)+f(x)=f(5χ-6)
.Αν f(x)<0,για κάθε χ>1 να δείξετε ότι η f είναι γν.αύξουσα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[νατ]

Μια βοηθεια και σε αυτη !!!!

Εστω συνάρτηση f:R-->R που ισχυει f(x+Y)=f(x)f(y),για καθε χeR ΚΑΙ f(0) διαφορο του 0
Να δειξετε οτι
a.f(χ) διαφορο του 0 για καθε χeR
b.f(x)>0 για καθε χeR c.f(0=1 d.f(x)f(-x)=1 για καθε χeR e.Αν η εξισωση f(x)=1 exei μοναδικη ριζα ,τότε η f αντιστρεφεται kai ισχυει f^-1(xy)=f^-1(x)+f^-1(y) για καθε χ,y>0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[qwerty111]

Και εγω θα ήθελα βοήθεια γιατί έχω κολλήσει...

Ειναι μια άσκηση από ανάλυση από το βοηθημα του μπάρλα.

σελ.362 Θ.40

Εστω συνάρτηση f:R-->R που ικανοποιει τη σχέση f(X)-f(y)=f(x/y) για κάθε x,y>0 και η εξισωση f(X)=0 ΠΟΥ ΕΧΕΙ μοναδική ρίζα.
α.Να βρείτε το f(1).
β.Να δείξετε ότι η f ειναι 1-1
ii.Nα λύσετε την εξισωση f(χ²-2)+f(x)=f(5χ-6)
.Αν f(x)<0,για κάθε χ>1 να δείξετε ότι η f είναι γν.αύξουσα.

α) Για x=y=1 βρίσκω f(1)=0
β) Έστω α,β με f(α)=f(β)
Τότε f(α)-f(β)=0 <-->f(α/β)=0
Επειδή f(1)=0, το 1 είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(X)=0. Άρα α/β=1<-->α=β
Για την επίλυση της εξίσωσης πας το f(x) στο β μέλος και εκμεταλλεύεσαι την αρχική σχέση και το ότι η συνάρτηση είναι 1-1
Για το τελευταίο ερώτημα:
Έστω χ1<χ2
Είναι χ2/χ1>1, οπότε f(χ2/χ1)<0<-->f(x2)-f(x1)<0<-->f(x2)<f(x1) οπότε f γνησίως φθίνουσα (μάλλον έγραψες λάθος την εκφώνηση)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[catherine1994]

Και εγω θα ήθελα βοήθεια γιατί έχω κολλήσει...

Ειναι μια άσκηση από ανάλυση από το βοηθημα του μπάρλα.

σελ.362 Θ.40

Εστω συνάρτηση f:R-->R που ικανοποιει τη σχέση f(X)-f(y)=f(x/y) για κάθε x,y>0 και η εξισωση f(X)=0 ΠΟΥ ΕΧΕΙ μοναδική ρίζα.
α.Να βρείτε το f(1).
β.Να δείξετε ότι η f ειναι 1-1
ii.Nα λύσετε την εξισωση f(χ²-2)+f(x)=f(5χ-6)
.Αν f(x)<0,για κάθε χ>1 να δείξετε ότι η f είναι γν.αύξουσα.

Πεδιο ορισμου μηπως ειναι χ>ο γιατι αλλιως δε βγαινει, αφου η σχεση που δινει ισχυει για θετικους μονο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[qwerty111]

Μια βοηθεια και σε αυτη !!!!

Εστω συνάρτηση f:R-->R που ισχυει f(x+Y)=f(x)f(y),για καθε χeR ΚΑΙ f(0) διαφορο του 0
Να δειξετε οτι
a.f(χ) διαφορο του 0 για καθε χeR
b.f(x)>0 για καθε χeR c.f(0=1 d.f(x)f(-x)=1 για καθε χeR e.Αν η εξισωση f(x)=1 exei μοναδικη ριζα ,τότε η f αντιστρεφεται kai ισχυει f^-1(xy)=f^-1(x)+f^-1(y) για καθε χ,y>0

α) Έστω ότι υπάρχει α με f(α)=0
Στην αρχική σχέση θέτουμε χ=α και y=-α οπότε f(0)=0 άτοπο
β) Για χ=y=x/2 στη αρχική σχέση παίρνουμε f(x)=f^2(x)>=0
Λόγω του α ερωτήματος προκύπτει το ζητούμενο
γ) Θέσε χ=y=0 και προκύπτει το ζητούμενο
δ) Για y=-x προκύπτει f(x)f(-x)=f(0)=1
ε) f(x)f(-x)=1<-->f(-x)=1/f(x) αφού f(x) διάφορο του μηδενός για κάθε πραγματικό χ
Έστω οι πραγματικοί κ,λ με f(κ)=f(λ)<-->f(κ)/f(λ)=1(αφού f(λ) διάφορο του 0)<-->f(κ)f(-λ)=1 (λόγω της παραπάνω σχέσης)<-->f(κ-λ)=1 (λόγω της αρχικής σχέσης)
Επειδή f(0)=1 και η εξίσωση f(x)=1 έχει μοναδική ρίχα, ισχύει η ισοδυναμία f(x)=1<-->χ=0
Οπότε f(κ-λ)=1<-->κ-λ=0<-->κ=λ
Άρα η f είναι 1-1 συνεπώς αντιστρέφεται.
Στη συνέχεια θέσε στην αρχική σχέση όπου χ το f^-1(x) και όπου y το f^-1(y) και έχουμε χy=f(f^-1(x)+f^-1(y))
Επομένως f^-1(xy)=f^-1(f(f^-1(x)+f^-1(y)))=f^-1(x)+f^-1(y) για κάθε χ,yε f(R) (για να ήταν ολοκληρωμένη η άσκηση θα έπρεπε να έδινε το f(R). Μπορεί να μην είναι το (0, +άπειρο) αλλά ένα γνήσιο υποσύνολο του (0, +άπειρο)).

Πεδιο ορισμου μηπως ειναι χ>ο γιατι αλλιως δε βγαινει, αφου η σχεση που δινει ισχυει για θετικους μονο

Τη βρήκα στο Μπάρλα και είναι όντως το (0, +άπειρο)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[stathis1214]

α) Έστω ότι υπάρχει α με f(α)=0
Για y=α η αρχική σχέση δίνει f(x)=0 για κάθε χ άτοπο διότι f(0) διαφορο του 0

Να ρωτησω κατι πανω σε αυτο για y=α δεν εχουμε f(x+α)=f(x)*f(α)=0 ??? δηλ η αρχικη δε δινει f(x+α)=0 ???? ή δεν καταλαβα κατι????

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[qwerty111]

Να ρωτησω κατι πανω σε αυτο για y=α δεν εχουμε f(x+α)=f(x)*f(α)=0 ??? δηλ η αρχικη δε δινει f(x+α)=0 ???? ή δεν καταλαβα κατι????

Δίκιο έχεις. Λάθος μου από βιασύνη.
Στην αρχική σχέση θέτουμε χ=α και y=-α οπότε f(0)=0 άτοπο!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[stathis1214]

Δίκιο έχεις. Λάθος μου από βιασύνη.
Στην αρχική σχέση θέτουμε χ=α και y=-α οπότε f(0)=0 άτοπο!

Ωραιος!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[qwerty111]

Στο φροντ. ο καθηγητής μας έδωσε κάποια ωραία θεματάκια για "δυνάτους λύτες" όπως λέει... Προσπαθώ να τα λύσω γιατί την Κυριακή γράφουμε. Μήπως μπορείτε να με βοηθήσετε σε κάποια ώστε να δω τον τρόπο επίλυσης τους?

1.Aν για z που ανήκει στους μιγαδικούς ισχύει |z^2 + 1/z^2| <=2 να δειχθεί |z+1/z|<=2.
2.Aν για z που ανήκει στους μιγαδικούς ισχύει |z^3 + 1/z^3| <=2 να δειχθεί |z+1/z|<=2
3.Aν z1,z2,z3 ανήκουν στο C και z^2=z1*z2 να δειχθεί:
|z1|+|z2|=|(z1+z2)/2 +z|=|(z1+z2)/2 -z|

1.
Επομένως

2. Ομοίως αλλά χρησιμοποιείς την ταυτότητα
3. Δοκίμασε να ξεκινήσεις από τις σχέσεις που πρέπει να αποδείξεις και με ισοδυναμίες να καταλήξεις σε κάτι γνωστό. (Δε ξέρω αν βγαίνει έτσι)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.