Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

rebel · 22 Σεπτεμβρίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από kosmas13green:
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z με την ιδιότητα |z+3|+|(συζυγή του)z+4i|=5
α)Ποιος είναι ο γ.τ. της εικόνας Μ του z;
β)Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του |z|;
γ)Ποιος από τους παραπάνω αριθμούς z έχει το μέγιστο μέτρο;

Το α) το έλυσα. Τώρα στο β) επειδή βρήκα ΑΒ=5 και είναι ευθεία τότε χρειάζομαι την εξίσωση της η οποία είναι της μορφής Αx+By+Γ=0 αλλά πως την βρίσκω με τα δεδομένα που έχω; (δυστυχώς πέρυσι στην κατεύθυνση είχα καθηγητή που περισσότερο με δούλευε για την Ρεαλ παρά έκανε μάθημα...) . Και μια βοήθεια για το γ). Ευχαριστώ!

β) Η εξίσωση της ευθείας που περνάει από δύο σημεία $A(x_1,y_1), \, B(x_2,y_2)$ με $x_1 \neq x_2$ είναι
$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
Για την συγκεκριμένη περίπτωση με γνωστά τα σημεία $A(-3,0), \, B(0,4)$ είναι
$y-0=\frac{4-0}{0-(-3)} \left( x-(-3) \right) \Rightarrow 4x-3y+12=0 (\epsilon)$
H μικρότερη τιμή του $|z|$ θα ισούται με την απόσταση της $(\epsilon)$ από την αρχή των αξόνων, δηλαδή(βλέπε τύπο απόστασης σημείου από ευθεία στα μαθηματικά κατεύθυνσης Β' Λυκείου)
$d(O,\epsilon)=\frac{|4\cdot 0-3 \cdot 0 +12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{12}{5}$

Και μία απόπειρα για το γ).
Έστω $z = x + iy = x +i \left( \frac{4}{3}x+4 \right)$ . Τότε

$|z|^2= x^2 + \left( \frac{4}{3}x+4 \right)^2=\frac{25}{9}x^2+\frac{32}{3}x+16, \, -3 \leq x \leq 0$
To τριώνυμο $f(x)=\frac{25}{9}x^2+\frac{32}{3}x+16$ είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση στο διάστημα $[-3,0]$ , συνεπώς $f(x) \leq f(0)=16, \forall x \in [-3,0]$ . Άρα ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο θα είναι ο $z=0+ 4i$

antwwwnis · 22-09-11

Μην τα βάζουμε με το ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ, μεγαλιώδες βεβαίως βεβαίως, θεωρημα της άλγεβρας.
Ένα πολυώνυμο ν βαθμού, που αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής του χ^ν διαφορος του 0, μπορεί να έχει μέχρι ν πραγματικές ρίζες.
Αν έχει λιγότερες από ν πραγματικές ρίζες, τότε οι υπόλοιπες είναι μιγαδικές. Αν βρεις περισσότερες πραγματικές ρίζες, είναι αποδεδειγμένο πως έκανες λάθος στις πράξεις.

dannaros · 23-09-11

Αρχική Δημοσίευση από dannaros:
Σωστός !! άρα καταλήγουμε ότι έστω ν ο μέγιστος αριθμός ριζών στο R, τότε είναι ν τουλάχιστον ρίζες στο C. Άμα θες διόρθωσε πιο πάνω στο μήνυμα σου το "ακριβώς", γιατί γράφει ότι το έχεις επεξεργαστεί και το ολοκλήρωσες, ενώ η λέξη όμως παραμένει εκεί...

λάθος μου... μάλλον το ακριβώς είναι σωστό

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Μην τα βάζουμε με το ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ, μεγαλιώδες βεβαίως βεβαίως, θεωρημα της άλγεβρας.
Ένα πολυώνυμο ν βαθμού, που αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής του χ^ν διαφορος του 0, μπορεί να έχει μέχρι ν πραγματικές ρίζες.
Αν έχει λιγότερες από ν πραγματικές ρίζες, τότε οι υπόλοιπες είναι μιγαδικές. Αν βρεις περισσότερες πραγματικές ρίζες, είναι αποδεδειγμένο πως έκανες λάθος στις πράξεις.

δεν τα βάζουμε, θέλουμε απλά να δούμε ποιες είναι οι ρίζες επαληθεύοντας τον κανόνα

qwerty111 · 23-09-11

H φράση "Η εικόνα του z γράψει κύκλο κέντρου Κ και ακτίνας ρ" είναι ισοδύναμη με την "Η εικόνα του z κινείται σε κύκλο κέντρου Κ και ακτίνας ρ"; Ή μήπως η πρώτη σημαίνει ότι ο κύκλος αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ(z);

dannaros · 23-09-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
H φράση "Η εικόνα του z γράψει κύκλο κέντρου Κ και ακτίνας ρ" είναι ισοδύναμη με την "Η εικόνα του z κινείται σε κύκλο κέντρου Κ και ακτίνας ρ"; Ή μήπως η πρώτη σημαίνει ότι ο κύκλος αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ(z);

Και τα τρία που λες είναι το ίδιο πράγμα

qwerty111 · 23-09-11

Άλλο γεωμετρικός τόπος και άλλο κινείται. Δες εδώ: https://ischool.e-steki.gr/showpost.php?p=2826671&postcount=4074

Giorgio-PD · 25-09-11

Χρειάζομαι τη βοήθεια σας σε κάποιες επαναληπτικές ασκήσεις των μιγαδικών οι οποίες με δυσκόλεψαν.

1) Έστω |Z1+Z2|² + |Ζ1-Ζ2|² = 2(|Ζ1|² +|Ζ2|²)
ν.δ.ο. ι) |(Ζ1-Ζ2)/2 + i|² + |(Ζ1-Ζ2)/2 - i|² = |Ζ1|² +|Ζ2|²
ΙΙ) |1/Ζ - iΖ| + |1/Ζ - Ζ/i| >= |iZ - Ζ/i| 1/ρίζα2

2) Δίνονται Ζ1,Ζ2,Ζ3 με |Ζ1|=2, |Ζ2|=4, |Ζ3|=8
Να εξετάσετε αν μπορεί να ισχύει Ζ1 + Ζ2 + Ζ3 = 0...
:hmm:

Leo 93 · 26 Σεπτεμβρίου 2011

2)

Έστω ότι ισχύει η δοσμένη σχέση, τότε:

${z}_{1}+{z}_{2}+{z}_{3}=0\Rightarrow {z}_{3}=-{z}_{1}-{z}_{2}\Rightarrow \left| {z}_{3}\right|=\left|{z}_{1}+{z}_{2} \right|\Rightarrow 8=\left|{z}_{1}+{z}_{2} \right|\Rightarrow 8\leq \left| {z}_{1}\right|+\left| {z}_{2}\right|=2+4$

άτοπο.

tazoulini · 26-09-11

Μπορει καποιος να μου λυσει τη ασκηση 5 σελ.142 τευχος Α του Μπαρλα; ευχαριστω

minos_94 · 26-09-11

η άσκηση στην οποία αναφέρεσαι είναι λυμένο παράδειγμα...

kosmas13green · 29 Σεπτεμβρίου 2011

Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f(x)=x^4-(α+1)x^2+βx+3 και g(x)=(α+2)x^2+(2-β)x-1 τέμνονται πάνω στις ευθείες x=1 και x=-1, να βρείτε:
α)τις τιμές των α και β,
β)τα άλλα κοινά σημεία των Cf και Cg.

Έχω βρει το α) (α,β)=(1,1) και στο β) έχω φτάσει στο x=+-1 ή x=+-2... Τώρα θέλω λίγη βοήθεια για την συνέχεια γιατί κόλλησα :confused:

Guest 278211 · 29-09-11

μάλλον θα αναφέρεται και σε άλλη μια ευθεία, όχι μόνο για την χ=-1

--> θα πάρεις περιπτώσεις. πχ για χ=-1 η f(-1)=.... κλπ... σημείο Α(-1,f(-1)=g(-1))

kosmas13green · 29-09-11

Αρχική Δημοσίευση από Guest 278211:
μάλλον θα αναφέρεται και σε άλλη μια ευθεία, όχι μόνο για την χ=-1
--> θα πάρεις περιπτώσεις. πχ για χ=-1 η f(-1)=.... κλπ... σημείο Α(-1,f(-1)=g(-1))

Όντως είναι x=1 και x=-1

^MaRiA7^ · 01-10-11

|α+βι|^2001 πως λυνετε κατι τετοιο ?

ευχαριστω εκ τον προτερων

dark_knight · 01-10-11

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:
Ειδικά η συγκεκριμένη δεν προτιμάται ποτέ.

Οι συνεχείς λύσεις είναι οι γραμμικές συναρτήσεις της μορφής f(χ)=αχ, α ε R.

Οι μη συνεχείς όμως, είναι αρκετά εξωτικές.
Για παράδειγμα, ας δεχτούμε προς στιγμήν ως δεδομένη την ύπαρξη μιας βάσης αρρήτων Β:
Δηλαδή, ότι κάθε πραγματικός αριθμός χ γράφεται ως x=a*U+b*V...+c*W
όπου οι συντελεστές a,b,...,c είναι ρητοί και εξαρτώνται από το x, ενώ το σύνολο {U,V,...,W} περιέχεται στο Β.

Αρχικά, ορίζουμε την f επί του Β, με οποιονδήποτε τρόπο.
Μετά, για κάθε χ στο R και όχι στο Β, ορίζουμε f(χ)=a*f(U)+b*f(V)...+c*f(W).
Eίναι μια απλή άσκηση το ότι η f, παρότι ορίστηκε τυχαία στο σύνολο Β, ικανοποιεί την f(x+y)=f(x)+f(y).

Μια ακόμα ιδιότητα της f, διαισθητικά αναπάντεχη, είναι πως σε οποιοδήποτε διάστημα (a,b),
το σύνολο f(a,b) δεν είναι άνω ή κάτω φραγμένο.

Πολύ σωστός. Μάλιστα η αιτιολόγηση αυτή υποδεικνύει και ότι υπάρχουν $2^{\aleph_0}$ το πλήθος συνεχείς λύσεις της εξίσωσης Cauchy, ενώ $2^{2^{\aleph_0}}$ το πλήθος ασυνεχείς λύσεις της. Δηλαδή οι ασυνεχείς λύσεις είναι πολύ περισσότερες από τις συνεχείς. Όλα αυτά βέβαια θεωρώντας το αξίωμα της επιλογής. Αν δουλεύουμε στο ZF, τότε αποδεικνύεται ότι οι μόνες λύσεις είναι οι συνεχείς.

qwerty111 · 01-10-11

Αρχική Δημοσίευση από ^MaRiA7^:
|α+βι|^2001 πως λυνετε κατι τετοιο ? ευχαριστω εκ τον προτερων

Γίνε πιο σαφής.

Athr · 01-10-11

Αρχική Δημοσίευση από ^MaRiA7^:
|α+βι|^2001 πως λυνετε κατι τετοιο ? ευχαριστω εκ τον προτερων

|α+βι|^2001=|α+βι|^2000+1= |α+βι|^2000 * |α+βι|= (α²+β²)^1000 * (ριζα α²+β²)

μηπως εννοεις αυτο? :S

^MaRiA7^ · 01-10-11

εχετε δικαιο επρεπε να ειμαι πιο σαφης σορρυ

λοιπον μου δινει ο καθηγητης αυτο (α+βι)^2001=(3+4ι)/5 και λει να αποδειξω οτι α^2+β^2=1
Εγω ξεκινησα και πηρα μετρα και κατεληξα στο |α+βι|^2001=1 ,μηπως δν βγαινει η ασκηση ετσι?

stathis1214 · 01-10-11

Αρχική Δημοσίευση από ^MaRiA7^:
εχετε δικαιο επρεπε να ειμαι πιο σαφης σορρυ λοιπον μου δινει ο καθηγητης αυτο (α+βι)^2001=(3+4ι)/5 και λει να αποδειξω οτι α^2+β^2=1
Εγω ξεκινησα και πηρα μετρα και κατεληξα στο |α+βι|^2001=1 ,μηπως δν βγαινει η ασκηση ετσι?

Ετσι ακριβως θα το πας μετα θα πεις |α+βι|=ριζα α^2+β^2 υψωνεις κι εισαι ετοιμη!!!!!

antwwwnis · 01-10-11

Η δισχιλιοστή πρώτη ρίζα του 1 είναι 1, οπότε |α+βι|=1
|α+βι|²=1
α²+β²=1

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Guest 278211

Επισκέπτης

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος