Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Zorc · 04-09-09

Παρακαλω αν υπαρχει αυτο το θεμα να μεταφερθει εκει που πρεπει.Ευχαριστω.
Ανοιξα αυτο το θεμα ωστε να παραθεσουμε ωραια θεματακια για ΜΚ (ευκολα ή δυσκολα) με σκοπο να προβληματιστουμε ολοι και να βοηθησουμε παραλληλα.

Οριστε το θεματακι που παραθετω: (Ευκολο-Μετριο θα ελεγα)

Αν $\mid z - w\mid = \mid z\mid + \mid w\mid$ δειξτε οτι ο μιγαδικος $u = z/ w$ ειναι αρνητικος πραγματικος.

coheNakatos · 07-09-09

Γιατι αυτο το topic ειναι τοσο dead ?

manos66 · 08-09-09

Θέματα
https://www.ypepth.gr/docs/them_math_kat_c_omog_no_0909.pdf

Απαντήσεις
https://www.kelafas.gr/Panellinies09/math_kat_omo_09_a.pdf

djimmakos · 08-09-09

Mια άσκηση που μου πρότεινε o Valandil μέσω msn.

Λοιπόν.

Αν για τους μιγαδικούς $z,w$ ισχύει

$5(7+z)^{19}-(3+4i)(7z+1)^{19}=0$

και

$w=\frac{i}{5}(\frac{4}{z}-z)$

α) Να αποδείξετε ότι $|z|=1$

β) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των z και 5iw

(Το πρώτο ερώτημα είναι λίγο δυσκολούτσικο...Βασικά εγώ την έλυσα μ' ένα συγκεκριμένο τρόπο που μου ήρθε στο μυαλό, δεν ξέρω αν υπάρχει μεθοδολογία)

Rania. · 08-09-09

Για καποιο λογο τα χει παιξει η λατεχ, μονο σε μενα το κανει αυτο;
Δεν βλεπω τιποτα απ'οτι εγραψε ο ντιτζεη-μακος.

blacksheep · 08-09-09

κια γω τιποτα δε βλεπω

djimmakos · 08-09-09

Ωχ, ούτε εγώ βλέπω κάτι.

Αν είσαι εξοικειωμένη με το latex, κάνε παράθεση και δες τον κώδικα :p

coheNakatos · 09-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Mια άσκηση που μου πρότεινε o Valandil μέσω msn.

Λοιπόν.

Αν για τους μιγαδικούς $z,w$ ισχύει

$5(7+z)^19-(3+4i)(7z+1)=0$

και

$w=frac{i}{5}(frac{4}{z}-z)$

α) Να αποδείξετε ότι $|z|=1$

β) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των z και 15iw

(Το πρώτο ερώτημα είναι λίγο δυσκολούτσικο...Βασικά εγώ την έλυσα μ' ένα συγκεκριμένο τρόπο που μου ήρθε στο μυαλό, δεν ξέρω αν υπάρχει μεθοδολογία)

για το α) $|5|{|7+z|}^{19}=|5||7z+1|\Leftrightarrow {\sqrt{{(x+7)}^{2}+{y}^{2}}}^{19}={(7x+1)}^{2}+{7y}^{2}\Leftrightarrow ....\sqrt{{49{|z|}^{2}+14x+1}}^{19}=\sqrt{49+{|z|}^{2}+14x}$

Εστω οτι ισχυει $|z|=1$ θα πρεπει να καταληξω σε κατι που ισχυει .! ${(50+14x)}^{38}=(50+14x)\Leftrightarrow (50+14x)=1 \; or \; 50+14x=0$

Δεν ξερω που εχω κανει λαθος

djimmakos · 09-09-09

Δε φταις εσύ, εγώ δεν είχα ξεχάσει να βάλω μια δύναμη :zilia:

elgi · 09-09-09

γεια! Με λενε ελινα και θα ηθελα να μ πειτε τι μπορω να κανω για να διαβασω τις ασκησεις γιατι μ εμφανιζονται με <<κενα>>

coheNakatos · 09-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Δε φταις εσύ, εγώ δεν είχα ξεχάσει να βάλω μια δύναμη :zilia:

Ενταξει τοτε ευκολο το πραγμα : οπως το πηγα απλα στο τελος ισχυει γιατι τα μετρα ειναι οντως ισα

Μιχάλης9867 · 10-09-09

το δευτερο θεμα ηταν λιγοοοοοοοοο πιο δυσκολο απο το δικο μας...(αλλα και παλι ευκολο ηταν)!
το τριτο κταν ανυπαρκτο και το τεταρτο ισως θελει λιγη δουλιτσα

βαριεμαι να τα λυσω!

coheNakatos · 14-09-09

keep it up please

Metal-Militiaman · 14-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Mια άσκηση που μου πρότεινε o Valandil μέσω msn.

Λοιπόν.

Αν για τους μιγαδικούς $z,w$ ισχύει

$5(7+z)^{19}-(3+4i)(7z+1)^{19}=0$

και

$w=frac{i}{5}(frac{4}{z}-z)$

α) Να αποδείξετε ότι $|z|=1$

β) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των z και 5iw

(Το πρώτο ερώτημα είναι λίγο δυσκολούτσικο...Βασικά εγώ την έλυσα μ' ένα συγκεκριμένο τρόπο που μου ήρθε στο μυαλό, δεν ξέρω αν υπάρχει μεθοδολογία)

Ένας πιο εύκολος τρόπος λύσης του α ερωτήματος(έτσι θέλω να πιστεύω

) είναι:

$5{\left(7+z \right)}^{19}-\left(3+4i \right){\left(7z+1\right)}^{19}=0 \Rightarrow 5{\left(7+z \right)}^{19}=\left(3+4i)\right{\left(7z+1 \right)}^{19}\Rightarrow \left|5{\left(7+z \right)}^{19}\right|=\left|\left(3+4i \right){\left(7z+1 \right)}^{19} \right|\Rightarrow 5{\left|7+z \right|}^{19}=5{\left|7z+1 \right|}^{19}\Rightarrow {\left|7+z \right|}^{19}={\left|7z+1 \right|}^{19}\Rightarrow \sqrt[38]{{\left|7+z \right|}^{19}}=\sqrt[38]{{\left|7z+1 \right|}^{19}}\Rightarrow {\left|7+z \right|}^{2}={\left|7z+1 \right|}^{2}\Rightarrow \left(7+z \right)\left(7+\bar{z} \right)=\left(7z+1 \right)\left(7\bar{z}+1\right)\Rightarrow 49+7\bar{z}+7z+{\left|z \right|}^{2}=49{\left|z\right|}^{2}+7z+7\bar{z}+1 \Rightarrow 48{\left|z \right|}^{2}=48 \Rightarrow {\left|z \right|}^{2}=1\Rightarrow \left|z \right|=1$

β)
$w=\frac{i}{5}\left(\frac{4}{z}-z \right)\Rightarrow -5wi=\frac{4}{z}-z \Rightarrow z-5wi=\frac{4}{z}-z+z\Rightarrow \left| z-5wi\right|=\left|\frac{4}{z} \right|\Rightarrow \left| z-5wi\right|=4$

mostel · 16-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Ένας πιο εύκολος τρόπος λύσης του α ερωτήματος(έτσι θέλω να πιστεύω) είναι:

Στο a έχεις λάθος... η 38η ριζα του μετρου στην 19η μας δίνει δύναμη εις την 1/2 και όχι στο τετράγωνο...

Στέλιος

Metal-Militiaman · 16-09-09

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Στο a έχεις λάθος... η 38η ριζα του μετρου στην 19η μας δίνει δύναμη εις την 1/2 και όχι στο τετράγωνο...

Στέλιος

$5{\left(7+z \right)}^{19}-\left(3+4i \right){\left(7z+1\right)}^{19}=0 \Rightarrow 5{\left(7+z \right)}^{19}=\left(3+4i)\right{\left(7z+1 \right)}^{19}\Rightarrow \left|5{\left(7+z \right)}^{19}\right|=\left|\left(3+4i \right){\left(7z+1 \right)}^{19} \right|\Rightarrow 5{\left|7+z \right|}^{19}=5{\left|7z+1 \right|}^{19}\Rightarrow {\left|7+z \right|}^{19}={\left|7z+1 \right|}^{19}\Rightarrow \sqrt[38]{{\left|7+z \right|}^{19}}=\sqrt[38]{{\left|7z+1 \right|}^{19}}\Rightarrow\mathbf{{\left|7+z \right|}^{\frac{1}{2}}={\left|7z+1 \right|}^{\frac{1}{2}}\Rightarrow{\left|7+z \right|}^{4/2}={\left|7z+1 \right|}^{4/2}}\Rightarrow {\left|7+z \right|}^{2}={\left|7z+1 \right|}^{2}\Rightarrow \left(7+z \right)\left(7+\bar{z} \right)=\left(7z+1 \right)\left(7\bar{z}+1\right)\Rightarrow 49+7\bar{z}+7z+{\left|z \right|}^{2}=49{\left|z\right|}^{2}+7z+7\bar{z}+1 \Rightarrow 48{\left|z \right|}^{2}=48 \Rightarrow {\left|z \right|}^{2}=1\Rightarrow \left|z \right|=1$

Σωστά,μου διέφυγε 1 συνεπαγωγή,καμιά φορά με το LATEX του ischool δεν ξέρω τη γράφω, μάλλον θα πρέπει να κατεβάσω το Latex editor(LEd) :hmm:

mostel · 16-09-09

Τώρα είσαι ο.κ.

Στέλιος

χρηστοσ17 · 18-09-09

οποιοσ μπορει...

οι κορυφεσ Α,Β,Γ ενοσ τριγωνου ειναι οι εικονεσ των μιγαδικων Ζ1,Ζ2,Ζ3 αντιστοιχα
να δειχθει οτι

Α)το ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο αν και μονο αν Re(Z1-Z2/Z2-Z3)=0

B)Η ειναι η εικονα του Ζ4 ,το Η ειναι ορθοκεντρο του ΑΒΓ αν και μονο αν

Re(Z4-Z1/Z2-Z3)=Re(Z4-Z2/Z3-Z1)=0

ευχαριστω!!

ledzeppelinick · 19-09-09

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
οποιοσ μπορει...

οι κορυφεσ Α,Β,Γ ενοσ τριγωνου ειναι οι εικονεσ των μιγαδικων Ζ1,Ζ2,Ζ3 αντιστοιχα
να δειχθει οτι

Α)το ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο αν και μονο αν Re(Z1-Z2/Z2-Z3)=0

B)Η ειναι η εικονα του Ζ4 ,το Η ειναι ορθοκεντρο του ΑΒΓ αν και μονο αν

Re(Z4-Z1/Z2-Z3)=Re(Z4-Z2/Z3-Z1)=0

ευχαριστω!!

A) Αρχικα εστω οτι:
$z_1=x_1+y_1i$
$z_2=x_2+y_2i$
$z_3=x_3+y_3i$
Οι πλευρες ΑΒ και ΒΓ και ειναι καθετες μεταξυ τους οταν ${\lambda }_{AB}\times {\lambda }_{B\Gamma }=-1$ οπου λ οι συντελεστες διευθυνσης των δυο πλευρων και οριζονται στην προκειμενη περιπτωση ως εξης:
${\lambda }_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
και
${\lambda }_{A\Gamma }=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}$
Επομενως για να ειναι ορθογωνιο το τριγωνο πρεπει:
$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\times \frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=-1\Leftrightarrow \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\frac{x_3-x_2}{y_3-y_2}\Leftrightarrow (y_2-y_1)(y_3-y_2)=-(x_2-x_1)(x_3-x_2)\Leftrightarrow (y_2-y_1)(y_3-y_2)+(x_2-x_1)(x_3-x_2)=0$ (1)

Εχουμε:
$\frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}$ τον οποιο προσπαθουμε να φερουμε στη μορφη α+βi..
ετσι:
$\frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}=\frac{x_1+y_1i-x_2-y_2i}{x_2+y_2i-x_3-y_3i}=\frac{(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i}{(x_2-x_3)+(y_2-y_3)i}$
και εδω πολ/ζουμε με το συζυγη του παρονομαστη:
$\frac{(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i}{(x_2-x_3)+(y_2-y_3)i}=\frac{\left[(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i \right]\left[(x_2-x_3)-(y_2-y_3)i \right]}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}= \frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)-(x_1-x_2)(y_2-y_3)i+(x_2-x_3)(y_1-y_2)i+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}= \frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}+\frac{(x_2-x_3)(y_1-y_2)-(x_1-x_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}i$
Και εχουμε $Re\left( \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}\right)=\frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$
και απο σχεση (1) βλεπουμε πως για να ειναι ορθογωνιο το τριγωνο πρεπει
$Re\left( \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}\right)=0$

χρηστοσ17 · 19-09-09

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
A) Αρχικα εστω οτι:
$z_1=x_1+y_1i$
$z_2=x_2+y_2i$
$z_3=x_3+y_3i$
Οι πλευρες ΑΒ και ΒΓ και ειναι καθετες μεταξυ τους οταν ${lambda }_{AB}times {lambda }_{BGamma }=-1$ οπου λ οι συντελεστες διευθυνσης των δυο πλευρων και οριζονται στην προκειμενη περιπτωση ως εξης:
${lambda }_{AB}=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
και
${lambda }_{AGamma }=frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}$
Επομενως για να ειναι ορθογωνιο το τριγωνο πρεπει:
$frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}times frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=-1Leftrightarrow frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-frac{x_3-x_2}{y_3-y_2}Leftrightarrow (y_2-y_1)(y_3-y_2)=-(x_2-x_1)(x_3-x_2)Leftrightarrow (y_2-y_1)(y_3-y_2)+(x_2-x_1)(x_3-x_2)=0$ (1)

Εχουμε:
$frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}$ τον οποιο προσπαθουμε να φερουμε στη μορφη α+βi..
ετσι:
$frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}=frac{x_1+y_1i-x_2-y_2i}{x_2+y_2i-x_3-y_3i}=frac{(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i}{(x_2-x_3)+(y_2-y_3)i}$
και εδω πολ/ζουμε με το συζυγη του παρονομαστη:
$frac{(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i}{(x_2-x_3)+(y_2-y_3)i}=frac{left[(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i right]left[(x_2-x_3)-(y_2-y_3)i right]}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}= frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)-(x_1-x_2)(y_2-y_3)i+(x_2-x_3)(y_1-y_2)i+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}= frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}+frac{(x_2-x_3)(y_1-y_2)-(x_1-x_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}i$
Και εχουμε $Releft( frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}right)=frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$
και απο σχεση (1) βλεπουμε πως για να ειναι ορθογωνιο το τριγωνο πρεπει
$Releft( frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}right)=0$

καλα μιλαμε εισαι φανταστηκος!!!ευχαριστω!!τελειοσ!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος