Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

iJohnnyCash

Founder

Ο Panayotis Yannakas αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 31 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 17,180 μηνύματα.
Βρήκα ένα pdf με μια άσκηση (μαζί με την λύση της) που αφορά την εύρεση λύσεων σε συγκεκριμένο πεδίου ορισμού. Από θέμα δυσκολίας την θεωρώ εύκολη προς μέτρια.

Πιστεύω ότι αξίζει τον κόπο να την μοιράσω στο ischool.gr
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Συνημμένα

  • Έστω μια συνάρτηση f.pdf
    106.3 KB · Εμφανίσεις: 456

mad cow

New member

Ο mad cow αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου . Έχει γράψει 34 μηνύματα.
Thanks
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

New member

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,128 μηνύματα.
Εδώ είμαστε λοιπόν. Πάμε σιγά-σιγά στην ανάλυση. Ξεκινάω με μια άσκηση αρκετά καλή.

Δίνεται η συνάρτηση:



i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

ii) Να δείξετε ότι η είναι περιττή.

iii) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

iv) Να βρείτε την αντίστροφη της .

v) Να λυθεί η ανίσωση .

vi) Να λυθεί η εξίσωση .
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 12,082 μηνύματα.
Δίνεται η συνάρτηση:



i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

ii) Να δείξετε ότι η είναι περιττή.

iii) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

iv) Να βρείτε την αντίστροφη της .

v) Να λυθεί η ανίσωση .

vi) Να λυθεί η εξίσωση .


***********



1. Αρχικά θα δείξουμε ότι:

α) , που ισχύει κατά προφανή τρόπο

β)

Έστω
, που ισχύει, άρα



Πεδίο ορισμού είναι προφανώς το .


---------------------



2.




Άρα περιττή. :jumpy:


---------------------



3. Πρώτα θα δείξω ότι:

, που ισχύει, άρα


Έστω



Άρα γνησίως αύξουσα στο .


---------------------

4. "1-1" στο ως γνησίως αύξουσα σ' αυτό.

Έστω

..έλα ντε. :D

---------------------

5. Εύκολα παρατηρούμε ότι




---------------------


5. Εύκολα παρατηρούμε ότι δ

Άρα μία ρίζα της εξίσωσης είναι η . Η ρίζα αυτή θα είναι και μοναδική γιατί η είναι "1-1" στο .






Από Γιώργος
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

New member

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,128 μηνύματα.
Ε ρε... το 4ο ερώτημα είναι όλο το ζουμί... τα άλλα είναι για να πιάσεις μέχρι 17 :P. Το 4ο είναι για να πάρεις το 20! :)

Α, και στο δεύτερο έχεις λάθος... άρτια τη βγάζεις εσύ... αλλά οκ, από απροσεξία είναι :P
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 12,082 μηνύματα.
Ε ρε... το 4ο ερώτημα είναι όλο το ζουμί... τα άλλα είναι για να πιάσεις μέχρι 17 :P. Το 4ο είναι για να πάρεις το 20! :)

Α, και στο δεύτερο έχεις λάθος... άρτια τη βγάζεις εσύ... αλλά οκ, από απροσεξία είναι :P
  1. Θα το κοιτάξω, θα το κοιτάξω. Με παίδεψε όλο το υπόλοιπο - άτιμο LaTeX. :P
  2. Done. :P
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

New member

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,128 μηνύματα.
Ε οκ... φταίει και το , αλλά εσύ είσαι κλασικός καλαμαράς... :P
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

New member

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,128 μηνύματα.
Αρκετό καιρό παρέμεινε άλυτη :P

Έχουμε:



Αυτό βγαίνει εύκολα, αν πολ/σετε με συζυγή παράσταση αριθμητή. Αυτό το κάνουμε για να έχουμε ίδιες ποσότητες...

Η αρχική λοιπόν θα γραφτεί:



Αν βάλουμε , κάνουμε ομώνυμα κ.λπ., θα πάρουμε εν τέλει:



Αν θέσουμε , θα έχουμε:



Δουλεύουμε με διακρίνουσα και το βλέπουμε ως δευτοβάθμιο τριώνυμο.

Οι ρίζες που προκύπτουν είναι οι:



Όμως επειδή , και επειδή το έχει μέσα του εκθετική, θα απορριφθεί η ρίζα με το μείον, άρα θα έχουμε μία και μοναδική ρίζα, τη :



Τώρα δηλαδή έχουμε στην ουσία:



Νεπεριώνουμε ή κάνουμε ο,τιδήποτε άλλο θέλουμε για να κατεβάσουμε το x της εκθετικής (ως προς το να λογαριθμίσουμε), αφού στην ουσία ό,τι και να κάνουμε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αλλαγή βάσης

Δηλαδή, τελικά:



;)

Σημείωση:
Καλά θα 'ταν να πέσει κάνα τέτοιο θεματάκι πανελλαδικές για να παιχτεί λίγο μπάλλα!:iagree: :D
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Giannis17

New member

Ο Γιάννης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Αιγάλεω (Αττική). Έχει γράψει 28 μηνύματα.
Βρικα μια ασκηση αρκετα καλη πιστευω και ειπα να την ποσταρω:
Εστω μια συνεχης συναρτηση f:[0,3]->[0,1]U[2,3] με f(1)=0
Α)Να αποδειξετε οτι το συνολο τιμων της f δεν ειναι το B=[0,1]U[2,3]
Β)Να αποδειξετε οτι η f δεν ειναι γνησιως αυξουσα
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 12,082 μηνύματα.
Βρικα μια ασκηση αρκετα καλη πιστευω και ειπα να την ποσταρω:
Εστω μια συνεχης συναρτηση f:[0,3]->[0,1]U[2,3] με f(1)=0
Α)Να αποδειξετε οτι το συνολο τιμων της f δεν ειναι το B=[0,1]U[2,3]
Β)Να αποδειξετε οτι η f δεν ειναι γνησιως αυξουσα
Α) Συνεχής, άρα το f([0, 3]) είναι κλειστό διάστημα.
Β) Αν ήταν γνησίως αύξουσα τότε , όμως από υπόθεση , άρα άτοπο.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

New member

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,128 μηνύματα.
Ερώτηση...

Το ότι το πεδίο ορισμού της f θα 'ναι συνεχές (όχι κλειστό), οκ το καταλαβαίνω...

Αλλά .. στην υπόθεση δίνεται ένωση δύο μη συνεχών διαστήματων με πεδίο αφήξεως στο R. Γίνεται αυτό; ;;;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 12,082 μηνύματα.
Ερώτηση...

Το ότι το πεδίο ορισμού της f θα 'ναι συνεχές (όχι κλειστό), οκ το καταλαβαίνω...

Αλλά .. στην υπόθεση δίνεται ένωση δύο μη συνεχών διαστήματων με πεδίο αφήξεως στο R. Γίνεται αυτό; ;;;
Σύνολο αφίξεως βρε συ είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου τιμών. Ό,τι θέλει μπορεί να 'ναι.


Πχ η f(x)=0 ικανοποιεί τις υποθέσεις.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

New member

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,128 μηνύματα.
¨οχι δε καταλαβες τι λεω..

Λεει αυτος η f παιρνει τιμες στο ΜΗ συνεχες [0,1], [2,3]

Πως μετα ισχυριζεται οτι δεν ειναι αυτο το συνολο τιμων;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 12,082 μηνύματα.
Ώπα, αδιάβαστος ο μοστελάκος! :P

Όταν λέμε εννοούμε ότι κι όχι ότι το B είναι το σύνολο τιμών κατ' ανάγκην.





Το μόνο που ξέρεις είναι ότι αποκλείεται να παίρνει τιμή που είναι εκτός του B.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

New member

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,128 μηνύματα.
Πού το λεει αυτό; :o
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 12,082 μηνύματα.
Πού το λεει αυτό; :o
Μην μ' αναγκάζεις τώρα να ψάχνω στο σχολικό - που 'ναι και σ' άλλο δωμάτιο και θα ξυπνήσω κόσμο. :P


Τι λέει ο ορισμός της συνάρτησης f στο βιβλίο κατεύθυνσης;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

New member

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,128 μηνύματα.
Για κάθε χ του πεδίου ορισμού υπαρχει μοναδικό ψ στο R τέτοιο ωστε f(x)=y

χ ανηκει σε διαστημα A .. To συνολο των αριθμων y ονομαζεται συνολο τιμων κλπ..
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 12,082 μηνύματα.
Ε, εδώ το IR είναι το σύνολο αφίξεως. Όπου IR βάλε B.




Το ότι υπάρχει y στο IR δεν σημαίνει προφανώς ότι "σαρώνει" όλο το IR. :)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

New member

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 30 ετών , Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,128 μηνύματα.
Μπορεί και να το σαρώνει όμως
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Διδακτορικός και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 12,082 μηνύματα.
Μπορεί και να το σαρώνει όμως
Ε προφανώς βρε συ, αλλά αυτό που ξέρεις πχ αν τότε ξέρεις σίγουρα ότι

Αυτό όμως δεν σημαίνει κι ότι .


Παράδειγμα... μπορώ να πω ότι σύνολο αφίξεως της είναι το , ή το , ή το .
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Top