Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

manos66 · 7 Μαΐου 2009 στις 20:14

Αρχική Δημοσίευση από marysita:
Εστω μια συναρτηση f,συνεχης στο [α,β] με f(x)>0 για καθε χ στο [α,β].αν υπαρχει γ στο [α,β] τετοιο ωστε f(α) + f(β)=f(γ) ,να δειξετε οτι υπαρχει ξ στο [α,β] τετοιο ωστε f '(ξ)=0

!!!δεν μπορουμε να κανουμε bolzano στην παραγωγο γιατι δεν ξερουμε αν ειναι συνεχης.....

δεν ειναι ιδιαιτερα δυσκολη αλλα εχει πλακα!
:no1:

$f (x) = \left\{\begin{matrix}x+1, 0\leq x<1\\ 3-x, 1\leq x \leq 2\end{matrix}\right.$

α = 0 , β = 2 , γ = 1

f΄(x) = 0;;;;;;;;;;;

ledzeppelinick · 7 Μαΐου 2009 στις 22:42

Αρχικα σκεφτηκα θεωρημα ενδιαμεσων τιμων στο [α,γ] και [γ,β] και επαιδη το f(γ)>f(α) f(γ)>f(β) τα χ1,χ2 που προεκυψαν απο τα Θ.Ε.Τ να έχουν f(x1)=f(x2) και να παρουμε Rolle σ αυτα... αλλα ειναι πολυ φλου..

Αλέξης32989 · 7 Μαΐου 2009 στις 22:51

Αρχικά δεν ξέρεις ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη οπότε Rolle δεν υπάρχει...
και με το αντιπαράδειγμα του συναδέλφου καταρρίπτεται η ορθότητα της άσκησης

ledzeppelinick · 7 Μαΐου 2009 στις 23:11

Απλα επειδη ζηταει f'(x)=0 και αυτο συνηθως με Rolle παρα με ορισμο παραγωγου (οπου δεν ξερουμε αν ειναι παραγωγισιμη) προκυπτει. Σας ευχαριστω κυριε καθηγητα για να μην παιδευομαι αδικα:thanks:

kostas tifkitsis · 7 Μαΐου 2009 στις 23:44

εκανα θμτ στο α,γ και υστερα στο γ,α και αυτα τα φ τονος που βρηκα τα πολλαπλασιασα και ειναι αρνητικα ρα με θβ υπαρχει ξ τετοιο ωστε φ τονος του ξ =0

Civilara · 8 Μαΐου 2009 στις 00:49

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
μηπως παραθετει καποια αλλα στοιχεια πιο πανω που να σε βοηθαει?
-----------------------------------------
επισης ήθελα να ρωτησω για ένα ακομα ολοκληρωμα. ολοκληρωμα απο 0 εως 1 του ολοκληρωματος απο 0 εως χ της 1/ριζα 1+t^2 dt

S(a/SQRT(1+(x^2)))dx=ln|x+SQRT(1+(x^2))|+C

όπου S το αόριστο ολοκλήρωμα

Civilara · 8 Μαΐου 2009 στις 01:10

Αρχική Δημοσίευση από patmurphy:
2x*g'(x)=x^2+1, Dg=R-{0} g παραγωγισιμη
α-Να βρεθει η g
β-Να προσδιορισετε το συνολο τιμων
γ-Να δειξετε οτι η g(x)=0 εχει δυο ακριβως ριζες

Βασικα δυσκολευομαι να βρω την g τα αλλα μπορω να τα κανω

x>0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)lnx+c1
x<0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)ln(-x)+c2

Γενικά ισχύει c1 διάφορο c2

mostel · 8 Μαΐου 2009 στις 08:24

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
x>0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)lnx+c1
x<0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)ln(-x)+c2

Γενικά ισχύει c1 διάφορο c2

Ωραίος!

Σχόλιο:

Και η πάνω λύση με απόλυτο μέσα στο ln και μια τυχαία σταθερά, είναι σωστή..!

Στέλιος

bobiras11 · 8 Μαΐου 2009 στις 11:10

Αρχική Δημοσίευση από kostas tifkitsis:
εκανα θμτ στο α,γ και υστερα στο γ,α και αυτα τα φ τονος που βρηκα τα πολλαπλασιασα και ειναι αρνητικα ρα με θβ υπαρχει ξ τετοιο ωστε φ τονος του ξ =0

Δεν μπορείς να κάνεις ΘΜΤ σε επικαλυπτόμενα διαστήματα. Τα χι, χ2 που βρήκες μπορεί να ταυτίζονται. Η άσκηση είναι λίγο ελλιπής.

dafne_mm24 · 8 Μαΐου 2009 στις 11:17

Αρχική Δημοσίευση από tsekuras:
ΜΠΡΑΒΟ GOOD WORK η σκέψη σου θα βοηθήσει πολλούς υποψήφιους!!

Αυτό για το οποίο δεν είμαι σίγουρη είναι αν μπορώ να υποστηρίξω πως οι 2 εφαπτόμενες είναι συμμετρικές χωρίς να το αποδείξω. Αλλά πιστεύω ότι είναι επαρκής η τεκμηρίωση. Τί λες?

Inferno29278 · 8 Μαΐου 2009 στις 11:55

Αρχική Δημοσίευση από lostG:
Δηλαδή στο θεώρημα ας πούμε του Rolle που απαιτεί η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) εσύ αυτό πώς το καταλαβαίνεις?
Όχι δεν είναι έτσι όπως το λες.Λέγοντας στα μαθηματικά ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σημαίνει ότι υπάρχει η πρώτη παράγωγος και δεν ξέρουμε άμεσα τι γίνεται με τις ανωτέρων τάξεων παραγώγους.

Είναι πιθανό να κάνω λάθος, αυτό όμως μου το έχει πει μαθηματικός, τον οποίο έχω σε μεγάλη εκτίμηση. Από τη στιγμή που δεν διευκρινίζει αν είναι μια φορά παραγωγίσιμη, είναι άπειρες. Πάντως θα τον ξαναρωτήσω για να είμαι απόλυτα σίγουρος και θα ενημερώσω

fostiras13 · 8 Μαΐου 2009 στις 12:14

πρακτικά όλες οι συναρτησεις είναι παραγωγίσιμες εκτός απ' τα εξαιρουμένα σημεία

tsekuras · 8 Μαΐου 2009 στις 13:40

H f και η f -1 σε συμμετρικά σημεία M (α,f(α)) και Μ΄(f(α),α) έχουν εφαπτομένες συμμετρικές ως προς την ευθεία (ε): y = x. Σ ή Λ

manos66 · 8 Μαΐου 2009 στις 14:21

Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (α , β), τότε
η f παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο ξ που βρίσκεται στο (α , β)
αφού f(α) < f (γ) και f (β) < γ.
Θ. Fermat
f΄(ξ) = 0

apostolis · 8 Μαΐου 2009 στις 15:42

Η αποδειξη που λεω δεν ειναι για το αν ειναι (1-1) ,αλλα για τη μονοτονια. Αν δεν ειναι γν.μον. τοτε υπαρχουν χ1,χ2 με x1<x2 E Df (ή x1>x2) τετοια ωστε f(x1)=f(x2).

kvgreco · 8 Μαΐου 2009 στις 20:06

Προς τον κ.Τσεκούρα.
Πέιτε μου σας παρακαλώ γιά την άσκηση #5 και τι γνώμη έχετε γιά τη γνωστή πλέον διένεξη της μαθηματικής κοινότητας γιά το που βρίσκονται οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=f-1(x).

marsenis · 8 Μαΐου 2009 στις 20:15

Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση?

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[\alpha, \beta] \to \mathbb{R}$ και $x_0$ <α
α) Να δειχθεί ότι εάν μία τουλάχιστον απο τις διερχόμενες απο το σημείο $M(x_0, y_0)$ ευθείες τέμνει τη $C_f$ σε δύο διαφορικά σημεία $N(x_1, f(x_1)), K(x_2, f(x_2))$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $\rho(\xi, f(\xi))$ να διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ .
β) Να δειχθεί ότι εάν η $C_f$ ανήκει σε ένα απο τα ημιεπίπεδα μιας ευθείας (ε) που διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ και έχει με την (ε) κοινό σημείο $\Delta(\zeta, f(\zeta))$ , τότε η ευθεία (ε) εφάπτεται της $C_f$ στο $\Delta(\zeta, f(\zeta))$ .

Inferno29278 · 8 Μαΐου 2009 στις 20:33

Επιβεβαιωμένο. Όταν λέει παραγωγίσιμη και δεν διευκρινίζει πόσες φορές είναι άπειρες. Στις πανελλαδικές μάλιστα μια χρονιά, μερικοί μαθητές έλυσαν έτσι μια άσκηση και την δέχτηκαν σωστή

lostG · 8 Μαΐου 2009 στις 21:01

Αρχική Δημοσίευση από Inferno:
Επιβεβαιωμένο. Όταν λέει παραγωγίσιμη και δεν διευκρινίζει πόσες φορές είναι άπειρες. Στις πανελλαδικές μάλιστα μια χρονιά, μερικοί μαθητές έλυσαν έτσι μια άσκηση και την δέχτηκαν σωστή

Δεν απάντησες όμως στο ερώτημα.
Ο Rolle λέει ότι η f πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο (α,β).Σημαίνει γιά σένα ότι υπάρχουν γιά την f οι παράγωγοι κάθε τάξης?Αυτό να ρωτήσεις τον καθηγητή σου και να μη λές τσεκαρισμένο επειδή κάποιος καθηγητής επέμενε ότι έχει δίκιο.

manos66 · 8 Μαΐου 2009 στις 21:13

Αρχική Δημοσίευση από marsenis:
Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση?

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[alpha, beta] to mathbb{R}$ και $x_0$ <α
α) Να δειχθεί ότι εάν μία τουλάχιστον απο τις διερχόμενες απο το σημείο $M(x_0, y_0)$ ευθείες τέμνει τη $C_f$ σε δύο διαφορικά σημεία $N(x_1, f(x_1)), K(x_2, f(x_2))$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $xiin(alpha, beta)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $rho(xi, f(xi))$ να διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ .
[/latex].

Θ. Rolle με τη συνάρτηση g, με
$g (x) = \frac{f (x) - y_0}{x - x_0}$
στο $\left[ x_1 , x_2\right]$
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από marsenis:
Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση?

β) Να δειχθεί ότι εάν η $C_f$ ανήκει σε ένα απο τα ημιεπίπεδα μιας ευθείας (ε) που διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ και έχει με την (ε) κοινό σημείο $Delta(zeta, f(zeta))$ , τότε η ευθεία (ε) εφάπτεται της $C_f$ στο $Delta(zeta, f(zeta))$ .

έστω ε: y - y0 = λ(x - x0) ή y = λx - λx0 + y0
Ας υποθέσουμε ότι η Cf βρίσκεται "κάτω" από την ε
Θεωρώ τη συναρτηση κατακόρυφη απόσταση της ε από τη Cf
h(x) = λx - λx0 + y0 - f(x)
η h γίνεται ελάχιστη (0) όταν x = ζ
Θ. Fermat
h'(ζ) = 0 ή f΄(ζ) = λ
άρα η (ε) είναι η αφαπτομένη της Cf στο Ρ(ζ , f(ζ))

Όμοια αν η Cf βρίσκεται "πάνω" από την ε

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος