Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 25 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
καλημερα εχω δυο ασκησεις που δεν ξερω τι να κανω και θα ηθελα καποιο tip ωστε να τις λυσω
1) εστω f,g συναρτησεις ορισμενες σρο R και παραγωγισιμες στο σημειο xο=0 αν ειναι f(0)=g(0) και f(x)+x>=g(x) για καθε χεR ν.δ.ο g'(0)-f'(0)=1
2)η συναρτηση f:R-->R ειναι συνεχης στο σημειο xοεR ν.δ.ο η συναρτηση g(x)=|x-xo|f(x)
ειναι παραγωγισιμη στο xo αν και μονο αν f(xo)=0

1)
Για $x>0$ και κοντά στο 0
$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}+1 \geq \frac{g(x)-g(0)}{x-0}$
Για $x<0$ και κοντά στο 0
$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}+1 \leq \frac{g(x)-g(0)}{x-0}$
κτλ
2)
Ευθύ:
$\lim_{x\to x_0^+}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)$
$\lim_{x\to x_0^-}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0^-}\left[-f(x)\right]=-f(x_0)$
Επειδή όμως η g είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ τα πλευρικά όρια θα συμπίπτουν άρα
$f(x_0)=-f(x_0)\Rightarrow f(x_0)=0$

Aντίστροφο:
Υπολογίζουμε δεξιά και αριστερή παράγωγο της g όπως πριν και λόγω του ότι $f(x_0)=0$ αυτές συμπίπτουν και άρα η g είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$

mary-blackrose · 26-11-12

1)Εστω συναρτηση f η οποια ειναι συνεχης στο [α,β] , παραγωγισιμη στο (α,β) και ισχυει f(α)>f(β).Ν.δ.ο υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ ε (α,β) τετοιο ωστε f'(ξ)<0.

2)εστω μια συναρτηση f η οποια ειναι 2 φορες παργωγισιμη στο [α,β] με f(α)<0 , f(β)=f'(β)=0.Ν.δ.ο υπαρχει ξ ε(α,β) τετοιο ωστε f'(ξ)>0.

οποιος μπορει ας βοηθησει....ευχαριστω εκ των προτερων!!!!!

P@NT?LO$ · 26-11-12

Δινονται οι συναρτησεις $f(x)={x}^{2}-4x$ και $g(x)=\frac{a}{x}$
Να βρειτε το α ωστε η εφαπτομενη της f στο xο=1 να εφαπτεται της g

P@NT?LO$ · 26-11-12

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
Δινονται οι συναρτησεις $f(x)={x}^{2}-4x$ και $g(x)=\frac{a}{x}$
Να βρειτε το α ωστε η εφαπτομενη της f στο xο=1 να εφαπτεται της g

ακυρο ενα -(πλυν) δεν εβαλα σε μια παραγωγο και δεν μου βγαινε

JKaradakov · 26-11-12

Λοιπόνε έχω 3 ασκήσεις για τον οποίον τις λύσεις δεν είμαι σίγουρος. Δείτε τις λίγο και πείτε μου αν είναι οκ.

1. Έστω $f:R\rightarrow R$ με $f^3(x)+3f(x)=x$ για κάθε $x\in R$
a. ΝΔΟ $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$
b. Να βρεθεί $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}$
Λύση:

a. $f^3(x)+3f(x)=x$
Θέτω x=0
$\Leftrightarrow f^3(0)+3f(0)=0$
$\Leftrightarrow f(0)(f^2(0)+3)=0$
$\Leftrightarrow f(0)=0$
άρα $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=0$
b. $f^3(x)+3f(x)=x$
$\Leftrightarrow x^2\frac{f^3(x)}{x^3}+3\frac{f(x)}{x}=1$
άρα $\lim_{x\rightarrow 0}x^2(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x})^3+3\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1$
$\Leftrightarrow 0(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x})^3+3\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1$
$\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{3}$

2. Αν $\lim_{x\rightarrow 1}=f(1)$ και για κάθε $x\in R$ ισχύει $x^2f^3(x)+2f(x)=x^2-1$ $(1)$ . Να βρεθεί $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
Λύση:

Θέτω στην (1) x=1
$\Leftrightarrow f^3(1)+2f(1)=0$
$\Leftrightarrow f(1)(f^2(1)+2)=0$
$\Leftrightarrow f(1)=0$

$x^2f^3(x)+2f(x)=x^2-1$
$\Leftrightarrow f(x)(x^2f^2(x)+2)=(x-1)(x+1)$
$\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x-1}=\frac{x+1}{x^2f^2(x)+2}$
άρα $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+1}{x^2f^2(x)+2}=\frac{1+1}{1\cdot0+1}=2$

3. $f:R\rightarrow R$ με $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=2$ . Επιπλέον για κάθε $x,y\in R$ ισχύει $(1)$ $f(x+y)=f(x)f(y)-\eta \mu x\eta \mu y$ . Αν είναι γνωστό ότι η $C_f$ δεν περνά απο την αρχή των αξόνων
i) Να βρεθεί το f(0)
ii) ΝΔΟ $\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}=2f(x_o)-\eta \mu x_o$
Λύση:

i)Θέτω στην (1) x=y=0
$\Leftrightarrow f(0)=f(0)f(0)-\eta \mu 0\eta \mu 0$
$\Leftrightarrow f^2(0)-f(0)=0$
$\Leftrightarrow f(0)(f(0)-1)=0$
$\Leftrightarrow f(0)=1$

ii) $\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$
$\begin{cases} & \Theta \varepsilon \tau \omega x-x_0=h\Leftrightarrow x=h=x_o x \\ & \lim_{x\rightarrow 0}h=0 \end{cases}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h+x_o)-f(x_o)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)f(x_o)-\eta \mu h\eta \mu x_o-f(x_o)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_o)(f(h)-1)-\eta \mu h\eta \mu x_o}{h}=f(x_o)\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-1}{h}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\eta \mu h}{h}\eta \mu x_o=2f(x_o)-\eta \mu x_o$

lowbaper92 · 26-11-12

Αρχική Δημοσίευση από mary-blackrose:
1)Εστω συναρτηση f η οποια ειναι συνεχης στο [α,β] , παραγωγισιμη στο (α,β) και ισχυει f(α)>f(β).Ν.δ.ο υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ ε (α,β) τετοιο ωστε f'(ξ)<0.

2)εστω μια συναρτηση f η οποια ειναι 2 φορες παργωγισιμη στο [α,β] με f(α)<0 , f(β)=f'(β)=0.Ν.δ.ο υπαρχει ξ ε(α,β) τετοιο ωστε f'(ξ)>0.

οποιος μπορει ας βοηθησει....ευχαριστω εκ των προτερων!!!!!

Και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει άμεσα με ΘΜΤ στο [α,β].
Λόγω διαστήματος ξέρεις ότι β-α > 0

Civilara · 26-11-12

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Λοιπόνε έχω 3 ασκήσεις για τον οποίον τις λύσεις δεν είμαι σίγουρος. Δείτε τις λίγο και πείτε μου αν είναι οκ.

1. Έστω $f:R\rightarrow R$ με $f^3(x)+3f(x)=x$ για κάθε $x\in R$
a. ΝΔΟ $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$
b. Να βρεθεί $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}$

Η f έχει πεδίο ορισμού το A=R. Για κάθε x ανήκει R ισχύει [(f(x))^3]+3f(x)=x

a) Για δύο οποιαδήποτε x1, x2 ανήκει R με f(x1)=f(x2) ισχύει [(f(x1)^3)=[(f(x2)^3] και 3f(x1)=3f(x2). Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει [(f(x1)^3]+3f(x1)=[(f(x2)^3)]+3f(x2) => x1=x2

Επομένως η f είναι 1-1 και άρα αντιστρέψιμη. Για κάθε x ανήκει Α και y ανήκει f(A) ισχύει η ισοδυναμία:

y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

Επομένως έχουμε x=(y^3)+3y => (f-1)(y)=(y^3)+3y όπου y ανήκει f(A). Η f-1 έχει ως πεδίο ορισμού το Β=R ως πολυωνυμική. Συνεπώς f(A)=B=R.

Για y=0 έχουμε (f-1)(0)=0 <=> f(0)=0

Η f-1 είναι συνεχής στο f(A)=R ως πολυωνυμική. Συνεπώς και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο A=R ως αντίστροφή της f-1. Συνεπώς η f είναι συνεχής και στο 0. Άρα lim(x->0)f(x)=f(0)=0

b) Θεωρούμε τον μετασχηματισμό y=f(x) <=> x=(f-1)(y)

Έχει βρεθεί lim(x->0)f(x)=0. Επομένως

lim(x->0)(f(x)/x)=lim(y->0)(y/(f-1)(y))=lim(y->0)(y/((y^3)+3y))=lim(y->0)(1/((y^2)+3)=1/((0^2)+3)=1/3

ΥΓ: Η δικιά σου λύση στο 2ο ερώτημα δεν είναι απόλυτα σωστή γιατί έχεις κάνει την παραδοχή ότι το lim(x->0)(f(x)/x) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Δεν μπορούμε όμως να βγάλουμε αυτό το συμπέρασμα καθώς το όριο αυτό οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0/0. Άρα η λύση σου δεν ισχύει γενικά.

antwwwnis · 26-11-12

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Λοιπόνε έχω 3 ασκήσεις για τον οποίον τις λύσεις δεν είμαι σίγουρος. Δείτε τις λίγο και πείτε μου αν είναι οκ.

1. Έστω $f:R\rightarrow R$ με $f^3(x)+3f(x)=x$ για κάθε $x\in R$
a. ΝΔΟ $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$
b. Να βρεθεί $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}$
Λύση:

a. $f^3(x)+3f(x)=x$
Θέτω x=0
$\Leftrightarrow f^3(0)+3f(0)=0$
$\Leftrightarrow f(0)(f^2(0)+3)=0$
$\Leftrightarrow f(0)=0$
άρα $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=0$
b. $f^3(x)+3f(x)=x$
$\Leftrightarrow x^2\frac{f^3(x)}{x^3}+3\frac{f(x)}{x}=1$
άρα $\lim_{x\rightarrow 0}x^2(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x})^3+3\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1$
$\Leftrightarrow 0(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x})^3+3\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1$
$\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{3}$

2. Αν $\lim_{x\rightarrow 1}=f(1)$ και για κάθε $x\in R$ ισχύει $x^2f^3(x)+2f(x)=x^2-1$ $(1)$ . Να βρεθεί $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
Λύση:

Θέτω στην (1) x=1
$\Leftrightarrow f^3(1)+2f(1)=0$
$\Leftrightarrow f(1)(f^2(1)+2)=0$
$\Leftrightarrow f(1)=0$

$x^2f^3(x)+2f(x)=x^2-1$
$\Leftrightarrow f(x)(x^2f^2(x)+2)=(x-1)(x+1)$
$\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x-1}=\frac{x+1}{x^2f^2(x)+2}$
άρα $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+1}{x^2f^2(x)+2}=\frac{1+1}{1\cdot0+1}=2$

3. $f:R\rightarrow R$ με $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=2$ . Επιπλέον για κάθε $x,y\in R$ ισχύει $(1)$ $f(x+y)=f(x)f(y)-\eta \mu x\eta \mu y$ . Αν είναι γνωστό ότι η $C_f$ δεν περνά απο την αρχή των αξόνων
i) Να βρεθεί το f(0)
ii) ΝΔΟ $\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}=2f(x_o)-\eta \mu x_o$
Λύση:

i)Θέτω στην (1) x=y=0
$\Leftrightarrow f(0)=f(0)f(0)-\eta \mu 0\eta \mu 0$
$\Leftrightarrow f^2(0)-f(0)=0$
$\Leftrightarrow f(0)(f(0)-1)=0$
$\Leftrightarrow f(0)=1$

ii) $\lim_{x\rightarrow x_o}\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$
$\begin{cases} & \Theta \varepsilon \tau \omega x-x_0=h\Leftrightarrow x=h=x_o x \\ & \lim_{x\rightarrow 0}h=0 \end{cases}$
$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h+x_o)-f(x_o)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)f(x_o)-\eta \mu h\eta \mu x_o-f(x_o)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_o)(f(h)-1)-\eta \mu h\eta \mu x_o}{h}=f(x_o)\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-1}{h}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\eta \mu h}{h}\eta \mu x_o=2f(x_o)-\eta \mu x_o$

Δεν τις κοίταξα πολύ, απλά παρατήρησα πως στην πρώτη χρησιμοποιείς την συνέχεια της συνάρτησης την οποία δεν έχεις δεδομένη.

