Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

vivianouz · 05-01-13

Αρχική Δημοσίευση από vivianouz:
3)δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $R$ και για την οποία ισχύουν:
$\bullet f'(0)=1$
$\bullet f(x+y)=f(x)f(y)e^{2xy}$ για κάθε $x,y\in R$
να δείξετε ότι:
α) $f(0)=1$
β) $f'(x)=(2x+1)f(x),x\in R$
γ)η συνάρτηση $g(x)=\frac{f(x)}{e^{^{x^{2}+x}}}$ είναι σταθερή στο $R$
δ) $f(x)={e^{^{x^{2}+x}}},x\in R$
ε)η $Cf$ δεν έχει ασύμπτωτες
στ)η $Cf$ δεν έχει σημεία καμπής
ζ)η ευθεία $y=3x+5$ τέμνει τη $Cf$ σε μοναδικό σημείο με τετμημένη $x_{0}\in (1,2)$
η) $e^{x}\geq x+1,x\in R$ και $f(x)\geq x^{2}+x+1,x\in R$ .

καμια ιδεα για την παραπανω ασκηση??? :worry:

papas · 05-01-13

Αρχική Δημοσίευση από sokratis lyras:
Το ζητούμενο πολυώνυμο είναι της μορφής $a_nx^n+...+a_0$ .
Ο βαθμός του παραπάνω πολυωνύμου είναι προφανώς n.Ο βαθμός της παραγώγου ενός πολυωνύμου είναι ένας κάτω,δηλαδή ο βαθμός του $f'(x)$ είναι $n-1$ .
H δοσμένη σχέση τώρα λέει ότι τα πολυώνυμα $f(x)$ και $[f'(x)]^2$ είναι ίσα και άρα έχουν ίσους βαθμούς.
Ο βαθμός του f είναι έστω n και ο βαθμός του [f'(x)]^2 είναι 2(n-1).Άρα $2n-2=n\Rightarrow n=2$ .

Κάντου το πιο λιανά.

Τώρα που χωσες και n, βαθμούς πολυωνύμου, κτλ, σιγά μην κοιτάξει την άσκηση.

rebel · 5 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από vivianouz:
3)δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $R$ και για την οποία ισχύουν:
$\bullet f'(0)=1$
$\bullet f(x+y)=f(x)f(y)e^{2xy}$ για κάθε $x,y\in R$
να δείξετε ότι:
α) $f(0)=1$
β) $f'(x)=(2x+1)f(x),x\in R$
γ)η συνάρτηση $g(x)=\frac{f(x)}{e^{^{x^{2}+x}}}$ είναι σταθερή στο $R$
δ) $f(x)={e^{^{x^{2}+x}}},x\in R$
ε)η $Cf$ δεν έχει ασύμπτωτες
στ)η $Cf$ δεν έχει σημεία καμπής
ζ)η ευθεία $y=3x+5$ τέμνει τη $Cf$ σε μοναδικό σημείο με τετμημένη $x_{0}\in (1,2)$
η) $e^{x}\geq x+1,x\in R$ και $f(x)\geq x^{2}+x+1,x\in R$ .

Για να μην μένουν εκκρεμότητες...
α) Για $x=y=0$ στην δοθείσα έχουμε $f(0)=f^2(0) \Leftrightarrow f(0)\left(f(0)-1\right)=0$
Εδώ ίσως πρέπει να δοθεί κάποιο επιπλέον δεδομένο ώστε να απορρίψουμε την περίπτωση $f(0)=0$ .
β) Για τυχαίο $x_0\in \mathbb{R}$ έχουμε
$f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0)f(h)e^{2x_0h}-f(x_0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0)f(h)e^{2x_0h}-f(x_0)e^{2x_0h}+f(x_0)e^{2x_0h}-f(x_0)}{h}=\lim_{h \to 0}\left[f(x_0)e^{2x_0h}\frac{f(h)-1}{h}+f(x_0)\frac{e^{2x_0h}-1}{h}\right]=f(x_0)+2x_0f(x_0)$
Εφόσον
$\lim_{h \to 0}e^{2x_0h}\frac{f(h)-1}{h}=e^{2x_0\cdot 0}f'(0)=1$
$\lim_{h \to 0} \frac{e^{2x_0h}-1}{h}= \left.\frac{de^{2x_0h}}{dh}\right|_{h=0}=2x_0e^{2x_0\cdot 0}=2x_0$
Άρα $f'(x)=(2x+1)f(x),\,\,x \in \mathbb{R}$
γ) Από το προηγούμενο ερώτημα βρίσκουμε $g'(x)=0,\,\,\forall \in \mathbb{R}$ άρα η $g$ είναι σταθερή.
δ)Από το ερώτημα γ) είναι $g(x)=c,\,\,\forall \in \mathbb{R}$ . Για $x=0$ βρίσκω $g(0)=c \Leftrightarrow \frac{f(0)}{e^0}=c \Leftrightarrow c=1$
οπότε $f(x)=e^{x^2+x},\,\,x \in \mathbb{R}$
ε)Υπολογίζουμε
$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{e^{x^2+x}}{x}\stackrel{\frac{+\infty}{+\infty}\,\,\,DLH}{=}\lim_{x \to +\infty}\frac{(2x+1)e^{x^2+x}}{1}=+\infty$
$\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to -\infty}\frac{e^{x^2+x}}{x}\stackrel{\frac{+\infty}{-\infty}\,\,\,DLH}{=}\lim_{x \to -\infty}\frac{(2x+1)e^{x^2+x}}{1}=-\infty$
Άρα η $f$ δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες. Επιπλέον είναι συνεχής σε όλο το $\mathbb{R}$ , άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.
στ) Βρίσκουμε
$f''(x)=2e^{x^2+x}+(2x+1)^2e^{x^2+x}>0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$
Άρα η $f$ δεν έχει σημεία καμπής.
ζ)Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση $h(x)=0$ όπου $h(x)=f(x)-3x-5$ έχει μοναδική ρίζα στο $(1,2)$ . Είναι
$h(1)=e^2-8<2,8^2-8=7,84-8<0$
$h(2)=e^6-11>2^6-11=53>0$
Άρα λόγω Θ. Bolzano η $h(x)=0$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(1,2)$ .
Ακόμα είναι $h'(x)=(2x+1)e^{x^2+x}-3$ με $h'(1)=3(e^2-1)>0$
Όμως $h''(x)=2e^{x^2+x}+(2x+1)^2e^{x^2+x}>0$ άρα η $h'(x)$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ οπότε
$x>1 \Leftrightarrow h'(x)>h'(1)>0$
Δηλαδή η $h$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$ , άρα και 1-1 οπότε η ρίζα της $h(x)=0$ που βρήκαμε είναι μοναδική.
η) Η πρώτη ανισότητα νομίζω είναι και άσκηση στο σχολικό (εύκολα βρίσκεις ελάχιστο με μονοτονία) . Για την δεύτερη απλά βάζεις στην πρώτη όπου $x$ το $x^2+x$

mary-blackrose · 7 Ιανουαρίου 2013

καλησπερα!Χρειαζομαι τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις... :confused:

2)δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο : $f(x)\cdot 2\sqrt{x}-lnx,x>0$
α)να βρείτε τις ασύμπτωτες της $Cf$
β)να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
γ)να βρείτε το σύνολο τιμών της $f$
δ)να δείξετε ότι $f(x)>0$ για $x>0$
ε)να δείξετε ότι $0<\frac{lnx}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}}$ για $x>1$

3)δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x}+xlnx+x-1$
α) να βρείτε τα όρια $lim _{x\rightarrow \ 0 }f(x),lim _{x\rightarrow +\propto }f(x)$
β)να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
γ)να βρείτε το σύνολο τιμών της
δ)να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=\alpha$ έχει μοναδική ρίζα για κάθε $\alpha \in R$
ε)να λύσετε την εξίσωση $f(x)=e$
στ)να λύσετε την εξίσωση $e^{x^{2}+1}-e^{2x}=ln2x-ln(x^{2}+1)-x^{2}+2x-1$

φρι · 06-01-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
καλησπερα!Χρειαζομαι τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις...:
1)θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο $f(x)=x^{5}+x^{3}+x,x\in R$
Nα αποδείξετε ότι:
α)η f είναι γνησίως αύξουσα στο $R$
B)υπάρχει μοναδικός αριθμός $\xi\in (-1,1)$ τέτοιος ώστε $f(\xi )=0$
γ)υπάρχουν δύο τουλάχιστον $x_{1},x_{2}\in (-1,1)$ τέτοια ώστε $\frac{1}{f'(x_{1})}+\frac{1}{f'(x_{2})}=\frac{2}{3}$
δ)η εφαπτομένη της $Cf$ στο σημέιο (-1,1) είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση $y=\frac{1}{9}x+2007$
ε)για κάθε $x<0$ ισχύει $f(x)\leq9x+6$

Λοιπόν,αρχικά την μονοτονία της f μπορεις να τη βρεις ευκολα με τον ορισμό.Δηλ. ξεκινας με x1,x2 που ανηκουν στο Π.Ο της f(R) εχεις χ1^5<χ2^5 κ.ο.κ και υστερα προσθετεις κατα μελη τις 3 σχεσεις,και αποδεικνυεις οτι ειναι γν.αυξουσα
για το β εκμεταλλευσου το Θ.μπολζανο. θεωρησε αρχικα μια συναρτηση g(x) = f(x) και βρες τα g(-1) και g(1) οπου θα σου βγουν ετεροσημα ,οποτε προκυπτει το ζητουμενο

ΟΜΩΣ επειδη λεει μοναδικος αριθμος ,πρεπει να γραψεις οτι επειδη η f ειναι γν.αυξουσα,τοτε θα ειναι και 1-1.Δηλαδη θα υπαρχει μοναδικο ξ τετοιο ωστε f(ξ)=0 κ.τ.λ
για το γ ερωτημα,σκεψου πως μπορεις να εκμεταλλευτεις το Θ.Μ.Τ με τα καταλληλα διαστηματα ( αν κολλήσεις ξαναπές

)
για το δ,σκεψου οτι για να ειναι καθετη η εφαπτομενη στη δοθεισα ευθεία,θα πρεπει το γινομενο των συντελεστων διευθυνσης τους να ισουται με -1..(και συνεχιζεις με παραγωγους)
για το τελευταιο νομίζω πως συνδυαζεται το Θ.Μ.Τ πάλι με ανισότητα.. (δεν ειμαι 100% ,θα το κοιταξω σε λίγο και σου στελνω)

μια γρηγορη ματια εριξα.. :redface:

mary-blackrose · 06-01-13

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Λοιπόν,αρχικά την μονοτονία της f μπορεις να τη βρεις ευκολα με τον ορισμό.Δηλ. ξεκινας με x1,x2 που ανηκουν στο Π.Ο της f(R) εχεις χ1^5<χ2^5 κ.ο.κ και υστερα προσθετεις κατα μελη τις 3 σχεσεις,και αποδεικνυεις οτι ειναι γν.αυξουσα
για το β εκμεταλλευσου το Θ.μπολζανο. θεωρησε αρχικα μια συναρτηση g(x) = f(x) και βρες τα g(-1) και g(1) οπου θα σου βγουν ετεροσημα ,οποτε προκυπτει το ζητουμενοΟΜΩΣ επειδη λεει μοναδικος αριθμος ,πρεπει να γραψεις οτι επειδη η f ειναι γν.αυξουσα,τοτε θα ειναι και 1-1.Δηλαδη θα υπαρχει μοναδικο ξ τετοιο ωστε f(ξ)=0 κ.τ.λ
για το γ ερωτημα,σκεψου πως μπορεις να εκμεταλλευτεις το Θ.Μ.Τ με τα καταλληλα διαστηματα ( αν κολλήσεις ξαναπές)
για το δ,σκεψου οτι για να ειναι καθετη η εφαπτομενη στη δοθεισα ευθεία,θα πρεπει το γινομενο των συντελεστων διευθυνσης τους να ισουται με -1..(και συνεχιζεις με παραγωγους)
για το τελευταιο νομίζω πως συνδυαζεται το Θ.Μ.Τ πάλι με ανισότητα.. (δεν ειμαι 100% ,θα το κοιταξω σε λίγο και σου στελνω)

μια γρηγορη ματια εριξα..

Για το γ) ερώτημα θα κάνω ΘΜΤ στα διαστήματα (-1,0) ,(0,1)????

φρι · 06-01-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
Για το γ) ερώτημα θα κάνω ΘΜΤ στα διαστήματα (-1,0) ,(0,1)????

σωστά

mary-blackrose · 06-01-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
καλησπερα!Χρειαζομαι τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις...:
1)θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο $f(x)=x^{5}+x^{3}+x,x\in R$
Nα αποδείξετε ότι:
α)η f είναι γνησίως αύξουσα στο $R$
B)υπάρχει μοναδικός αριθμός $\xi\in (-1,1)$ τέτοιος ώστε $f(\xi )=0$
γ)υπάρχουν δύο τουλάχιστον $x_{1},x_{2}\in (-1,1)$ τέτοια ώστε $\frac{1}{f'(x_{1})}+\frac{1}{f'(x_{2})}=\frac{2}{3}$
δ)η εφαπτομένη της $Cf$ στο σημέιο (-1,1) είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση $y=\frac{1}{9}x+2007$
ε)για κάθε $x<0$ ισχύει $f(x)\leq9x+6$

2)δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο : $f(x)\cdot 2\sqrt{x}-lnx,x>0$
α)να βρείτε τις ασύμπτωτες της $Cf$
β)να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
γ)να βρείτε το σύνολο τιμών της $f$
δ)να δείξετε ότι $f(x)>0$ για $x>0$
ε)να δείξετε ότι $0<\frac{lnx}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}}$ για $x>1$

3)δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x}+xlnx+x-1$
α) να βρείτε τα όρια $lim _{x\rightarrow \ 0 }f(x),lim _{x\rightarrow +\propto }f(x)$
β)να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
γ)να βρείτε το σύνολο τιμών της
δ)να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=\alpha$ έχει μοναδική ρίζα για κάθε $\alpha \in R$
ε)να λύσετε την εξίσωση $f(x)=e$
στ)να λύσετε την εξίσωση $e^{x^{2}+1}-e^{2x}=ln2x-ln(x^{2}+1)-x^{2}+2x-1$

Μήπως έχετε καμιά ιδέα για τις ασκήσεις 2 και 3???

sokratis lyras · 06-01-13

Δεν είχα δει προηγούμενες δημοσιεύσεις και απάντησα σε απαντημένη ερώτηση **

sokratis lyras · 06-01-13

Αρχική Δημοσίευση από φρι:
Λοιπόν,αρχικά την μονοτονία της f μπορεις να τη βρεις ευκολα με τον ορισμό.Δηλ. ξεκινας με x1,x2 που ανηκουν στο Π.Ο της f(R) εχεις χ1^5<χ2^5 κ.ο.κ και υστερα προσθετεις κατα μελη τις 3 σχεσεις,και αποδεικνυεις οτι ειναι γν.αυξουσα
για το β εκμεταλλευσου το Θ.μπολζανο. θεωρησε αρχικα μια συναρτηση g(x) = f(x) και βρες τα g(-1) και g(1) οπου θα σου βγουν ετεροσημα ,οποτε προκυπτει το ζητουμενοΟΜΩΣ επειδη λεει μοναδικος αριθμος ,πρεπει να γραψεις οτι επειδη η f ειναι γν.αυξουσα,τοτε θα ειναι και 1-1.Δηλαδη θα υπαρχει μοναδικο ξ τετοιο ωστε f(ξ)=0 κ.τ.λ
για το γ ερωτημα,σκεψου πως μπορεις να εκμεταλλευτεις το Θ.Μ.Τ με τα καταλληλα διαστηματα ( αν κολλήσεις ξαναπές)
για το δ,σκεψου οτι για να ειναι καθετη η εφαπτομενη στη δοθεισα ευθεία,θα πρεπει το γινομενο των συντελεστων διευθυνσης τους να ισουται με -1..(και συνεχιζεις με παραγωγους)
για το τελευταιο νομίζω πως συνδυαζεται το Θ.Μ.Τ πάλι με ανισότητα.. (δεν ειμαι 100% ,θα το κοιταξω σε λίγο και σου στελνω)

μια γρηγορη ματια εριξα..

Για την ανισότητα :
Υπάρχουν 2 τρόποι με τους οποίους μπορεί να αποδειχθεί το ζητούμενο.
α)παραγοντοποίηση (δύσκολο)
β)αρκει να παρατηρήσει κανείς ότι $f''(x)<0$ για χ<0.Άρα η f είναι πάντα....

*Serena* · 06-01-13

Λίγη βοήθεια σε κάτι θέματα :redface:

:
1) Δίνεται η συνεχής και γνήσια φθίνουσα συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει οριο οταν το χ τείνει στο -1 χ+1/f(χ+1) =1
Να δείξετε ότι η γραφική παρασταση της συναρτησης διέρχεται απο την αρχη των αξόνων.
Να βρείτε το lim, x->0, f(ημχ)/x
Να αποδείξετε ότι η cf τεμνει την ευθεία ψ=χ-1 σε ένα σημείο ακριβώς με τετμημένη χε(ο,1)

2) Εστω η συνάρτηση φ(χ)= 2^χ +3^χ -1, χεR. Να βρειτε το πλήθος των ριζων της εξίσωσης φ(χ)=α^2 +α -3, για τις διάφορες τιμές του αεR

3) Εστω μια συνάρτηση f:[a,b]->R συνεχης στο διάστημα [a,b] με f(χ) διάφορο του μηδενος για κάθε χε[a,b] και ο μιγαδικος z με Re(z) και Im(z) διάφορα του μηδενός και | Re(z)| >| Im(z)|.
Αν z +1/z =f(a) και z^2 +1/z^2 = f^2(b) να αποδείξετε ότι:
|z| =1
f^2(b) < f^2(a)
η εξίσωση x^3f(a) +f(b)=0 εχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-1,1)
:worry:

Civilara · 06-01-13

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):
2) Εστω η συνάρτηση φ(χ)= 2^χ +3^χ -1, χεR. Να βρειτε το πλήθος των ριζων της εξίσωσης φ(χ)=α^2 +α -3, για τις διάφορες τιμές του αεR

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=(x^2)+x-3, x ανήκει R. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο f΄(x)=2x+1.
Ισχύει f΄(-1/2)=0 και f΄(x)<0 για x ανήκει (-oo,-1/2), f΄(x)>0 για x ανήκει (-1/2,+oo).

Η f είναι συνεχής στο (-οο,-1/2], παραγωγίσιμη στο (-οο,-1/2) και ισχύει f΄(x)<0 για κάθε x στο (-οο,-1/2). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,-1/2]. Η f είναι συνεχής στο [-1/2,+οο), παραγωγίσιμη στο (-1/2,+οο) και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε x στο (-1/2,+οο). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [-1/2,+οο). Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x0=-1/2 με τιμή f(-1/2)=-7/4.

lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo)((x^2)+x-3)=lim(x->-oo)(x^2)=+oo
lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo)((x^2)+x-3)=lim(x->+oo)(x^2)=+oo

Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (-οο,-1/2], οπότε:
f((-oo,-1/2])=[f(-1/2),lim(x->-oo)f(x))=[-7/4,+oo)
f([-1/2,+oo))=[f(-1/2),lim(x->+oo)f(x))=[-7/4,+oo)

Έχουμε f(-2)=-1 και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,-1/2] δεν υπάρχει άλλο x1<=-1/2 τέτοιο ώστε f(x1)=-1
Έχουμε f(1)=-1 και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [-1/2,+οο) δεν υπάρχει άλλο x2>=-1/2 τέτοιο ώστε f(x2)=-1

Άρα η εξίσωση f(x)=-1 έχει ακριβώς 2 πραγματικές ρίζες, τις x1=-2 και x2=1. (Μπορούμε να τις βρούμε αναλυτικά αν λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση (x^2)+x-3=-1 <=> (x^2)+x-2=0)

Λαμβάνοντας υπόψη τη μονοτονία της f έχουμε:

x<-2 <=> f(x)>f(-2) <=> f(x)>-1
-2<x<-1/2 <=> f(-1/2)<f(x)<f(-2) <=> -7/4<f(x)<-1
-1/2<x<1 <=> f(-1/2)<f(x)<f(1) <=> -7/4<f(x)<-1
x>1 => f(x)>f(1) => f(x)>-1

Επομένως για x ανήκει (-oo,-2)U(1,+oo) ισχύει f(x)>-1 και για x ανήκει [-2,1] ισχύει -7/4<=f(x)<=-1

Η συνάρτηση φ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο φ΄(x)=(2^x)ln2+(3^x)ln3>0 για κάθε x ανήκει R
Η φ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει φ΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς και 1-1.

Επειδή lim(x->+oo)(2^x)=lim(x->+oo)(3^x)=+oo τότε lim(x->+oo)φ(x)=+oo
Επειδή lim(x->-oo)(2^x)=lim(x->-oo)(3^x)=0 τότε lim(x->-oo)φ(x)=-1

Η φ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, οπότε
φ(R)=φ((-οο,+οο))=(lim(x->-oo)φ(x),lim(x->+oo)φ(x))=(-1,+oo)

Άρα ισχύει φ(x)>-1 για κάθε x ανήκει R

Αν α ανήκει [-2,1] τότε ισχύει -7/4<=f(α)<=-1 και η εξίσωση φ(x)=f(α) είναι αδύνατη αφού ισχύει φ(x)>-1 για κάθε x ανήκει R
Αν α ανήκει (-οο,-2)U(1,+οο) τότε ισχύει f(α)>-1 και επειδή η φ είναι συνεχής και ισχύει φ(x)>-1 για κάθε x ανήκει R τότε η εξίσωση φ(x)=f(α) έχει λύση και επειδή η φ είναι 1-1 τότε έχει μοναδική πραγματική λύση.

Συνοψίζοντας για κάθε α ανήκει (-οο,-2)U(1,+oo) υπάρχει μοναδικό x ανήκει R τέτοιο ώστε φ(x)=f(α), ενώ για κάθε α ανήκει [-2,1] και για κάθε x ανήκει R ισχύει φ(x)>f(α).

vivianouz · 06-01-13

Λιγη βοηθεια στα παρακατω θεματακια....:
1)έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f(3)=4+f(1)$ .Να αποδείξετε ότι:
α)η εξίσωση $f(x)=f(1)+3$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3),
β)υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2}\in (1,3)$ με $\xi _{1}<\xi _{2}$ , ώστε $f'(\xi _{1})+f'(\xi _{2})=4$ ,
γ)η εξίσωση $f'(x)=2$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3).

2)δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^{2}-2lnx-2, x>0$
α)να μελετήσετε τη μονοτονία της $f$ και να βρείτε τα ακρότατα
β)να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $y=-1$ εφάπτεται της $Cf$
γ)να βρείτε τα όρια : $\lim f(x)$ όταν $x\rightarrow 0^{+}$ και όταν $x\rightarrow +\propto$
δ)να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=0$ .

lowbaper92 · 06-01-13

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):
Λίγη βοήθεια σε κάτι θέματα :
1) Δίνεται η συνεχής και γνήσια φθίνουσα συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει οριο οταν το χ τείνει στο -1 χ+1/f(χ+1) =1
Να δείξετε ότι η γραφική παρασταση της συναρτησης διέρχεται απο την αρχη των αξόνων.
Να βρείτε το lim, x->0, f(ημχ)/x
Να αποδείξετε ότι η cf τεμνει την ευθεία ψ=χ-1 σε ένα σημείο ακριβώς με τετμημένη χε(ο,1)

1)
Θέτω $u=x+1\rightarrow {u}_{0}=\lim_{x\rightarrow -1}\left(x+1 \right)=0$

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x+1}{f\left(x+1 \right)}=1\Leftrightarrow \lim_{u\rightarrow 0}\frac{u}{f\left(u \right)}=1\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{f\left(x \right)}=1$

Θέτω $g\left(x \right)=\frac{x}{f\left(x \right)}\; \gamma \iota \alpha\; f\left(x \right)\neq 0\; \&\; x\neq 0$
Άρα $f\left(x \right)=\frac{x}{g\left(x \right)}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}f\left(x \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{g\left(x \right)}\stackrel{f\, \sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma }{\Leftrightarrow } f\left(0 \right)=\frac{0}{1}=0$

2)
$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left(\eta \mu x \right)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{f\left(\eta \mu x \right)}{\eta \mu x}\cdot \frac{\eta \mu x}{x} \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left(\eta \mu x \right)}{\eta \mu x}\cdot 1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left(\eta \mu x \right)}{\eta \mu x}\stackrel{w=\eta \mu x,{w}_{0}=0}{======}}\lim_{w\rightarrow 0}\frac{f\left(w \right)}{w}=\lim_{w\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{w}{f\left(w \right)}}=\frac{1}{1}=1$

Άρα $L=1$

3)
Θέτω $k\left(x \right)=f\left(x \right)-x+1,\; x\in \left[0,1 \right]$

$\bullet\; k\left(0 \right)=f\left(0 \right)+1=1>0$
$\bullet \; k\left(1 \right)=f\left(1 \right)<0$ γιατί $1>0\stackrel{f\searrow}{\Leftrightarrow }f\left(1 \right)<f\left(0 \right)\Leftrightarrow f\left(1 \right)<0$

Επίσης η συνάρτηση k(x) είναι γνησίως φθίνουσα ως άθροισμα των γνησίων φθινουσών συναρτήσεων f(x) και (-x+1).

Συνεπώς από Bolzano και λόγω μονοτονίας υπάρχει ακριβώς ένα ${x}_{0}\in \left(0,1 \right):k\left({x}_{0} \right)=0\Leftrightarrow f\left({x}_{0} \right)={x}_{0}-1$

Civilara · 06-01-13

Αρχική Δημοσίευση από evangelie :):
3)[/B] Εστω μια συνάρτηση f:[a,b]->R συνεχης στο διάστημα [a,b] με f(χ) διάφορο του μηδενος για κάθε χε[a,b] και ο μιγαδικος z με Re(z) και Im(z) διάφορα του μηδενός και | Re(z)| >| Im(z)|.
Αν z +1/z =f(a) και z^2 +1/z^2 = f^2(b) να αποδείξετε ότι:
|z| =1
f^2(b) < f^2(a)
η εξίσωση x^3f(a) +f(b)=0 εχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-1,1)

f συνεχής στο [α,β] και f(x) διάφορο 0 για κάθε x στο [α,β] => f(x)>0 για κάθε x στο [α,β] ή f(x)<0 για κάθε x στο [α,β]

Αν x=Re(z), y=Im(z), x διάφορο 0, y διάφορο 0 τότε z=x+yi και |x|>|y| => |x|^2>|y|^2 => x^2>y^2 => (x^2)-(y^2)>0
Έχουμε

z+(1/z)=x+yi+1/(x+yi)=x[1+(1/((x^2)+(y^2)))]+y[1-(1/((x^2)+(y^2)))]i
Επειδή z+(1/z)=f(α) τότε πρέπει να ισχύουν

x[1+(1/((x^2)+(y^2)))]=f(α)
y[1-(1/((x^2)+(y^2)))]=0

Επειδή y διάφορο 0 από την 2η σχέση προκύπτει 1-(1/((x^2)+(y^2))) <=> (x^2)+(y^2)=1
Επομένως |z|=SQRT((x^2)+(y^2))=SQRT(1)=1 => |z|=1

Από την 1η σχέση προκύπτει x[1+(1/1)]=f(α) <=> 2x=f(α) <=> x=f(α)/2

Έχουμε

(z^2)+(1/(z^2))=(x+yi)^2+(1/((x+iy)^2)=((x^2)-(y^2))(1+(1/(((x^2)+(y^2))^2))+2xy(1-(1/(((x^2)+(y^2))^2))i
(z^2)+(1/(z^2))=((x^2)-(y^2))(1+(1/(1^2)))+2xy(1-(1/(1^2)))i=2((x^2)-(y^2))

Επειδή (z^2)+(1/(z^2))=(f(β))^2 τότε
2((x^2)-(y^2))=(f(β))^2 <=> (x^2)-(y^2)=((f(β)^2))/2>0 που ισχύει αφού |x|>|y|

Από τις σχέσεις

(x^2)+(y^2)=1
(x^2)-(y^2)=((f(β)^2))/2

βρίσκουμε ότι

x^2=(2+((f(β))^2))/4
y^2=(2-((f(β))^2))/4

Αντικαθιστώντας x=f(α)/2 στην πρώτη σχέση από τις 2 παραπάνω σχέσεις προκύπτει:

(f(α)/2)^2=(2+((f(β))^2))/4 <=> ((f(α))^2)=2+((f(β))^2) <=> ((f(α))^2)-((f(β))^2)=2>0

Επομένως ((f(α))^2)-((f(β))^2)>0 <=> ((f(β))^2)<((f(α))^2)

Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=f(α)(x^3)+f(β), x ανήκει R. Η g είναι συνεχής στο R ως πολυωνυμική. Έχουμε
g(-1)=f(β)-f(α)
g(1)=f(β)+f(α)

((f(β))^2)<((f(α))^2) <=> ((f(β))^2)-((f(α))^2)<0 <=> (f(β)-f(α))(f(β)+f(α))<0 <=> g(-1)g(1)<0

Η g είναι συνεχής στο [-1,1] και ισχύει g(-1)g(1)<0. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (-1,1) τέτοιο ώστε g(x0)=0

Σημείωση

Η εξίσωση f(α)(x^3)+f(β)=0 γράφεται ισοδύναμα x^3=-(f(β)/f(α))

Επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α,β] τότε ισχύει f(β)/f(α)>0 και επομένως -(f(β)/f(α))<0

Επομένως η εξίσωση x^3=-(f(β)/f(α)) έχει μοναδική πραγματική ρίζα την x=-((f(β)/f(α))^(1/3))

lowbaper92 · 7 Ιανουαρίου 2013

Αρχική Δημοσίευση από vivianouz:
2)δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^{2}-2lnx-2, x>0$
α)να μελετήσετε τη μονοτονία της $f$ και να βρείτε τα ακρότατα
β)να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $y=-1$ εφάπτεται της $Cf$
γ)να βρείτε τα όρια : $\lim f(x)$ όταν $x\rightarrow 0^{+}$ και όταν $x\rightarrow +\propto$
δ)να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=0$ .

α)
$f'\left(x \right)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2\left({x}^{2}-1 \right)}{x}=\underbrace {\frac{2\left(x+1 \right)}{x}}_{(+)}\cdot \left(x-1 \right)$

$\bullet \; 0<x<1\rightarrow f'\left(x \right)<0\rightarrow f \searrow$
$\bullet \; x>1\rightarrow f'\left(x \right)>0\rightarrow f\nearrow$
Άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x=1 το f(1)=-1

β)
Έστω $M\left({x}_{0},f\left({x}_{0} \right) \right)$

Εφόσον στο σημείο Μ δέχεται την οριζόντια εφαπτομένη y=-1, ισχύει ότι $f'\left({x}_{0} \right)=0\Leftrightarrow {x}_{0}=1$
Επίσης πρέπει να ισχύει $f\left({x}_{0} \right)=y\Leftrightarrow -1=-1\left(\iota \sigma \chi \upsilon \varepsilon \iota \right)$

Άρα στο σημείο Μ(1,-1) η y=-1 εφάπτεται στη Cf.

γ)
$\bullet \; {L}_{1}=\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}\left({x}^{2} -2lnx-2\right)=0-2(-\infty)-2\ =+\infty$

$\bullet \; {L}_{2}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left({x}^{2} -2lnx-2\right)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[ {x}^{2}\left(1-\frac{2lnx}{{x}^{2}} -\frac{2}{{x}^{2}}\right) \right]$

Όμως $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2lnx}{{x}^{2}}\stackrel{DLH}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\frac{2}{x}}{2x}\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{{x}^{2}}=0$

Άρα ${L}_{2}=+\infty\left(1-0-0 \right)=+\infty$

δ)
$\blacktriangleright\; {\Delta }_{1}=(0,1]\stackrel{f\searrow}{\rightarrow }f\left({\Delta }_{1} \right)=[f\left(1 \right),\lim_{x\rightarrow {0}^{+}}f\left(x \right))=[-1,+\infty)$
$0\in f\left({\Delta }_{1} \right)\stackrel{f\searrow}{\rightarrow }f\; \mu o\nu \alpha \delta .\; \rho \iota \zeta \alpha \; \sigma \tau o\; {\Delta }_{1}$

$\blacktriangleright\; {\Delta }_{2}=[1,+\infty)\stackrel{f\nearrow}{\rightarrow }f\left({\Delta }_{2} \right)=[-1,+\infty)$
$0\in f\left({\Delta }_{2} \right)\stackrel{f\nearrow}{\rightarrow }f\; \mu o\nu \alpha \delta .\; \rho \iota \zeta \alpha \; \sigma \tau o\; {\Delta }_{2}$

Τελικά, η f έχει δύο ακριβώς ρίζες, μία στο Δ1 και μία στο Δ2.

Δες εδώ και τη γραφική παράσταση της f, ώστε να επαληθεύσεις και γραφικά τα αποτελέσματα:

Αρχική Δημοσίευση από vivianouz:
Λιγη βοηθεια στα παρακατω θεματακια....:
1)έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f(3)=4+f(1)$ .Να αποδείξετε ότι:
α)η εξίσωση $f(x)=f(1)+3$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3),
β)υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2}\in (1,3)$ με $\xi _{1}<\xi _{2}$ , ώστε $f'(\xi _{1})+f'(\xi _{2})=4$ ,
γ)η εξίσωση $f'(x)=2$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3).

1) Bolzano για την g(x)=f(x)-f(1)-2 στο [1,3]

2) Σίγουρα είναι αυτή η εκφώνηση? Η σκέψη μου ήταν ΘΜΤ για την f στα [1,x0] και [x0,3], όπου x0 η ρίζα του προηγούμενου ερωτήματος, αλλά δε βγαίνει. Ίσως είναι κάτι άλλο, δε μου 'ρχεται τώρα.

3) Rolle για την k(x)=f(x)-2x στο [1,3]

sokratis lyras · 07-01-13

Αρχική Δημοσίευση από papas:
Κάντου το πιο λιανά.

Τώρα που χωσες και n, βαθμούς πολυωνύμου, κτλ, σιγά μην κοιτάξει την άσκηση.

Μα πώς γίνεται να λύσει κανείς γραπτώς την άσκηση αυτή χωρίς να αναφερθεί σε βαθμό πολυωνύμου ώστε να καταλήξει σε μία εξίσωση ??

papas · 07-01-13

Αρχική Δημοσίευση από sokratis lyras:
Μα πώς γίνεται να λύσει κανείς γραπτώς την άσκηση αυτή χωρίς να αναφερθεί σε βαθμό πολυωνύμου ώστε να καταλήξει σε μία εξίσωση ??

Με πιο απλή εξήγηση, προσγειωμένη στα παιδία του λυκείου (που μιλάμε για τον μέσο μαθητή) και όχι σε άτομα της Ε.Μ.Ε.

To να πετάξει κάποιος μέσα 10 τύπους, με παράξενα σύμβολα και κουφές ορολογίες, είναι εύκολο (για αυτόν που ξέρει). Το θέμα είναι να κατανοήσει και ο άλλος την συλλογιστική σου, χωρίς να φρικάρει. Γι' αυτό υπάρχει το ischool. Για να βοηθάει, με απλά και κατανοητά λόγια, τα παιδία που έχουν απορία.

sokratis lyras · 07-01-13

Αρχική Δημοσίευση από papas:
Με πιο απλή εξήγηση, προσγειωμένη στα παιδία του λυκείου (που μιλάμε για τον μέσο μαθητή) και όχι σε άτομα της Ε.Μ.Ε.

To να πετάξει κάποιος μέσα 10 τύπους, με παράξενα σύμβολα και κουφές ορολογίες, είναι εύκολο (για αυτόν που ξέρει). Το θέμα είναι να κατανοήσει και ο άλλος την συλλογιστική σου, χωρίς να φρικάρει. Γι' αυτό υπάρχει το ischool. Για να βοηθάει, με απλά και κατανοητά λόγια, τα παιδία που έχουν απορία.

Ακόμα δεν καταλαβαίνω ποιό ήταν το πρόβλημα στο παραπάνω.Όλοι γνωρίζουν τι θα πει βαθμός ενός πολυωνύμου και απλώς τον ονόμασα n ώστε να καταλήξω σε μια εξίσωση.Πού κολλάνε οι 10 τύποι,τα παράξενα σύμβολα κλπ??

mary-blackrose · 07-01-13

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
καλησπερα!Χρειαζομαι τη βοηθεια σας στις παρακατω ασκησεις...

2)δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο : $f(x)\cdot 2\sqrt{x}-lnx,x>0$
α)να βρείτε τις ασύμπτωτες της $Cf$
β)να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
γ)να βρείτε το σύνολο τιμών της $f$
δ)να δείξετε ότι $f(x)>0$ για $x>0$
ε)να δείξετε ότι $0<\frac{lnx}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}}$ για $x>1$

3)δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x}+xlnx+x-1$
α) να βρείτε τα όρια $lim _{x\rightarrow \ 0 }f(x),lim _{x\rightarrow +\propto }f(x)$
β)να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
γ)να βρείτε το σύνολο τιμών της
δ)να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=\alpha$ έχει μοναδική ρίζα για κάθε $\alpha \in R$
ε)να λύσετε την εξίσωση $f(x)=e$
στ)να λύσετε την εξίσωση $e^{x^{2}+1}-e^{2x}=ln2x-ln(x^{2}+1)-x^{2}+2x-1$

καμια ιδεα για την 2 και 3.. :worry:

???

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος