Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Zorc · 2009-09-04T20:10:08+0300

Παρακαλω αν υπαρχει αυτο το θεμα να μεταφερθει εκει που πρεπει.Ευχαριστω.
Ανοιξα αυτο το θεμα ωστε να παραθεσουμε ωραια θεματακια για ΜΚ (ευκολα ή δυσκολα) με σκοπο να προβληματιστουμε ολοι και να βοηθησουμε παραλληλα.

Οριστε το θεματακι που παραθετω: (Ευκολο-Μετριο θα ελεγα)

Αν $\mid z - w\mid = \mid z\mid + \mid w\mid$ δειξτε οτι ο μιγαδικος $u = z/ w$ ειναι αρνητικος πραγματικος.

coheNakatos · 2009-09-07T16:28:32+0300

Γιατι αυτο το topic ειναι τοσο dead ?

manos66 · 2009-09-08T20:03:01+0300

Θέματα
https://www.ypepth.gr/docs/them_math_kat_c_omog_no_0909.pdf

Απαντήσεις
https://www.kelafas.gr/Panellinies09/math_kat_omo_09_a.pdf

djimmakos · 2009-09-08T21:55:55+0300

Mια άσκηση που μου πρότεινε o Valandil μέσω msn.

Λοιπόν.

Αν για τους μιγαδικούς $z,w$ ισχύει

$5(7+z)^{19}-(3+4i)(7z+1)^{19}=0$

και

$w=\frac{i}{5}(\frac{4}{z}-z)$

α) Να αποδείξετε ότι $|z|=1$

β) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των z και 5iw

(Το πρώτο ερώτημα είναι λίγο δυσκολούτσικο...Βασικά εγώ την έλυσα μ' ένα συγκεκριμένο τρόπο που μου ήρθε στο μυαλό, δεν ξέρω αν υπάρχει μεθοδολογία)

Rania. · 2009-09-08T22:01:12+0300

Για καποιο λογο τα χει παιξει η λατεχ, μονο σε μενα το κανει αυτο;
Δεν βλεπω τιποτα απ'οτι εγραψε ο ντιτζεη-μακος.

blacksheep · 2009-09-08T22:08:41+0300

κια γω τιποτα δε βλεπω

djimmakos · 2009-09-08T22:09:02+0300

Ωχ, ούτε εγώ βλέπω κάτι.

Αν είσαι εξοικειωμένη με το latex, κάνε παράθεση και δες τον κώδικα :p

coheNakatos · 2009-09-09T03:38:04+0300

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Mια άσκηση που μου πρότεινε o Valandil μέσω msn.

Λοιπόν.

Αν για τους μιγαδικούς $z,w$ ισχύει

$5(7+z)^19-(3+4i)(7z+1)=0$

και

$w=frac{i}{5}(frac{4}{z}-z)$

α) Να αποδείξετε ότι $|z|=1$

β) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των z και 15iw

(Το πρώτο ερώτημα είναι λίγο δυσκολούτσικο...Βασικά εγώ την έλυσα μ' ένα συγκεκριμένο τρόπο που μου ήρθε στο μυαλό, δεν ξέρω αν υπάρχει μεθοδολογία)

για το α) $|5|{|7+z|}^{19}=|5||7z+1|\Leftrightarrow {\sqrt{{(x+7)}^{2}+{y}^{2}}}^{19}={(7x+1)}^{2}+{7y}^{2}\Leftrightarrow ....\sqrt{{49{|z|}^{2}+14x+1}}^{19}=\sqrt{49+{|z|}^{2}+14x}$

Εστω οτι ισχυει $|z|=1$ θα πρεπει να καταληξω σε κατι που ισχυει .! ${(50+14x)}^{38}=(50+14x)\Leftrightarrow (50+14x)=1 \; or \; 50+14x=0$

Δεν ξερω που εχω κανει λαθος

djimmakos · 2009-09-09T10:35:16+0300

Δε φταις εσύ, εγώ δεν είχα ξεχάσει να βάλω μια δύναμη :zilia:

elgi · 2009-09-09T15:15:16+0300

γεια! Με λενε ελινα και θα ηθελα να μ πειτε τι μπορω να κανω για να διαβασω τις ασκησεις γιατι μ εμφανιζονται με <<κενα>>

coheNakatos · 2009-09-09T16:46:24+0300

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Δε φταις εσύ, εγώ δεν είχα ξεχάσει να βάλω μια δύναμη :zilia:

Ενταξει τοτε ευκολο το πραγμα : οπως το πηγα απλα στο τελος ισχυει γιατι τα μετρα ειναι οντως ισα

Μιχάλης9867 · 2009-09-10T18:39:55+0300

το δευτερο θεμα ηταν λιγοοοοοοοοο πιο δυσκολο απο το δικο μας...(αλλα και παλι ευκολο ηταν)!
το τριτο κταν ανυπαρκτο και το τεταρτο ισως θελει λιγη δουλιτσα

βαριεμαι να τα λυσω!

coheNakatos · 2009-09-14T12:33:48+0300

keep it up please

Metal-Militiaman · 2009-09-14T16:09:35+0300

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Mια άσκηση που μου πρότεινε o Valandil μέσω msn.

Λοιπόν.

Αν για τους μιγαδικούς $z,w$ ισχύει

$5(7+z)^{19}-(3+4i)(7z+1)^{19}=0$

και

$w=frac{i}{5}(frac{4}{z}-z)$

α) Να αποδείξετε ότι $|z|=1$

β) Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των z και 5iw

(Το πρώτο ερώτημα είναι λίγο δυσκολούτσικο...Βασικά εγώ την έλυσα μ' ένα συγκεκριμένο τρόπο που μου ήρθε στο μυαλό, δεν ξέρω αν υπάρχει μεθοδολογία)

Ένας πιο εύκολος τρόπος λύσης του α ερωτήματος(έτσι θέλω να πιστεύω

) είναι:

$5{\left(7+z \right)}^{19}-\left(3+4i \right){\left(7z+1\right)}^{19}=0 \Rightarrow 5{\left(7+z \right)}^{19}=\left(3+4i)\right{\left(7z+1 \right)}^{19}\Rightarrow \left|5{\left(7+z \right)}^{19}\right|=\left|\left(3+4i \right){\left(7z+1 \right)}^{19} \right|\Rightarrow 5{\left|7+z \right|}^{19}=5{\left|7z+1 \right|}^{19}\Rightarrow {\left|7+z \right|}^{19}={\left|7z+1 \right|}^{19}\Rightarrow \sqrt[38]{{\left|7+z \right|}^{19}}=\sqrt[38]{{\left|7z+1 \right|}^{19}}\Rightarrow {\left|7+z \right|}^{2}={\left|7z+1 \right|}^{2}\Rightarrow \left(7+z \right)\left(7+\bar{z} \right)=\left(7z+1 \right)\left(7\bar{z}+1\right)\Rightarrow 49+7\bar{z}+7z+{\left|z \right|}^{2}=49{\left|z\right|}^{2}+7z+7\bar{z}+1 \Rightarrow 48{\left|z \right|}^{2}=48 \Rightarrow {\left|z \right|}^{2}=1\Rightarrow \left|z \right|=1$

β)
$w=\frac{i}{5}\left(\frac{4}{z}-z \right)\Rightarrow -5wi=\frac{4}{z}-z \Rightarrow z-5wi=\frac{4}{z}-z+z\Rightarrow \left| z-5wi\right|=\left|\frac{4}{z} \right|\Rightarrow \left| z-5wi\right|=4$

mostel · 2009-09-16T16:50:18+0300

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Ένας πιο εύκολος τρόπος λύσης του α ερωτήματος(έτσι θέλω να πιστεύω) είναι:

Στο a έχεις λάθος... η 38η ριζα του μετρου στην 19η μας δίνει δύναμη εις την 1/2 και όχι στο τετράγωνο...

Στέλιος

Metal-Militiaman · 2009-09-16T18:57:36+0300

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Στο a έχεις λάθος... η 38η ριζα του μετρου στην 19η μας δίνει δύναμη εις την 1/2 και όχι στο τετράγωνο...

Στέλιος

$5{\left(7+z \right)}^{19}-\left(3+4i \right){\left(7z+1\right)}^{19}=0 \Rightarrow 5{\left(7+z \right)}^{19}=\left(3+4i)\right{\left(7z+1 \right)}^{19}\Rightarrow \left|5{\left(7+z \right)}^{19}\right|=\left|\left(3+4i \right){\left(7z+1 \right)}^{19} \right|\Rightarrow 5{\left|7+z \right|}^{19}=5{\left|7z+1 \right|}^{19}\Rightarrow {\left|7+z \right|}^{19}={\left|7z+1 \right|}^{19}\Rightarrow \sqrt[38]{{\left|7+z \right|}^{19}}=\sqrt[38]{{\left|7z+1 \right|}^{19}}\Rightarrow\mathbf{{\left|7+z \right|}^{\frac{1}{2}}={\left|7z+1 \right|}^{\frac{1}{2}}\Rightarrow{\left|7+z \right|}^{4/2}={\left|7z+1 \right|}^{4/2}}\Rightarrow {\left|7+z \right|}^{2}={\left|7z+1 \right|}^{2}\Rightarrow \left(7+z \right)\left(7+\bar{z} \right)=\left(7z+1 \right)\left(7\bar{z}+1\right)\Rightarrow 49+7\bar{z}+7z+{\left|z \right|}^{2}=49{\left|z\right|}^{2}+7z+7\bar{z}+1 \Rightarrow 48{\left|z \right|}^{2}=48 \Rightarrow {\left|z \right|}^{2}=1\Rightarrow \left|z \right|=1$

Σωστά,μου διέφυγε 1 συνεπαγωγή,καμιά φορά με το LATEX του ischool δεν ξέρω τη γράφω, μάλλον θα πρέπει να κατεβάσω το Latex editor(LEd) :hmm:

mostel · 2009-09-16T22:40:10+0300

Τώρα είσαι ο.κ.

Στέλιος

χρηστοσ17 · 2009-09-18T18:11:25+0300

οποιοσ μπορει...

οι κορυφεσ Α,Β,Γ ενοσ τριγωνου ειναι οι εικονεσ των μιγαδικων Ζ1,Ζ2,Ζ3 αντιστοιχα
να δειχθει οτι

Α)το ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο αν και μονο αν Re(Z1-Z2/Z2-Z3)=0

B)Η ειναι η εικονα του Ζ4 ,το Η ειναι ορθοκεντρο του ΑΒΓ αν και μονο αν

Re(Z4-Z1/Z2-Z3)=Re(Z4-Z2/Z3-Z1)=0

ευχαριστω!!

ledzeppelinick · 2009-09-19T06:02:18+0300

Αρχική Δημοσίευση από χρηστοσ17:
οποιοσ μπορει...

οι κορυφεσ Α,Β,Γ ενοσ τριγωνου ειναι οι εικονεσ των μιγαδικων Ζ1,Ζ2,Ζ3 αντιστοιχα
να δειχθει οτι

Α)το ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο αν και μονο αν Re(Z1-Z2/Z2-Z3)=0

B)Η ειναι η εικονα του Ζ4 ,το Η ειναι ορθοκεντρο του ΑΒΓ αν και μονο αν

Re(Z4-Z1/Z2-Z3)=Re(Z4-Z2/Z3-Z1)=0

ευχαριστω!!

A) Αρχικα εστω οτι:
$z_1=x_1+y_1i$
$z_2=x_2+y_2i$
$z_3=x_3+y_3i$
Οι πλευρες ΑΒ και ΒΓ και ειναι καθετες μεταξυ τους οταν ${\lambda }_{AB}\times {\lambda }_{B\Gamma }=-1$ οπου λ οι συντελεστες διευθυνσης των δυο πλευρων και οριζονται στην προκειμενη περιπτωση ως εξης:
${\lambda }_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
και
${\lambda }_{A\Gamma }=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}$
Επομενως για να ειναι ορθογωνιο το τριγωνο πρεπει:
$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\times \frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=-1\Leftrightarrow \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\frac{x_3-x_2}{y_3-y_2}\Leftrightarrow (y_2-y_1)(y_3-y_2)=-(x_2-x_1)(x_3-x_2)\Leftrightarrow (y_2-y_1)(y_3-y_2)+(x_2-x_1)(x_3-x_2)=0$ (1)

Εχουμε:
$\frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}$ τον οποιο προσπαθουμε να φερουμε στη μορφη α+βi..
ετσι:
$\frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}=\frac{x_1+y_1i-x_2-y_2i}{x_2+y_2i-x_3-y_3i}=\frac{(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i}{(x_2-x_3)+(y_2-y_3)i}$
και εδω πολ/ζουμε με το συζυγη του παρονομαστη:
$\frac{(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i}{(x_2-x_3)+(y_2-y_3)i}=\frac{\left[(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i \right]\left[(x_2-x_3)-(y_2-y_3)i \right]}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}= \frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)-(x_1-x_2)(y_2-y_3)i+(x_2-x_3)(y_1-y_2)i+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}= \frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}+\frac{(x_2-x_3)(y_1-y_2)-(x_1-x_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}i$
Και εχουμε $Re\left( \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}\right)=\frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$
και απο σχεση (1) βλεπουμε πως για να ειναι ορθογωνιο το τριγωνο πρεπει
$Re\left( \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}\right)=0$

χρηστοσ17 · 2009-09-19T14:20:29+0300

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
A) Αρχικα εστω οτι:
$z_1=x_1+y_1i$
$z_2=x_2+y_2i$
$z_3=x_3+y_3i$
Οι πλευρες ΑΒ και ΒΓ και ειναι καθετες μεταξυ τους οταν ${lambda }_{AB}times {lambda }_{BGamma }=-1$ οπου λ οι συντελεστες διευθυνσης των δυο πλευρων και οριζονται στην προκειμενη περιπτωση ως εξης:
${lambda }_{AB}=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
και
${lambda }_{AGamma }=frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}$
Επομενως για να ειναι ορθογωνιο το τριγωνο πρεπει:
$frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}times frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=-1Leftrightarrow frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-frac{x_3-x_2}{y_3-y_2}Leftrightarrow (y_2-y_1)(y_3-y_2)=-(x_2-x_1)(x_3-x_2)Leftrightarrow (y_2-y_1)(y_3-y_2)+(x_2-x_1)(x_3-x_2)=0$ (1)

Εχουμε:
$frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}$ τον οποιο προσπαθουμε να φερουμε στη μορφη α+βi..
ετσι:
$frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}=frac{x_1+y_1i-x_2-y_2i}{x_2+y_2i-x_3-y_3i}=frac{(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i}{(x_2-x_3)+(y_2-y_3)i}$
και εδω πολ/ζουμε με το συζυγη του παρονομαστη:
$frac{(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i}{(x_2-x_3)+(y_2-y_3)i}=frac{left[(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i right]left[(x_2-x_3)-(y_2-y_3)i right]}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}= frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)-(x_1-x_2)(y_2-y_3)i+(x_2-x_3)(y_1-y_2)i+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}= frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}+frac{(x_2-x_3)(y_1-y_2)-(x_1-x_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}i$
Και εχουμε $Releft( frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}right)=frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)+(y_1-y_2)(y_2-y_3)}{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$
και απο σχεση (1) βλεπουμε πως για να ειναι ορθογωνιο το τριγωνο πρεπει
$Releft( frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}right)=0$

καλα μιλαμε εισαι φανταστηκος!!!ευχαριστω!!τελειοσ!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος