Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[toi_toi]

Στο Θ. Rolle πώς δείχνουμε ότι f συνεχής και πώς ότι είναι παραγωγίσιμη;

τις περισσοτερες φορες οταν εχεις ασκηση που πρεπει να χρησιμοποιησεις θ.rolle στο λεει στα δεδομενα του προβληματος οτι ειναι παραγωγισιμη (αρα κ συνεχης) ή φαινεται απο τα δεδομενα!!! διαφορετικα με τις γνωσεις που εχεις απο την συνεχεια κ απο την παραγωγο δειχνεις οτι ειναι συνεχης κ παραγωγισιμη!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[red span]

Καλησπερα παιδια....εχω κατι αποριες σε μια ασκηση, αν μπορειτε να βοηθησετε λεει:

εστω η συνεχης συναρτηση f:R--->R για ττην οποια ισχυει
χf(x)+3ημχ=x^2 για καθε χεR

a) να βρειτε τον τυπο της f
b)να υπολογισετε το lim x-->+απειρο
g) ν.δ.ο η εξισωση f(x)=e^-x εχει τουλαχιστον μια θετικη ριζα

λοιπον θα σας πω τι σκεφτικα εγω και που κολλαω....σκεφτηκα στο α ερωτημα να παω το 3ημχ απο το αλλο μελος και μετα να διερεσω με τον χ ετσι εβγαλα f(x)=x-3ημχ. και μετα να πω οτι f(0)=lim x-->0 f(x) αλλα δεν ξερω αν αυτο το f(0) ειναι σωστο....και μια ακομη απορια....οταν μας λεει θετικη ριζα στο 3 ερωτημα το διαστημα ειναι [0,+απειρο]? και αν ναι μετα πως δουλεω??

οποιος μπορει ας βοηθησει ευχαριστω

Ωραια ασκηση συνδυαστικη,Θα σε δοσω υποδειξεις ετσι ωστε να μην σε παρω την χαρα για την λυση ενος προβληματος
Αρχικα η συναρτισιακη σχεση σε λεει οτι ισχυει για καθε χ ε R αν διαιρεσης με χ<>0 φ(χ)=χ-3ημχ/χ για καθε χε R(Εκτος του 0 διοτι καταληγεις σε απροσδιοριστια.Αφου η συναρτηση συνεχης σημαινει οτι διακοπτεται πουθενα απλα στο 0 εχει αλλο τυπο
και ισχυει αυτο που κανεις.Για το 3 ερωτημα θα σε πω μονο την εξης προταση limx-->+oo=-oo υπαρχει ενα χο>0 ωστε φ(χ0)<0
Σε αφηνω μονο σου να την δεις προσεξε αυτο που εγραξα παραπανω σε προτρεπει στο Θ βολζανο πρεπει να βρεις μια τιμη εσυ ωστε φ(χ1)>0 μηπως limx-->0(απο θετικα) ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[fantom.blood]

τις περισσοτερες φορες οταν εχεις ασκηση που πρεπει να χρησιμοποιησεις θ.rolle στο λεει στα δεδομενα του προβληματος οτι ειναι παραγωγισιμη (αρα κ συνεχης) ή φαινεται απο τα δεδομενα!!! διαφορετικα με τις γνωσεις που εχεις απο την συνεχεια κ απο την παραγωγο δειχνεις οτι ειναι συνεχης κ παραγωγισιμη!!!

Ευχαριστώ!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[christosglx]

Εστω f,g συναρτησεις με πεδιο ορισμου το R για τις οποιες υποθετουμε οτι : α)η f δεν ειναι συνεχης στο χο=0
β)|f(χ)|<=1, για καθε χεR και γ)η g ειναι συνεχης στο χο=0.Να αποδειξετε οτι η συναρτηση h(χ)=f(x)g(x) ειναι συνεχης στο χο=0 οταν και μονον οταν g(0)=0.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

Είναι .

Αν τότε και λόγω της (1),του κριτηρίου παρεμβολής αλλά και της συνέχειας της g έχουμε . Άρα οπότε η h είναι συνεχής στο 0.

Αντίστροφα, αν η h είναι συνεχής στο 0 και τότε επειδή η g είναι συνεχής είναι επίσης οπότε και δηλαδή η f είναι συνεχής στο 0, πράγμα άτοπο από υπόθεση. Άρα τελικά g(0)=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Sifis_xania]

Καλησπερα σας κ χρονια πολλα,
Εχω ενα προβλημα σε μια ασκηση της κατευθυνσης αν μπορειτε να με βοηθησετε.
Λοιπον,
f συνεχης στο R και ισχυει fof(x) + x = 4 - 2f(x) για καθε x εR
Να δειξετε οτι:
1) f 1-1
2) αν η f ειναι γν μονοτονη τοτε ειναι γνησιως φθινουσα
3)υπαρχει ξ ε (0,2) τετοιο ωστε f(ξ)=ξ
4) f(1)=1

Τα πρωτα 2 ερωτηματα τα εχω αποδειξει και εχω κολλησει στο 3ο και υστερα....
Καμια βοηθεια...???


Ευχαριστω πολυ
εκ των προτερων
Σηφης

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mc08071]

χμμμμμ, εχω χασει τη φορμα μου, ουτε εγω μπορω να λυσω το 3, μπορω να λυσω ομως το 4 με δεδομενο το 3. εσυ δεν μπορεις? σε εξετασεις θα εσωζες το 1/4 της ασκησης ετσι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[exc]

Με μια πρώτη ματιά πιο δύσκολα μου φαίνονται τα δύο πρώτα ερωτήματα, παρά τα δύο τελευταία...
Τέλος πάντων.
3) Έστω ότι υπάρχει τέτοιο ξ. Τότε σε αυτό το ξ θα έχουμε: f(f(ξ))+ξ=4-2f(ξ)=>f(ξ)+ξ=4-2ξ=>ξ=1 που ανήκει στο ζητούμενο διάστημα.
4) Με όμοιο τρόπο φτάνουμε σε κάτι που ισχύει.

ΥΓ: Καλώς όρισες στο forum!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[c.k]

Καλησπερα σας κ χρονια πολλα,
Εχω ενα προβλημα σε μια ασκηση της κατευθυνσης αν μπορειτε να με βοηθησετε.
Λοιπον,
f συνεχης στο R και ισχυει fof(x) + x = 4 - 2f(x) για καθε x εR
Να δειξετε οτι:
1) f 1-1
2) αν η f ειναι γν μονοτονη τοτε ειναι γνησιως φθινουσα
3)υπαρχει ξ ε (0,2) τετοιο ωστε f(ξ)=ξ
4) f(1)=1

Τα πρωτα 2 ερωτηματα τα εχω αποδειξει και εχω κολλησει στο 3ο και υστερα....
Καμια βοηθεια...???


Ευχαριστω πολυ
εκ των προτερων
Σηφης

η πρώτη πως λύνεται μπορείς λίγο να τη γράψεις ... (ευχαριστώ προκαταβολικά )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mc08071]

f(x1)=f(x2) αρα f(f(x1)-4f(x1)=f(f(x2))-4f(x2) επομενως x1=x2. αρα f 1-1
η λυση του exc ειναι η λυση του 4. για το 3 πιανω μολυβι τωρα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Sifis_xania]

χμμμμμ, εχω χασει τη φορμα μου, ουτε εγω μπορω να λυσω το 3, μπορω να λυσω ομως το 4 με δεδομενο το 3. εσυ δεν μπορεις? σε εξετασεις θα εσωζες το 1/4 της ασκησης ετσι.

Ναι αυτο ειναι αληθεια. Αν θεωρησουμε στο 4 δεδομενο το 3 βγηκε κατ ευθειαν....

Με μια πρώτη ματιά πιο δύσκολα μου φαίνονται τα δύο πρώτα ερωτήματα, παρά τα δύο τελευταία...
Τέλος πάντων.
3) Έστω ότι υπάρχει τέτοιο ξ. Τότε σε αυτό το ξ θα έχουμε: f(f(ξ))+ξ=4-2f(ξ)=>f(ξ)+ξ=4-2ξ=>ξ=1 που ανήκει στο ζητούμενο διάστημα.
4) Με όμοιο τρόπο φτάνουμε σε κάτι που ισχύει.

ΥΓ: Καλώς όρισες στο forum!

Ευχαριστω πολυ καλως σας βρηκα,
στο 3 πως πας απο f(f(ξ))+ξ=4-2f(ξ) => f(ξ)+ξ=4-2ξ
με ποια ιδιοτητα????
δεν νομιζω πως ισχυει κατι τετοιο..

η πρώτη πως λύνεται μπορείς λίγο να τη γράψεις ... (ευχαριστώ προκαταβολικά )

Βεβαιως....
λοιπον,
εστω για καθε Χ1,Χ2 ε R
f(x1)=f(x2) --> (f:συναρτηση)
f(f(x1))=f(f(x2)) -->
f(f(x1)) +2f(x1)=f(f(x2))+2f(x2)--->
f(f(x1)) +2f(x1)-4=f(f(x2))+2f(x2)-4--->
-x1=-x2--->
x1=x2 αρα f 1-1

(ορισμος 1-1)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[exc]

Υπέθεσα ότι ισχύει f(ξ)=ξ και βρήκα ξ μέσα στο ζητούμενο διάστημα που να ικανοποιεί την υπόθεση.
Πού έχω λάθος;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mc08071]

οτι κανεις συνεοαγωγες, οχι ισοδυναμιες, αρα αποδυκνυεις οτι αν υπαρχει τετοιο ξ, ειναι το 1(ερωτημα 4). δεν το εξηγω πολυ καλα, ελπιζω πως καταλαβαινεις τι εννοω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Sifis_xania]

Υπέθεσα ότι ισχύει f(ξ)=ξ και βρήκα ξ μέσα στο ζητούμενο διάστημα που να ικανοποιεί την υπόθεση.
Πού έχω λάθος;

Ναι αλλα δεν μπορεις να κανεις αντιθετοαναστροφη για να το αποδειξεις. Δηλαδη δεν υφισταται ως λυση να χρησιμοποιησεις το ζητουμενο και να καταληξεις καπου που ισχυει...

οτι κανεις συνεοαγωγες, οχι ισοδυναμιες, αρα αποδυκνυεις οτι αν υπαρχει τετοιο ξ, ειναι το 1(ερωτημα 4). δεν το εξηγω πολυ καλα, ελπιζω πως καταλαβαινεις τι εννοω

Α οκ. καταλαβα τι εννοεις...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mc08071]

εστω g(x)=f(x)-x συνεχης(αθροισμα συνεχων) εστω g διαφορη του 0. τοτε η g διατηρει προσημο στο R.
αν f(x)>x για καθε χ,
f(f(x)>f(x)
f(f(x))+x>f(x)+x
4-2f(x)>f(x)+x
3f(x)<4-x
ατοπο γιατι θα επρεπε f(2)<2/3

ομοιως, απο το f(x)<x καταληγεις στο 3f(x)>4-x , ατοπο γιατι θα επρεπε f(0)>4

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Sifis_xania]

εστω g(x)=f(x)-x συνεχης(αθροισμα συνεχων) εστω g διαφορη του 0. τοτε η g διατηρει προσημο στο R.
αν f(x)>x για καθε χ,
f(f(x)>f(x)
f(f(x))+x>f(x)+x
4-2f(x)>f(x)+x
3f(x)<4-x
ατοπο γιατι θα επρεπε f(2)<2/3

ομοιως, απο το f(x)<x καταληγεις στο 3f(x)>4-x , ατοπο γιατι θα επρεπε f(0)>4

Δυστηχως η λυση δεν μπορει να ειναι αυτη γιατι
1ον αν f(x)>x τοτε επειδη f γν φθινουσα f(f(x))<f(x) (αλλαζει η φορα της ανισωσης) αλλα και παλι η λυση αυτη εχει προβλημα.
το f(2) μπορει να ειναι μικροτερο του 2/3 δεν μπορω να καταλαβω γιατι ειναι ατοπο οπως επισης και το f(0)>4 ....
Αν το ξανα παρατηρησεις θα δεις οτι δεν υπαρχει προβλημα στο f(2)<2/3 (που βασικα βγαινει f(2)>2/3 λογω μονοτονιας)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[exc]

εστω g(x)=f(x)-x συνεχης(αθροισμα συνεχων) εστω g διαφορη του 0. τοτε η g διατηρει προσημο στο R.
αν f(x)>x για καθε χ,
f(f(x)>f(x)

f(f(x))+x>f(x)+x
4-2f(x)>f(x)+x
3f(x)<4-x
ατοπο γιατι θα επρεπε f(2)<2/3

ομοιως, απο το f(x)<x καταληγεις στο 3f(x)>4-x , ατοπο γιατι θα επρεπε f(0)>4

H f αν είναι γνησίως μονότονη είναι γνησίως φθίνουσα.
Sorry, απαντούσα σε άλλο θέμα και με πήρε η ώρα. Πολύ ετεροχρονισμένη απάντηση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mc08071]

στο 1ο εχεις δικιο. κανε τη μονοτονια σωστα, βγαλε μια ανισωση η οποια λογικα για 0 η 2 θα ειναι αναποδη απο την υποθεση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PAP65]

Αφού η f είναι 1-1 υπάρχει η f και έχει την ίδια μονοτονία (Αποδεικνύεται )
Aν θέσω όπου f(x) =y παίρνω (1)
Εστω , άτοπο, αφού από την (1) .[ Άρα
Ακριβώς ίδια αποδεικνύεται ότι
Στη συνέχεια με Βolzano για την στο [0,2] αποδεικνύεται το 3.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[rebel]

εστω g(x)=f(x)-x συνεχης(αθροισμα συνεχων) εστω g διαφορη του 0. τοτε η g διατηρει προσημο στο R.
αν f(x)>x για καθε χ,
f(f(x)>f(x)
f(f(x))+x>f(x)+x
4-2f(x)>f(x)+x
3f(x)<4-x
ατοπο γιατι θα επρεπε f(2)<2/3

ομοιως, απο το f(x)<x καταληγεις στο 3f(x)>4-x , ατοπο γιατι θα επρεπε f(0)>4

Δυστηχως η λυση δεν μπορει να ειναι αυτη γιατι
1ον αν f(x)>x τοτε επειδη f γν φθινουσα f(f(x))<f(x) (αλλαζει η φορα της ανισωσης) αλλα και παλι η λυση αυτη εχει προβλημα.
το f(2) μπορει να ειναι μικροτερο του 2/3 δεν μπορω να καταλαβω γιατι ειναι ατοπο οπως επισης και το f(0)>4 ....
Αν το ξανα παρατηρησεις θα δεις οτι δεν υπαρχει προβλημα στο f(2)<2/3 (που βασικα βγαινει f(2)>2/3 λογω μονοτονιας)

Ίσως η ανισότητα που παίρνει ο mc08071 να μην είναι εντελώς λανθασμένη. Αφού η f είναι ορισμένη σε όλο το μπορούμε στην ανισότητα να βάλουμε όπου χ το f(x) οπότε παίρνουμε .
Από (1) και (2) έχουμε άτοπο. Άρα η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο η οποία είναι και μοναδική λόγω μονοτονίας της . Στην συνέχεια θεωρούμε ξ αυτή την ρίζα και βρίσκουμε ξ=1

Παρατηρήσεις-Συμπεράσματα
1.Ουσιαστικά απάντησα πρώτα στο iv και μετά στο iii
2.Η λύση του κύριου Θανάση είναι ακριβώς στο πνεύμα της άσκησης
3.Και οι δύο ανισότητες f(f(x))>f(x) και f(f(x))<f(x) ισχύουν(η μία όπως πάνω και η άλλη λόγω του ότι η f είναι γν. φθίνουσα) αν ξεκινήσουμε από την υπόθεση f(x)>x (όμοια για f(x)<x, με αντίθετες φορές) και ουσιαστικά η μη συμβιβαστότητα και των δύο είναι ένας άλλος τρόπος να καταλήξουμε σε άτοπο ότι δηλαδή δεν είναι δυνατόν για κάθε χ στο R

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.