P@NT?LO$ · 26-11-12

ΑΣΚΗΣΗ 47 ΜΠΑΡΛΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 332 ΒΟΗΘΕΙΑ
Δινεται η παργωγισιμη συναρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποια ισχυει $f(x)=2f(3x-4)-x$ Να βρειτε την εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης $g(x)={e}^{2-x} f(x)$ στο xo=2

rebel · 26-11-12

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Λοιπόνε έχω 3 ασκήσεις για τον οποίον τις λύσεις δεν είμαι σίγουρος. Δείτε τις λίγο και πείτε μου αν είναι οκ.

1. Έστω $f:R\rightarrow R$ με $f^3(x)+3f(x)=x$ για κάθε $x\in R$
a. ΝΔΟ $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$
b. Να βρεθεί $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}$

a) Αλλιώς
$|x|=\left|f^3(x)+3f(x)\right|=\left|f(x)\right|\left|f^2(x)+3\right| \stackrel{\left|f^2(x)+3\right|\geq 1}{\geq} \left|f(x)\right|\Rightarrow \\ -|x|\leq f(x) \leq |x|$
και από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι $\lim_{x\to 0}f(x)=0$
b)
$\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{f^2(x)+3}$
και από το αποτέλεσμα του a) προκύπτει ότι
$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{3}$
Οι υπόλοιπες ασκήσεις εντάξει φαίνονται.

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
ΑΣΚΗΣΗ 47 ΜΠΑΡΛΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 332 ΒΟΗΘΕΙΑ
Δινεται η παργωγισιμη συναρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποια ισχυει $f(x)=2f(3x-4)-x$ Να βρειτε την εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης $g(x)={e}^{2-x} f(x)$ στο xo=2

Βρες πρώτα το $f(2)$ (απλή αντικατάσταση στην σχέση που σου δίνεται), και μετά το $f'(2)$ εκμεταλλευόμενος την παραγωγισιμότητα της f.

Guest 278211 · 26-11-12

Αρχική Δημοσίευση από P@NT?LO$:
ΑΣΚΗΣΗ 47 ΜΠΑΡΛΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 332 ΒΟΗΘΕΙΑ
Δινεται η παργωγισιμη συναρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποια ισχυει $f(x)=2f(3x-4)-x$ Να βρειτε την εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης $g(x)={e}^{2-x} f(x)$ στο xo=2

$f(x)=2f(3x-4)-x$
για χ=2 έχουμε:
$f(2)=2f(2)-2 \Leftrightarrow f(2)=2$
$f'(x)= 2f'(3x-4)3-1=6f'(3x-4)-1$
για χ=2 έχουμε:
$f'(2)=6f'(2)-1 \Leftrightarrow f'(2)= \frac{1}{5}$

$g(x)={e}^{2-x} f(x)$
για χ=2:
$g(2)=2$
H g είναι παραγωγίσιμη επειδή αποτελεί γινόμενο παραγωγίσιμων:
-> η f(x) είναι παραγωγίσιμη
-> η e^(2-x) είναι παραγωγίσιμη [σύνθεση παραγωγίσιμων: e^x και (2-x)]
$g'(x)={e}^{2-x} f'(x)-{e}^{2-x} f(x)$
για χ=2 έχουμε:
$g'(2)=2- \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$

Η εφαπτομένη της g(x) στο A(2,2) είναι:
$y-g(2)=g'(2)\cdot (x-2) \Leftrightarrow 5y-10=9x-18 \Leftrightarrow 9x-5y-8=0$

δηλαδή ε: 9x-5y-8=0

Ελπίζω να μην έχω κάνει αριθμητικά. Είναι και βράδυ κι έχω να λύσω άσκηση μαθηματικών εδώ και καιρό.

liofagos · 26-11-12

ελυσα μια ασκηση απο μπαρλα, συγκεκριμενα ειναι η 42 στη σελιδα 287 και ενω βρηκα το αποτελεσμα που δινει αμα δεν εκανα μια διορθωση δε μου εβγαινε με τιποτα, συγκεκριμενα ενα τετραγωνο που ειχε το εβγαλα, αλλιως δε λυνοταν, η ασκηση λεει:
αν f,g παραγωγισιμες στο 0 και ισχυει f^2(χ) g^2(χ)= 2χ ***εδω το χ το εχει υψωσει στο τετραγωνο ο τυπας*** να δειξετε οτι [f'(0)]^2+[g'(0)]^2 = 2
λυστε την ετσι να μ πειτε αν σας βγηκε και βαλτε και 2χ^2 να μου πειτε αν γινεται και απλα εχω κανει εγω μαλακια

ενα αλλο τωρα παρομοιο, στην ιδια σελιδα την 50, εχει υψωσει ενα χ στην τριτη και δε βγαινει αυτο που θελει οταν κανω αλλαγη μεταβλητης, δειτε τι λεει αυτη: εστω συναρτηση f κλπ, με f'(3)=0... ν.δ.ο η συναρτηση g(x)= f(3x) αν χ=<1 και f(x+2) ***εδω παλι εχει βαλει χ τριτης, εγω το τριτης το εβγαλα και λυθηκε*** αν χ>1 ειναι παραγωγισιμη στο 1, ας κανει καποιος και αυτη ετσι οπως την εχω γραψει και αν μπορει να την κανει με f(x^3 +2) ας μου το πει να κοιταξω μην εχω κανει εγω λαθος...

παντως μου φαινεται απιστευτο να εχει κανει δυο λαθη στην ιδια σελιδα, ισως να εχω κανει εγω πατατες...

Polymnia · 26-11-12

f,g R-->R
οι εξισώσεις f(x)=0 και g(x)=0 έχουν 1 τουλάχιστον λύση στο
Η εξίσωση f(x)=g(x) είναι αδύνατη
Να δείξετε οτι η εξίσωση f(x)+g(x)=0 έχει 1 τουλάχιστον ρίζα .
Ή λείπει 1 δεδομένο,ή εγώ παλάβωσα.Ας με διαφωτίσει κάποιος .
αα και μια ερώτηση, το βοήθημα του μπάρλα αξίζει; σε σχέση με το βοήθημα του παπαδάκη (σαββάλας ) είναι καλύτερο;
ποιο άλλο βοηθητικό για μαθηματικά ξεχωρίζει σε επίπεδο ασκήσεων,κριτηρίων αξιολόγησης κτλ.;

rebel · 26-11-12

Η πρώτη σωστή είναι όπως την έχει το βιβλίο. Διαιρείς και τα δύο μέλη με $x^2$ (θεωρούμε ότι το χ είναι κοντά στο 0) και έχεις
$\frac{f^2(x)}{x^2}+\frac{g^2(x)}{x^2}=2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} \left[\frac{f^2(x)}{x^2}+\frac{g^2(x)}{x^2}\right]=2 \Rightarrow \\ \left(\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}\right)^2+\left(\lim_{x \to 0}\frac{g(x)}{x}\right)^2=2 \Rightarrow \left[f'(0)\right]^2+\left[g'(0)\right]^2=2$
A ξέχασα να πω ότι από την αρχική σχέση για χ=0
$f^2(0)+g^2(0)=0\Rightarrow f(0)=g(0)=0$

liofagos · 26-11-12

οκ ευχαριστω, απλα ετσι οπως μετετρεψα εγω τα δεδομενα παλι λυνετε και νομιζα οτι ειχε κανει λαθος αυτος... τσεκαρε και τη δευτερη αν μπορεις γτ δε θα κοιμηθω αποψε, θετω χ^3+2 = κ αλλα στον παρανομαστη που αντι για χ βαζω αυτο που βγαινει λυνοντας ως προς χει δε βγαινει το επιθυμητο εκτος και αν βγαλω το ^3 και μεινει f(x+2)..

rebel · 27 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Polymnia:
f,g R-->R
οι εξισώσεις f(x)=0 και g(x)=0 έχουν 1 τουλάχιστον λύση στο
Η εξίσωση f(x)=g(x) είναι αδύνατη
Να δείξετε οτι η εξίσωση f(x)+g(x)=0 έχει 1 τουλάχιστον ρίζα .
Ή λείπει 1 δεδομένο,ή εγώ παλάβωσα.Ας με διαφωτίσει κάποιος .
αα και μια ερώτηση, το βοήθημα του μπάρλα αξίζει; σε σχέση με το βοήθημα του παπαδάκη (σαββάλας ) είναι καλύτερο;
ποιο άλλο βοηθητικό για μαθηματικά ξεχωρίζει σε επίπεδο ασκήσεων,κριτηρίων αξιολόγησης κτλ.;

Ωραία άσκηση. Θα υποθέσω ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς. Οι f και g δεν μπορεί να έχουν κοινές ρίζες. Αν είχαν μία κοινή ρίζα έστω $\xi$ τότε θα ήταν $f(\xi)=g(\xi)=0$ . Αυτό όμως δεν μπορεί να συμβαίνει καθώς η εξίσωση $f(x)=g(x)$ είναι αδύνατη.Έστω επομένως $\mu,\nu \in \mathbb{R},\,\,\,\mu \neq \nu$ τέτοιοι ώστε $f(\mu)=g(\nu)=0$ .
Θεωρούμε την συνάρτηση
$h(x)=f^2(x)-g^2(x)$
Είναι $h(\mu)h(\nu)=-g^2(\mu)f^2(\nu)<0$ , άρα από Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ρ στο διάστημα με άκρα τα μ,ν τέτοιο ώστε
$h(\rho)=0 \stackrel{f(\rho) \neq g(\rho)}{\Rightarrow} f(\rho)+g(\rho)=0$
όπως θέλαμε.

Αρχική Δημοσίευση από liofagos:
οκ ευχαριστω, απλα ετσι οπως μετετρεψα εγω τα δεδομενα παλι λυνετε και νομιζα οτι ειχε κανει λαθος αυτος... τσεκαρε και τη δευτερη αν μπορεις γτ δε θα κοιμηθω αποψε, θετω χ^3+2 = κ αλλα στον παρανομαστη που αντι για χ βαζω αυτο που βγαινει λυνοντας ως προς χει δε βγαινει το επιθυμητο εκτος και αν βγαλω το ^3 και μεινει f(x+2)..

$\lim_{x \to 1^-}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^-}\frac{f(3x)-f(3)}{x-1}$
Με αντικατάσταση $t=3x \Leftrightarrow x=t/3$ το προηγούμενο όριο γίνεται
$\lim_{t \to 3^-}3\frac{f(t)-f(3)}{t-3}=3f'(3)$
Για την δεξιά παράγωγο έχουμε
$\lim_{x \to 1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^+}\frac{f(x^3+2)-f(3)}{x-1}$
Με αντικατάσταση $t=x^3+2 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{t-2}$ το προηγούμενο όριο γίνεται
$\lim_{t \to 3^+}\frac{f(t)-f(3)}{\sqrt[3]{t-2}-1}=\lim_{t \to 3^+}\frac{\left[f(t)-f(3)\right]\left[\sqrt[3]{t-2}^2+\sqrt[3]{t-2}+1\right]}{t-3}=3f'(3)$
πλευρικά όρια ίσα άρα παραγωγίσιμη, άρα τελειώσαμε.

Polymnia · 27-11-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Ωραία άσκηση. Θα υποθέσω ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς. Οι f και g δεν μπορεί να έχουν κοινές ρίζες. Αν είχαν μία κοινή ρίζα έστω $\xi$ τότε θα ήταν $f(\xi)=g(\xi)=0$ . Αυτό όμως δεν μπορεί να συμβαίνει καθώς η εξίσωση $f(x)=g(x)$ είναι αδύνατη.Έστω επομένως $\mu,\nu \in \mathbb{R},\,\,\,\mu \neq \nu$ τέτοιοι ώστε $f(\mu)=g(\nu)=0$ .
Θεωρούμε την συνάρτηση
$h(x)=f^2(x)-g^2(x)$
Είναι $h(\mu)h(\nu)=-g^2(\mu)f^2(\nu)<0$ , άρα από Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ρ στο διάστημα με άκρα τα μ,ν τέτοιο ώστε
$h(\rho)=0 \stackrel{f(\rho) \neq g(\rho)}{\Rightarrow} f(\rho)+g(\rho)=0$
όπως θέλαμε.

Χίλια ευχαριστώ για το χρόνο σου!
Αλλά έκανα τόοοοοσες δοκιμές στο πρόχειρο,και αδυνατώ να καταλάβω πως καταλήξαμε στο $h(\mu)h(\nu)=-g^2(\mu)f^2(\nu)<0$ , να είναι έτσι όπως βγήκε.Και γιατί είναι σκέτο μικρότερο και όχι μικρότερο ή ίσο ,ώστε να δείξουμε με περιπτώσεις οτι υπάρχει 1 τουλ ριζα στο κλειστό διάστημα;

rebel · 27-11-12

Εννοείς ότι δεν καταλαβαίνεις την λογική με την οποία θεωρήσαμε την συνάρτηση $h(x)$ ; Είδα ότι Bolzano για την $f(x)+g(x)$ σε κλειστό διάστημα με άκρα ρίζες των f,g δεν οδηγεί πουθενά αφού δεν έχω πληροφορίες για το πρόσημό των f,g. Αναρωτιέμαι λοιπόν, υπάρχει άλλη συνάρτηση για την οποία η ύπαρξη ρίζας συνεπάγεται ύπαρξη ρίζας για την $f(x)+g(x)$ ; Όμως το δεδομένο $f(x) \neq g(x) \forall x \in \mathbb{R}$ καταδεικνύει ότι αν υπάρχει ρίζα για την $\left(f(x)+g(x)\right)\left(f(x)-g(x)\right)=f^2(x)-g^2(x)$ -που είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιηθεί λόγω των τετραγώνων- τότε αυτή η ρίζα θα είναι υποχρεωτικά ρίζα της $f(x)+g(x)$ . Δες το και αλλιώς. Αν έχεις δύο πραγματικούς $a,b$ και ξέρεις ότι $ab=0$ με $b \neq 0$ τότε υποχρεωτικά $a=0$

Όσο για το Bolzano, δεν χρειάζεται να πάρουμε περιπτώσεις. Η ανισότητα είναι γνήσια αρνητική διότι αφενός το $\mu$ δεν μπορεί να είναι ρίζα και της $g$ , αφετέρου το $\nu$ δεν μπορεί να είναι ρίζα και της $f$ . Αν συνέβαινε οποιοδήποτε από τα δύο, αυτό θα ερχόταν σε αντίθεση με την υπόθεση ότι $f(x) \neq g(x) \forall x \in \mathbb{R}$ .

P@NT?LO$ · 27 Νοεμβρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
$f(x)=2f(3x-4)-x$
για χ=2 έχουμε:
$f(2)=2f(2)-2 \Leftrightarrow f(2)=2$
$f'(x)= 2f'(3x-4)3-1=6f'(3x-4)-1$
για χ=2 έχουμε:
$f'(2)=6f'(2)-1 \Leftrightarrow f'(2)= \frac{1}{5}$

$g(x)={e}^{2-x} f(x)$
για χ=2:
$g(2)=2$
H g είναι παραγωγίσιμη επειδή αποτελεί γινόμενο παραγωγίσιμων:
-> η f(x) είναι παραγωγίσιμη
-> η e^(2-x) είναι παραγωγίσιμη [σύνθεση παραγωγίσιμων: e^x και (2-x)]
$g'(x)={e}^{2-x} f'(x)-{e}^{2-x} f(x)$
για χ=2 έχουμε:
$g'(2)=2- \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$

Η εφαπτομένη της g(x) στο A(2,2) είναι:
$y-g(2)=g'(2)\cdot (x-2) \Leftrightarrow 5y-10=9x-18 \Leftrightarrow 9x-5y-8=0$

δηλαδή ε: 9x-5y-8=0

Ελπίζω να μην έχω κάνει αριθμητικά. Είναι και βράδυ κι έχω να λύσω άσκηση μαθηματικών εδώ και καιρό.

Ένα λάθος έκανες αλλά το βρήκα! Ευχαριστώ φίλε...

Aris90 · 30-11-12

Οι συναρτησεις f,g,h εχουν κοινο πεδιο ορισμου Α για καθε χΕΑ ισχυει g(x)<=f(x)<=h(x)
για το σημειο xoεA ισχυουν
g(xo)=f(xo)=h(xo) και g'(xo)=h'(xo) =a
ν.δ.ο η f ειναι παραγωγισιμη στο χο και ειναι f'(xo)=α
μια βοηθεια λιγο σε αυτη την ασκσηση

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος