έχουμε f:R->R με lim(f(x)+ημ3x)/( x+4)^1/2 -2=20 (x--->0)
Να βρείτε:
α) lim f(x), (x---->0)
b) lim[ f(x)/x], (x---->0)
c) lim[ f(x)/ημx], (x---->0)
d) lim [f(x)-f(2x)/x^3] , (x---->0)
προσπαθώ ώρες..και μαλλον κάπου κάνω συνέχεια το ιδιο λάθος...παρακαλώ μια βοήθεια!
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=[f(x)+ημ3x]/[SQRT(x+4)-2] η οποία ορίζεται κοντά στο 0 καθώς και η f ορίζεται κοντά στο 0 με
lim(x->0)g(x)=20
Για x κοντά στο 0 έχουμε:
g(x)=[f(x)+ημ3x]/[SQRT(x+4)-2] => g(x)[SQRT(x+4)-2]=f(x)+ημ3x => f(x)=g(x)[SQRT(x+4)-2]-ημ3x
Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=SQRT(x+4), x>=-4. Η h είναι συνεχής στο [-4,+οο) και παραγωγίσιμη στο (-4,+οο) με πρώτη παράγωγο
h΄(x)=1/[2SQRT(x+4)], x>-4
Για x=0 προκύπτει h(0)=2 και h΄(0)=1/4 και συνεπώς από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε
lim(x->0){[h(x)-h(0)]/(x-0)}=h΄(0) => lim(x->0){[SQRT(x+4)-2]/x}=1/4
Για α ανήκει R* θα υπολογίσουμε το όριο lim(x->0)(ημαx/x). Θεωρούμε την αντικατάσταση y=αx <=> x=y/α. Έχουμε
lim(x->0)(αx)=α*0=0
lim(x->0)(ημαx/x)=lim(y->0)[ημy/(y/α)]=lim(y->0)[α(ημy/y)]=α*lim(y->0)(ημy/y)=α*1=α => lim(x->0)(ημαx/x)=α
α) lim(x->0)f(x)=lim(x->0){g(x)[SQRT(x+4)-2]-ημ3x}=lim(x->0)g(x)*lim(x->0)[SQRT(x+4)-2]+lim(x->0)(-ημ3x)=
=20*(2-2)+(-ημ0)=20*0-0=0
β) lim(x->0)(f(x)/x)=lim(x->0){[g(x)(SQRT(x+4)-2)-ημ3x]/x}=lim(x->0)g(x)*lim(x->0){[SQRT(x+4)-2]/x}-lim(x->0)(ημ3x/x)=
=20*(1/4)-3=5-3=2
γ) lim(x->0)(f(x)/ημx)=lim(x->0)[(f(x)/x)/(ημx/x)]=lim(x->0)[f(x)/x]/lim(x->0)(ημx/x)=2/1=2
δ) Θεωρούμε την αντικατάσταση u=2x <=> x=u/2, οπότε lim(x->0)(2x)=2*0=0
Θα υπολογιστεί το όριο lim(x->0)[f(2x)/x]. Έχουμε:
lim(x->0)[f(2x)/x]=lim(u->0)[f(u)/(u/2)]=lim(u->0){2[f(u)/u]}=2*lim(u->0)[f(u)/u]=2*2=4
Άρα
lim(x->0){[f(x)-f(2x)]/x}=lim(x->0)[f(x)/x]-lim(x->0)[f(2x)/x]=2-4=-2<0
και επειδή lim(x->0)[1/(x^2)]=+oo τότε lim(x->0){[f(x)-f(2x)]/(x^3)}=-oo
