Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Χαρουλιτα · 16 Μαρτίου 2012 στις 14:31

Να βρειτε τη συναρτηση f τετοια ωστε να ισχυει (gof)(x)= |συνx|, αν g(x) = ριζα (1-χ) απου το χ στο τετραγωνο...
Δεν μπορω να γραψω με latex. Sorry

stathis1214 · 16 Μαρτίου 2012 στις 14:39

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
Να βρειτε τη συναρτηση f τετοια ωστε να ισχυει (gof)(x)= |συνx|, αν g(x) = ριζα (1-χ) απου το χ στο τετραγωνο...
Δεν μπορω να γραψω με latex. Sorry

Η f ειναι η ημιτονο τετραγωνο χ. Για να το δειξεις μπορεις αν θες να πας στην gof και να πεις οτι ριζα 1-f(x)=|συνx| οποτε συνημιτονο τετραγωνο=1 πλην f(X) αρα f(χ) =1 πλην συνημιτονο τετραγωνο=ημιτονο τετραγωνο. Τελικα f(x)=ημιτονο τετραγωνο

Μακαρι να με καταλαβες γιατι ουτε εγω ξερω latex!!!

drosos · 16 Μαρτίου 2012 στις 14:41

Χαρουλιτα · 16 Μαρτίου 2012 στις 14:44

Kανονικα δεν βγαινει οτι |f(x)| = |ημx|???

stathis1214 · 16 Μαρτίου 2012 στις 14:48

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
Kανονικα δεν βγαινει οτι |f(x)| = |ημx|???

ωχ τωρα ειδα το οπου χ στο τετραγωνο..... τοτε ναι παει με απολυτο

rebel · 16 Μαρτίου 2012 στις 22:58

Να κάποιες υποψήφιες συναρτήσεις
$f_1(x)=\eta \mu x,\, x \in \mathbb{R}$
$f_2(x)= -\eta \mu x , \, x \in \mathbb{R}$
$f_3(x)=\begin{cases} \eta \mu x, & x< \frac{\pi}{2} \\ -\eta \mu x, & x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$
$f_4(x)=\begin{cases} \eta \mu x, & x \in \left[2k\pi+\frac{\pi}{2}, 2k \pi + \frac{3\pi}{2} \right) \\ -\eta \mu x, & x \in \left[ 2k\pi+\frac{3\pi}{2}, 2k \pi + \frac{5\pi}{2} \right) \end{cases}, \,\, k \in \mathbb{Z}$
και άπειρες ακόμα

GiwrgosK. · 19 Μαρτίου 2012 στις 17:27

'Εστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει:
(f'(x))² $\leq$ 2f(0)(3-f(1))-9
i) Να βρεθούν οι αριμοί f(0) και f(1)
ii) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f φράσσεται από τις ευθείες ψ=-3x+3 και ψ=3χ+3

rebel · 19 Μαρτίου 2012 στις 21:21

Από Θ.Μ.Τ. στο [0,1] υπάρχει $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$ . Αντικαθιστώντας στην δεδομένη ανισότητα έχω

$\left(f(1)-f(0)\right)^2 \leq 2f(0)\left(3-f(1)\right)-9 \Leftrightarrow f^2(1)+\left(f(0)-3\right)^2 \leq 0 \Leftrightarrow \\f(0)=3,\,f(1)=0$

H ανισότητα τώρα γίνεται $-3 \leq f'(x) \leq 3\,\,(*)$ . Για $x>0$ από ΘΜΤ στο [0,x] υπάρχει $\xi \in (0,x)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
Αντικαθιστούμε στην (*) και παίρνουμε
$-3 \leq \frac{f(x)-3}{x} \leq 3 \Rightarrow -3x+3 \leq f(x) \leq 3x+3$
Για χ<0 με ΘΜΤ στο [χ,0] και ακριβώς τον ίδιο τρόπο, προκύπτει $3x+3 \leq f(x) \leq -3x+3$ .
Για χ=0 το συμπέρασμα είναι προφανές.

GiwrgosK. · 19 Μαρτίου 2012 στις 22:40

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Από Θ.Μ.Τ. στο [0,1] υπάρχει $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$ . Αντικαθιστώντας στην δεδομένη ανισότητα έχω

$\left(f(1)-f(0)\right)^2 \leq 2f(0)\left(3-f(1)\right)-9 \Leftrightarrow f^2(1)+\left(f(0)-3\right)^2 \leq 0 \Leftrightarrow \\f(0)=3,\,f(1)=0$

H ανισότητα τώρα γίνεται $-3 \leq f'(x) \leq 3\,\,(*)$ . Για $x>0$ από ΘΜΤ στο [0,x] υπάρχει $\xi \in (0,x)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
Αντικαθιστούμε στην (*) και παίρνουμε
$-3 \leq \frac{f(x)-3}{x} \leq 3 \Rightarrow -3x+3 \leq f(x) \leq 3x+3$
Για χ<0 με ΘΜΤ στο [χ,0] και ακριβώς τον ίδιο τρόπο, προκύπτει $3x+3 \leq f(x) \leq -3x+3$ .
Για χ=0 το συμπέρασμα είναι προφανές.

Ευχαριστώ πολύ φίλε!

Mr.Blonde · 22 Μαρτίου 2012 στις 21:23

$\int_{1}^{x}f(t)dt + 1=xf(x)-3{x}^{2}$

Να βρω τη συνεχη συναρτηση f ορισμενη στο R.

Mr.Blonde · 22 Μαρτίου 2012 στις 22:21

Kαποιος ρε παιδια??

exc · 22 Μαρτίου 2012 στις 22:44

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
$\int_{1}^{x}f(t)dt + 1=xf(x)-3{x}^{2}$

Να βρω τη συνεχη συναρτηση f ορισμενη στο R.

$\int_1^x f(t)dt=F(x)-F(1)$ , όπου
$F^\prime(x)=f(x)$
Τελικά προκύπτει:
$F(x)-F(1)+1=xf(x)-3x^2$ , το οποίο και παραγωγίζεις και στα δύο μέλη, οπότε και έχεις:
$f(x)=f(x)+xf^\prime(x)-6x\Rightarrow f^\prime(x)=6\Rightarrow f(x)=6x+C$ .

Βάζεις στην αρχική σχέση με το ολοκλήρωμα που σου δίνεται χ=1 για να μηδενίσεις το ολοκλήρωμα και προκύπτει:
$f(1)=4$ , οπότε και πλέον είσαι σε θέση να βρεις την σταθερά C που είναι ίση με -2.

Χαρουλιτα · 22 Μαρτίου 2012 στις 22:46

Με προλαβες...

Mr.Blonde · 22 Μαρτίου 2012 στις 22:56

Aυτο δεν ισχυει για χ διαφορο του 0 αφου διαιρεσες με χ?Εγω εκει κολλησα.

exc · 22 Μαρτίου 2012 στις 23:11

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Aυτο δεν ισχυει για χ διαφορο του 0 αφου διαιρεσες με χ?Εγω εκει κολλησα.

Όχι ισχύει πάντα. Άλλωστε το χ υπάρχει και στα δύο μέλη και μόλις μηδενιστεί, θα μηδενιστούν και αυτά.

Διαφορετικά: Έχεις $xf^\prime (x)=6x\Leftrightarrow x(f^\prime (x)-6)=0$ για κάθε πραγματικό χ.
Μόνο ο παράγων $f^\prime (x)-6$ , όμως, είναι δυνατόν να μηδενίζεται για κάθε χ.

soras7 · 22 Μαρτίου 2012 στις 23:16

Η f ειναι συνεχης.Επομενως παρολο που η σχεση μας ισχυει για χ διαφορο του μηδενος μπορουμε να χρησιμοποιησουμε οριο στο μηδεν.lim(x-->0)f(x)=-2.
Εχεις επομενως
f(χ)=6*x-2,x διαφορο του 0 και -2 για χ=0.Μπορουν επομενως να ενωθουν οι δυο τυποι στον f(χ)=6χ-2,χεR

Mε προλαβες exc!

exc · 22 Μαρτίου 2012 στις 23:29

Αρχική Δημοσίευση από Χαρουλιτα:
Με προλαβες...

Αρχική Δημοσίευση από soras7:
Mε προλαβες exc!

Είμαι γρήγορος ο κερατάς.
Δεν πειράζει παιδιά, η προσπάθεια και η χειρονομία μετράει.

rebel · 22 Μαρτίου 2012 στις 23:41

Επειδή το πόρισμα $f'(x)=g'(x) \Rightarrow f(x)=g(x)+c$ ισχύει σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων, όπως τονίζεται και στο σχολικό νομίζω ότι μία αποδεκτή λύση θα ήταν η εξής
Για $x>0: f'(x)=6 \Leftrightarrow f(x)=6x+c_1$
Για $x<0: f'(x)=6 \Leftrightarrow f(x)=6x+c_2$
Λόγω συνέχειας της f στο R είναι
$\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=f(0) \Leftrightarrow c_1=c_2=c=f(0)$
Άρα
$f(1)=4 \Leftrightarrow c=-2 \Leftrightarrow f(0)=-2$
Οπότε
$f(x)=6x-2,\,\forall x \in \mathbb{R}$

Mr.Blonde · 25 Μαρτίου 2012 στις 20:40

Να βρω το οριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }\int_{2}^{x}\mid t-3\mid {e}^{-t}dt$
βρισκω αλλο αποτελεσμα απο τις λυσεις ,οποιος θελει ας βοηθησει

exc · 25 Μαρτίου 2012 στις 21:44

Αρχική Δημοσίευση από Mr.Blonde:
Να βρω το οριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }\int_{2}^{x}\mid t-3\mid {e}^{-t}dt$
βρισκω αλλο αποτελεσμα απο τις λυσεις ,οποιος θελει ας βοηθησει

Θα προσπαθήσω να είμαι αρκετά αναλυτικός μιας και το πρόβλημά σου είναι στις πράξεις χωρίς, όμως, να σου τη λύσω κιόλας.
Λοιπόν:

$J=\int_2^\infty|t-3|e^{-t}dt=\underset{J_1}{\underbrace{\int_2^3(3-t)e^{-t}dt}}+\underset{J_2}{\underbrace{\int_3^\infty(t-3)e^{-t}dt}}$
$J_1=\int_2^3(3-t)e^{-t}dt=\underset{J_{11}}{\underbrace{\int_2^33e^{-t}dt}}\,\,\,\,\underset{J_{12}}{\underbrace{-\int_2^3te^{-t}dt}}=e^{-3}$ , διότι:

$J_{11}=\int_2^33e^{-t}dt=-3(e^{-3}-e^{-2})$
$J_{12}=-\int_2^3te^{-t}dt=\int_2^3t(e^{-t})^\prime dt=\left{te^{-t}\right|_2^3-\int_2^3e^{-t}dt=\\=(3e^{-3}-2^{-2})+(e^{-3}-e^{-2})=4e^{-3}-3e^{-2}$

Και:
$J_2=\int_3^\infty (t-3)e^{-t}dt=\underset{J_{21}}{\underbrace{\int_3^\infty te^{-t}dt}}\,\,\,\,\underset{J_{22}}{\underbrace{-\int_3^\infty 3e^{-t}dt}}$
$J_{21}=\int_3^\infty te^{-t}dt=-\int_3^\infty t(e^{-t})^\prime dt=\cdots=4e^{-3}$
$J_{22}=\cdots=-3e^{-3}$
Άρα: $J_2=e^{-3}$ και συνεπώς $J=2e^{-3}\simeq 0.09957$

Στα παραπάνω λήφθηκε υπόψη το εξής όριο:
$\lim_{t\to+\infty}te^{-t}=0$ που βγαίνει εύκολα με Hospital.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος