Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Johnny15 · 04-02-12

καμιά καλή μέχρι ρυθμό μεταβολής παίζει? τώρα δουλεύω rolle...

jjoohhnn · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Για το ii δεν υπαρχει προβλημα αλλα στο i δεν ξερω τι να κανω. Σκεφτηκα να βρω την παραγωγο $(\frac{f(x)}{\sqrt{x}})'$ και να αποδειξω οτι ειναι ιση με το δευτερο μελος αλλα στο φροντ ειπαμε οτι δεν μπορουμε να χρησιμοποιησουμε αυτα που μας δινονται για να αποδειξουμε

Ακόμη και αν δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις αυτό που σου ζητά να αποδείξεις , αν και δε νομίζω να ισχύει κάτι τέτοιο, μπορείς να ξεκινήσεις από τη σχέση αυτή, να καταλήξεις με ισοδυναμίες στη δεδομένη αρχική και να πάρεις αυτά που θα έχεις γράψει από το τέλος προς την αρχή. Να καταλήξεις δηλαδή συνθετικά στο ζητούμενο.

sophie911 · 04-02-12

εστω f" διαφορη του 0 , f δυο φορες παραγωγισιμη και f'(x)=-f(-x) να αποδειξετε οτι η f ειναι αρτια.....για πειτε τι κανουμε?

Civilara · 5 Φεβρουαρίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από sophie911:
εστω f" διαφορη του 0 , f δυο φορες παραγωγισιμη και f'(x)=-f(-x) να αποδειξετε οτι η f ειναι αρτια.....για πειτε τι κανουμε?

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση, αλλά η άσκηση αυτή ξεφεύγει από την εξεταστέα ύλη των μαθηματικών κατεύθυνσης. Παρακάτω γράφω την απόδειξη:

Η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R (δεν δίνεται το πεδίο ορισμού οπότε παίρνω το ευρύτερο δυνατό) με f΄΄(x) διάφορο 0 για κάθε x στο R. Επίσης για κάθε x στο R ισχύει f΄(x)=-f(-x) οπότε ισχύει και f΄(-x)=-f(x).

H f΄ είναι παραγωγίσιμη στο R αφού η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο R, οπότε f΄΄(x)=(f΄(x))΄=(-f(-x))΄=f΄(-x). Από τις σχέσεις f΄΄(x)=f΄(-x) και f΄(-x)=-f(x) προκύπτει f΄΄(x)=-f(x). Επομένως η f πρέπει να ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:

f΄΄(x)=-f(x) <=> f΄΄(x)+f(x)=0 όπου x ανήκει R

Αυτή η συνήθης διαφορική εξίσωση είναι γραμμική με σταθερούς συντελεστές, 2ης τάξης ομογενής. Η γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι η:

f(x)=Aημx+Βσυνx, x ανήκει R όπου Α και Β πραγματικές σταθερές
f΄(x)=Ασυνx-Βημx
f΄΄(x)=-Αημx-Βσυνx=-f(x)

Για να ισχύει f΄(x)=-f(-x) πρέπει να ισχύει η σχέση Ασυνx-Βημx=-Βσυνx+Αημx για κάθε x ανήκει R. Αυτή η απαίτηση ικανοποιείται όταν Β=-Α οπότε η f γράφεται στη μορφή:

f(x)=A(ημx-συνx)
f΄(x)=Α(συνx+ημx)=Α(ημx+συνx)
f΄΄(x)=A(συνx-ημx)=-Α(ημx-συνx)=-f(x)

Η εξίσωση f΄΄(x)=0 ή η ισοδύναμη f(x)=0 έχει πάντα άπειρες λύσεις στο R για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου Α.

α) Αν Α=0 τότε έχουμε την σταθερή συνάρτηση f(x)=0
β) Αν Α διάφορο από 0 τότε η εξίσωση f(x)=0 γράφεται ισοδύναμα εφx=1 και έχει λύσεις τα x=κπ+π/4 όπου κ ακέραιος

Άρα δεν υπάρχει συνάρτηση f 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με f΄΄(x) διάφορο 0 στο R τέτοια ώστε f΄(x)=f(-x).

Επίσης έχουμε:

f(x)=Α(ημx-συνx)
f(-x)=Α(-ημx-συνx)=-Α(ημx+συνx)

Παρατηρούμε ότι η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή συνάρτηση αν Α διάφορο 0. Αν Α=0 τότε έχουμε f(x)=0 που είναι και άρτια και περιττή συνάρτηση ταυτόχρονα.

antwwwnis · 04-02-12

Και κάπου εδώ περιμένουμε να εμφανιστεί o exc με μια λύση 2 σειρών, να φανταστώ.
Μ αρέσει η λύση σου πάντως, Γιώργο.

Johnny15 · 04-02-12

Αρχική Δημοσίευση από sophie911:
εστω f" διαφορη του 0 , f δυο φορες παραγωγισιμη και f'(x)=-f(-x) να αποδειξετε οτι η f ειναι αρτια.....για πειτε τι κανουμε?

Ας κάνω μια προσπάθεια και εγώ αν και είναι σίγουρα λανθασμένη γιατί δεν θα χρησιμοποιήσω ένα από τα δεδομένα.

Έστω f περιττή. Έχουμε: f(-x)=-f(x). Παραγωγίζω τα δυο μέλη => (f(-x))'=(-f(x))' <=> -f'(-x)=-f'(x) <=> f'(-x)=f'(x).

Σύμφωνα όμως με το Θ. Rolle έχουμε:

f' συνεχής ως παραγωγίσιμη
f' παραγωγίσιμη (δεδομένα άσκησης)
f'(-x)=f'(x)

Άρα υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f''(ξ)=0 ΑΤΟΠΟ.

Άρα η f είναι άρτια.

sophie911 · 04-02-12

To x ανήκει στο R ,είναι δύο φορές παραγωγισιμη σε αυτο το πεδίο ορισμού κ πρέπει να δείξουμε οτι είναι άρτια αν ισχύουν τα παραπάνω. Ευχαριστώ πάντως

antwwwnis · 04-02-12

Επ, μια συνάρτηση που δεν είναι περιττή δεν είναι κατ ανάγκη άρτια... Πχ η ε^χ

Johnny15 · 04-02-12

Σωστά. Δεν έχω δουλέψει ακόμη αρκετά τέτοιες ασκήσεις όπου περιέχονται άρτιες περιττές. Άρα δεν μπορούμε να πάμε με άτοπο. Συνήθως με άτοπο λύνονται τέτοιου είδους ασκήσεις για αυτό είπα να δω αν βγαίνει.

drosos · 05-02-12

Αν μπορειτε βοηθειστε λιγο στο 4ο θεμα δ ερωτημα μαθηματικων που εγραφα σημερα γτ κολλησα ασχημα και πρεπει να κανα μλκιες.

Εχουμε αποδειξει οτι $f(x)=\frac{1}{{x}^{6}+1}$ με f>0
Επισης δινεται f(0)=1
δ) Εστω μια συναρτηση h παραγωγισιμη στο R για την οποια ισχύει $h'(x)=2{x}^{3}f(x)$
Να αποδειξετε οτι : $\left|h(b)-h(a) \right|\leq \left|b-a \right|$ , a,b ανηκουν στο R

Λοιπον για αρχη βγαζω το απολυτο

$-\left|b-a \right|\leq h(b)-h(a) \leq \left|b-a \right|$

Εστω α<β αρα |β-α|=β-α
Διαρω:
$-1 \right|\leq \frac{h(b)-h(a)}{b-a} \leq 1$ (1)
ΘΜΤ για την h
μπλα μπλα
Αρα υπαρχει ξ τετοιο ωστε $h'(\xi )=\frac{h(b)-h(a)}{b-a}$
αλλα $h'(\xi )=2{\xi }^{3}f(\xi )=\frac{2{\xi }^{3}}{{\xi }^{6}+1}$
Οποτε η (1) γινεται
$-1 \right|\leq \frac{2{\xi }^{3}}{{\xi }^{6}+1} \leq 1\Leftrightarrow -{\xi }^{6}-1\leq 2{\xi }^{3}\leq {\xi }^{6}+1$
Το σπαω σε δυο ανισοτητες
η πρωτη $-{\xi }^{6}-1\leq 2{\xi }^{3}\Leftrightarrow {\xi }^{6}+1+ 2{\xi }^{3}\geq 0$
Θεωρω $A(x)={\xi }^{6}+1+ 2{\xi }^{3}\geq 0$
Μονοτονια και τα λοιπα βρισκω ελαχιστο στο -1
αρα $A(x)\geq A(-1)\Leftrightarrow {\xi }^{6}+1+ 2{\xi }^{3}\geq 0$
Ομοια και για την αλλη ανισωση αρα ισχυει

Επισης για το συνολο τιμων βρισκω την τομη ή την ενωση των συνολων τιμων σε καθε διαστημα;;

qwerty111 · 05-02-12

Σωστό μου φαίνεται. Στο τέλος όμως δεν χρειαζόταν να θέσεις συνάρτηση αλλά να δεις απλά ότι είναι τέλειο τετράγωνο!

drosos · 05-02-12

Δεν ξερω εμενα μ ρθε κατευθειαν μονοτονια οταν το δα το κανεις μια αν μπορεις;;
Ααα ναι δικιο εχεις

Πιστευω να ναι σωστο με μονοτονια

qwerty111 · 05-02-12

${\xi }^{6}+ 2{\xi }^{3}+1={({\xi }^{3}+1)}^{2}\geq 0$
Σωστό είναι και με τη μονοτονία.

drosos · 05-02-12

Ναι και βγαινουν και τα δυο το ιδιο.
Αλλα εχω θεση a<b
Για α=β ισχυει ως ισοτητα
Για a>B πρεπει να το ξαναλυσω??

Guest 278211 · 05-02-12

Αρχική Δημοσίευση από sophie911:
εστω f" διαφορη του 0 , f δυο φορες παραγωγισιμη και f'(x)=-f(-x) να αποδειξετε οτι η f ειναι αρτια.....για πειτε τι κανουμε?

f'(x)=-f(-x) => f''(x)=-f'(-x)(-x)' => f''(x)=f'(-x)
όμως αφού f" διαφορη του 0, f' διάφορη του 0 και επειδή f' παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, η f' διατηρεί πρόσημο.
Αυτό σημαίνει πως η f είναι γνησίως μονότονη. Άρα η f αποκλείεται να είναι άρτια επειδή αν είναι άρτια τότε f(x)=f(-x) που είναι άτοπο, γιατί η f είναι γνησίως μονότονη. Έτσι δεν είναι; :hmm:

qwerty111 · 05-02-12

Αρχική Δημοσίευση από drosos:
Ναι και βγαινουν και τα δυο το ιδιο.
Αλλα εχω θεση a<b
Για α=β ισχυει ως ισοτητα
Για a>B πρεπει να το ξαναλυσω??

Όχι! Λες ομοίως και ξεμπέρδεψες.

drosos · 05-02-12

Αυτο εγραψα

ARHITEK · 08-02-12

θα ηθελα να ακουσω γνωμες για το σε ποια θεματα κανετε επικεντρωση στο καθε κεφαλαιο απ'τα 4 στα Μαθηματικα-Τεχνολογικης!!! απο σχολοειο κ φροντιστηρια

drosos · 08-02-12

Δεν κτλβνω τι λες αλλα τα σημαντικοτερα κεφαλαια ειναι το 3 κ το 4 κατα την γνωμη μου(παραγωγος-ολοκληρωματα)

Giorgio-PD · 08-02-12

Την παρακάτω άσκηση μας την έδωσε ο καθηγητής στο σχολείο λέγοντάς μας ότι είναι μέσα στις 5 πιο δύσκολες ασκήσεις που έχει συναντήσει στη καθηγητική του καριέρα (ο καθηγητής μου είναι γύρω στα 40)

Εκφώνηση
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3^x + 6^x = 4^x + 5^x έχει ακριβώς δύο ρίζες στο R

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 278211

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος