Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Korina 71 · 13 Μαΐου 2009 στις 00:48

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
ε ενταξει το team δε μασαει!!λυνει τα παντα

Έτσι ακριβώς!!!Ή είμαστε team ή δεν είμαστε!!

:xixi:

John_Megadeth · 13 Μαΐου 2009 στις 01:02

Να μια! Δινεται η συναρτηση $f(0,+\propto )\rightarrow R$ για την οποια ισχυουν τα παρακατω: ειναι συνεχης στο $(0,+\propto )$ και $lnx\leq f(x)\leq x-1, x\succ 0$ .
Να δειξετε οτι: α) η f ειναι παραγωγισιμη στο 1 και $f'(1)=1$
β) η εφαπτομενη της ${C}_{f}$ στο σημειο της $M(1,f(1))$ σχηματιζει με τους αξονες τριγωνο εμβαδου $E=\frac{1}{2}$
γ) $\lim_{x\rightarrow 1}\int_{1}^{x}\frac{f(t)}{{x-1}^{2}}dt=\frac{1}{2}$
δ) η εξισωση $\int_{1}^{x}f(t)dt=\frac{{x}^{2}}{2}+lnx-1$ εχει μοναδικη ριζα στο $(1,e)$

ledzeppelinick · 13 Μαΐου 2009 στις 01:04

οσο για την ασκηση του geoste εκανα κατι αλλα δεν νομιζω οτι ειναι και πολυ βασιμο... :hmm:

εκανες εσυ τπτ??

Korina 71 · 13 Μαΐου 2009 στις 01:06

Δεν την έχω κοιτάξει γιατί έκανα λιγάκι Φυσική!Αλλά θα τις δω και τις δυο αύριο..!!

:no1:

John_Megadeth · 13 Μαΐου 2009 στις 01:06

Εγω την κοιταξα λιγο αλλα δεν μου εβγαινε κατι, οποτε αυριο παλι!

Korina 71 · 13 Μαΐου 2009 στις 01:07

Χαχα ναι αύριο αύριο!!:iagree::xixi:

ledzeppelinick · 13 Μαΐου 2009 στις 01:13

οκ ανεβαζω του γιαννη σιγα σιγα:no1:

Αρχική Δημοσίευση από John_Megadeth:
Να μια! Δινεται η συναρτηση $f(0,+propto )rightarrow R$ για την οποια ισχυουν τα παρακατω: ειναι συνεχης στο $(0,+propto )$ και $lnxleq f(x)leq x-1, xsucc 0$ .
Να δειξετε οτι: α) η f ειναι παραγωγισιμη στο 1 και $f'(1)=1$
β) η εφαπτομενη της ${C}_{f}$ στο σημειο της $M(1,f(1))$ σχηματιζει με τους αξονες τριγωνο εμβαδου $E=frac{1}{2}$
γ) $lim_{xrightarrow 1}int_{1}^{x}frac{f(t)}{{x-1}^{2}}dt=frac{1}{2}$
δ) η εξισωση $int_{1}^{x}f(t)dt=frac{{x}^{2}}{2}+lnx-1$ εχει μοναδικη ριζα στο $(1,e)$

απλα μια διορθωση λιγο στο γ ειναι χ-1 και ολο στο τετραγωνο!!:no1:

Civilara · 13 Μαΐου 2009 στις 01:37

Σωστό ή Λάθος

Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο R τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο R τέτοιο ώστε f(x0)<0
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο Α(x0,f(x0)). Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο +άπειρο, τότε

lim(x->+άπειρο)[g(x)-xf΄(x0)]=f(x0)-x0f΄(x0)

-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

i) Αν f παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f΄(x)>0 για κάθε x στο Δ.

ii) Αν f παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f΄(x)<0 για κάθε x στο Δ.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Αν f συνεχής στο [α,β] και f(α)+f(β)=0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Αν g,h παραγωγίσιμες συνερτήσεις σε ένα διάστημα Δ και f συνεχής στο f(Δ)Ug(Δ) τότε η F(x)=S(g(x),h(x))f(t)dt είναι παραγωγίσιμη στο Δ με

F΄(x)=f(g(x))g΄(x)-f(h(x))h΄(x) για κάθε x στο Δ

-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και f΄΄(x) διάφορο 0 για κάθε x στο Δ τότε δεν υπάρχουν σημεία στο Δ στα οποία οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f να είναι παράλληλες.

manos66 · 13 Μαΐου 2009 στις 02:06

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
μονο προσεγγιστικα αλλα λογικα δεν γινεται ετσι.. οποτε θα ηθελα να δω την λυση! Ευχαριστω!!:thanks:

Για x > 1
θέτουμε όπου x το x^2

$x<\frac{x^2-1}{lnx^2} \Leftrightarrow x<\frac{x^2-1}{2lnx} \Leftrightarrow 2x<\frac{x^2-1}{lnx} \Leftrightarrow 2x < f(x)$

$\int_{\frac{3}{2}}^{2}2xdx < \int_{\frac{3}{2}}^{2}f(x)dx \Leftrightarrow \left[x^2 \right]_\frac{3}{2}^2 < E \Leftrightarrow 4-\frac{9}{4}< E \Leftrightarrow \frac{7}{4}< E$

Civilara · 13 Μαΐου 2009 στις 02:53

Αν f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] και g(x)>0 για κάθε x στο [α,β], να αποδειχτεί ότι υπάρχει ξ στο [α,β] τέτοιο ώστε:

S(α,β)f(x)g(x)dx=f(ξ)S(α,β)g(x)dx

m3Lt3D · 13 Μαΐου 2009 στις 08:13

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Σωστό ή Λάθος

Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο R τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο R τέτοιο ώστε f(x0)<0
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Σωστο.(μην πω γιατι. το εβαλα χθες ασκηση

)

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο Α(x0,f(x0)). Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο +άπειρο, τότε

lim(x->+άπειρο)[g(x)-xf΄(x0)]=f(x0)-x0f΄(x0)

-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Σωστο.(lim[g(x)-λχ]=β)

i) Αν f παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f΄(x)>0 για κάθε x στο Δ.

Λαθος.(π.χ. χ^3)

ii) Αν f παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f΄(x)<0 για κάθε x στο Δ.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Λαθος.(π.χ. -χ^3)

Αν f συνεχής στο [α,β] και f(α)+f(β)=0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Λαθος.(υπαχει στο [α,β])

Αν g,h παραγωγίσιμες συνερτήσεις σε ένα διάστημα Δ και f συνεχής στο f(Δ)Ug(Δ) τότε η F(x)=S(g(x),h(x))f(t)dt είναι παραγωγίσιμη στο Δ με

F΄(x)=f(g(x))g΄(x)-f(h(x))h΄(x) για κάθε x στο Δ

-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος

Τωρα σε αυτο το κατω ακρο του ολοκληρωματος ειναι g(x) και το πανω h(x) ή το αναποδο;

Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και f΄΄(x) διάφορο 0 για κάθε x στο Δ τότε δεν υπάρχουν σημεία στο Δ στα οποία οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f να είναι παράλληλες.

Σωστο.(ατοπο με Rolle)

vasilis008 · 13 Μαΐου 2009 στις 10:52

Να αυτή με παίδεψε κάπως μέχρι να την βγάλω...
Δίνεται $f (0,+00)->R$ με $f(x)\leq lnx, x\epsilon (0,+00)$
Δίνεται επίσης ότι για την f ισχύει: $f(xy)\leq f(x)+f(y)$ για κάθε $x,y\epsilon (0,+00)$ . Να βρεθεί ο τύπος της f.

John_Megadeth · 13 Μαΐου 2009 στις 11:31

Καλημερα!Βασιλη, ξερουμε αν η f ειναι παραγωγισιμη;

vasilis008 · 13 Μαΐου 2009 στις 11:50

Αρχική Δημοσίευση από John_Megadeth:
Καλημερα!Βασιλη, ξερουμε αν η f ειναι παραγωγισιμη;

καλημέρα και σε εσένα. Όχι δυστυχώς δεν ξέρουμε τίποτα ούτε καν αν είναι συνεχής...

John_Megadeth · 13 Μαΐου 2009 στις 13:20

Βρηκα μια λυση αλλα μονο για την περιπτωση που η f ειναι παραγωγισιμη :'(

Korina 71 · 13 Μαΐου 2009 στις 13:27

Αρχική Δημοσίευση από vasilis008:
καλημέρα και σε εσένα. Όχι δυστυχώς δεν ξέρουμε τίποτα ούτε καν αν είναι συνεχής...

Ουπς!Προβληματάκι!Αλλά ελπίζω βγαίνει με ορισμό

I'll try it now!

vasilis008 · 13 Μαΐου 2009 στις 13:30

υπάρχει μια ωραία λύση που είναι ανεξάρτητη από συνέχεια και παράγωγο...Βασικά αυτή η άσκηση ξεφεύγει λίγο, είναι να το "δεις" που λένε για να την βγάλεις...Όποτε θέλετε μου λέτε να ανεβάσω λύση αν δεν την βγάλετε φυσικά...

Korina 71 · 13 Μαΐου 2009 στις 13:37

Οκ!Προτείνω να περιμένουμε και τον Νίκο..!Και μετά βλέπουμε!

ledzeppelinick · 13 Μαΐου 2009 στις 14:36

καλημερα παιδες!!! (τι καλημερα δηλαη τετοια ωρα που ξυπνησα

)..!! άρε κορινα σ ευχαριστω πολυ my team mate!!!

θα δω κ εγω την ασκηση λιγο κ αν δεν μπορω σας λεω!!

James Fallen · 13 Μαΐου 2009 στις 14:45

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα νομίζω πως έτσι μπορούμε να αποδέιξουμε την παραγωγισημότητα της f^(-1) στο R.
Εφόσον η f 1-1 από την σχέση θα ισχύει:
f^(-1)(f(x))=f^(-1)(x^5+x^3+x) <=>
f^(-1)(x^5+x^3+x)=x
Επειδή η x είναι παραγωγίσιμη στο R επομένως και η f^(-1)(x^5+x^3+x) είναι παραγωγίσιμη... Άρα:
(5x^4+3x^2+1)f'^(-1)(x^5+x^3+x)=1 <=> (για χ=1)
9f'^(-1)(3)=1 <=>
f'^(-1)(3)=1/9 και μετα συνεχίζουμε...
Αλλιώς δεν μπορούμε να αποδείξουμε την παραγωγισιμώτητα της f^(-1)(x)
Στηριζόμαστε στα στοιχεία που μας δίνει...
Καλή μας επιτυχία και όχι άγχος! Θα προσπαθήσω να ανεβάσω την λύση και σε word αργότερα. :no1:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Συνημμένα

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος