εδιτ: λολ, γιατί δεν είδα ότι έχει απαντηθεί ήδη;αν γίνεται μια άσκηση στα πολυώνυμα
1)Εστω Π(X)=Αv*x^v+..A1*x+Ao, Av#0. An vεΝ είναι περιττός, να δείξετε ότι η εξίσωση Π(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R
2)έστω πολώνυμο Π(x),βαθμού v>=3.Aν οι εξισώσεις Π(x)=0,Π΄΄(χ)=0 δεν έχουν ρίζεσ στο R,να δείξετε ότι η εξίσωση Π΄(χ) έχει μια ακριβώς ρίζα στο R
3)Να δείξετε ότι η παραπάνω ρίζα έιναι οπωσδήποτε θέση ακροτάτου για την συνάρτση Π(χ)
2) Π' ' διάφορο του 0 => Π' γνησίως μονότονη => αν έχει ρίζα είναι μοναδική
Π διάφορο του 0 => απορρίπτονται από (α) όσα πολυώνυμα είναι περιττού βαθμού => Η παράγωγος, όμως, ενός πολυωνύμου άρτιου βαθμού, είναι πολυώνυμο περιττό και έχει ρίζα πάντα => ύπαρξη ρίζας
3) Εμ... Προφανώς; Αφού είναι ρίζα της παραγώγου της.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ναι, obviously!Εμένα η χ=0 μου μοιάζει για ρίζα :Ρ
1)a) Αντικατάστησε την συνάρτηση που σου δίνει και επαλήθευσε ότι ικανοποιεί την εξίσωση. Επιβεβαίωσε ότι ικανοποιεί ΚΑΙ τις συνθήκες για f και f ' στο μηδέν.λιγη βοηθεια με αυτες τις ασκησεις
β) Οκ. Το σύνολο τιμών, ξέρεις να το βρεις.
Για το όριο που σου ζητάει 1/f, θα πάρεις τον λογάριθμο ln του 1/f, θα χρησιμοποιήσεις τους κανόνες λογαρίθμων και θα πάρεις αυτού το όριο. Θα βρεις ότι είναι +οο και για να βρεις το όριο που πραγματικά θέλεις, θα πάρεις το όριο στην e, δηλαδή, πάλι +οο.
γ) Αχ... Δεν το γλιτώνω το ...
E, στη συνέχεια θέτεις u=x+1 και το ολοκλήρωμα του λογαρίθμου το ξέρεις (ulnu-u).
d) Για ύπαρξη αντίστροφης, απόδειξε, μονοτονία.
Ουσιαστικά δεν μπορείς να βρεις την μορφή της αντίστροφης.
Αυτό που κάνεις είναι να την γράψεις έστω και σε «πεπλεγμένη» μορφή:
Τώρα παραγωγίζεις την εξίσωση ως προς χ, ήτοι:
Τώρα το σενάριο έχει ως εξής: Λύνεις ως προς την παράγωγο. Βλέπεις από την κανονική συνάρτηση (όχι την αντίστροφη), ότι την τιμή 0 την παίρνει για το 0 στο όρισμά της. Επομένως πλέον το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση ύπαρξης ή μη συγκεκριμένου ορίου της παραγώγου της αντίστροφης, όταν η αντίστροφη τείνει στο 0. Για να γίνω πιο συγκεκριμένος. Βρίσκεις ότι η παράγωγος της αντίστροφης γράφεται:
Είναι προφανές ότι δεν υπάρχει το όριο της παραπάνω παραγώγου για:
και άρα αποδείξαμε το ζητούμενο.
2)β) Δεν νομίζω ότι μπορείς να την βρεις με λυκειακά μαθηματικά.
Στα άλλα δε σου λέω κάτι, εκτός αν έχεις συγκεκριμένη απορία. Νομίζω ότι είναι λίγο-πολύ κλασσικά πράγματα.
3)α) Χρησιμοποιείς την γνωστή ιδιότητα που αναλύεις το τετράγωνο του μέτρου του μιγαδικού σε γινόμενου του ίδιου επί τον συζυγή του.
β) Θα βάλεις συζυγές παντού, θα χρησιμοποιήσεις το (α) για να βγάλεις την συζυγία και θα βγει.
γ) Πάρε το |w|^2, χρησιμοποίησε την ισότητα που σου είπα και στο (α) και θα σου βγει εύκολα.
δ) Θα στο πω λίγο οπτικά.
Από το μέτρο τους, ξέρεις ότι οι z1, z2 βρίσκονται πάνω σε έναν κύκλο ακτίνας 2 και κέντρου την αρχή των αξόνων.
Για να είναι ισόπλευρο το τρίγωνο (κάνε ένα σχήμα), αρκεί η απόσταση μεταξύ των z, z2, να είναι ίση με 2, ήτοι |z1-z2|=2.
w=2=> (z1-z2)^2=-z1z2=> |z1-z2|^2=|z1z2|=4=> |z1-z2|=2. Και το αποδείξαμε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
1. Αφού λες ότι τα ξέρεις τα Α, Β, δεν σου γράφω τίποτα.Η δική μου συνδρομή στις απορίες:
1.Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: [0,2].
Ισχύει: f(0) + 2f(1) + f(2) =0
Α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)= f(x) + f(x+1) και ν.δ.ο. g συνεχής σ'αυτό.
Β. Ν.δ.ο. η g παίρνει την τιμή 0.
Γ. Ν.δ.ο. ∃ χ0 ∈ [0,2] ώστε : f(χ0)=-f(1) δια τρια.
2. Δίνεται f(x)= ρίζα του χ^2 +1 όλο μέσα στη ρίζα με χ ∈ R.
Α. Ν.λ.θ. f(3x) + f(2001x)= f(5x) + f(2006x)
B. Αν F(X)= Ολοκλήρωμα από 1 έως χ f(t)dt βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη Cf και τους άξονες χ'χ,ψ'ψ.
Επισημάνσεις: i)Στην 1. έχω λύσει τα Α.,Β. και δυσκολεύομαι στο Γ.
ii) Στην 2. παραλείπεται ένα μέρος της άσκησης στο οποίο καταλήγουμε στη δοθείσα f(x).
Δεν είμαι εξοικειωμένος με τη σύνταξη στο Latex οπότε συγχωρέστε με για τις ερασιτεχνικές διατυπώσεις.
Για το Γ:
f(0) + 2f(1) + f(2) =0=>f(1)= πλην μέση τιμή του f(0), f(2).
Το -f(1) δεν είναι τίποτε άλλο παρά η μέση τιμή των f(0), f(2) διαιρεμένη με το 3.
Επίσης η ίδια σχέση μας πληροφορεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας θετικός και τουλάχιστον ένας αρνητικός από τους f(1), f(2), f(3).
Σκέψου τώρα το σύνολο τιμών αυτής της συνεχούς συνάρτησης. Είναι ένα σύνολο τιμών που ξεκινά από μία αρνητική τιμή και φτάνει συνεχώς ως μία θετική. Όποιον αριθμό και να επιλέξεις μέσα από αυτό το σύνολο και να τον διαιρέσεις με έναν οποιονδήποτε θετικό μεγαλύτερο ή ίσο της μονάδας, θα ανήκει πάλι σίγουρα στο σύνολο.
2Α. Λύση είναι το χ=1. Δείξε την μοναδικότητα χρησιμοποιώντας μονοτονία.
2Β. Για να βρεις το εμβαδόν, ολοκληρώνεις από -άπειρο έως +άπειρο. Με την F, θα το σπάσεις κατάλληλα και θα βγάλεις: -F(-oo)+F(+oo).
Φυσικά άπειρο είναι το εμβαδόν... Μήπως βρήκες λάθος την f(x);
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΤΡΟΜΑΞΑ ΡΕ ΦΙΛΕ..
Αυτός ήταν ο στόχος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Εστω μια συναρτηση για την οποια ισχυει για καθε x που ανηκει στο R.Να δειξετε οτι
Λοιπόν, για μία μη μηδενική συνάρτηση g(x), το είναι η μέση τιμή της συνάρτησης στο [a,b]. Για μία συνεχή μη μηδενική g(x), είναι προφανές ότι θα υπάρχει μία τιμή έστω ξ που θα ανήκει στο [a,b] η οποία θα παίρνει την την μέση τιμή της. Η για να το πω με μαθηματικά, θα υπάρχει .
Εν προκειμένω έχουμε:
To οποίο συμβαίνει μόνο όταν f(x)=0.
Σημ.:
Αυτό ίσως το έχεις συναντήσει ως το ΘΜΤ του ολοκληρωτικού λογισμού.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
απο το e^(x+lnx) πως πας στο x*e^x??
Είναι ιδιότητα της εκθετικής: exp(a+b)=exp(a)*exp(b).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Εστω μια συνεχης συναρτηση και η (ειναι γν.ΑΥΞ και 1-1) με ,x>0
Να υπολογισετε το ολοκληρωμα
Παρατηρώ () ότι e^g(x)=e^(x+lnx)=x*e^x=f(g(x)), άρα f(x)=e^x.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Υποδείξεις:αν γίνετε μια βοήθεια σε αυτή
1) Πάρε ορισμένο ολοκλήρωμα από x έως 1 της ανισότηττας με την παράγωγο.
Μετά πάρε από 1 έως x.
Τη λύση της ξέρεις. Δείξε τη μοναδικότητα βρίσκοντας την μονοτονία από τις ανισότητες.
2) Χρησιμοποίησε τις ανισότητες. Το πρώτο βγαίνει σχεδόν άμεσα. Στο δεύτερο δεν καταλαβαίνω τι έχεις γράψει, αλλά θα βγαίνει και αυτό εύκολα.
3) Χρησιμοποίησε την ανισότητα. Βγαίνει άμεσα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Δεν καναμε ακομα το κεφαλαιο αυτο η απορια μου ειναι απτα αρχικα που λεει οτι παντα αν f(x)>0 υπαρχει περιπτωση να μην εχουμε απολυτα και να ειναι μια συναρτηση αρντικη σε ενα διαστημα και συνεχης εκει το ολοκληρωμα της παλι θα δειχνει εμβαδον ακομα και αν g(x)<0
σχολικο σελ 330 στο τελευταιο αποσπασμα
Πάντως έτσι όπως τα λες, ούτε εγώ καταλαβαίνω τι εννοείς.
Κοίτα το συνημμένο. Είναι μία συνάρτηση ημιτόνου.
Μέχρι το π είναι θετική. Εκεί ο ολοκλήρωμα από 0 έως π θα δώσει μία θετική τιμή (2). 2 είναι το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης και του άξονα των x.
Από π έως 2π, η συνάρτηση είναι αρνητική και εκεί το ολοκλήρωμα θα δώσει -2. Το |-2|=2 μα δίνει το εμβαδόν της καμπύλης σε εκείνη την περιοχή, ενώ το πλην μας λέει ότι βρίσκεται από κάτω.
Αν ολοκληρώσεις σε διάστημα που είναι μία θετική και μία αρνητική, τότε ουσιαστικά προσθέτεις το εμβαδόν των περιοχών που είναι θετική και αφαιρείς το εμβαδόν στις περιοχές που είναι αρνητική. Αν το αποτέλεσμα είναι θετικό, τότε περισσότερο εμβαδόν βρίσκεται από πάνω, αν είναι αρνητικό περισσότερο βρίσκεται από κάτω, ενώ αν είναι 0, τότε είναι ίσα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
Να λύσετε την εξίσωση:
Την έχω φτάσει με το παρακάτω σημείο και μετά κολλάω...
Αριστερά (στα fm ) βγάλε κοινό παράγοντα το z² και δεξιά το -3.
Φέρε τα όλα στο ένα μέλος και κάνε παραγοντοποίηση.
Ρίζες: z=±sqrt(3)i, z=2i.
Have fun και καλή επιτυχία.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αξίωμα 1:σωστό ακούγεται αυτό που γράφεις
Δεν κάνω ΠΟΤΈ λάθος.
Θεώρημα:
Αυτά που λέω δεν ακούγονται σωστά, ΕΊΝΑΙ σωστά.
Απόδειξη:
Τετριμένη. Αφήνεται στον αναγνώστη.
Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το Αξίωμα 1.
ΥΓ: Φυσικά αστειεύομαι, όλοι κάνουμε λάθη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Κανένας δε σου έδωσε μία και μόνο συνάρτηση f(x).Ναι, αλλα πως γίνεται το f(0) να παίρνει και άλλη τιμή? Τότε θα είναι f(0)=1 και f(0)=κ, μόνο που τότε η f δεν θα ήταν συνάρτηση... Δεν ξέρω, κάτι δεν μου κολλάει.
Σου δίνεται μία σχέση που έχει μέχρι και τρίτο βαθμό της f(x). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν έως και τρεις πραγματικές συναρτήσεις f(x) που ικανοποιούν αυτή τη σχέση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Μία προφανής λύση είναι αυτή που λες.Από την σχέση: μπορώ να πώ οτι ??
Μετά κάνεις Horner και βλέπεις αν έχει άλλες ρίζες. Αυτή δεν έχει άλλες πραγματικές ρίζες.
Αν δεν θέλεις να κάνεις Horner, μπορείς να πάρεις την συνάρτηση y=x^3+x-2 και να δεις ότι είναι γνησίως αύξουσα και άρα αν έχει μία ρίζα (αυτή έχει την προφανή που βρήκες πριν), αυτή είναι και μοναδική.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Το ίδιο είναι, απλά αν βάλεις χ να θυμηθείς μετά να πάρεις και το όριο στο άπειρο.Ευχαριστω exc!! Και εγω το ιδιο βρηκα οποτε μαλλον εχει το βιβλιο λαθος.
Ωστοσο στο J2 εβαλα χ αντι για απειρο που λογικα ειναι το ιδιο πραγμα, ετσι δεν ειναι?
https://www.wolframalpha.com/
Στο παραπάνω link μπορείς να ελέγχεις τις λύσεις σου αν δεν είσαι σίγουρος για κάτι.
πχ για το ολοκλήρωμα που ήθελες έπρεπε να έγραφες:
integrate abs(t-3)*exp(-t) {t,2,infinity}
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Θα προσπαθήσω να είμαι αρκετά αναλυτικός μιας και το πρόβλημά σου είναι στις πράξεις χωρίς, όμως, να σου τη λύσω κιόλας.Να βρω το οριο
βρισκω αλλο αποτελεσμα απο τις λυσεις ,οποιος θελει ας βοηθησει
Λοιπόν:
, διότι:
Και:
Άρα: και συνεπώς
Στα παραπάνω λήφθηκε υπόψη το εξής όριο:
που βγαίνει εύκολα με Hospital.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Με προλαβες...
Mε προλαβες exc!
Είμαι γρήγορος ο κερατάς.
Δεν πειράζει παιδιά, η προσπάθεια και η χειρονομία μετράει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Όχι ισχύει πάντα. Άλλωστε το χ υπάρχει και στα δύο μέλη και μόλις μηδενιστεί, θα μηδενιστούν και αυτά.Aυτο δεν ισχυει για χ διαφορο του 0 αφου διαιρεσες με χ?Εγω εκει κολλησα.
Διαφορετικά: Έχεις για κάθε πραγματικό χ.
Μόνο ο παράγων , όμως, είναι δυνατόν να μηδενίζεται για κάθε χ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
, όπου
Να βρω τη συνεχη συναρτηση f ορισμενη στο R.
Τελικά προκύπτει:
, το οποίο και παραγωγίζεις και στα δύο μέλη, οπότε και έχεις:
.
Βάζεις στην αρχική σχέση με το ολοκλήρωμα που σου δίνεται χ=1 για να μηδενίσεις το ολοκλήρωμα και προκύπτει:
, οπότε και πλέον είσαι σε θέση να βρεις την σταθερά C που είναι ίση με -2.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
f '(x)=8xΚαλησπέρα..Βάλαμε με τον μαθηματικό μας ένα στοίχημα οτι όποιος λύσει αυτήν την άσκηση θα μας παραγγείλει πίτσες στο φροντιστήριο..Είναι στο κεφάλαιο με την εφαπτόμενη και λέει
Έστω μια συνάρτηση f(x)=4x^2. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες που άγονται από οποιοδήποτε σημείο της ευθείας η : y= -1/16 είναι κάθετες..
Αν μπορεί κάποιος ας με βοηθήσει αλλα να αναλύσει λίγο τι κάνει και γιατί το κάνει για να του τα εξηγήσω και εγώ
Έστω ότι οι δύο εφαπτόμενες τέμνουν την y=-1/16 στο χ0.
Η μία εφαπτόμενη τέμνει την f στο χ1 και η άλλη στο χ2.
Για την πρώτη εφαπτόμενη έχεις την εξίσωση y+1/16=f '(x1)(x-x0). Για την εξίσωση της δεύτερης απλά βάλε όπου χ1, το χ2.
Η τομή της πρώτης εφαπτόμενης με την f: 4χ1^2+1/16=8χ1(χ1-χ0)=> 4χ1^2-8χ0χ1-1/16 και λύνεις ως προς χ1 την δευτεροβάθμια. Για την τομή της δεύτερης σου προκύπτει η ίδια εξίσωση, αλλά με χ1->χ2.
Για να είναι η τομή με την f σε διαφορετικά σημεία παίρνεις λύσεις των εξισώσεων έτσι ώστε χ1 να είναι διάφορο του χ2.
Η κλίση των εφαπτόμενων είναι 8χ1 και 8χ2. Αν τα πολλαπλασιάσεις, θα βρεις -1.
ο.έ.δ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Να το αναλύσω λίγο, γιατί μάλλον δεν κατάλαβες τι εννοούσα ότι βγαίνει εύκολα:Σας ευχαριστω . exc δεν ηξερα αν ισχυει ή οχι η εξισωση που βγαινει.
που είναι προφανώς άτοπο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Έχεις ότι χ'(t)=4 (η ταχύτητα της προβολής στον άξονα χ είναι η χρονική παράγωγος του χ). Επίσης έχεις ότι y=±2sqrt(χ). Παραγωγίζεις ως προς t την τελευταία λαμβάνοντας υπόψη ότι το χ είναι συνάρτηση του t και άρα y'(t)=y'(x)*x'(t)=±4/sqrt(x). ΑΥτό που σου ζητείται είναι η y'(t) την στιγμή που η απόσταση από την αρχή των αξόνων θα είναι sqrt(5), δηλ.: χ^2+y^2=x^2+4x=5=>x=1=>y=±2, άρα |y'|=4.Εχω καποιες ασκησεις στο ρυθμο μεταβολης τις οποιες δεν μπορω να βγαλω
μπαρλας σελ 348
24. Ενα κινητο Μ κινειται κατα μηκος της παραβολης ψ^2=4χ ωστε η προβολή του Α στον αξονα χ'χ να απομακρυνεται απο το Ο με ταχυτητα 4. Να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης (ΜΑ) , οταν το Μ απεχει απο την αρχη των αξονων ριζα5 cm
σφχ=cotx=cosx/sinx εξίσωσέ τις δύο συναρτήσεις και θα δεις πολύ εύκολα ότι δεν υπάρχει χ που να ικανοποιεί την εξίσωση αυτή.Οι συναρτησεις σφχ και 1/(ημχ)^2 τεμνονται για χ ε(0,π) ;
Αν μπορει ας βοηθησει καποιος .Ευχαριστω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
1) f(x+y)=(x+y)g(x+y)=xg(x+y)+yg(x+y)<xg(x)+yg(y)=f(x)+f(y)Γεια σας παιδια, θελω βοηθεια στην παρακατω ασκηση μιας και την παλευω αρκετη ωρα και πιστευω πως οι ιδεες μου εχουν στερεψει, ισως βεβαια ειναι κατι πολυ απλο αλλα μετα απο 6 ωρες δεν μπορω να το δω :
1)Έστω g:IR*+->IR με g γνησιως φθίνουσα στο IR*+ .
Aν f(x)=xg(x) για καθε xεIR*+ ν.δ.ο.
f(x+ψ)< f(x) + f(ψ), για καθε χ,ψ ε IR*+.
2)Kαι μια ακομη, αν καποιος ειναι προθυμος:
Αν για τη συναρτηση f ισχυει |f(x) - (fψ)| < |x-ψ| για καθε χ,ψ ε IR, νδο η g(x)=f(x)-x ειναι γνησιως φθίνουσα στο IR.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
όπου χρησιμοποίησα ότι για δεδομένα x,y στο πεδίο ορισμού και δεδομένου ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα: g(χ+y)<g(x)=> xg(x+y)<xg(x) και όμοια για το y.
2) |f(x)-f(y)|<|x-y|=>|[f(x)-f(y)]/[x-y]|<1=>|f'(x)|<1=>-1<f'(x)<1
g'(x)=f'(x)-1<0 άρα g γνησίως φθίνουσα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ok. Έχεις ένα πρόσημο στην παραγοντοποίηση λάθος. χ^2-4χ+3=(χ-1)(χ-3), όχι +.Έλεγξα την 1η άσκηση και κατέληξα πάλι στο ίδιο. Αν το πάρουμε αντίστροφα για την f(x)=[αx^2-(β+3)+2α+β)]/(x^2-4x+3) έχουμε το εξής:
Για α=1 και β=-9 (δικιά μου λύση) έχουμε
f(x)=(x^2+6x-7)/(x^2-4x+3)=[(x+7)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x+7)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x+7)/(x+3)]=(1+7)/(1+3)=8/4=2 όπως δίνεται στην εκφώνηση
Για α=1 και β=3 έχουμε
f(x)=(x^2-6x+5)/(x^2-4x+3)=[(x-5)(x-1)]/[(x-1)(x+3)]=(x-5)/(x+3)
Οπότε lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x-5)/(x+3)]=(1-5)/(1+3)=-4/4=-1 που είναι διαφορετικό από αυτό της εκφώνησης
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Στην 2η βγαίνει 19/6 το όριο. Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε παραγώγους: πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή, δηλ. με , κάνουμε πράξεις στον αριθμητή και απλοποιούμε (πχ με διαίρεση πολυωνύμων) τον αριθμητή με το (χ^2-1) και καταλήγουμε στο ζητούμενο όριο (19/6).
Στην πρώτη, πρέπει οπωσδήποτε α=1 για να είναι το όριο πεπερασμένο. Και μετά με Hospital βρίσκουμε ότι το όριο ισούται με (1+β)/2. Για να κάνει 2, πρέπει β=3. Χωρίς Hospital, βγαίνει με παραγοντοποίηση, αφού χ^2-(β+3)χ+β+2=(χ-1)(χ-β-2) και χ^2-4χ+3=(χ-1)(χ-3).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
πχ για z1=1 και z2=3i η σχέση δεν ισχύει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ό,τι δεν υπάρχει στο σχολικό, πρέπει να το αποδείξεις για να το χρησιμοποιήσεις. Η απόδειξη είναι εύκολη, βέβαια.Να ρωτησω? Στην θεωρεια του Μπαρλα στο μετρο μιγαδικων, στους γεωμετρικους τοπους μεταξυ του κυκλου ( |z-zo|=ρ ,κλπ) ,τνω μεσοκαθετων (|z-z1|=|z-z2| ,κλπ) εχει και κατι αλλα με μετρα που βρισκεις ελλειψη ( |z-z1|+|z-z2|=2α ),υπερβολη, ( ||z-z1|-|z-z2||=2α ) και κλαδο υπερβολης ( |z-z1|-|z-z2|=2α ) .Τα τρια αυτα δεν υπαρχουν στο σχολικο βιβλιο .Συνεπως μπορουμε να τα χρησιμοποιησουμε στις εξετασεις? (Η να μας ζητηθει να τα χρησιμοποιησουμε ) .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Δεν είναι κάτι που ισχύει γενικά. Ο/η φίλος/η που έδωσε την άσκηση έδωσε μία γραμμική συνάρτηση, δηλαδή μία συνάρτηση η οποία έχει την ιδιότητα:παιδια αυτο που δν καταλαβαινω ειναι πως παμε απο το 3ο βημα στο 4ο και απο το 4ο στο 5ο.Μπορω να εχω ενα παραδειγμα?Ευχαριστω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Οι τιμές που μπορεί να πάρει το y είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης με την οποία το ταύτισες.Με μπέρδεψες τώρα. Γιατί λες ότι ; Με αυτό το συμβολισμό δεν εννοούμε ότι ο y είναι μιγαδικός;
Και παραθέτω μια άσκηση από το βοήθημα του μπάρλα.
https://imageshack.us/photo/my-images/827/79846423.jpg/
Ο Μπάρλας λέει y^2-2y+3 > 0 για κάθε yεR αλλά στην πραγματικότητα το y δεν μπορεί να πάρει όλες τις τιμές.'Έτσι, δίνει την εντύπωση ότι θεωρεί το y ανεξάρτητη μεταβλητή. Άρα κανονικά δεν θα έπρεπε να έγραφε για κάθε yεf(R);
Αν y=f(x) και η f έχει σύνολο τιμών το (0,άπειρο), τότε δεν έχει νόημα να μιλήσεις για y αρνητικό.
Το πολυώνυμο μπορεί τελικά να είναι μηδενικό, θετικό ή αρνητικό για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, αλλά εσένα σε ενδιαφέρει το τι κάνει στο σύνολο τιμών της f.
Το δεν σημαίνει ότι το y είναι μιγαδικός. Σημαίνει ότι δεν μπορεί να πάρει όλες τις τιμές του R. Μη ξεχνάς ότι μιλάμε για μία μεταβλητή και όχι για έναν συγκεκριμένο αριθμό. Αν ήταν ένας συγκεκριμένος αριθμός, τότε ο συμβολισμός θα μπορούσε να πάρει την έννοια που λες, αλλά και πάλι θα ήξερες ότι το στοιχείο y δεν είναι πραγματικός αριθμός, όχι ότι είναι μιγαδικός. Θα μπορούσε να είναι κάτι άλλο.
Για να πεις ότι α ανήκει στους μιγαδικούς (Complex Numbers) λες:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν , τότε καταλαβαίνεις ότι .Άρα η έκφραση για κάθε είναι σωστή ή λάθος;
Προφανώς , αφού .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Δεν έχει σημασία. Αρκεί που είναι η ίδια συνάρτηση υψωμένη σε διαφορετική δύναμη και ότι η σχέση ισχύει για κάθε χ στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.Δηλαδή δεν έχει σημασία που στο πολυώνυμο P(y) η μεταβλητή y δεν είναι ανεξάρτηση αλλά εξαρτάται από το ;
Όχι δεν μπορεί να πάρει όλες τις τιμές το y, μόνο τις θετικές.Και κάτι άλλο τώρα που το θυμήθηκα σχετικά με εξαρτημένες και ανεξάρτητες μεταβλητές
Έχω την παράσταση ,
Θέτω
Οπότε η αρχική παράσταση γίνεται η οποία έχει Δ<0
Στη συνέχεια είναι σωστό να πω άρα για κάθε ;
Γιατί στην ουσία είναι y>0 οπότε κανονικά το σωστό μήπως είναι για κάθε ; Ή όταν θέσαμε μετά αντιμετωπίζουμε την y ως ανεξάρτητη μεταβλητή που μπορεί θεωρητικά να πάρει όλες τις τιμές;
Άλλαξες την μεταβλητή, αλλά αυτή δεν είναι ανεξάρτητη, είναι συνάρτηση του χ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σωστά τα λες, εφόσον φυσικά ηΑν , να δείξετε ότι a=b=c=0.
Η εξής άσκηση λύνεται με διαδοχικές παραγοντοποιήσεις. Σκέφτηκα όμως και το εξής και δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό.
Θέτω , οπότε η αρχική σχέση γίνεται . To πολυώνυμο είναι το μηδενικό, οπότε πρέπει a=b=c=0
Τι λέτε;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Δες εδώ: https://ischool.e-steki.gr/showpost.php?p=2728616&postcount=3695Λοιπόν. z=(2-3i)^ν + (2+3i)^ν ν ανήκει Ν*, να δείξετε ότι z ανήκει IR.
Ωραία ζυζηγεις. Αλλά είναι υψωμένο στην ν και δεν ξέρω τι να κάνω.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara, διάβασες τι είπα επ' αυτού πριν;Που 'σαι Δία. Μια μικρή διορθωσούλα για να είναι τέλειο το σχήμα. Τα περιγράμματα των διαγραμμάτων Venn των συνόλων R και I πρέπει να έχουν ένα κοινό σημείο που είναι το 0.
Άλλο παράδειγμα:
Και οι 2χ2 πίνακες έχουν ένα μηδενικό στοιχείο και οι 3χ3 και οι nxm, αλλά αυτά τα μηδενικά ΔΕΝ είναι ίδια μεταξύ τους. Πρόκειται για διαφορετικούς χώρους.
Άλλος ο χώρος των πραγματικών, άλλος ο χώρος των φανταστικών.
ΥΓ: Αυτός που έφτιαξε πάντως το διάγραμμα ξεχνάει τους άρρητους.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Κάνεις λάθος. Είναι δύο διαφορετικά μηδενικά.Λάθος, διότι το 0 ανήκει και στο IR και στο Ι
Το σύνολο των φανταστικών αριθμών δεν σχετίζεται με το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Αν δηλώσω ότι βρίσκομαι στο σύνολο των φανταστικών και συγκεκριμένα στο 0*i, τότε στη μετάβαση στους μιγαδικούς δεν ξέρετε σε ποιόν πραγματικό βρίσκομαι.
Και επειδή ίσως δεν είναι απόλυτα κατανοητό, θα δώσω ένα παράδειγμα από τα διανύσματα στο επίπεδο xy και κάθε σημείο - διάνυσμα από την αρχή των αξόνων τον συμβολίζω με (χ,y):
Μπορεί ένα διάνυσμα που είναι κατά τον άξονα y να έχει συνιστώσα κατά τον χ; Προφανώς όχι, γιατί οι άξονες χ και y είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, για αυτό είναι και ορθογώνιοι. Αν πω ότι y=0, συνεπάγεται ότι χ=0; Όχι, τα δύο μηδενικά δεν έχουν καμία σχέση μεταξύ τους.
---
Οι ρίζες ενός τριωνύμου με Δ=<0 είναι πάντα συζυγείς μιγαδικά. Δεν έχετε παρά να δείτε τον τύπο που δίνει τις ρίζες του τριωνύμου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αποδεικνύεται εύκολα με το διώνυμο του Newton (https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem), αλλά δε χρειάζεται φυσικά να την ξέρεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Έχεις δίκαιο. Είπα τεράστια βλακεία πριν.
Sorry.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ως διάστημα ορίζεται ένα συνεχές σύνολο πραγματικών αριθμών. Το R\(0,1) δεν είναι ένα συνεχές σύνολο πραγματικών αριθμών και για αυτό χαρακτήρισα ως ασυνεχές το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Τα συνήθη θεωρήματα, όταν μιλούν για συνέχεια, εννοούν πάντα συνέχεια σε διάστημα (και εδώ το π.ο. της δεν είναι διάστημα), γι' αυτό παρότι βάσει του κλασικού ορισμού ε-δ για τη συνέχεια, που εφαρμόζεται μόνο εντός του πεδίου ορισμού, είναι συνεχής, δεν τη χαρακτήρια συνεχή.
Αν σου δώσω π.χ. την λ(x) που είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και σου πω ότι λ(α)<0 και λ(β)>0 τότε βάσει ορισμού ε-δ για τη συνέχεια ΔΕΝ μπορείς να μου πεις ότι έχει ρίζα μεταξύ α και β γιατί η συνέχεια στο π.ο. δεν σημαίνει ότι το π.ο. είναι διάστημα.
Είναι λοιπόν καθαρά θέμα ορισμών και όχι ουσίας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
α) Αυτή η συνάρτηση ΔΕΝ ορίζεται στο (0,1) και συνεπώς δεν μπορείς να μιλάς για όριο από τα θετικά στο 0. Σε αυτήν την περίπτωση το όριο στο 0 είναι όσο είναι το όριο από τα αρνητικά. Η f δηλαδή τείνει στο 5 για χ->0.
β) η συνάρτηση f είναι συνεχής κατά διαστήματα, αλλά ΔΕΝ είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού, αφού παρεμβάλεται ένα διάστημα (το (0,1)) στο οποίο δεν ορίζεται.
Μετά από αυτά νομίζω ότι είναι προφανές ότι η g είναι συνεχής.
2) Έχεις δίκαιο. Πρέπει οι f,g να έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού.
3) Προφανώς για κάθε x>0. Σου καθορίζει μία νέα συνάρτηση στην ουσία. Προφανώς πρέπει να ισχύει για κάθε χ>0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
εστω g(x)=f(x)-x συνεχης(αθροισμα συνεχων) εστω g διαφορη του 0. τοτε η g διατηρει προσημο στο R.
αν f(x)>x για καθε χ,
f(f(x)>f(x)
f(f(x))+x>f(x)+x
4-2f(x)>f(x)+x
3f(x)<4-x
ατοπο γιατι θα επρεπε f(2)<2/3
ομοιως, απο το f(x)<x καταληγεις στο 3f(x)>4-x , ατοπο γιατι θα επρεπε f(0)>4
H f αν είναι γνησίως μονότονη είναι γνησίως φθίνουσα.
Sorry, απαντούσα σε άλλο θέμα και με πήρε η ώρα. Πολύ ετεροχρονισμένη απάντηση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Πού έχω λάθος;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Τέλος πάντων.
3) Έστω ότι υπάρχει τέτοιο ξ. Τότε σε αυτό το ξ θα έχουμε: f(f(ξ))+ξ=4-2f(ξ)=>f(ξ)+ξ=4-2ξ=>ξ=1 που ανήκει στο ζητούμενο διάστημα.
4) Με όμοιο τρόπο φτάνουμε σε κάτι που ισχύει.
ΥΓ: Καλώς όρισες στο forum!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
AN Θεωρήσεις γνωστό το όριο βρίσκοντάς το με δοκιμές εύκολα, τότε η συνάρτησή σου τείνει στο μηδέν.
Κάτι άλλο δεν μπορώ να σκεφτώ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Έλλειψη: ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που το άθροισμα των αποστάσεων τους από δύο σημεία (εστίες) είναι σταθερός.
Είναι έλλειψη λοιπόν με τον μεγάλο ημιάξονα παράλληλο στον y'y, αφού το z2 και ο συζηγής του που αποτελούν τις εστίες της έλλειψης είναι συμμετρικά ως προς τον χ'χ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Εγώ δεν έχω χρόνο να ασχοληθώ τώρα, αλλά παρόμοιες έχω απαντήσει πολύ πρόσφατα εδώ: https://ischool.e-steki.gr/showpost.php?p=2395525&postcount=2696 (ωστόσο κανείς δεν είναι υποχρεωμένος να ψάχνει ψύλλους στα άχυρα - δεν ψάχνεις εύκολα και γρήγορα 2700+ μηνύματα)
Όσο για το , απλώς γράφε πριν τον μαθηματικό τύπο:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
(2^2-2*3i+(3i)^2)-xi+2iy*i=x+yi => 4-6i-9-xi-2y=x+yi => -5-2y=x and -6-x=y => y=1 and x=-7.Μπορεί να με βοηθήσει κάποιος στην παρακάτω άσκηση;
Για ποιες τιμές του x,y(οι χ και οι ψ είναι πραγματικοί) ισχύσει η παρακάτω παράσταση.
(2-3i)²-i(x-2iy)=x+yi
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Και θα τελειώσει στην άλλη του ζωή...Αρχική Δημοσίευση από akiroskirios:θέσε z=x+ψi και καλό κουράγιο
5o: z^2=4|z|-3, άρα ο z είναι πραγματικός. Λύσε απλώς την δευτεροβάθμια εξίσωση.Εχω κι εγώ κάποιες απορίες στο βοήθημα του μπάρλα.
Στην 58 σελίδα η άσκηση 10 τα : πέμπτο , έκτο κι έβδομο ερώτημα με δυσκολεύουν. Με το να θέσω τα z βγαίνουν πράξεις του τύπου z^4 .
5ο : z² -4|z| + 3 = 0
6o : z + |z+1| + i = 0
7o: |z| + z = 2 + i
Τα προηγούμενα ερωτήματα μου φάνηκαν εξίσου περίεργα αφού δεν ήταν κάτι που το συναντας συχνά.
Δεν ξέρω τι να κάνω μου 'χουν φάει κοντά στις 2 ώρες....
Αναμένω απάντηση :-)
6ο: |z+1|=-(z+i)=πραγματικός=> z=x-i με χ αρνητικό. Άρα |(χ+1)+(-1)i|=-x και υφώνουμε στο τετράγωνο και βρίσκουμε χ=-1. Άρα z=-1-i
Θα μπορούσαμε επίσης να προχωρήσουμε διαφορετικά:
Να πάρουμε μέτρα στην |z+1|=-(z+i)=> |z+1|=|z+i| και θα προχωρώντας θα βλέπαμε ότι χ=y, θα αντικαθιστούσαμε στην αρχική και θα φτάναμε πάλι σε z=-1-i.
7o: Ίδιο με 6ο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ξεκινώντας από την z1*z2 *(z1+z2)+z2*z3*(z2+z3)+z1*z3*(z3+z1)=0 και διαιρώντας με z1z2z3 και αντικαθιστώντας τους παρανομαστες που θα προκύψουν χρησιμοποιώντας το (με ζ θα συμβολίζω τον συζυγή του z)z|^2=zζ=1, καταλήγουμε στην:
(z1+z2)ζ3+(z2+z3)ζ1+(z1+z3)ζ2=0=>z1ζ3+z2ζ3+z2ζ1+z3ζ1+z1ζ2+z3ζ2=0=>Re(z1ζ3+z2ζ3+z2ζ1+z3ζ1+z1ζ2+z3ζ2)=0=> Rez1ζ3+Rez2ζ3+Rez2ζ1+Rez3ζ1+Rez1ζ2+Rez3ζ2=0. Όμως: Rez1ζ3=Rez3ζ1 (αποδεικνύεται εύκολα, δες το) κλπ. Άρα Rez1ζ3+Rez2ζ3+Rez1ζ2=0 ή Rez3ζ1+Rez3ζ2+Rez2ζ1=0. Αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε παρακάτω.
Έχουμε, τώρα (εννοώ πάντα διανύσματα): (ΟΑ+ΟΒ+ΟΓ)^2=ΟΑ^2+ΟΒ^2+ΟΓ^2+2[ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ].
Προφανώς αρκεί να δείξουμε ότι: ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ=0. Χρησιμοπιώντας αυτό που αποδείξαμε στο 1ο ερώτημα, έχουμε: ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ=Rez1ζ2+Rez1ζ3+Rez2ζ3, ενώ χρησιμοποιώντας τη σχέση μου αποδείξαμε στην αρχή από τα δεδομένα έχουμε ότι ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ=Rez1ζ2+Rez1ζ3+Rez2ζ3=0.
@Arthur39432:
2) Δεν εξαιρείται κανένα σημείο.
3) Απλή είναι. Απλώς έχει και αυτή πολλές πράξεις. Βρες τη ρίζα της εξίσωσης διακρίνοντας περιπτώσεις για την διακρίνουσα και μετά απλώς κάνε αντικαταστάσεις και θα καταλήξεις σε 2 διαφορετικά πραγματικά k.
5) (ReA^2+ImA^2+1-2ImA)/(ReA^2+ImA^2+1+2ImA).
Εδώ έθεσα Α= z1+z2 και είπα ότι για να ισχύει |A-i|/|A+i|<1 πρέπει και |A-i|^2/|A+i|^2<1.
Επικεντρώσου στο να καταλήξεις σε μία ανισότητα που προκύπτει και από τις δύο τους (δεδομένη και ζητούμενη) με ισοδυναμίες. Κάπως έτσι βγαίνει ευκολότερα από το να αποδείξεις ότι ImA>0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ομοίως βγάζοντας κοινό παράγοντα το z2 => |z1-z2|=(|z1|^2)/|z2|.
Εξίσωσε τα δύο μέλη και συνέχισε μόνος.
2) |1+iz|^ν=1=>|1+iz|=1=> |z-i|=1. Άρα η εικόνα του z κινείται πάνω σε κύκλο με κέντρο (0,1) και ακτίνα 1, άρα είναι μιγαδικός. Όχι πραγματικός, όχι φανταστικός.
3) w= 1=i. ???
4) Κάθε παρανομαστής μπορεί να γραφτεί ως |iz+1|=|i(z-i)|=|z-i|. Έχεις στον αριθμητή λοιπόν |z+i| και στον παρανομαστή |z-i|. Όμως: |z+i|=<|z|+1 και |z+(-i)|=<|z|+1. Ανάλογα τους μιγαδικούς αυτό το άθροισμα μπορείς να το διατηρήσεις <2. Αλλά αν z1=a1εR, έχεις: |z1-i|=a1^2+1=|z1+i|. Άρα το πηλίκο αυτών θα είναι ίσο με 1. Αν έχεις έστω έναν ακόμα μιγαδικό που είναι πραγματικός τότε το άθροισμα γίνεται τουλάχιστον 2.
5) Α=z1+z2.
|Α-i|^2/|A+i|^2=(ReA^2+ImA^2+1-2ImA)/(ReA^2+ImA^2+1+2ImA). Για να είναι <1 πρέπει ImA>0 κάτι που βγαίνει από την δεδομένη ανισότητα. Όχι πολύ εύκολα (όχι τουλάχιστον με τον τρόπο που το προσπάθησα εγώ), αλλά βγαίνει. Θέμα πράξεων είναι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
αν Α η εικονα του μιγαδικου z και Β η εικονα του μιγαδικου w.. να δειξετε οτι.
α)ΟΑ(διανυσμα) * ΟΒ(διανυσμα)=Re(zw-o w συζηγης)
β)αν Α η εικονα του z1 ,B η εικονα του z2, Γ η εικονα του z3 και ισχυει μετρο z1 = μετρο z2= μετρο z3=1
καθως επισης και z1*z2 *(z1+z2)+z2*z3*(z2+z3)+z1*z3*(z3+z1)=0 ..ν.δ.ο. ΟΑ (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ) + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)=ΟΑ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜA)^2
Οποιος μπορει ας με βοηθησει με την επιλυση της παραπανω σκησης ..ευχαριστω πολυ
a) ΟΑ*ΟΒ=(Rez,Imz)*(Rew,Imw)=RezRew+ImzImw
Re[(Rez+iImz)(Rew-iImw)]=RezRew+ImzImw
Άρα απεδείχθη το ζητούμενο.
b) Εδώ ζητάς να αποδείξουμε ότι ένα άνυσμα ισούται με ένα βαθμωτό [ΟΑ (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ) + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)=ΟΑ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜA)^2]. Αυτό δε γίνεται, διόρθωσε το ερώτημα και θα το δω αργότερα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Στα πλαίσια του λυκείου ο λογάριθμος θα έχει πεδίο ορισμού το (0,+άπειρο) που είναι υποσύνολο των πραγματικών και σύνολο τιμών το (-άπειρο,+άπειρο) επίσης υποσύνολο των πραγματικών. Άρα το χ<0 που γράφεις είναι άκυρο.ok thanks ...
αλλα στην f(x)=|lnx|
λέμε χ<0 , χΕ(0,1)
και χ>(και ίσο)0 , χΕ[1,+ΟΟ)
ΤΟ 1 απο που προκυπτει?
Στο χ=1 αν μελετήσεις τη συνάρτηση (μηδενισμούς, ακρότατα, μονοτονία, καμπυλότητα) θα δεις ότι μηδενίζεται η συνάρτηση και η 1η παράγωγός της αλλάζει πρόσημο (Είναι αρνητική πριν το 1 και θετική μετά το 1, ενώ στο 1 είναι ασυνεχής). Συνεπώς το χ=1 αποτελεί και ελάχιστο. Επίσης η 2η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική πριν το χ=1 και αρνητική μετά το χ=1.
Άρα η γραφική παράταση της συνάρτησης αλλάζει τελείως στο χ=1.
Τη χωρίζεις δηλαδή στα σημεία που αλλάζει κάτι στην σχεδίασή της. Δες τα παραδείγματα του σχολικού και θα καταλάβεις.
Αν δεν το έχεις, δες εδώ:
https://www.pi-schools.gr/download/lessons/mathematics/lykeio/g-lyk-8et-texno-biblio.zip
https://www.pi-schools.gr/download/lessons/mathematics/lykeio/g-lyk-8et-texno-lyseis.zip
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ε, μία ευθεία είναι αυτή. Δες που τέμνει τον άξονα y μηδενίζοντας το χ και που μηδενίζεται η συνάρτηση (τομή με άξονα χ) μηδενίζοντας το f(x).να παραστησετε γραφικα την συναρτηση
f(x)= -x+3, x<1
x+1,x>(και ίσο)1
ευχαριστώ εκ των προτέρων
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
1) Από πότε η μαθηματική επαγωγή είναι εντός ύλης; Προαιρετικά διδάσκεται (ή εν πάσει περιπτώσει έτσι ήταν πριν 3-4 χρόνια), άρα και δεν υπάρχει περίπτωση να ζητηθεί άσκηση που να χρειαστεί να εφαρμοστεί μαθηματική επαγωγή.
2) Βελτίωσε τον τρόπο που γάφεις σε . Δεν βγάζω τίποτα από ό,τι έγραψες.
2) Πώς ακριβώς αποδεικνύεις ότι ; [Υπενθύμιση. Ισχύει: ]
3) Δες το προηγούμενο μήνυμά μου (#2661) και πες μου τι από αυτά που είπα είναι εκτός ύλης. Το προ-προηγούμενο μήνυμά μου (#2656) ήταν απλώς για να καταλάβει το πόσο δύσκολο είναι να κάνει το ανάπτυγμα. Φαίνεται αυτό από τον τρόπο που του το έγραψα.
4) Δε ανέχομαι κακοπροαίρετες υποδείξεις και σχόλια.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Η άσκηση βγαίνει. Δεν ξέρω τι λέει ο φίλος από πάνω για το πώς θα βγει με μαθηματική επαγωγή, αλλά αν ξεκινήσεις από το ζητούμενο και προσπαθήσεις να καταλήξεις σε κάτι που ισχύει με ισοδυναμίες θα τα καταφέρεις. Θέλει, όμως, αρκετό χρόνο και υπομονή, πράγματα που δε διαθέτω για να σου τη λύσω εγώ.
Πάρε το μέτρο της ζητούμενης εξίσωσης και ύψωσέ το στο τετράγωνο. Ανάπτυξέ το αυτό ως γινόμενο του μιγαδικού επί τον συζυγή του.
Τώρα πήγαινε στα δεδομένα σου. Από την εξίσωση z1+z2+z3=0 θα πάρεις τρεις εξισώσεις αντικαθιστώντας κάθε φορά έναν από τους μιγαδικούς κλπ... Μετά πάρε και τις συζυγείς τους εξισώσεις. Συνδυάζοντας κατάλληλα αυτές τις εξισώσεις και αντικαθιστώντας στην ζητούμενη σχέση θα φτάσεις να δείξεις ότι μηδενίζεται.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν το ζητούμενο της άσκησης δεν ήταν να κάνεις το ανάπτυγμα σε απλούς όρους, αλλά κάτι άλλο και απλώς εσένα σου χρειάστηκε το ανάπτυγμα, γράψε εδώ την άσκηση, γιατί κατά πάσα πιθανότητα βγαίνει απλούστερα.Φιλε exc ευχαριστω για τον χρονο σου.. θα κατσω να το μελετησω τωρα (εχασα μια μερα... σε μια ασκηση )
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Εννοείται ότι γίνεται.Καμια ιδεα για το πως μπορω να το αναπτυξω?(οχι απλοποιηση)
Για δες:
Καταρχάς θέτω d=a+b. Και L=2^k όπου k φυσικός για να μπορεί να αναπτύσσεται η σχέση. Έχουμε
Και ένα παράδειγμα με k=3:
---
Στην αρχή είναι δύσκολο... Μετά συνηθίζεις...
Ψάξε για το διώνυμο (binomial στα αγγλικά) του Newton.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Με μία γρήγορη αντικατάσταση τυχαίων αριθμών βλέπουμε ότι δεν ισχύει.Μια ερωτηση.. πως αναπτυσσουμε την
Θελω να το φερω σε τετοια μορφη
αλλα δεν ειμαι σιγουρος
a=2, b=3, c=4, k=3.
Το πρώτο μέλος γίνεται ίσο με: 34046721, ενώ το δεύτερο μέλος ισούται με: 107505...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
σου βγαινει ετσι οπως σου ειπε ο φιλος;γενικα αυτες ετσι λυνονται αλλα η συγκεκριμενη δεν πρεπει να βγαινει ετσι.αν δεν εχεις βρει ακομα κατι μπορω να σου προνεινω μια λυση,(σε ριζα ειναι μονο το f του χ οχι και το 2 ετσι;
Αυτή είναι η μέθοδος για να βρεις οποιοδήποτε όριο ανεξάρτητα του αν βγαίνει αλγεβρικά ή όχι. Στα πλαίσια του σχολείου θα πρέπει να βγαίνει πάντα.
Και τώρα που το βλέπω για 2η φορά, μάλλον το όριο είναι: που βγαίνει εύκολα.
Βέβαια, εγώ απλώς μαντεύω...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν για τη συνάρτηση f ισχύει oτι[FONT="][/FONT] : lim όταν το x τείνει στο 0 είναι f(x)-4/rizaf(x) +2=1 , να βρείτε το όριο της f(x) οταν x τεινει στο 0
Εχω κολλήσει λιγο εδώ .Μπορείτε να βοηθήσετε??
[FONT="][/FONT]
Δεν καταλαβαίνω το όριο έτσι όπως το έγραψες (ποιας έκφρασης το όριο στο 0 και ισούται με 1; ), αλλά δεν έχει και σημασία, θα σου πω τι να κάνεις: Θέσε a=f(x)-4/rizaf(x) +2, λύσε ως προς f(x) και μετά πάρε το όριο για x->0. Προφανώς το a είναι συνάρτηση του x (a=a(x)) και φυσικά ισχύει .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
μιας και σε βλεπω ζεστο μπορεις να με εξηγησεις και αυτην
δινεται η συναρτηση f για την οποια ισχυει f(f(x))=2X-1
να δειξετε οτι f(2x-1)=2f(x)-1
Αυτές είναι απορίες σου, όχι ασκήσεις για λύση έτσι; Να ξέρω αν είναι να μην τις λύνω.
Προφανής δεν είναι;
f(2x-1)=f(f(f(x)))=2f(x)-1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
f(x)=ln(2συνχ-ριζα3) να βρειτε το πεδιο ορισμου παρακλω βοηθεια
2cos(x)-riza(3)>0=>cos(x)>riza(3)/2=>-π/6<x<π/6 + πλήρεις κύκλους.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Η αποσύνδεση από μόνη της δε θα κάνει τίποτα. Το θέμα είναι να ενισχυθεί ο ρόλος του σχολείου έτσι ώστε να μην αναγκάζονται οι μαθητές να κάνουν φροντιστήρια/ιδιαίτερα, να γίνει κατανοητό ότι δεν είναι λογικό να μπουν όλοι στο πανεπιστήμιο και άλλα πολλά... Δεν είναι απλό το θέμα και το χειρότερο είναι ότι η εκάστοτε ηγεσία του ΥΠΕΠΘ επικεντρώνεται σε επιφανειακά μόνο ζητήματα...Σωστά όσα γράφεις, αλλά και αν όπως λες αποσυνδεθεί το λύκειο από τις εισαγωγικές πάλι τα ίδια ακριβώς θα γίνονται. Και όπως τώρα γράφουν στις παλιές τους σαγιονάρες τα ενδοσχολικά μαθήματα, τότε θα γράφουν εντελώς όλο το σχολείο. Ένας καθηγητής μου κάποτε μας είπε: "ο μόνος λόγος που δεν έχει ακόμα διαλυθεί εντελώς το λύκειο, είναι το 30% που μετρά ο προφορικός στις πανελλήνιες". Ναι, είναι υπερβολή, όμως έχει και κάποιο δίκιο ε?
Σε ποιον απευθύνεσαι;πιστευω οτι θεματα τυπου που επεσαν φετος z²+z+1=0 τα ελυνε χαλαρα ενας που ειχε στις πλατες ασκησεις οπως με το αθροισμα
Εισε πολυ μπροστα στην υλη δεν ξερω αν σε βγει σε καλο αν θα σε μεινουν δυναμεις
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Το αστείο είναι ότι οι περισσότεροι από αυτούς που σκίστηκαν στο σχολείο για να μπουν στο πανεπιστήμιο μετά όσο διάβαζαν στο σχολείο, τόσο κάθονται στο πανεπιστήμιο. Είναι το σύστημα των πανελληνίων αξιοκρατικό; Ο καλύτερος γράφει καλύτερα; Ή επιβραβέβεται κυρίως η παπαγαλία; Ποιοι τελικά πραγματικά αξίζουν;
Πανελλήνιες + λύκειο=Θάνατος κριτικής σκέψης + αναβίωση παπαγαλίας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Για αυτό πρέπει να αποσυνδεθεί το λύκειο από τις εισαγωγικές εξετάσεις στη 3βάθμια εκπαίδευση.Έχω ακούσει για κάποιους που παιδεύονταν και έλυναν πολύ δύσκολες ασκήσεις, αλλά στις πανελλήνιες δεν τα κατάφεραν στις μέτριες.]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
exc γιατι χρειαζεται περιπτωσεις και πως θα καταλαβαινω οτι χρειαζονται
Χρειάζεται περιπτώσεις γιατί αν α,β,γ>1 τότε δεν ισχύει πάντα το α+β+γ>αβγ, οπότε δε θα μπορούσες να καταλήξεις πουθενά (βλ. πιο πάνω τη λύση) και γιατί για α,β,γ>1 ισχύει η σχέση προφανώς.
Δεν υπήρχε κάποιος τρόπος να το καταλάβεις πριν να κάνεις ό,τι σου είπα παραπάνω ότι χρειαζόταν να πάρεις περιπτώσεις. Το αν θα το καταλάβαινες, βέβαια, είναι απλώς θέμα εμπειρίας.
Το θέμα, βέβαια, είναι ότι έτσι δεν παίρνεις όλες τις περιπτώσεις, παρατήρησα ότι ισχύει ακόμη και εάν τα μέτρα δεν είναι όλα>=1 ή όλα <1. Για να σου πω την αλήθεια εγώ δεν την θεωρώ αυτή τη λύση απόλυτα σωστή και δεν ξέρω ποια είναι η σωστή λύση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Φαντάζομαι ότι το πρόβλημά σου βρίσκεται στη 2η περίπτωση όταν |ζ1,2,3|<1.
Έχουμε:
|(1-ζ1)(1-ζ2)(1-ζ3)|=|1-ζ1||1-ζ2||1-ζ3|. Γενικώς: |αβγ|=|α||β||γ|.
|1-ζ1|>=1-|ζ1|>0 (Από τριγωνική ανισότητα.)
Ομοια για τα 2 και 3.
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και έχουμε:
|1-ζ1||1-ζ2||1-ζ3|>=(1-|ζ1|)(1-|ζ2|)(1-|ζ3|)=1-|ζ1|-|ζ2|-|ζ3|+|ζ1ζ2|+|ζ2ζ3|+|ζ1ζ3|-|ζ1ζ2ζ3|>=1-|ζ1|-|ζ2|-|ζ3|, αφού αν έχουμε α,β,γ<1 τότε προφανώς ισχύει: α+β+γ>αβγ.
@Dias:
Και με το Mathematica αν γράψεις έναν τύπο, αφού πατήσεις Shift+Enter, μπορείς να πατήσεις επάνω του δεξί κλικ να πας στο "Convert to" και να πατήσεις "Traditional form" ή αν θέλεις να το έχεις και σε latex να πατήσεις δεξί κλικ->"Copy as"->"Latex".
Επίσης, μη νευριάζεις με τα x^2 και τα λοιπά, αφού δεν μπορείς με το ελληνικό πληκτρολόγιο να βάλεις εκθέτες πέραν του 2 και του 3. Το καλύτερο δυνατό είναι όλοι να χρησιμοποιούν όλοι , αλλά εγώ προσωπικά βαριέμαι να γράφω σε latex από τότε που αφαίρεσαν το κουμπί που έβαζε τα ΥΓ: Απαντώ λίγο καθυστερημένα, αλλά είχα χάσει το θέμα... Ηλιθιοδώς το έψαχνα στα μαθήματα της θετικής/τεχνολογικής, ενώ είναι στο γενικό της γ λυκείου... Μήπως να μεταφερθεί;" />
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
https://store.wolfram.com/view/app/mathforstudents/
---
Προς Dias(για να μη γράφω και εγώ καινούριο μήνυμα): Είπαμε για νόμιμο. Κατά τα άλλα το internet είναι γεμάτο από "ελεύθερο" λογισμικό.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Για το latex, έχεις δύο λύσεις:εγώ ακόμα έψαχνα την εξίσωση
ΥΓ: δώσε pls ένα λινκ για αυτό το πρόγραμμα που εμφανίζει μαθηματικούς χαρακτήρες (latex?)
ή μαθαίνεις απ' έξω τον κώδικα πχ από εδώ: https://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/LaTeX:Symbols και μετά γράφεις στο forum " />
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή κάθε κλάσματος με τον συζυγή του παρανομαστή, οπότε και τελικά ο παρανομαστής γίνεται το μέτρο του προηγούμενου υψωμένο στο τετράγωνο. Στο εξής θα το λέμε και θα έχουμε υπόψη (αν χρειαστεί) ότι είναι θετικός.
Έχουμε λοιπόν:
με
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Μη σου φαίνεται περίεργο. Την παραγοντοποίηση με Horner πώς την κάνατε φέτος; Με μία προφανή ακέραια ρίζα.
Υπάρχουν πολλές ασκήσεις παρόμοιες στα βοηθήματα και αν θυμάμαι καλά και στο σχολικό.
ε)Τι σου είπε δηλαδή; Μήπως δεν ήξερε να σου απαντήσει;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
*)Καταρχάς, Dias, δεν είπα ότι θα μπορούσε να πέσει στις πανελλαδικές, αλλά ότι λύνεται με γνώσεις μαθηματικών Γ' λυκείου.
1) Βλ. *.
2) Βλ. *. Και επιπλέον, ναι, δεν ξέρετε προγραμματισμό, αλλά αυτό δεν έχει σχέση με τα μαθηματικά. Αν ξέρατε προγραμματισμό, το Bolzano θα έπρεπε να ξέρετε από ανάλυση και φτιάχνατε το πρόγραμμα.
3) Αν έχεις δει μία λύση που σου είναι προφανής, τότε με επαλήθευση δείχνεις ότι μηδενίζεται η συνάρτηση. Είναι μία πλήρως αποδεκτή μέθοδος. Το θέμα είναι να δείξεις τη μοναδικότητά τους για να πεις ότι τελικά βρήκες όλες τις ρίζες της συνάρτησης.
Η μοναδικότητα δεν μπορεί να δειχθεί με Bolzano. Με Bolzano βρίσκεις πέρασμα της συνάρτησης από τον χ. Άλλα πιθανά σημεία μηδενισμού είναι τα σημεία που μηδνίζεται η πρώτη παράγωγος και τα οποία ελέγχεις με αντικατάσταση της τιμής του χ στην αρχική συνάρτηση.[πχ έχουμε την y=x^2. Αυτή με Bolzano δεν λύνεται, γιατί δεν αλλάζει πρόσημο, αλλά αν βρεις ότι έχει ακρότατο στο 0 , θα δεις ότι η συνάρτηση μηδενίζεται στο 0] Δε δείχνεις, λοιπόν, μοναδικότητα με Bolzano, αλλά με μονοτονία και έλεγχο των λεγόμενων κρίσιμων σημείων.
--) Σχετικά με τον πρόλογο: Εννοείς την προειδοποίηση-αποποίηση ευθυνών με bold στην αρχή; Συνήθως δεν υπονοώ τίποτε παραπάνω από αυτό που λέω. Απλώς θεώρησα ότι ο τρόπος που τα έγραψα δεν ήταν πολύ καλός και ότι τελικά δεν θα καταλάβαινα ούτε εγώ μέχρι την επόμενη μέρα τι έγραφα...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν αντέχετε, διαβάστε το μήνυμα... Ελπίζω να καταλάβετε τι εννοώ...
Για την εξίσωση x^2=2^x.
Απλώς τελικά δεν μπορείτε να βρείτε αριθμούς, γιατί δεν είστε υπολογιστές και δεν μπορεί να λυθεί πλήρως αλγεβρικά.
Βρίσκουμε τις πρώτες 3 παραγώγους της συνάρτησης x^2-2^x.
Από αυτές βρίσκουμε ότι η 3η παράγωγος είναι αρνητική και άρα η 2η είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε αν έχει μία ρίζα είναι η μοναδική.
Η 2η λύνεται αλγεβρικά. Αριστερά από τη ρίζα (=ρ) είναι θετική και δεξιά αρνητική, άρα η 1η είναι αριστερά από αυτήν γνησίως αύξουσα και δεξιά γνησίως φθίνουσα και εκεί παρουσιάζει μέγιστο έναν θετικό αριθμό που δε μας βολεύει φυσικά γιατί έχει ρίζες και όμως δε λύνεται αλγεβρικά (εγώ τουλάχιστον δε μπορώ να τη λύσω...). Το ότι όμως σε αυτό το μέγιστο-ακρόατο δεν μηδενίζεται σημαίνει ότι στους μηδενισμούς της τέμνει τον άξονα χ και δεν εφάπτεται με αυτόν. Άρα αλλάζει πρόσημο.
Μπορεί λοιπόν να μην λύνεται αλγεβρικά, λύνεται, όμως, με Bolzano. Ο υπολογιστής μπορεί να πάρει όσο μικρά διαστήματα θέλετε και να σας πει σε ποια αλλάζει το πρόσημο της συνάρτησης. Το μόνο που χρειάζεται να ξέρετε είναι λίγο προγραμματισμό (C, Fortran και ειδικά η δεύτερη είναι ιδανικές). Βρίσκεται λοιπόν τις ρίζες της πρώτης παραγώγου.*** (βλ. 2ο spoiler)
Η παράγωγος έχει το πολύ δύο ρίζες όπως είπαμε πριν. Μία αριστερά από την ρ και μία δεξιά. Θα βρείτε όντως δύο ρίζες αν κάνετε αυτό που σας λέω, άρα αυτές είναι και οι μοναδικές. Έστω ότι αυτές είναι οι ρ1, ρ2 με ρ1<ρ2.
Τότε ελέγχετε μήπως μηδενίζεται η αρχική συνάρτηση σε αυτές. Θα δείτε ότι εδώ δε μηδενίζεται. Θα βρείτε ότι για χ<ρ1 η συνάρτηση είναι γν. φθίνουσα, για ρ1<χ<ρ2 γν. αύξουσα και για χ>ρ2 γν φθίνουσα. Υπάρχουν δύο προφανείς ρίζες της συνάρτησης, οι 2 και 4. Η 4 ανήκει στο τρίτο διάστημα και είναι η μοναδική λύση σε αυτό. Η 2 στο δεύτερο διάστημα και είναι η μοναδική λύση σε αυτό και λείπει μία που μόνο με Bolzano και με πρόγραμμα μπορούμε να λύσουμε.
Μπορεί να μη μπορεί να λυθεί μόνο με στυλό και χαρτί (όχι τουλάχιστον στην εποχή που ζούμε), αλλά το μόνο που χρειάζεται από μαθηματικά είναι γνώσεις Γ' λυκείου.
*** Η παραπομπή:
Κάνουμε ό,τι είπα παραπάνω μέχρι και τη μελέτη της 1ης παραγώγου.
Κάνουμε γραφική παράσταση με το χέρι μας και χωρίς καμία απαιτούμενη ακρίβεια (ένα πρόχειρο σχήμα - ποιοτικής "περιγραφής") των συναρτήσεων 2χ και (ln2)*2^x (υπενθυμίζω ότι η 1η παργάγωγος ισούται με 2χ-(ln2)*2^x). Βλέπουμε πρόχειρα από αυτό ότι τα σημεία τομής αυτών των καμπύλων είναι δύο στα θετικά χ, άρα και η πρώτη παράγωγος έχει δύο μηδενισμούς στα θετικά χ. Από τη μονοτονία της βλέπουμε ότι πριν τον πρώτο μηδενισμό της είναι αρνητική. Η αρχική συνάρτηση στο 0 είναι επίσης αρνητική και συνεχίζει να μειώνεται μέχρι τον 1ο μηδενισμό της 1ης παραγώγου. Άρα ο τρίτος μηδενισμός (που υπάρχει από τη μονοτονία της συνάτησης) της αρχικής συνάρτησης είναι σίγουρα στα αρνητικά χ αφού ισχύουν και τα παρακάτω...
Είπα από πριν ότι η 1η παράγωγος παρουσιάζει θετικό μέγιστο στο ρ που περίπου ίσο με 2.057 (και βρίσκεται αλγεβρικά). Εμείς έχουμε δύο προφανείς ρίζες της αρχικής συνάρτησης την 2 και την 4. Βάζοντας το 4>ρ στην πρώτη παρ. βλέπουμε ότι είναι αρνητική, άρα είμαστε στο διάστημα πέραν από τον μηδενισμό της (1ης παρ) και εκεί είναι μοναδική (για την αρχική). Βάζοντας την 2<ρ Βλέπουμε ότι είναι θετική άρα βρισκόμαστε στο διάστημα μεταξύ των μηδενισμών της και εκεί είναι μοναδική. Άρα βρήκαμε τις δύο μοναδικές θετικές λύσεις.
Εικόνα με την συνάρτηση και τις τρεις πρώτες παραγώγους της:
ΥΓ: free πρόγραμμα για 2D γραφικές παραστάσεις: https://www.padowan.dk/graph/
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
π.ο.f=(0,+oo)δινεται η συναρτηση
to be continued...
Στο π.ο.f η 1/χ και η lnx είναι συνεχείς.
Άρα f συνεχής ως άθροισμα συνεχών.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αρχική Δημοσίευση από mixas:Εστω f:[0,1]->R (αυτο τι ακριβως σημαινει??) με
για καθε Αν f(0)+f(1)=0,Να υπολογισετε το ολοκληρωμα .
f:[0,1]->R Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το [0,1] και το σύνολο άφιξης (υπερσύνολο του συνόλου τιμών της) είναι το R.
Θα βρεις την f και μετά θα υπολογίσεις το ολοκλήρωμα.
To f(0)+f(1)=0 θα το χρειαστείς για να βρεις την σταθερά που προσθέτεις μετά την ολοκλήρωση (γισ την εύρεση της f).
Το θέμα είναι ότι δε μπορώ να σκεφτώ έναν τρόπο να βρω την f χρησιμοποιώντας πράγματα εντός της ύλης του λυκείου. Αν μου έρθει καμία έμπνευση εκεί που θα κάθομαι θα σου πω, αλλά τώρα δεν... Περισσότερο απάντησα για να γράψω καλύτερα την εκφώνηση της άσκησης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?p=1837449: πρώτο μου μήνυμα - τρίτο μέρος.Επείγον!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Δε δίνει τίποτε άλλο. Έχει κάποιο περίεργο θέσιμο. Κάποιος με περισσότερες γνώσεις από αυτές της γ' λυκείου, αν μπορεί να βοηθήσει.............. Ευχαριστώ.
Ο μετασχηματισμός χ= tank||dx=dk*(1/cos(k))^2 είναι εντός ύλης (στο λέω επειδή είπες "κάποιος με περισσότερες γνώσεις από αυτές του λυκείου").
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Επί του θέματος:
Αυτό που ζητάς δε γίνεται.
π.χ.
Αν r ήταν στους πραγματικούς αριθμούς:
Στο περίπου το μόνο που θα μπορούσες να κάνεις είναι να πεις για το άθροισμα ότι είναι μεταξύ του 0 και του r/(1-r) αν |r|<1, γιατί θα συνέκλινε η σειρά για άπειρους όρους σε αυτόν τον αριθμό.
Αν |r|>1 θα μπορούσες να πεις ότι επειδή η (r-r^16)/(1-r) πηγαίνει πολύ γρήγορα στο άπειρο ακόμη και πολύ μεγάλο να είναι το c εσύ θα ψάχνεις πολύ μικρότερα r. πχ για c της τάξης 10^13 υπάρχει r μικρότερο του 10(!)
Αυτά, όμως, είναι πολύ στο "περίπου"...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Τέλος πάντων...
Να αποδείξεις ότι ισχύει: .
Αφού το αποδείξεις αυτό, εύκολα βρίσκεις ότι για r=1/x ισχύει: .
Εξίσωσε αυτό με το c. Και μετά με Mathematica ή Matlab βρες τις λύσεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Τι θέλεις να πεις, δηλαδή ότι μία συνάρτηση για να έχει ρίζα κάπου πρέπει να αλλάζει και πρόσημο; Δηλαδή για εσένα η φ(χ)=χ^2 δεν έχει ρίζα;1ον ) το βιβλιο αν δεις τον ορισμο δεν κανει κανει Κανεναν διαχωρισμο για το αν ειναι σταθερη .. επειτα το οτι υπαρχει ξ ωστε f'(j)=0 δεν αρκει ΠΡΕΠΕΙ να αλλαζει το προσημο της f' εκατερωθεν της ριζας !
Για το β Κανεις ΘΜΤ στα διαστηματα που σου ειπα και λυνεις ως προς f(x) Και βγαινει f(x)>(κατι θετικο) !
Π.Σ : Πως βγαινει οτι f(0)=f(1) ?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν έχεις την tanf(x), πώς θα την παραγωγίσεις;Μήπως μπορείς να μου εξηγήσεις τι έχει κάνει στα υπογραμμισμένα;
Προφανώς ως εξής: [-1/(cosf(x))^2]*f '(x), έτσι δεν είναι;
Σε αυτήν την περίπτωση έχεις u=u(t).
---
Αν έχεις: y=y(x) και x=x(t) και θέλεις να παραγωγίζεις την y ως προς t, τότε παραγωγίζεις την y ως προς χ και πολλαπλασιάζεις με την παράγωγο του χ ως προς t, άρα: dy/dt=[dy/dx][dx/dt]: κατι που βγαίνει και πολύ εύκολα αν χρησιμοποιήσεις την γραφή του Leibniz και τα διαφορικά ως οποιονδήποτε αριθμό και πολλαπλασιάσεις και διαιρέσεις με το dx.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Μάλιστα... Προφανώς τότε έπρεπε να βάλει το χ μικρό και όχι κεφαλαίο γιατί μάλλον εννοεί τον θετικό ημιάξονα των χ.Η γωνία θ είναι η γωνία που ορίζουν οι πλευρές ΜΟ και ΟΧ
Μ είναι το κινητό, Ο η αρχή των αξόνων.
τώρα το Χ δεν ξέρω μάλλον το όποιο σημείο.
Βασικά μας το έδωσε στο σχολείο για ένα διαγώνισμα για το σπίτι......
Λοιπόν:
Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης ως προς το χρόνος δίνεται: dx/dt=-2
Θέτω y=lnx για διευκόλυνση. Και θ=u
dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=(1/x)(-2)=-2/x
tanu=dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(-2/x)(1/[-2])=1/x
Παραγωγίζεις αυτή την εξίσωση: (1/(cosu)^2)(du/dt)=(-1/x^2)(dx/dt)=2/x^2=>du/dt=(2/x^2)(cosu)^2.
Όμως (cosu)^2=x^2/(x^2+y^2).
Άρα: du/dt=2/(χ^2+y^2).
Στο σημείο Α(χ,υ)=(e^(1/2),1/2): du/dt=8/(4e+1).
Αυτή είναι η διαδικασία. Ίσως, όμως, να έχω κανένα λάθος στις πράξεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Παρακαλώ.M στο χ_μ) και ένα ελάχιστο (m στο χ_ε)
Τι είναι τα χ_μ και χ_ε; Διαστήματα;
Ευχαριστω παρα πολυ παντως
Όχι δεν είναι διαστήματα.
Η f επειδή είναι συνεχής έχει μία ελάχιστη τιμή την m και μία μέγιστη την Μ τις οποίες παίρνει για τιμή του χ: χ_ε και χ_μ αντίστοιχα. Δηλαδή: f(x_ε)=m και f(x_μ)=Μ.
Τα ε και μ είναι δείκτες.
Πάντως δε νομίζω να πέσει κάτι τέτοιο στις πανελλήνιες.
----------------------------------------------------------------------
@Harry0000:
Ποια είναι η γωνία θ; Ποια είναι τα σημεία Μ, Ο, Χ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
α)ψ=0 στην f(x+ψ)= f(χ)+f(ψ)+χημψ+ψημχ => f(x)+f(-x)=2xημχΚαλησπέρα.
ασκ. 60 Μπάρλας 2, σελ 296.
Συνάρτηση f συνεχής στο [-π/2,π/2] για κάθε χ.ψ eR
Ισχύει: f(x+ψ)= f(χ)+f(ψ)+χημψ+ψημχ
α) νδο f(x)+f(-x)=2xημχ
β) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. (δεν ξέρω να βάζω ψαράκι )
ολοκλήρωμα ορισμένο από π/2 έως -π/2 του f(x)dx
Ευχαριστώ.
β)ολοκλήρωσε τη σχέση αυτή και χώρισε το ολοκήρωμα του αριστερού μέλους στα 4 επιμέρους: της f(x) και f(-x) από -π/2 έως 0 και από ο έως π/2.
Αλλαγή μεταβλητής στο στα ολοκληρώματα με f(-x): u=-x du=-dx.
Τελικά βρίσκεις το ολοκλήρωμα ίσο με 2 αν το έκανα σωστά.
f συνεχής στο [α,β] άρα έχει ένα μέγιστο (M στο χ_μ) και ένα ελάχιστο (m στο χ_ε) στο [α,β]: m=f(x_ε)=<f(x)=<f(x_μ)=Μ.1.Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις f,g:[α,β]->R.Αν για καθε χε[α,β] ισχύει g(x)>0 νδο υπάρχει ξε(α,β) ωστε
Πολλαπλασιάζουμε με την g(x). Επειδή είναι θετική δεν αλλάζει η φορά της ανισότητας και φεύγουν τα "=" (αφού g όχι 0): mg(x)<f(x)g(x)<Μg(x). Άρα ισχύει και η mΣg(x)<Σf(x)g(x)<ΜΣg(x), όπου Σ το ολοκλήρωμα ως προς χ από α έως β.
Διαιρούμε με Σg(x) και έχουμε: m=f(x_ε)<(Σf(x)g(x))/Σg(x)<f(x_μ)=M.
Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών έχεις ότι υπάρχει ένα ξ στο (χ_ε,χ_μ) που είναι όμως υποσύνολο του (α,β) για το οποίο ισχύει f(ξ)=Σf(x)g(x))/Σg(x).
Και το ζητούμενο απεδείχθη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Θέματα εξετάσεων μαθηματικών 1ης Δέσμης: https://www.e-kimolia.gr/html/math-desmes.htm
Θέματα εξετάσεων φυσικής 1ης Δέσμης: https://www.scribd.com/people/documents/1127858-karxri?page=3 (είναι λίγο σκόρπια...)
Βλέπω ότι η ύλη περιείχε κάποια πράγματα παραπάνω, αλλά και κάποια λιγότερα. Δε βλέπω να ήταν δυσκολότερα όπως λες.
Δυστυχώς δε βρήκα θέματα Χημείας!
Μερικά πράγματα για τις δέσμες από θέμα που υπάρχει στο iSchool: https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=41287
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
1) Dias, κακώς ξεκινάς την ύλη της Γ λυκείου από τώρα.
Κάθισε να μάθεις καλά τα μαθήματα: άλγεβρα, μαθηματικά κατ, φυσική γενικής και κατ και αν πας θετική και τα: χημεία γενικής και κατ και βιολογία γενικής.
Λυπάμαι για το εκπαιδευτικό μας σύστημα που σε κάνει (μιλώ γενικά) να σκέφτεσαι και να πράττεις έτσι.
2) Σε παρακαλώ πολύ -πραγματικά- μη βάζεις εικόνα σε κάθε post σου, επιβαρύνεις την κατάσταση με την ήδη αργή ανταπόκριση του forum.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
@forakos:
Για την πρώτη:
Το 1/χ^4 θα βγει έξω από το ολοκλήρωμα, αφού ολοκληρώνεις ως προς t.
Για να βγάλεις το ολοκήρωμα του
Βρες το ολοκλήρωμα και μετά θα είναι εύκολο να βρεις το όριο υποθέτω.
Για τη δεύτερη:
Κάνε αυτό που σου είπε και ο coheNakatos. Αντικατάστησε την εφαπτομένη και θα δεις ότι μετά είναι πολύ εύκολα τα πράγματα.
edit: Εννοώ να αντικαταστήσεις με .
Για την τρίτη:
Δε μπόρεσα να σκεφτώ κάτι προφανές αυτή τη στιγμή. Θα την ξανακοιτάξω αργότερα αν έχω χρόνο.
@metalmaniac:
Όμοια βρίσκεις το r2(t).
To εμβαδόν είναι:
Για να βρεις πότε μηδενίζεται μηδένισε τη συνάρτηση.
Για να βρεις πότε μεγιστοποιείται, βρες πρώτη και δεύτερη παράγωγο κατά τα γνωστά ή μόνο την πρώτη και δικαιολόγησε με λόγια για ποιό λόγο έχεις μέγιστο και όχι ελάχιστο.
-----
edit2:
@forakos:
Βρήκα λίγο χρόνο... Λοιπό...
Για την τρίτη:
Θα χρησιμοποιήσεις μερικά κλάσματα και θα φτάσεις στο παρακάτω:
Η συνέχεια της λύσης είναι προφανής νομίζω.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Για δείτε αυτό το όριο παιδιά:
lim x>>>0+
e^(-I/x) / x
Άρα:
Για να βρεις το όρια για 0- βρες το όριο της -e^(-1/x) / x και μετά βάλε ένα πλην στο αποτέλεσμα. Θα βρεις -οο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ούτε η πρώτη, ούτε η δεύτερη παράγωγος έχουν ρίζες, άρα διατηρούν πρόσημο στα διάφορα διαστήματα του π.ο. αφού είναι συνεχείς σε αυτά. (Δεν διατηρούν πρόσημο σε όλο το π.ο. (αφού προφανώς δεν υπάρχει συνέχεια) μόνο σε κάθε διάστημα ξεχωριστά). Πάρε ένα χ0 μέσα σε κάθε διάστημα και βρες σε αυτό το διάστημα την f'(x0) και της f''(x0). Εφόσον διατηρούν πρόσημο θα έχουν το ίδιο σε όλο το διάστημα.
**Διαστήματα του π.ο. εννοώ τα (-οο,0] και (2,+οο)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
24)
i)Παραγωγίζεις την f.
Άρα: f '(x)+[-(2x)/(x^2+1)]f(x)=0 και λύνεις την διαφορική εξίσωση με τον γνωστό τρόπο:
Βρίσκεις την παράγουσα (έστω J) της συνάρτησης που βρίσκεται μπροστά από τη f, εδώ της -(2x)/(x^2+1) και πολλαπλασιαζεις τα δύο μέλη με e^J. Στην προκειμένη περίπτωση με e^(-ln(x^2+1)) και άρα καταλήγεις στην e^(-ln(x^2+1))*f '(x)+e^(-ln(x^2+1))*[-(2x)/(x^2+1)]*f(x)=0<=>(e^(-ln(x^2+1))*f(x))'=0<=>f(x)=c*e^(ln(x^2+1).
Έχεις f(1)=6=c*e^(ln2)=c*2<=>c=3 [To c αυτό καμία σχέση δεν έχει με αυτό που γράφεις στην εκφώνηση της άσκησης]
Άρα f(x)=3*e^(ln(x^2+1)=3x^2+3.
ii)Κάνε αντικατάσταση της f μέσα στο ολοκλήρωμα. Παρατήρησε ότι η παράγωγος της υπόριζης συνάρτησης είναι η f(x). Θέσε u=x^3+3x+2
du=(3x^2+3)dx
και εύκολα από εδώ και πέρα θα βρεις ότι το ολοκλήρωμα ισούται με: 2*ρίζα{χ^3+3*χ+1}+c2
25)
i)Ο τρόπος για να βρεις τον τύπο είνα ό ίδιος με πάνω. Τώρα που τον έμαθες λύσε εσύ αυτό το ερώτημα.
ii)Νομίζω ότι το να βρεις τη μονοτονία μίας συνάρτησης είναι εύκολο.
iii)e^x=x^2+1
g(x)=e^x-x^2-1
Βλέπουμε μία προφανή ρίζα της g η οποία είναι η χ=0: g(0)=0.
g'(x)=e^x-2x
g''(x)=e^x-2
g'''(x)=e^x
Ισχύει g'''(x)=e^x>0 άρα η g'' αν έχει ρίζα θα είναι μοναδική.
g''(x)=0<=>x=ln2 (μοναδική). Για χ>ln2: g''>0 και για χ<ln2:g''<0. Άρα η g' φθίνει γνησίως χ<ln2 για και αυξάνει γνησίως για χ<ln2. Άρα χ=ln2 ελάχιστο για την g'.
Βλέπουμε όμως ότι η g'(ln2)=e^(ln2)-2ln2=2-2ln2>0 άρα g'(x)>=2-2ln2>0. Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα για κάθε χ στους πραγματικούς. Άρα αν έχει ρίζα αυτή θα είναι μοναδική. Οπότε η μοναδική ρίζα της δοθείσας εξίσωσης είναι η χ=0 (η προφανής που βρήκαμε αρχικά)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Μα ήδη εξήγησα ότι δεν μπορεί να είναι ολικά ακρότατα τα g(1) και g(5), αφού g(2)<g(1)<g(5)<g(4)Αν ενα απο τα ολικα ακροτατα ειναι το g(1) ή το g(5) ? ενω οι ριζες ζητώνται στο ΑΝΟΙΧΤΟ , για μενα η ασκηση θελει ΘΜΤ και το 1ο ερωτημα ενα απλο θεωρημα μεγιστης -ελαχιστης τιμης ..
Και όσον αφορά στο πρώτο ερώτημα, λέμε το ίδιο πράγμα!
ΥΓ: Για το ΘΜΤ που λες... Δεν το έψαξα, μπορεί να βγαίνει και έτσι. Τα μαθηματικά συνήθως έχουν παραπάνω από έναν τρόπο λύσης. Πόσταρε μία λύση με ΘΜΤ. Καλό είναι να υπάρχει και δεύτερη λύση!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Λοιπόν.Θα μπορούσε κάποιος να επιλύσει τις εξής παρακάτω ασκήσεις αναλυτικά? ( την γενική ιδέα την έχω)
Εστω η συνάρτηση φ:[1,5]-->R παρ/μη και τέτοια ώστε 2φ(2)<φ(1)<5φ(5)<4Φ(4)
ν.δ.ο
ι) η συνάρτηση g(x)=χφ(χ), χε[1,5] παρουσι'αζει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο
ιι) η εξίσωση φ(χ)+ χ φ' ( χ) = 0 έχει 2 τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (1.5)
Να δειχθεί ότι αν μια συνάρτηση φ στρέφει τα κοίλα άνω στο (α,β) τότε η -φ στρέφει τα κοίλα προσ τα κάτω στο (α,β)
Κατρχάς το δεύτερο ερώτημα βγαίνει άμεσα από το πρώτο: εννοείται ότι όταν έχουμε ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο τότε η g'(x)=φ(χ)+χφ'(χ) θα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.
Το πρώτο ερώτημα:
2φ(χ)<φ(1)<5φ(5)<4φ(4)<=>g(2)<g(1)<g(5)<g(4).
Επειδή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη είναι και συνεχής. Επομένως ισχύει το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών (προσπαθείστε να μην το δείτε αυτό τυπικά όπως το έχει το βιβλίο), συνεπώς κάποιες στιγμές οι συνάρτηση θα έχει ελάχιστο ή μέγιστο στο [1,5] και ένα από αυτά τα ελάχιστα θα είναι το μικρότερο από όλα και θα είναι το ολικό ελάχιστο και ένα από τα μέγιστα το μεγαλύτερο από όλα, άρα θα είναι ολικό μέγιστο.
Σα να θυμάμαι να έχει θεώρημα μέσα στο βιβλίο που σας εξηγεί ότι οποιαδήποτε συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση έχει ένα ολικό μέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο.
Τα g(2)<g(1)<g(5)<g(4) μας δείχνουν ότι η συνάρτηση δεν είναι σταθερή και ότι τα ολικά μέγιστα και ελάχιστα δεν βρίσκονται στα άκρα του διαστήματος [1,5].
Για την τελευταία: Αν για g-> g''>0 τότε για -g -> -g''<0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Λοιπόν.Έχω κολήσει λιγάκι εδωπέρα....... Μπορείτε να με βοηθήσετε;;;;
α. Να αποδείξετε οτι δεν υπάρχουν δυο εφατομένες της παραβολής f(x)=x^2 που να είναι παράλληλες.
β. Να αοδείξετε οτι οι εφατομένες της Cf με f(x) = x^4 , x<0
(ριζα) x , 0<=x<6
στα κοινά σημεία με την ευθεία x-5y+6=0 είναι κάθετες.
γ. Να προσδιοριστεί ο λ ε R ώστε η ευθεία y=λx-3 να εφάτεται της Cf της συνάρτησης με τύο f(x)=x^2 +2x-2 και να βρείτε τα σημεία επαφής.
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ
α)Παίρνεις την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης και δείχνεις ότι ισούται με δύο. Αυτό σημαίνει ότι η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα. Συνεπώς προφανώς δεν γίνεται να υπάρχουν δύο παράληλες εφαπτόμενές της.
β)Όταν λες "στα κοινά σημεία με την ευθεία" εννοείς των εφαπτομένων ή της f;
Θα σου απαντήσω για το πρώτο (κοινά με εφαπτόμενες).
Βρες την παράγωγο συνάρτηση. Προσοχή! Έλεγξε παραγωγισιμότητα στο σημείο 0. Προσοχή_νο2! Παραγωγίσιμη => συνεχής, χωρίς να ισχύει το αντίστροφο.
Για να τέμνονται οι εφαπτόμενες τις f σε ένα σημείο δεδομένου ότι οι δύο κλάδοι της f είναι γνησίως μονότονοι, σημαίνει ότι τέμνονται εφαπτόμενες από τους διαφορετικούς κλάδους της.
Αυτό που έχεις να κάνεις είναι να βρεις τις εφαπτόμενες για χ<0 για 0<χ<6 και να λύσεις το σύστημα. Το οποίο θα έχει τη μορφή:
y-f1(x0)=f1'(x0)(x-x0)
y-f2(x0)=f2'(x0)(x-x0)
x-5y+6=0
όπου οι δείκτες 1 και 2 δείχνουν τον διαφορετικό κλάδο της συνάρτησης.
Συνεπώς βρίσκεις τα σημεία στα οποία τέμνονται και οι τρεις ευθείες. Ε, τα χ0 που θα βρεις βάλε τα στις f1' και f2' και δες αν το γινόμενό τους είναι ίσο με -1. Αν είναι τότε είναι όντως κάθετες στα σημεία επαφής με τη ζητούμενη ευθεία.
Αν δεν κατάλαβες κάτι, πράγμα πολύ πιθανό με τον τρόπο που στα εξήγησα, ρώτησε.
Μόνο μη μου ζητήσεις να κάνω πράξεις σε αυτό το σύστημα!
γ)f '(x)=λ=2x+2
λχ-3=f(x)=x^2 +2x-2
Αντικατάστησε το λ στην δεύτερη και βρες τα χ.
Αντικατάστησε τα χ που θα βρεις στην πρώτη και βρες το λ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ναι, οκ για ένα σημείο! Νόμιζα και εννούσες σε διάστημα.Δεν θυμαμαι ποια εχει το σχολικό γιατι ειμαι σε νετ τωρα.
Mπορεί να μηδενίζει σε ενα σημείο. Για παραδειγμα ειναι η ειναι κυρτή αλλα f''(0)=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Έχουν περάσει δύο χρόνια από τότε που έκανα το σχολικό, βέβαια, αλλά δε θυμάμαι να έλεγε κάτι τέτοιο.Ακόμα και αν η f κοιλη και 2 φορες παραγωγίσιμη, δεν σημαίνει οτι f''(x)<0. Μπορεί να κάνει και μηδέν. Αν θυμαμαι καλα εχει παραδειγμα το σχολικό.
Άλλωστε δε είναι και λογικό. Αν f ''(x)=0 =>f '(x)=σταθερή => f(x)=ευθεία
Κοίτα εμένα προσωπικά μου αρκεί αυτό που έγραψες, αλλά στις πανελλήνιες καλό θα ήταν να πεις τι σημαίνει ότι η f είναι κοίλη ώστε να εξηγήσεις το ότι η εφαπτομένη της είναι συνεχώς από πάνω...Αυτα τα 1-2 λογια θελω να μου πείτε.
Και ένα πρόχειρο σχήμα δε θα ήταν κακό.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συγγνώμη...Φίλε σωστός είσαι. Ουσιαστικά αυτό είναι αλλά θέλει και απόδειξη. Την έλυσα τελικά. Θά κάτσω να τν γράψω και θα την δημοσιεύσω.
Όταν έγραψες: "lim g(x), x teinei συν άπειρο"εννοούσες να βρεθεί το ;
Δεν ήθελες να βρεθεί το χ0 για το οποίο ; (που ήταν και αδύνατο να γίνει...)
Προς όλους:
Παιδιά, πρέπει να μάθετε . Είναι χρήσιμο και για εδώ-θα συννενοούμαστε χωρίς παρεξηγήσεις- και θα σας χρειαστεί αργότερα και στο πανεπιστήμιο!
-----------
Δε χρειάζται καμία παραπάνω απόδειξη. Ήταν πλήρης αυτή που έδωσες. Βέβαια στις πανελλήνιες γράψε και 1-2 λόγια παραπάνω...Αρχική Δημοσίευση από lowbaper92:Τι απόδειξη δηλαδή?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Απαντούσα σε pm και σκέφτηκα "θα το διορθώσω σε λίγο και δε θα το δει κανείς!"... Αμ δε....Λαθος ! f κοιλη -> f' γν. φθινουσα και μονο αν f 2 φορες παραγωγισιμη f''(x)<0 !
Επί της άσκησης καμία ιδέα; Σου φαίνονται επαρκή τα δεδομένα;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Λοιπόν.Για δείτε και αυτή παιδιά:
f κοιλη με εφαπτ στο χ=0, y=-x-1
Αν g(x)<f(x),x}r να βρεθεί το lim g(x), x teinei συν άπειρο
f κοίλη <=>f τα κοίλα κάτω <=> f ''<0. [edit: ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ!!!: Bλ. Διευκρίνηση στο ακριβώς από κάτω μήνυμα από "coheNakatos"]
Από την εξίσωση της εφαπτομένης έχουμε:
f '(0)=-1 και f(0)=-1 αφού η εφαπτόμενη έχει γενικό τύπο: y-f(x0)=f '(x0)*(x-x0), όπου χ0 το σημείο στο οποίο ψάχνουμε την εφαπτομένη.
Τώρα από εδώ και πέρα...:
Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς με αυτό το "x}r". Αν δεν εννοείς τίποτα και είναι απλώς λάθος κατά τη γραφή της άσκησης, τότε η μοναδική πληροφορία που μας δίνεις είναι ότι η τυχαία συνάρτηση g είναι κάτω από την f. Δεν βγαίνει κάτι...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Δε χρειάζεται να μελετήσεις την f καθόλου. Μόνο την παράγωγό της: βρες ακρότατο.Τι κάνω σε αυτήν?Δίνεται f(x)=-(e^x)-lnx Δείξτε ουι υπάρχει μοναδικό σηείο της cf που ορίζεται εφαπτομένη της Cfμε μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης.
Πρέπει να βρώ την μονοτονία ακρότατα,και μετα για τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης τί κάνω?
ΥΓ: Διόρθωσε το "γ' γυμνασίου" στο προφίλ σου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
f(x)=tanx2) Να δείξετε οτι:
αν γνωρίζετε ότι 0<α<β<π/2
H εφαπτομένη είναι από τις γνωστές συναρτήσεις που θεωρούνται δεδομένες, έτσι δεν είναι;
Εν πάσει περιπτώσει, εύκολα δείχνεις ότι στο (0,π/2) είναι γνησίως άυξουσα (f ' >0) και έχει τα κοίλα άνω (f ''>0).
f '(x)=1/(cosx)^2
Πολλαπλασιάζεις αριθμητή και παρανομαστή του μεσαίου 'πράγματος' στην παραπάνω ανισοτική σχέση (αυτή που μας δίνεις) με -1 και έχεις:
(tanb-tana)/(b-a) και επειδή ισχύουν οι προυποθέσεις του ΘΜΤΔΛ υπάρχει ένα ξ στο (α,β) για το οποίο ισχύει f '(ξ)=(tanb-tana)/(b-a).
Άρα έχεις α<ξ<β
f '>0 και f '' >0
οπότε f '(a)<f '(ξ)<f '(β). Άρα απεδείχθει το ζητούμενο.
Την πρώτη ερώτηση στην απάντησα στο προηγούμενο μήνυμά μου.
Παρακαλώ!Ευχαριστώ για τις συμβουλές σου, σημερα ήταν η πρώτη φορά που έγραφα LATEX και δεν ήξερα μερικα πραγματα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σου είχε ξεφύγει το / από το τελευταίο λατεξ.
Επίσης να σου τονίσω ότι για τους τριγονομετρικούς αριθμούς καλό θα είναι να τους γράφουμε με τα αγγλικά σύμβολα
ημ -> sin
συν -> cos
εφ -> tan
σφ -> cot
--------------
1)ξ1ε(5,7) και ξ2ε(1,3)
ξ1>ξ2, η f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα, άρα από το ΘΜΤΔΛ: f '(ξ1)>f '(ξ2) <=> [f(7)-f(5)]/2>[f(3)-f(1)]/2 <=> f(7)+f(1)>f(5)+f(3) και τώρα αν ήμουν μαθηματικός, θα σου έλεγα ότι ισχύει η ιδιότητα της αντιμετάθεσης στην πρόσθεση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών οπότε το ζητούμενο απεδείχθει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αφού την έχεις κάνει και μόνος σου την παραγοντοποίση, γιατί λες ότι δεν είναι προφανής;ναι ρε συ όμως δεν είναι και τόσο προφανείς οι παραγοντοποιήσεις
τον τρόπο τον ξέρω και τα συμπερ'ασματα που πρέπει να βγάλω
δες που φτάνω εγώ
δημιουργώ αναπτύγματα τετραγώνων και στα δυο μέλη προσθέτωντας το (ημχ)^2
και έχω (f(x)-sinx)^2= [(sinx)^2+1]^2
μετά τι συμπαιρένω και τι διερεύνηση κάνω?
για το όριο οι πεφραγμένες είναι εκτός ύλης, εγώ πως πρέπει να απαντήσω σε αυτό το σκέλος?
Από εκεί που έφτασες παίρνεις τις ρίζες και στα δύο μέλη, φεύγουν τα τετράγωνα και βάζεις απόλυτα.
|f(x)-sinx)|= |(sinx)^2+1|. Άρα f(x)-sinx= (sinx)^2+1 ή f(x)-sinx)= -(sinx)^2-1και εάν κάνεις μερικές πράξεις φτάνεις και στις σχέσεις που σου έγραψα προηγουμένως (δες ότι είναι πράγματι ίδιες):
f(x)=(sinx+1)^2-sinx
και f(x)=-(sinx-1)^2-sinx.
Από εκεί και πέρα σου έγραψα αναλυτικά γιατί η f διατηρεί πρόσημο και γιατί αυτό είναι θετικό.
"Συνέχεια" έχεις κάνει έτσι δεν είναι;
Πες μου τι ακριβώς δεν κατάλβες, για να γίνω πιο συγκεκριμένος.
Τώρα όσον αφορά στο όριο που χρησιμοποίησα τη φραγμένη συνάρτηση.
Γιατί λες ότι δεν το κάνετε; Το θεώρημα "σάντουιτς" έχει βγει από την ύλη;
Όχι, από όσο ξέρω. Επομένως έχεις ότι f(x)=(sinx)^2+sinx+1, όπως σου εξήγησα ήδη. Αφού έχεις ημίτονα που παίρνουν τιμές από -1 έως 1 είναι προφανές ότι η f έχει μία μέγιστη Μ και μία ελάχιστη τιμή m. Έχουμε λοιπόν: m=<f(x)=<M και διαιρώντας με το χ έχουμε: m/x=<f(x)/x=<M/x, παίρνοντας το όριο για χ->άπειρο, έχεις m/x->0 και M/x->0, επομένως δεν μπορεί παρά να είναι f(x)/x->0 το ζητούμενο όριο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΛύσηΈστω συνεχής συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει
f^2(x)-2f(x)ημχ=(ημχ)^4 + (ημχ)^2 + 1 για κάθε χΕR με f(π/2)=3
α) ν.α.ο. η εφ διατηρεί σταθερό πρόσιμο το οποίο και να βρείτε
β) Να βρείτε το f(0)
γ) ν.α.ο. η g(x)= f(x)-ημχ διατηρεί σταθερό πρόσιμο τα οποίο και να βρείτε
δ) να υπολογίσεται το όριο Α=limf(x)/x x-->+apeiro
την μισοέλλυσα αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρος
ύλη μέχρι πριν τις παραγώγους!!
Αρχικά δες το γράφημα, ίσως σε βοηθήσει σε αυτά που θα σου πω στη συνέχεια:
α)Νομίζω ότι οι παραγοντοποιήσεις των δύο μελών της εξίσωσης είναι προφανείς.
Καταλήγουμε σε δύο ανεξάρτητους κλάδους για την f.
f(x)=(sinx+1)^2-sinx
και f(x)=-(sinx-1)^2-sinx.
Μετά από μικρή διερεύνηση βλέπουμε ότι η πρώτη είναι συνεχώς θετική, ενώ η δεύτερη συνεχώς αρνητική.
Η "μικρή διερεύνηση" πιο αναλυτικά: Καμία από τις δύο f δεν μηδενίζεται (f(x)=0 δεν έχει ρίζες για κανέναν από τους δύο τύπους της f) και επειδή είναι συνεχείς, διατηρούν πρόσημο. Παίρνουμε μία τυχαία τιμή για την πρώτη και βλέπουμε ότι μας βγάζει θετικό αποτέλεσμα και μία τιμή για τη δεύτερη και βλέπουμε ότι μας βγάζει αρνητικό αποτέλεσμα.
Όμως, μας έχει δοθεί ότι f(π/2)=3, επομένως η f είναι η πρώτη: f(x)=(sinx+1)^2-sinx.
Ήδη εξήγησα ότι διατηρεί πρόσημο και για ποιο λόγο.
β)f(0)=(sin0+1)^2-sin0=1
γ)g(x)=f(x)-sinx=f(x)=(sinx+1)^2-2sinx=(sinx)^2+1>=1>0
δ)Αυτό δεν ξέρω πώς να στο πω με τρόπο που σίγουρα θα καταλάβεις.
Εν πάσει περιτώσει θα σου πω και αν δεν καταλάβεις το λες και ίσως βοηθήσει κανένας άλλος.
f(x)/x=((sinx+1)^2-sinx)/x=((sinx)^2+sinx+1)/x.
Ο αριθμητής είναι μία φραγμένη συνάρτηση, δηλαδή έχει ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο.
Όταν μία φραγμένη συνάρτηση πολλαπλασιάζεται με μία μηδενική, δηλαδή μία που τείνει στο 0, όπως εδώ η 1/χ, τότε το αποτέλεσμα είναι μία νέα μηδενική συνάρτηση. Επομένως το ζητούμενο όριο είναι 0.
Δες την f(x)/x:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σωστό το π.ο.Π.Ο: Χ>0
Συνεχής ςω πολλαπλασιασμος πολυωνυμικων
Πως εξεταζουμε αν είναι άρτια ή περιττή?δεν μας το ειπε..
Είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών, αλλά η ln(x) δεν είνα πολυωνυμική.
Εξ' ορισμού:
Άρτια λέμε τη συνάρτηση που έχει άξονα συμμετρίας τον y'y και ισχύει δηλαδή f(-x)=f(x)
Περιττή λέμε τη συνάρτηση που έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων και δηλαδή ισχύει f(-x)=-f(x)
Για να εξετάσεις αν είναι άρτια η περιττή, βάζεις όπου έχεις χ το -χ και κάνεις πράξεις μέχρι να φτάσεις σε κάποιο από τα παραπάνω αποτελέσματα.
Μία συνάρτηση δεν είναι κατ' ανάγκην άρτια ή περιττή.
Πώς είναι δυνατόν να βρίσκεις όριο στο -άπειρο, εφόσον η συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικά χ;
Oρια:
στο +00 = 0
στο -00 = 0
f'(x)=lnx+1->πως το μηδενίζω;
Ε, προφανώς στο π.ο. της f η f'' είναι πάντα θετική, άρα η f έχει σε όλο το π.ο. τα κοίλα άνω.f''=1/x=> πινακας προσημων???
Από τον μηδενισμό της f' στο e^-1 δεδομένου ότι έχουμε συνεχώς τα κοίλα άνω μας δείχνει ότι εκεί εμφανίζεται ένα ελάχιστο.
Αν πάρεις το όριο της f στο 0 θα το βρεις 0.
Άρα: Η f ξεκινά από το (0,0), κατεβαίνει με τα κοίλα άνω μέχρι το ελάχιστο στο χ=e^-1 όπου f(x)=-e^-1 και μετά αυξάνεται με τα κοίλα άνω μέχρι το +άπειρο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Λοιπόν:
Υπολογισμός Ι:
Άρα:
Και αντικαθιστώντας το I στην πρώτη-πρώτη εξίσωση, έχουμε:
Και αν θέλουμε γνωρίζοντας ότι το φτάνουμε και στην μορφή που στο έδωσα προηγουμένως.
Επίσης χρησιμοποίησα τις ταυτότητες:και
Ελπίζω να μη μου ξέφυγε τίποτα. Το αποτέλεσμα πάντως είναι σίγουρα σωστό.
ΥΓ:
ΥΓ2:Αν κάτι δεν κατάλαβες, ρώτα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Θα σου πω ότι χρειάζεται να κάνεις παραγοντική ολοκλήρωση και καταλήγεις σε αυτό: .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Πολλαπλασιάζεις την εξίσωση με
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
------------------------------------------------------------------------------
Ερ. πως θα δείξω ότι δεν υπάρχει το sin(1/x);Το μόνο σίγουρο είναι πως δεν υπάρχει το 1/x!Γι'αυτο ρώτησα πως αν δεν υπάρχει η "εσωτερική" στη σύνθεση δεν θα υπάρχει και η "εξωτερική";
Απ.
ο sin(1/x) δεν υπάρχει. Όσο μικραίνει το χ, θα παίρνει το ημ(1/χ) πολύ γρήγορα (βλ. 1ο σχήμα)τιμές μεταξύ του -1 και 1.
Δεν ισχύει γενικά, όμως, να και ένα αντιπαράδειγμα:
η 1/χ^2 στο 0 είναι άπειρη. Αν πάρεις την (1/χ^2)^χ θα δεις ότι έχει πεπερασμένο όριο στο 0. Δες το 2ο σχήμα.
------------------------------------------------------------------------------
Ερ. Πώς βρίσκουμε τη νιοστη παραγωγο του ln(x) και της πολυωνυμικης
Απ.
Για τις παραγώγους της lnx:
Το παραγοντικό ενός αριθμού κ, δηλ. το κ! είναι κ!=1*2*3*...*κ.
Πολυώνυμο:
------------------------------------------------------------------------------
Ερ. Πώς βρίσκουμε το
Απ. Έχεις απροσδιοριστία 0/0 και εφαρμόζεις τον κανόνα του Hospital, δηλ παραγωγίζεις αριθμητή και παρανομαστή μέχρι να αρθεί η απροσδιοριστία. Εδώ:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Παιδιά έχω κάποιες απορίες και θα ήθελα τις απαντήσεις σας το δυνατότερο-συντομότερο.Αν έχουμε συνθεση f(g(x)) και δεν ορίζεται το όριο της g(x) γίνεται να βρούμε το όριο της f(g(x));Σχετική άσκηση:Έστω f(x)=ημ(1/x)+xσυν(1/x).Να δείξετε ότι δεν υπάρχει το όριο της f(x) στο 0.
Αν μας ζητήσουν τη νιοστη παράγωγο των εξής συναρτήσεων:ημ(χ),συν(χ),ln(x),e^x και τέλος μιας πολυωνυμικής τι πρέπει να γράψουμε αφου απο τη τρίτη παράγωγο και μετα επαναλαμβάνονται συνηθως οι παράγωγοι τους;Τέλος θα ήθελα τις προτάσεις σας στην εξής άσκηση:Βρείτε μια λύση για τις:f'(x)=1+f^2(x) και g'(x)=-1-g^2(x).Ευχαριστώ εκ των προτέρων!!!
Λοιπόν. Ένα-ένα.
Επειδή το συνημίτονο είναι μία φραγμένη συνάρτηση (δηλ. παίρνει τιμές: [-1,+1]): x*cos(1/x)=0 για x->0. Φυσικά όμως δεν υπάρχει το όριο sin(1/x) για χ->0, οπότε δεν υπάρχει το όριο της f(x). Συνεπώς η απάντηση στο 1ο σου ερώτημα είναι: Ναι ή όχι κατά περίπτωση.
---
Για τη ν-οστή παράωγο του sinx, εγώ θα έγραφα:
sinx ,ν=4κ
cosx ,ν=4κ+1
-sinx ,ν=4κ+2
-cosx ,ν=4κ+3
κ φυσικός αριθμός συμπεριλαμβανομένου του 0
Τα άλλα με όμοιο τρόπο.
---
Εδώ βοηθάει ο συμβολισμός του Leibniz.
y=f(x)
dy/dx=1+y^2
dy/(1+y^2)=dx
Και ολοκληρώνεις τα δύο μέλη. Η συγκεκριμένη χρειάζεται τον μετασχηματισμό x=tanθ και έχεις τελικά από την διαφορική:
θ=x->arctany=x->y=tanx + c όπου arctan είναι η τοξεφ δηλαδή η αντίστροφη της tan και c μία σταθερά.
Η άλλη ομοίως.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
edit:
Ok, είχα βάλει κατα λάθος αντίστροφα τα μεγάλυτερα/μικρότερα από (>/<). Το διόρθωσα και εγώ.
edit2:
Βεβαίως η λύση του manos66 έχει γενικότερη ισχύ. Η δική μου ισχύει μόνο για ανεξάρτητα Α,Β και τώρα που το ξανα σκέφτομαι δεν θυμάμαι αν η έννοια της ανεξαρτησίας των συνόλων διδάσκεται στα μαθηματικά ΓΠ της Γ λυκείου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Για Α,Β ανεξάρτητα (ανεξάρτητα δεν σημαίνει: ) ισχύει:Α Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω.να αποδείξετε ότι
Ρ(Α) + Ρ(Β)<=1 + Ρ(Α)*Ρ(Β)
ευχαριστώ προκαταβολικά
Και φυσικά ισχύει:
Από τα παραπάνω καταλήγουμε στην:
ΥΓ: Οι πιθανότητες δεν είναι στα μαθηματικά ΓΠ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Καταλήγεις στην: που είναι έλλειψη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Τώρα ναι! Πριν να τη διορθώσει δεν ήταν.Αρχική Δημοσίευση από lostG:Δεν είναι λάθος ο τρόπος λύσης της MΑDlen. Στο +οο το όρισμα του λογάριθμου είναι θετικό οπότε είναι σωστή η λύση.Αλλά καλό είναι να μη μπερδεύουμε τα παιδιά.
---
Αρχική Δημοσίευση από MADlen:Έστω η συνάρτησηη οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και τέτοια ώστε:.
Να αποδείξετε ότι:
και
Μια μικρή βοήθεια...
Άρα:
Εδώ (πάνω) χρησιμοποιούμε το ότι: ή το ότι για μικρές γωνίες 2x ισχύει: (ουσιαστικά είναι το ίδιο πράγμα...).
-
Μετά:
---
Η άσκηση στη οποία είχε πρόβλημα κάποιος πριν λίγες ημέρες λύνεται με όμοιο τρόπο με αυτήν που απαντώ σε αυτό το μήνυμα. Ας προσπαθήσει κάποιος να τη λύσει - υπενθυμίζω την άσκηση:
1) Εστω η συναρτηση f:R->R με f(0)=0.Αν f '(1)=3 να βρειτε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Καταρχάς να πω (στον προ-προηγούμενο) ότι είναι λάθος να βρεις το όριο που βρίσκεται εντός της δύναμης και μετά να το υψώσεις στη δύναμη και να βρεις το τελικό όριο.
Πρέπει να κάνεις το εξής:
Εφαρμόζεις τον κανόνα Hospital για να βρεις το και θα βρεις εδώ ότι ισούται με -4. Άρα:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αυτό δεν είναι βοήθεια... Είναι η λύση...2) βοηθεια...απεδειξε πρωτα (ευκολα) οτι f(0)=g(0)=0.μετα διαιρεσε με χ (διαφορο του 0 ) και παρε το οριο στο 0.
Αλήθεια πάντως υπάρχει άλλος τρόπος να λυθεί;
---
Η άσκηση ζητά να βρεις την f'(0). Για λύσε την για εξάσκηση.1)θετεις το 1/χ=ψ οταν το χ τεινει στο +απειρο το υ τεινει στο ο
οποτε θα σου βγει limf(y)/y=limf(y)-f(0)/y-0=f'(0)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
z1=2+2i (η μία λύση της εξίσωσης) z1^2=z1*z1=(2+2i)(2+2i)=4+4i+4i-4=8i
Ομοίως: z2^2=z2*z2=-8i. z1z2=8
---
z=x+yi=Rez+iImz
, άρα: .
[z1Re(z)+z2Im(z)]*[z1Im(z)+z2Re(z)]=Imz*Rez*z1^2+(Imz)^2*z1*z2+(Rez)^2*z1*z2+Imz*Rez*z2^2=Imz*Rez*8i+(Imz)^2*8+(Rez)^2*8+Imz*Rez*(-8i)=(Imz)^2*8+(Rez)^2*8=8*((Imz)^2+(Rez)^2)=8*4=32
Άσκηση 3
,αφού w=σταθ..
Άρα o z κινείται πάνω στον κύκλο:.
Βρες το c εσύ, είναι εύκολο.
Προς Voulitsa:
Επειδή έδωσες την άσκηση σε εικόνα, και επειδή δεν έχω χρόνο αυτή τη στιγμή να γράφω από την αρχή τα πάντα αναλυτικά, δες μία γρήγορη-συνοπτική λύση και αν έχεις απορία ξαναγράφεις και σου απαντώ εγώ ή κπ άλλος:
1)βάζεις στην ανισότητα όπου χ το π/2 και βρίσκεις 3<or=f(π/2)<or=3 => limf(x)=f(π/2)=3
2)πάλι χρησιμοποιείς την ανισότητα: αφαιρείς 3, αντιστρέφεις χωρίς να ξεχάσεις να αλλάξεις τη φορά της ανισότητας και πολλαπλσιάζεις με cos^2(x). Οπότε βρίσκει τα όρια του αριστερού και του δεξιού τυπου της ανισότητας χρησιμοποιώντας Hospital και καταλήγεις στα όρια 2 και 2 οπότε και το ζητούμενο είναι 2.
3)Έχουμε ήδη βρει ότι f(π/2)=3, κάνε τις αντικαταστάσεις, αφού υάρχουν τα όρια και θα βρεις -αν δεν κάνω λάθος: -άπειρο
Το τελευταίο ερώτημα δεν μπορώ να το απαντήσω αν δεν μου δώσεις το που ανήκει το χ (υπάρχει ένα τυπογραφικό λάθος). Ενδεικτικά πάντως σου λέω λύσε την εξίσωση και ακολούθησε τη λογική...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.