Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

OoOkoβοldOoO · 8 Νοεμβρίου 2011 στις 00:03

To θέμα είναι ότι δεν έχω πχ g(x) παράγωγο για να χρησιμοποιήσω το Rolle αλλά έχω την εξίσωση g(a)=g(b) άρα πως χρησιμοποιώ το θεώρημα στην προκειμένη περίπτωση;

g1wrg0s · 8 Νοεμβρίου 2011 στις 00:06

f(x)= $\sqrt{x+1}$ ,xo=0, L=1, ε=0.1
0<|x-xo|<δ => |f(x)-L| < ε και ζητα να βρω το δ, οπου δ>0

Κατεληξα σε δυο σχεσεις -0.19<x<0.21 και -δ<x<δ

το δ ποιο ειναι ;
Ευχαριστω για καθε βοηθεια.

rebel · 8 Νοεμβρίου 2011 στις 00:36

Αρχική Δημοσίευση από OoOkoβοldOoO:
To θέμα είναι ότι δεν έχω πχ g(x) παράγωγο για να χρησιμοποιήσω το Rolle αλλά έχω την εξίσωση g(a)=g(b) άρα πως χρησιμοποιώ το θεώρημα στην προκειμένη περίπτωση;

Θέλω να αποδείξω ότι $g(a) \neq g(b)$ . Έστω ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε θα ισχύει η άρνησή του που είναι $g(a)=g(b)$ .
Ικανοποιούνται τότε οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την g , άρα υπάρχει $x_0 \in (a,b): g^\prime(x_0)=0$ άτοπο γιατί από υπόθεση έχω $g^\prime(x)\neq 0$ για κάθε $x\in (a,b)$ . Κατέληξα σε άτοπο γιατί υπέθεσα ότι $g(a)=g(b)$ . Άρα τελικά $g(a) \neq g(b)$

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
f(x)= $\sqrt{x+1}$ ,xo=0, L=1, ε=0.1
0<|x-xo|<δ => |f(x)-L| < ε και ζητα να βρω το δ, οπου δ>0

Κατεληξα σε δυο σχεσεις 0.19<x<0.21 και -δ<x<δ

το δ ποιο ειναι ;
Ευχαριστω για καθε βοηθεια.

Αφού κατέληξες με διπλές ισοδυναμίες στην σχέση $-0,19<x<0,21$ , αυτό σημαίνει ότι για $\delta=0,19$ ή και ακόμα μικρότερο ικανοποιείται η σχέση $\left|\sqrt{x+1}-1\right|<0,1$ για κάθε $x\in (-\delta,0)\cup (0,\delta)$

OoOkoβοldOoO · 8 Νοεμβρίου 2011 στις 00:38

Α κατάλαβα βγαίνει αμέσως! Ευχαριστώ πολύ!!

Σε μια άλλη άσκηση δίνει ότι f παραγωγίσημη στο R και λέει ότι η εφ σε οποιοδήποτε σημείο της ΔΕΝ είναι παράλληλη στην ε:2χ-ψ=1 και ζητάει νδο η ευθεία ψ=2χ έχουν ένα το πολύ κοινό σημείο
Έχω φτάσει μέχρι το σημείο θέτω g(x)=f(x)-2x kαι ξέρω ότι f'(x)-2διάφορο του 0.
Μετά πως αποδεικνύω αυτό που ζητάει όμως;

lowbaper92 · 8 Νοεμβρίου 2011 στις 02:23

Αρχική Δημοσίευση από OoOkoβοldOoO:
Σε μια άλλη άσκηση δίνει ότι f παραγωγίσημη στο R και λέει ότι η εφ σε οποιοδήποτε σημείο της ΔΕΝ είναι παράλληλη στην ε:2χ-ψ=1 και ζητάει νδο η ευθεία ψ=2χ έχουν ένα το πολύ κοινό σημείο
Έχω φτάσει μέχρι το σημείο θέτω g(x)=f(x)-2x kαι ξέρω ότι f'(x)-2διάφορο του 0.
Μετά πως αποδεικνύω αυτό που ζητάει όμως;

Έστω ότι η f και η ευθεία (ε) έχουν τουλάχιστον δύο κοινά σημεία x1 και x2. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω x1<x2.
Δηλαδή $g\left({x}_{1} \right)=f\left({x}_{1} \right)-2{x}_{1}=0$ και $g\left({x}_{2} \right)=f\left({x}_{2} \right)-2{x}_{2}=0$ .
Από Rolle (αφού γράψεις τις προϋποθέσεις) προκύπτει ${x}_{0}\in \left({x}_{1},{x}_{2} \right):g'\left({x}_{0} \right)=0\Leftrightarrow f'\left({x}_{0} \right)=2\; \left(\alpha \tau o\pi o \right)$ .
Άρα η f έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με την (ε)

123τινκ · 8 Νοεμβρίου 2011 στις 14:14

Παιδιά ξέρω ότι το όριο της f(x)=-1
Για να βρω το όριο της g(x) η οποία είναι ίση με ριζα(4f(x)+7) απλα αντικαθιστώ το f(x) με -1;δηλαδη καταληγω ότι το όριο της g(x) είναι ριζα3;

OoOkoβοldOoO · 8 Νοεμβρίου 2011 στις 15:15

νομίζω ναι με μια γρήγορη ματιά που την έρηξα.
Και για την λύση στην απορία μου thanks!

Gver · 2011-11-10T19:12:39+0200

Παιδια λιγη βοηθεια με αυτη..
λοιπον εστω f γνησιως αυξουσα στο [α,β]
νδο υπαρχει ξε(α,β) ωστε 3f(ξ)=f(α)+f(β)+f((α+β)/2)

εχω φτασει απο ΘΜΕΤ στο οτι υπαρχει το ξ στο κλειστο διαστημα πως μπορω να πω για το ανοιχτο?

Αρχική Δημοσίευση από Gver:
Παιδια λιγη βοηθεια με αυτη..
λοιπον εστω f γνησιως αυξουσα στο [α,β]
νδο υπαρχει ξε(α,β) ωστε 3f(ξ)=f(α)+f(β)+f((α+β)/2)

εχω φτασει απο ΘΜΕΤ στο οτι υπαρχει το ξ στο κλειστο διαστημα πως μπορω να πω για το ανοιχτο?

ΑΚΥΡΟ τελικα το βρηκα με ατοπο παω θεωρωντας ξ=α και μετα ξ=β

rebel · 2011-11-10T20:44:08+0200

Βγαίνει σίγουρα με Βοlzano αν θεωρήσεις
$g(x)=f(x)-\frac{1}{3}\left(f(a)+f(b)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)$ και αφού η f είναι γνήσια αύξουσα:

$g(a)=\frac{1}{3}\left\{\left[f(a)-f(b)\right]+\left[f(a)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]\right\}<0$
$g(b)=\frac{1}{3}\left\{\left[f(b)-f(a)\right]+\left[f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]\right\}>0$

Με ΘΜΕΤ δεν βλέπω πως βγαίνει :hmm:

Επεξεργασία: Τώρα βλέπω

Gver · 2011-11-10T20:52:01+0200

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
Βγαίνει σίγουρα με Βοlzano αν θεωρήσεις
$g(x)=f(x)-\frac{1}{3}\left(f(a)+f(b)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)$ και αφού η f είναι γνήσια αύξουσα:

$g(a)=\frac{1}{3}\left\{\left[f(a)-f(b)\right]+\left[f(a)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]\right\}<0$
$g(b)=\frac{1}{3}\left\{\left[f(b)-f(a)\right]+\left[f(b)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]\right\}>0$

Με ΘΜΕΤ δεν βλέπω πως βγαίνει

με ΘΜΕΤ λες οτι αφου f συνεχης τοτε υπαρχουν m,M κτλ..
και μετα φρασεις καθε τιμη αναμεσα στα m,M και φτιαχνεις τη σχεση προσθετοντας τα,αφου πρωτα τα χεις πολ/σει με τους συντελεστες που εχουν στη σχεση
οποτε υπαρχει ξε[α,β]
και μετα με ατοπο δεδομενου οτι f γν αυξουσα δειχνεις οτι ξ#α και ξ#β
αρα τελικα το διαστημα γινεται (α,β)

Αντώνης · 2011-11-12T15:10:53+0200

Αρχική Δημοσίευση από Gver:
με ΘΜΕΤ λες οτι αφου f συνεχης τοτε υπαρχουν m,M κτλ..
και μετα φρασεις καθε τιμη αναμεσα στα m,M και φτιαχνεις τη σχεση προσθετοντας τα,αφου πρωτα τα χεις πολ/σει με τους συντελεστες που εχουν στη σχεση
οποτε υπαρχει ξε[α,β]
και μετα με ατοπο δεδομενου οτι f γν αυξουσα δειχνεις οτι ξ#α και ξ#β
αρα τελικα το διαστημα γινεται (α,β)

Το τελευταίο κομμάτι με το άτοπο μήπως μπορείς να το γράψεις λίγο αναλυτικά;

rebel · 2011-11-12T16:50:53+0200

Ίσως δεν χρειάζεται άτοπο αφού λόγω μονοτονίας ισχύει

$f(a)<\frac{1}{3}\left(f(a)+f(b)+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)<f(b)$

Με εφαρμογή του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών παίρνουμε το ζητούμενο.

lostie · 2011-11-12T19:28:14+0200

Εχω καποιες ασκησεις στο ρυθμο μεταβολης τις οποιες δεν μπορω να βγαλω
μπαρλας σελ 348

24. Ενα κινητο Μ κινειται κατα μηκος της παραβολης ψ^2=4χ ωστε η παραβολη του Α στον αξονα χ'χ να απομακρυνεται απο το Ο με ταχυτητα 4. Να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης (ΜΑ) , οταν το Μ απεχει απο την αρχη των αξονων ριζα5 cm

g1wrg0s · 2011-11-12T19:55:50+0200

Οι συναρτησεις σφχ και -1/(ημχ)^2 τεμνονται για χ ε(0,π) ;
Αν μπορει ας βοηθησει καποιος .Ευχαριστω

Διορθωση.

Or3st1s SOAD · 2011-11-12T20:40:47+0200

Δες αν ισχυουν οι προυποθεσεις Bolzano για την εξισωση σφχ=-1/(ημχ)^2 στο χ ε(0,π).
Δεν νομιζω να θελει κατι αλλο.

exc · 2011-11-12T20:41:10+0200

Αρχική Δημοσίευση από lostie:
Εχω καποιες ασκησεις στο ρυθμο μεταβολης τις οποιες δεν μπορω να βγαλω
μπαρλας σελ 348

24. Ενα κινητο Μ κινειται κατα μηκος της παραβολης ψ^2=4χ ωστε η προβολή του Α στον αξονα χ'χ να απομακρυνεται απο το Ο με ταχυτητα 4. Να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης (ΜΑ) , οταν το Μ απεχει απο την αρχη των αξονων ριζα5 cm

Έχεις ότι χ'(t)=4 (η ταχύτητα της προβολής στον άξονα χ είναι η χρονική παράγωγος του χ). Επίσης έχεις ότι y=±2sqrt(χ). Παραγωγίζεις ως προς t την τελευταία λαμβάνοντας υπόψη ότι το χ είναι συνάρτηση του t και άρα y'(t)=y'(x)*x'(t)=±4/sqrt(x). ΑΥτό που σου ζητείται είναι η y'(t) την στιγμή που η απόσταση από την αρχή των αξόνων θα είναι sqrt(5), δηλ.: χ^2+y^2=x^2+4x=5=>x=1=>y=±2, άρα |y'|=4.

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Οι συναρτησεις σφχ και 1/(ημχ)^2 τεμνονται για χ ε(0,π) ;
Αν μπορει ας βοηθησει καποιος .Ευχαριστω

σφχ=cotx=cosx/sinx εξίσωσέ τις δύο συναρτήσεις και θα δεις πολύ εύκολα ότι δεν υπάρχει χ που να ικανοποιεί την εξίσωση αυτή.

g1wrg0s · 2011-11-12T20:51:16+0200

Σας ευχαριστω . exc δεν ηξερα αν ισχυει ή οχι η εξισωση που βγαινει.

exc · 2011-11-12T20:58:37+0200

Αρχική Δημοσίευση από g1wrg0s:
Σας ευχαριστω . exc δεν ηξερα αν ισχυει ή οχι η εξισωση που βγαινει.

Να το αναλύσω λίγο, γιατί μάλλον δεν κατάλαβες τι εννοούσα ότι βγαίνει εύκολα:
$\cot x=-\frac{1}{\sin^2x}\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}=-\frac{1}{\sin^2x}\Leftrightarrow \sin (2x)=-2$ που είναι προφανώς άτοπο.

lowbaper92 · 2011-11-12T20:59:16+0200

Αρχική Δημοσίευση από Or3st1s SOAD:
Δες αν ισχυουν οι προυποθεσεις Bolzano για την εξισωση σφχ=-1/(ημχ)^2 στο χ ε(0,π).
Δεν νομιζω να θελει κατι αλλο.

Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Bolzano τότε, όλα καλά, έχουμε τη ρίζα.
Αν όμως δεν ισχύουν, αυτό δε σημαίνει ότι δεν υπάρχει ρίζα. Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Δηλαδή αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β] και έχει ρίζα στο (α,β) ,δεν ισχύει απαραίτητα ότι f(α)f(β)<0. Επίσης, αν μια συνάρτηση έχει ρίζα στο (α,β) και ισχύει ότι f(α)f(β)<0, δεν ισχύει απαραίτητα ότι είναι συνεχής.

g1wrg0s · 2011-11-12T21:17:48+0200

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Να το αναλύσω λίγο, γιατί μάλλον δεν κατάλαβες τι εννοούσα ότι βγαίνει εύκολα:
$\cot x=-\frac{1}{\sin^2x}\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}=-\frac{1}{\sin^2x}\Leftrightarrow \sin (2x)=-2$ που είναι προφανώς άτοπο.

Ενα βημα πριν τη δικια σου σχεση ημουν και δεν το εβλεπα. Δεν το πιστευω !
Τελοσπαντων, σε ευχαριστω.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος