Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 2010-08-11T23:23:50+0300

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Παιδια παρακαλω βοηθεια (Αν μπορειται να βαζεται και τις λυσεις)
να βρειτε το ευρυτερο υποσυνολο στο Ρ για το οποιο ισχυει f(x)=g(x)
f(x)=riza4π²-χ²/1-συνχ + riza4π²-χ²/1+συνχ και g(x)=2riza4π²-χ²/ημ²χ
Υ.Γ(η ριζα παει στο 4π²-χ² μονο)
και exc οχι δεν ειναι προφανες για καποιον που τωρα μπανει στις συναρτισεις

Αν κατάλαβα καλά εννοείς $f(x)=\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}\left(\frac{1}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{1}{1+\sigma \upsilon \nu x} \right)$ και $g(x)=2\frac{\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}}{{\eta \mu }^{2}x}$

Ας βρούμε πρώτα το πεδίο ορισμού των f και g:

Πρέπει $4{\pi }^{2}-{x}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {x}^{2}\leq 4{\pi }^{2}\Leftrightarrow \left|x \right|\leq 2\pi \Leftrightarrow -2\pi \leq x\leq 2\pi$

Για να ορίζεται η f πρέπει $\sigma \upsilon \nu x\neq -1$ και $\sigma \upsilon \nu x\neq 1$ ενώ για να ορίζεται η g πρέπει $\eta \mu x\neq 0$ . Όμως αυτές οι δύο συνθήκες είναι ισοδύναμες αφού όταν $\eta \mu x\neq 0$ τότε $\left|\sigma \upsilon \nu x \right|\neq 1$ . Άρα οι f και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α.

$\eta \mu x\neq 0\Leftrightarrow x\neq \kappa \pi , \kappa \in Z$

$-2\pi \leq x\leq 2\pi \Rightarrow -2\pi \leq \kappa \pi \leq 2\pi \Rightarrow -2\leq \kappa \leq 2\Rightarrow \kappa \in \left[-2, -1, 0, 1, 2 \right]$

Άρα για να ορίζονται οι f και g πρέπει το κ να είναι διάφορο από τις παραπάνω ακέραιες τιμές και συνεπώς $x\neq -2\pi , -\pi , 0, \pi , 2\pi$ .

Συνεπώς το πεδίο ορισμού των f και g είναι το Α=(-2π,-π)U(-π,0)U(0,π)U(π,2π).

Για κάθε x ανήκει Α έχουμε:

$g(x)=2\frac{\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}}{{\eta \mu }^{2}x}=\frac{2}{{\eta \mu }^{2}x}\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}=\frac{2}{1-{\sigma \upsilon \nu }^{2}x}\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}=\frac{(1+\sigma \upsilon \nu x)+(1-\sigma \upsilon \nu x)}{(1+\sigma \upsilon \nu x)(1-\sigma \upsilon \nu x)}\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}=\left( \frac{1}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{1}{1+\sigma \upsilon \nu x}\right)\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}=f(x)$

Άρα οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. Συνεπώς f(x)=g(x) για κάθε x ανήκει Α.

koum · 2010-08-12T00:36:08+0300

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Αν κατάλαβα καλά εννοείς $f(x)=\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}\left(\frac{1}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{1}{1+\sigma \upsilon \nu x} \right)$ και $g(x)=2\frac{\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}}{{\eta \mu }^{2}x}$

Ας βρούμε πρώτα το πεδίο ορισμού των f και g:

Πρέπει $4{\pi }^{2}-{x}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {x}^{2}\leq 4{\pi }^{2}\Leftrightarrow \left|x \right|\leq 2\pi \Leftrightarrow -2\pi \leq x\leq 2\pi$

Για να ορίζεται η f πρέπει $\sigma \upsilon \nu x\neq -1$ και $\sigma \upsilon \nu x\neq 1$ ενώ για να ορίζεται η g πρέπει $\eta \mu x\neq 0$ . Όμως αυτές οι δύο συνθήκες είναι ισοδύναμες αφού όταν $\eta \mu x\neq 0$ τότε $\left|\sigma \upsilon \nu x \right|\neq 1$ . Άρα οι f και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α.

$\eta \mu x\neq 0\Leftrightarrow x\neq \kappa \pi , \kappa \in Z$

$-2\pi \leq x\leq 2\pi \Rightarrow -2\pi \leq \kappa \pi \leq 2\pi \Rightarrow -2\leq \kappa \leq 2\Rightarrow \kappa \in \left[-2, -1, 0, 1, 2 \right]$

Άρα για να ορίζονται οι f και g πρέπει το κ να είναι διάφορο από τις παραπάνω ακέραιες τιμές και συνεπώς $x\neq -2\pi , -\pi , 0, \pi , 2\pi$ .

Συνεπώς το πεδίο ορισμού των f και g είναι το Α=(-2π,-π)U(-π,0)U(0,π)U(π,2π).

Για κάθε x ανήκει Α έχουμε:

$g(x)=2\frac{\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}}{{\eta \mu }^{2}x}=\frac{2}{{\eta \mu }^{2}x}\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}=\frac{2}{1-{\sigma \upsilon \nu }^{2}x}\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}=\frac{(1+\sigma \upsilon \nu x)+(1-\sigma \upsilon \nu x)}{(1+\sigma \upsilon \nu x)(1-\sigma \upsilon \nu x)}\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}=\left( \frac{1}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{1}{1+\sigma \upsilon \nu x}\right)\sqrt{4{\pi }^{2}-{x}^{2}}=f(x)$

Άρα οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. Συνεπώς f(x)=g(x) για κάθε x ανήκει Α.

Θα μπορούσες να ξεκινήσεις από το ότι $\displaystyle f(x)=g(x)$ και να καταλήξεις σε αόριστη σχέση (1=1). Κατά τα άλλα η διαδικασία είναι η ίδια...

Φιλικά

Arthur39432 · 2010-08-16T17:43:16+0300

Μια ερωτηση.. πως αναπτυσσουμε την

Θελω να το φερω σε τετοια μορφη

αλλα δεν ειμαι σιγουρος

exc · 2010-08-16T18:55:49+0300

Αρχική Δημοσίευση από Arthur39432:
Μια ερωτηση.. πως αναπτυσσουμε την

Θελω να το φερω σε τετοια μορφη

αλλα δεν ειμαι σιγουρος

Με μία γρήγορη αντικατάσταση τυχαίων αριθμών βλέπουμε ότι δεν ισχύει.
a=2, b=3, c=4, k=3.
Το πρώτο μέλος γίνεται ίσο με: 34046721, ενώ το δεύτερο μέλος ισούται με: 107505...

Arthur39432 · 2010-08-16T19:31:23+0300

Καμια ιδεα για το πως μπορω να το αναπτυξω?(οχι απλοποιηση)

exc · 2010-08-16T20:07:04+0300

Αρχική Δημοσίευση από Arthur39432:
Καμια ιδεα για το πως μπορω να το αναπτυξω?(οχι απλοποιηση)

Εννοείται ότι γίνεται.
Για δες:
Καταρχάς θέτω d=a+b. Και L=2^k όπου k φυσικός για να μπορεί να αναπτύσσεται η σχέση. Έχουμε

, όπου

, όπου $n!=1*2*3*4*...*n$ .

Και ένα παράδειγμα με k=3:

---

Στην αρχή είναι δύσκολο... Μετά συνηθίζεις...

Ψάξε για το διώνυμο (binomial στα αγγλικά) του Newton.

Arthur39432 · 2010-08-16T20:16:28+0300

Φιλε exc ευχαριστω για τον χρονο σου.. θα κατσω να το μελετησω τωρα :spasiklas:

(εχασα μια μερα... σε μια ασκηση :mad:

)

exc · 2010-08-16T20:41:15+0300

Αρχική Δημοσίευση από Arthur39432:
Φιλε exc ευχαριστω για τον χρονο σου.. θα κατσω να το μελετησω τωρα (εχασα μια μερα... σε μια ασκηση )

Αν το ζητούμενο της άσκησης δεν ήταν να κάνεις το ανάπτυγμα σε απλούς όρους, αλλά κάτι άλλο και απλώς εσένα σου χρειάστηκε το ανάπτυγμα, γράψε εδώ την άσκηση, γιατί κατά πάσα πιθανότητα βγαίνει απλούστερα.

Arthur39432 · 2010-08-16T21:07:23+0300

Βασικα το concept ηθελα... ισως η λυση σου να μην ηταν αυτο που χρειαζομουν αλλα ηθελα να δω αν η αρχικη μορφη μπορει να γραφει με

+ κατι αλλο...
Σιγουρα η ασκηση εχει πιο απλη λυση και εγω την δυσκολευω :hmm:

Σου παραθετω την επιφωνηση:
$z1,z2,z3\epsilon C$ ,Αν ισχυει οτι $z1+z2+z3=0$ και $|z1|=|z2|=|z3|=$ ρ >0 Νδο --> $z1^{2^v} + z2^{2^v} + z3^{2^v} =0$ με ν $\epsilon N*$
υ.γ Το εμποδιο μου ειναι το "ν" ... αλλιως η ασκηση θα ηταν "gonner by now"
υ.γ2 Διαβασα για το διωνυμο του Newton... ενδιαφερον, αλλα προφανως αφου εδωσα γενικο τυπο :fool:

(my bad),ειχα πιθανοτητα επιτυχιας "p" για να παρω το αποτελεσμα που ειχα στο νου μου

red span · 2010-08-16T23:36:21+0300

Αρχική Δημοσίευση από Arthur39432:
Βασικα το concept ηθελα... ισως η λυση σου να μην ηταν αυτο που χρειαζομουν αλλα ηθελα να δω αν η αρχικη μορφη μπορει να γραφει με

+ κατι αλλο...
Σιγουρα η ασκηση εχει πιο απλη λυση και εγω την δυσκολευω
Σου παραθετω την επιφωνηση:
$z1,z2,z3\epsilon C$ ,Αν ισχυει οτι $z1+z2+z3=0$ και $|z1|=|z2|=|z3|=$ ρ >0 Νδο --> $z1^{2^v} + z2^{2^v} + z3^{2^v} =0$ με ν $\epsilon N*$
υ.γ Το εμποδιο μου ειναι το "ν" ... αλλιως η ασκηση θα ηταν "gonner by now"
υ.γ2 Διαβασα για το διωνυμο του Newton... ενδιαφερον, αλλα προφανως αφου εδωσα γενικο τυπο (my bad),ειχα πιθανοτητα επιτυχιας "p" για να παρω το αποτελεσμα που ειχα στο νου μου

για δοκιμασε μαθηματικη επαγωγη και θα σου βγει

exc · 2010-08-17T01:45:13+0300

Κοίτα.
Η άσκηση βγαίνει. Δεν ξέρω τι λέει ο φίλος από πάνω για το πώς θα βγει με μαθηματική επαγωγή, αλλά αν ξεκινήσεις από το ζητούμενο και προσπαθήσεις να καταλήξεις σε κάτι που ισχύει με ισοδυναμίες θα τα καταφέρεις. Θέλει, όμως, αρκετό χρόνο και υπομονή, πράγματα που δε διαθέτω για να σου τη λύσω εγώ.
Πάρε το μέτρο της ζητούμενης εξίσωσης και ύψωσέ το στο τετράγωνο. Ανάπτυξέ το αυτό ως γινόμενο του μιγαδικού επί τον συζυγή του.

Τώρα πήγαινε στα δεδομένα σου. Από την εξίσωση z1+z2+z3=0 θα πάρεις τρεις εξισώσεις αντικαθιστώντας κάθε φορά έναν από τους μιγαδικούς $\left( z_1=\frac{\rho ^2}{\bar{z}_1}\right)$ κλπ... Μετά πάρε και τις συζυγείς τους εξισώσεις. Συνδυάζοντας κατάλληλα αυτές τις εξισώσεις και αντικαθιστώντας στην ζητούμενη σχέση θα φτάσεις να δείξεις ότι μηδενίζεται.

red span · 2010-08-17T11:51:50+0300

Αρχική Δημοσίευση από Arthur39432:
Βασικα το concept ηθελα... ισως η λυση σου να μην ηταν αυτο που χρειαζομουν αλλα ηθελα να δω αν η αρχικη μορφη μπορει να γραφει με

+ κατι αλλο...
Σιγουρα η ασκηση εχει πιο απλη λυση και εγω την δυσκολευω
Σου παραθετω την επιφωνηση:
$z1,z2,z3\epsilon C$ ,Αν ισχυει οτι $z1+z2+z3=0$ και $|z1|=|z2|=|z3|=$ ρ >0 Νδο --> ] $z1^{2^v} + z2^{2^v} + z3^{2^v} =0 [/latex με ν<img src=$
υ.γ Το εμποδιο μου ειναι το "ν" ... αλλιως η ασκηση θα ηταν "gonner by now"
υ.γ2 Διαβασα για το διωνυμο του Newton... ενδιαφερον, αλλα προφανως αφου εδωσα γενικο τυπο (my bad),ειχα πιθανοτητα επιτυχιας "p" για να παρω το αποτελεσμα που ειχα στο νου μου" />

$<br /> <img src=$ $z1+z2+z3=0$ $|z1|=|z2|=|z3|=$ K
$z1^{2^v} + z2^{2^v} + z3^{2^v} =0$
1 βημα εστω οτι ισχυει για ν=1 $z1+z2+z3=0$ που ισχυει απο την υποθεση
2 βημα εστω ισχυει για ν θα εχω οτι $z1^{2^v+} + z2^{2^v+} + z3^{2^v+} =0$
ομως 8α ισχυει και για ν+1 $z1^{2^v+1} + z2^{2^v+1} + z3^{2^v+1} =0$ αρα
$z1^{2^v2} + z2^{2^v2} + z3^{2^v2} =0$
$(z1^{2^v)^2} + (z2^{2^v)^2} + (z3^{2^v)^2} =0$ που ισχυει λογο
z1²+z2² +z3²=0(προκυπτει απο την χρηση μετρων και τετραγονισμου στην 1 σχεση) και απο το 2 βημα της μαθηματικης επαγωσης $z1^{2^v+} + z2^{2^v+} + z3^{2^v+} =0$ νομιζω καπως ετσι παει
Υ.Γ(exc μην μπερδευεις τους μαθητες με πραγματα που δεν εχουν στην υλη τους αν δεν μπορεις να παρουσιασεις μια λυση στα πλασια του λυεκιου απλα αστο)" />

exc · 2010-08-17T13:54:12+0300

@red span:
1) Από πότε η μαθηματική επαγωγή είναι εντός ύλης; Προαιρετικά διδάσκεται (ή εν πάσει περιπτώσει έτσι ήταν πριν 3-4 χρόνια), άρα και δεν υπάρχει περίπτωση να ζητηθεί άσκηση που να χρειαστεί να εφαρμοστεί μαθηματική επαγωγή.
2) Βελτίωσε τον τρόπο που γάφεις σε $\LaTeX$ . Δεν βγάζω τίποτα από ό,τι έγραψες.
2) Πώς ακριβώς αποδεικνύεις ότι $z^{2n}_1z^2_1+z^{2n}_2z^2_2+z^{2n}_2z^2_2=0$ ; [Υπενθύμιση. Ισχύει: $a^{b^c}=a^{bc}$ ]
3) Δες το προηγούμενο μήνυμά μου (#2661) και πες μου τι από αυτά που είπα είναι εκτός ύλης. Το προ-προηγούμενο μήνυμά μου (#2656) ήταν απλώς για να καταλάβει το πόσο δύσκολο είναι να κάνει το ανάπτυγμα. Φαίνεται αυτό από τον τρόπο που του το έγραψα.
4) Δε ανέχομαι κακοπροαίρετες υποδείξεις και σχόλια.

red span · 2010-08-17T15:42:42+0300

Αρχική Δημοσίευση από exc:
@red span:
1) Από πότε η μαθηματική επαγωγή είναι εντός ύλης; Προαιρετικά διδάσκεται (ή εν πάσει περιπτώσει έτσι ήταν πριν 3-4 χρόνια), άρα και δεν υπάρχει περίπτωση να ζητηθεί άσκηση που να χρειαστεί να εφαρμοστεί μαθηματική επαγωγή.
2) Βελτίωσε τον τρόπο που γάφεις σε $\LaTeX$ . Δεν βγάζω τίποτα από ό,τι έγραψες.
2) Πώς ακριβώς αποδεικνύεις ότι $z^{2n}_1z^2_1+z^{2n}_2z^2_2+z^{2n}_2z^2_2=0$ ; [Υπενθύμιση. Ισχύει: $a^{b^c}=a^{bc}$ ]
3) Δες το προηγούμενο μήνυμά μου (#2661) και πες μου τι από αυτά που είπα είναι εκτός ύλης. Το προ-προηγούμενο μήνυμά μου (#2656) ήταν απλώς για να καταλάβει το πόσο δύσκολο είναι να κάνει το ανάπτυγμα. Φαίνεται αυτό από τον τρόπο που του το έγραψα.
4) Δε ανέχομαι κακοπροαίρετες υποδείξεις και σχόλια.

1) Πρωτη φορα χρησιμοποειω latex
2) το διωνυμο Newton ειναι σιγουρα εκτος της υλης
3) δεν ειπα τιποτα κακοπροερετο απλα λεω να μην μπερδευεις τους μαθητες χωρις λογο και αιτια

Arthur39432 · 2010-08-17T15:59:02+0300

Λοιπον εχουμε πως z1+z2+z3=0 και |z1|=|z2|=|z3|= r>0 ,θελουμε
$z1^{z^v} + z2^{2^v} + z3^{2^v}=0$ (1)
a) $|z1| = r <=> \overline{z1} = \frac{ r^2} {z1}$ ( Το ιδιο ισχυει και για τα z2,z3)

Εστω! ΕΣΤΩ λεγω

οτι ισχυει η η(1) τοτε

Θετω 2^v = x

$z1^x + z2^x + z3^x = 0 <=> z1^x + z2^x = -z3^x$ (3)

Επισης, $z1^x + z2^x + z3^x = 0 <=> | z1^x + z2^x + z3^x |^2 = 0$

<=> $(z1^x + z2^x + z3^x)\overline{(z1^x + z2^x + z3^x)} = 0$ (...) με επιμεριστικες και απο τη σχεση και α) καταληγω σε κατι τετοιο
$3 + \frac { z2^x +z3^x} {z1^x } + \frac { z1^x +z3^x}{z2^x} + \frac{ z2^x +z1^x}{z3^x} = 0$ καΙ αν αντικαταστησουμε τα πανω μελη των κλασματων με την σχεση 3 (αντιστοιχα για το καθενα) εχουμε $0=0$ ισχυει, αρα ισχυει και η αρχικ υποθεση
Φυσικα μου φενεται οτι εχω κανει κατι λαθος, καθως δεν χρησιμοποιησα την σχεση z1+z2+z3=0 .... Θεωρητικα η ασκηση θα πρεπει να λυνεται καπως ετσι.. Περνουμε z1+z2+z3=0 ... υψωνουμε στο τετραγωνο και το βαζουμε σε απολυτο, χρησιμοποιουμε την σχεση με τα μετρα που μας δινει αρχικα, και καπου στο τελος βαζεις και εκεινο το "ν" για να σου βγει αυτο που θελεις. Δεν μου βγαινει ομως :verymad:

Θα το αφησω για αλλη μερα, ευχαριστω για τον χρονο σας

guess · 2010-08-18T20:51:12+0300

να παραστησετε γραφικα την συναρτηση
f(x)= -x+3, x<1
x+1,x>(και ίσο)1

ευχαριστώ εκ των προτέρων

exc · 2010-08-18T21:07:42+0300

Αρχική Δημοσίευση από guess:
να παραστησετε γραφικα την συναρτηση
f(x)= -x+3, x<1
x+1,x>(και ίσο)1

ευχαριστώ εκ των προτέρων

Ε, μία ευθεία είναι αυτή. Δες που τέμνει τον άξονα y μηδενίζοντας το χ και που μηδενίζεται η συνάρτηση (τομή με άξονα χ) μηδενίζοντας το f(x).

guess · 2010-08-18T21:34:45+0300

ok thanks ...
αλλα στην f(x)=|lnx|
λέμε χ<0 , χΕ(0,1)
και χ>(και ίσο)0 , χΕ[1,+ΟΟ)
ΤΟ 1 απο που προκυπτει?

exc · 2010-08-18T22:10:56+0300

Αρχική Δημοσίευση από guess:
ok thanks ...
αλλα στην f(x)=|lnx|
λέμε χ<0 , χΕ(0,1)
και χ>(και ίσο)0 , χΕ[1,+ΟΟ)
ΤΟ 1 απο που προκυπτει?

Στα πλαίσια του λυκείου ο λογάριθμος θα έχει πεδίο ορισμού το (0,+άπειρο) που είναι υποσύνολο των πραγματικών και σύνολο τιμών το (-άπειρο,+άπειρο) επίσης υποσύνολο των πραγματικών. Άρα το χ<0 που γράφεις είναι άκυρο.
Στο χ=1 αν μελετήσεις τη συνάρτηση (μηδενισμούς, ακρότατα, μονοτονία, καμπυλότητα) θα δεις ότι μηδενίζεται η συνάρτηση και η 1η παράγωγός της αλλάζει πρόσημο (Είναι αρνητική πριν το 1 και θετική μετά το 1, ενώ στο 1 είναι ασυνεχής). Συνεπώς το χ=1 αποτελεί και ελάχιστο. Επίσης η 2η παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική πριν το χ=1 και αρνητική μετά το χ=1.
Άρα η γραφική παράταση της συνάρτησης αλλάζει τελείως στο χ=1.

Τη χωρίζεις δηλαδή στα σημεία που αλλάζει κάτι στην σχεδίασή της. Δες τα παραδείγματα του σχολικού και θα καταλάβεις.
Αν δεν το έχεις, δες εδώ:
https://www.pi-schools.gr/download/lessons/mathematics/lykeio/g-lyk-8et-texno-biblio.zip
https://www.pi-schools.gr/download/lessons/mathematics/lykeio/g-lyk-8et-texno-lyseis.zip

guess · 2010-08-18T22:39:47+0300

μας την ελυσε ο καθηγητης ...αν και εκεινη τι στιγμη το ειχα εμπεδωσει τωρα το ξεχασα :p

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος