rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Υπόδειξη:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω με . Αναζητούμε ένα ώστε τα να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Θέλουμε επομένως
(o δηλαδή είναι ο γεωμετρικός μέσος των ). Για τις αντίστοιχες τιμές της θα ισχύει
Όμως οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο άρα θα ισχύει
όπως θέλαμε. Αν τότε η γεωμετρική πρόοδος είναι η οπότε και πάλι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε
β) Να αποδειχθεί ότι αν η είναι παραγωγίσιμη στο , τότε είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
οπότε η άλλη ρίζα είναι η , μοναδική στο διάστημα λόγω μονοτονίας όπως είπε ο φίλος από πάνω. Άραγε υπάρχει τρόπος να βρεθεί χωρίς βοηθητικά μέσα;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω με . Τότε g παραγωγίσιμη στο με και και η δοσμένη σχέση γίνεται (1)
Έστω με . Τότε h παραγωγίσιμη στο με και όπου c πραγματική σταθερά. Για έχουμε , άρα (2). Έστω με . k παραγωγίσιμη στο με <0 για κάθε x>0 και k συνεχής στο 0 άρα η k είναι γνησίως φθίνουσα άρα k"1-1". Οπότε από τη (2) έχουμε ." />
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
1)Άλλη μία: Δίνεται η συνάρτηση με Έστω σημεία της . Υποθέτουμε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος συμπίπτει με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος . Επίσης υποθέτουμε ότι το μέσο αυτό δεν ανήκει στην ευθεία με εξίσωση
1) Να αποδειχθεί ότι
2) Να αποδειχθεί ότι είτε είτε
Έστω . Είναι
και αφού από υπόθεση, έχουμε που είναι το ζητούμενο.
2) Είναι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
1) Να αποδειχθεί ότι
2) Να αποδειχθεί ότι είτε είτε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
α)
β) Αν τότε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Eυχαριστώ για τις απαντήσεις. Μία ακόμα αλγεβρική λύση: Έστω ένας τέτοιος μιγαδικός. Τότε
Θα δείξω ότι . Πράγματι
Η τελευταία σχέση είναι η (1) που ισχύει. Τώρα
Προσθέτω κατά μέλη και έχω
άτοπο. Άρα δεν υπάρχει τέτοιος μιγαδικός.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο , με και . Δείξτε ότι υπάρχουν με
Για την πολυωνυμική και μη σταθερή συνάρτηση ισχύει
για κάθε
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της που σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα και διέρχεται από το σημείο
γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
Πηγή
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
H σχέση γράφεταιΚαλησπέρα.Έχω μια άσκηση και θέλω βοηθειά!!
Έχουμε: View attachment 55707 και μας ζητάει να βρούμε την F(x).
Πως την βρίσκω;;;
.
Για στην (1) παίρνουμε Για με είναι:
οπότε
δηλαδή
οπότε
και για :
.
Καλή χρονιά σε όλους !!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Τώρα, όπως σε παρεμφερή προβλήματα με εμβαδά, όγκους κλπ πρέπει να βρεις μία σχέση μεταξύ των διαστάσεων για να προχωρήσεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Για το συγκεκριμένο όμως υπάρχει τέτοιο ώστε χωρίς να είναι κατ' ανάγκη . O τρόπος πάντως είναι σωστός: Αν δεν υπήρχε τέτοιο , η θα διατηρούσε πρόσημο κλπ. Για να καταλήξεις σε άτοπο μπορείς να εκμεταλλευτείς μία άλλη ιδιότητα των συνεχών συναρτήσεων σε κλειστά διαστήματα: την μέγιστη και ελάχιστη τιμή (ίσως πρόδωσα την λύση).για αφου ισχύει για καθε χ στο [α,β] θα ισχυει και για χ=ψ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι για κάθε υπάρχει ώστε . Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ώστε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Να δειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο ώστε
2) Αν για την συνάρτηση ισχύει για κάθε και , να βρείτε τον τύπο της
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έχω την εντύπωση ότι και αυτό θέλει απόδειξη.Γιαυτην μπορουμε να πουμε οτι εστω οτι ειναι 1-1 τοτε θα ειναι και γν μονοτονη
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Καλημέρα. Το max δύο αριθμών είναι ο μέγιστος από αυτούς. Στην περίπτωσή μας έστω . Τότε αν ενώ ανΚαλησπέρα, μπορείς να εξηγήσεις την f(x) επειδή δεν κατάλαβα τη εννοείς;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Από κει και πέρα το πλήθος των ριζών βρίσκεται από τον αριθμό των κοινών σημείων της με την ευθεία . Ένα γράφημα ίσως βοηθήσει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Ναι η άσκηση εννοεί ρίζες στο και κακώς δεν το γράφει στην εκφώνηση.στο τελευταιο μήπως εννοεις ριζες στο [0,π/2] ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
i) Nα δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε
ii) Να δείξετε ότι στο
iii) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για κάθε τιμή της παραμέτρου
*Το cos δηλώνει το συνημίτονο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
H εξίσωση γράφεται . Αν υπήρχε ρίζα της (1) με τότε θα είχαμε , άτοπο.
Θεωρούμε την συνάρτηση . Είναι
και εφ' όσον
αφού από β) και που ισχύει. Από θ. Bolzano υπάρχει . Μένει να δείξουμε ότι το είναι μοναδικό.
Έστω με . Τότε αφού η είναι γνησίως αύξουσα με , θα έχουμε
και επίσης λόγω της μονοτονίας της εκθετικής:
. Με πολλαπλασιασμό των (2) και (3) παίρνουμε
. Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε η ρίζα που βρήκαμε είναι μοναδική.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Είναι
Λόγω μονοτονίας της f είναι οπότε . Επίσης . Από Bolzano υπάρχει . Όμως είναι ενώ . Υποχρεωτικά επομένως και λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης , είναι και μοναδικό.
Η λύση που έχω πάει κάπως ανάποδα. Πρώτα δηλαδή αποδεικνύεις με Bolzano ότι υπάρχει οπότε από την αρχική σχέση (2) για παίρνουμε , όπου και πάλι η μοναδικότητα του εξασφαλίζεται από την μονοτονία της .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Για το δεύτερο ερώτημα προσπάθησε να αποδείξεις πρώτα ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε . Θεώρησε την γνησίως φθίνουσα στο κλειστό και όχι στο ανοικτό που έγραψα ( λάθος μου )
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
που είπα πριν. Eκεί ακριβώς έχω αμφιβολία στο κατά πόσο μπορούμε να βρούμε κατάλληλα ώστε να ισχύει μία από τις 4 αυτές περιπτώσεις. Σαν αντιπαράδειγμα έγραψα την περίπτωση να είναι στους ρητούς και στους άρρητους. Πως θα μπορέσουμε τότε να βρούμε τέτοια αφού κάθε διάστημα πραγματικών αριθμών περιέχει πάντοτε και ρητούς και άρρητους; Εκτός αν αποδειχθεί με κάποιον τρόπο ότι η δεν μπορεί να είναι της τελευταίας μορφής. Τέλος πάντων η λύση που έχω αποφεύγει αυτόν τον σκόπελο με το κριτήριο παρεμβολής. Από συμπλήρωση τετραγώνου παίρνουμε:
είτε
είτε
είτε
Επίσης
Λόγω (1) και (2) είναι :
οπότε από κριτήριο παρεμβολής . Έχει ήδη δειχθεί και ότι οπότε η είναι συνεχής στο . Το γ) ερώτημα της άσκησης λέει τα εξής:
Αν η είναι συνεχής με να αποδείξετε ότι:
i) Η έχει σύνολο τιμών
ii) Αν επιπλέον η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Καταλαβαίνω τι λες απλώς θα ήμουν επιφυλακτικός στην χρήση του ορίου. Φαίνεται λογικό να υποθέσουμε ότι ανοποιος και να ισχυει παλι το ιδιο αποτελεσμα εχω
υπάρχουν ώστε να ισχύει
είτε
είτε
είτε
Αν όμως είχαμε για παράδειγμα κάτι πιο περίεργο όπως
τότε θα μπορούσαμε να βρούμε τέτοια ώστε να μην έχουμε πρόβλημα με το όριο;
Ωραία λύση με μόνη ίσως εκκρεμότητα την απόδειξη της συνέχειας της αντίστροφης που δεν είναι τόσο προφανής.α) Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=x+(1/x)=((x^2)+1)/x με πεδίο ορισμού το Α=[-1,0)...
Στο σημείο αυτό αν δεν κάνω λάθος έχεις αντιστρέψει την φορά της ανισότητας;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
για κάποια χ και
για κάποια άλλα χ. Οπότε δεν μπορείς να λιμάρεις χωρίς να ξέρεις ποιος τύπος ισχύει κοντά στο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
α) Να δείξετε ότι για κάθε ειναι
β) Αν και η είναι συνεχής στο τότε και η είναι συνεχής στο
Υπάρχει και γ) ερώτημα αλλά ας το δούμε μετά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
πως λυνεται η εξισωση χ^2 + 1 + συνχ= 0 (νομιζω ειναι αδυνατη αλλα δεν ξερω πως αποδεικνυεται)
Η ισότητα δεν πιάνεται ποτέ παντού για το ίδιο χ, άρα η εξίσωση δεν έχει λύση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Το σύνολο τιμών θα ήταν κάποιο κλειστό διάστημα αλλά όχι απαραίτητα το γιατί δεν μας δίνει τίποτα για την μονοτονία τηςαν ηταν συνεχης θα ειχε στ το [0,1]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Μία μικρή. Έστω η συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστεΚωστα μπορεις να βαλεις καμια ασκηση απο αναλυση μεχρι Bolzano ξερω γω ;
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν και είναι εκτός εποχής θα επιθυμούσα μία λύση σε αυτήνΑν η f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β)=0, τότε να αποδειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο ώστε:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
α) Να αποδειχθεί ότι
β) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί με τις παραπάνω ιδιότητες τέτοιοι ώστε , όπου οι εικόνες των
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
στην δοθείσα και έχω
στην (*) και έχω
Δεν μπόρεσα να δικαιολογήσω γιατί
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν για τυχαίο θεωρήσω στο επίπεδο τα σημεία η ζητούμενη ανισότητα γράφεταιΈστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:R->R ώστε
Να δείξετε ότι ισχύει : για κάθε x e R και για οποιαδήποτε συνάρτηση h:R->R
Έτοιμο!
που είναι η γνωστή μας τριγωνική ανισότητα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Ψάχνοντας τυχαία σε κάτι παλιά μηνύματα είδα ότι η τελευταία άσκηση έχει λυθεί εδώ με άλλον τρόπο. Οπότε τώρα έχουμε και τις δύο λύσεις.Έχω υπ' όψιν μου δύο τρόπους. Ο ένας βασίζεται στο θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Ο άλλος περιλαμβάνει εύρεση αρχικής συνάρτησης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Ναι.Μία συνάρτηση έχει την ιδιότητα
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη
γ) Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το
δ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
α) Για στην παίρνουμε
Για στην παίρνουμε . Από (1) και (2) παίρνω
β) Για στην με βάση το προηγούμενο ερώτημα παίρνουμε . Έτσι για με έχουμε άρα η f είναι 1-1 και άρα αντιστρέψιμη.
γ) Αρκεί να δείξω ότι για κάθε υπάρχει με . Έστω λοιπόν αυθαίρετο . Για λόγω της (3) έχουμε οπότε πράγματι
δ) Για στην παίρνουμε και αφού η f είναι 1-1 όπως δείξαμε στο β) έχουμε τελικά που επαληθεύει την
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Rolle στηνθελω βοηθεια στην ασκηση 57 σελ 35 του μπαρλα. Λεει οτι η f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη με f(a)=f(b) και f ΄(a)=f '(b). να δειξω οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε f ''(ξ)=f '(ξ)^2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Μία βδομάδα πέρασε. Δεν το παίρνει το ποτάμι; . Ακολουθεί μία μέτριας δυσκολίας με συναρτησιακή μήπως και ανέβει λίγο το ενδιαφέρον.Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β)=0, τότε να αποδειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο ώστε:
Μία συνάρτηση έχει την ιδιότητα
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη
γ) Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το
δ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
όπου παίρνοντας όρια είναι
και λόγω συνέχειας είναι
οπότε
το οποίο αντιτίθεται στην υπόθεση
Γενικά ισχύει ότι αν η είναι συνεχής στο και ακολουθία με τότε
Αυτή όμως η πρόταση είναι εκτός σχολικής ύλης.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
για κάθε
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της που σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα και διέρχεται από το σημείο
γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
Πηγή
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
οπότε η αρχική ανισότητα γίνεται
Για από την αριστερή ανισότητα παίρνουμε
Για από την δεξιά ανισότητα παίρνουμε
Από (1),(2),(3) παίρνουμε και το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
για κάθε , όπου με σταθεροί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή στο
Από εδώ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Η άσκηση όμως δεν ζητάει αυτό. Απ' ότι κατάλαβα πρέπει να δείξουμε ότι αν σταθερό, τότε υπάρχειΕπομένως σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (0,1) τέτοιο ώστε h΄(ξ)=0 <=> f΄΄(ξ)g(ξ)-f(ξ)g΄΄(ξ)=0 <=> f΄΄(ξ)/g΄΄(ξ)=f(ξ)/g(ξ) αφού g΄΄(ξ) διάφορο 0 και g(ξ) διάφορο 0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
. Δηλαδή όπου Α, Β οι εικόνες των των και Ο η αρχή των αξόνων.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
To πρώτο ερώτημα απαντήθηκε από τον Τάσο. Για το δεύτερο έστωΔεν ήξερα ότι ήταν γνωστή. Τότε να μια άλλη από το 'βιβλίο', λιγότερο γνωστή ελπίζω.
Για τους μιγαδικούς x,y,z δείξτε ότι
.
Αν ισχύει ότι , δείξτε ότι
. Αρκεί να δείξουμε ότι
Έστω . H (*) γράφεται ισοδύναμα
που ισχύει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Παρ' όλα αυτά αξίζει την προσπάθεια.
https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?p=2480331#post2480331
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Υπάρχει τρόπος η σύγκριση να γίνει χωρίς τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων;Έφτιαξα μία άσκηση καλούτσικη,αποκλειστικά για μαθητές.*γέλιο Μότζο-Τζότο/δρακουμέλ/σατανικού χαρακτήρα καρτούν*
Λοιπόν
Nα συγκριθούν οι Κ και Ε !
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Θέτουμε . Τότε οπότε αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε
. Επίσης δείτε εδώ για ένα όμοιο θέμα και αρκετές ενδιαφέρουσες λύσεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω τώρα . Είναι
επομένως
Άρα η f δεν είναι συνεχής στους ακέραιους. Συμπερασματικά η f είναι συνεχής στο και ασυνεχής στο .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Η υπόθεση της άσκησης λέει ότι η f πρέπει να είναι γνήσια αύξουσα.για παράδειγμα για την ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν είναι γνησίως μονότονη πάντα υπάρχουν τα όρια στο άπειρο ανεξάρτητα απ' το αν είναι συνεχής η όχι. Ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη ότι είναι γνησίως αύξουσα και ας θεωρήσουμε το όριο στο . Χοντρικά υπάρχουν δύο περιπτώσειςΈστω μια συνάρτηση f γνωσίως μονότονη στο R και όχι απαραίτητα συνεχής. Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχουν τα όρια στο + άπειρο και - άπειρο;
α) Η f δεν "φράσσεται" από πάνω, δεν υπάρχει δηλαδή k τέτοιο ώστε . Tότε αφού είναι γνησίως αύξουσα και δεν περιορίζεται από πουθενά, αυξάνει απεριόριστα. Άρα
β) Yπάρχει k τέτοιο ώστε και η απόσταση να τείνει στο 0 καθώς το χ μεγαλώνει. Για παράδειγμα . Τότε προφανώς
Ανάλογα σκεφτόμαστε για τα όρια στο με f γνησίως μονότονη κ.τ.λ.
οπότε σε κάθε περίπτωση το όριο, έστω και διαισθητικά, καταλαβαίνουμε ότι υπάρχει, ανεξάρτητα απ' το αν η f είναι συνεχής επαναλαμβάνω, διότι πάντα θα αναγόμαστε σ' αυτές τις δύο περιπτώσεις. Συγγνώμη που δεν παρέχω την πλήρη απόδειξη αλλά κάτι τέτοιο θα περιλάμβανε αναγκαστικά πράγματα εκτός σχολικής ύλης όπως τον αυστηρό ορισμό του ορίου στο άπειρο και την έννοια του ελάχιστου άνω φράγματος (supremum).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν πέσουν αυτά στις πανελλήνιες θα κλάψουνε μανούλες λέμε . Eξαιρούνται ίσως κάποιες του τύπου "εύρεσης αρχικής συνάρτησης"να και ορισμένες συναρτησιακές σχέσεις : https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=3460&p=106991
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
https://www.operedidixe.gr/
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
[latex][/latex]
[latex]\frac{2}{3}[/latex]
Για να βάλεις spoiler γράφεις αυτό που θέλεις ανάμεσα στις ετικέτες
[spoiler][/spoiler]
[spoiler]κείμενο [/spoiler]
Επίσης μπορείς να κάνεις παράθεση τα μηνύματα των άλλων για να βλέπεις τι έχουν γράψει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Θέμα 1ης Δέσμης 1997, μία δύσκολη ομολογουμένως χρονιά.Δίνεται πραγματική συνάρτηση g δυό φορές παραγωγίσιμη στο R τέτοια ώστε g(x)>0 και g''(x)g(x)-[g'(x)]^2>0, για κάθε x ανήκει R.
Να δείξετε οτι:
1) Η συνάρτηση g'/g είναι γνησίως αύξουσα.
2) g[(X1+X2)/2]<[g(Χ1)g(X2)]^(1/2) για κάθε X1,X2 ανήκουν R διαφορετκά μεταξύ τους.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Ας θεωρήσουμε λοιπόν μία συνάρτηση η οποία δεν μηδενίζεται πουθενά, για παράδειγμα την (διάλεξα αυτήν γιατί με διευκόλυνε στο σχήμα). Μπορούμε εύκολα να βρούμε κατάλληλα α,b θεωρώντας μία τέμνουσα της γραφικής παράστασης και βρίσκοντας τα κοινά σημεία της με αυτήν. Για αυτά τα σημεία η σχέση (*) ικανοποιείται, όμως η συνάρτηση δεν μηδενίζεται πουθενά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Από την συναρτησιακή σχέση για βρίσκουμε ότι οπότε:
. Άρα
και το ζητούμενο έπεται.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Λήμμα
Αν με τότε
Απόδειξη
. Θέτουμε και έχουμε:
H αληθεύει μόνο αν και τότε υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει . Άρα
Επιστρέφοντας στην άσκηση λοιπόν, η δεύτερη δοθείσα σχέση γράφεται
οπότε από το πάνω λήμμα με θα έχουμε ότι
απ΄όπου παίρνοντας μέτρα βρίσκουμε ότι αφού . Συνεπώς:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αρχικά λύνω την εξίσωση . Έχουμε:
Έυκολα αποδεικνύεται με βάση την πρώτη δοθείσα σχέση οτι η είναι ένα προς ένα. Επομένως έχουμε διαδοχικά:
Από είναι
επομένως
Έστω τώρα . Επιλέγοντας εύκολα βλέπουμε ότι οπότε από έχουμε τελικά
και αυτή η συνάρτηση επαληθεύει τις δοθείσες σχέσεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Θα χρησιμοποιήσω
α) Το γενονός ότι για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης , εφ' όσον πληρούνται οι απαραίτητες προϋποθέσεις, ισχύει:
ή με συμβολισμό Leibniz
β) Τον κανόνα της αλυσίδας:
Γενικά αν και έχουμε
Έχουμε:
Edit: Μάλλον άνοιξες το ίδιο θέμα δύο φορές
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Να βρεθεί το όριο θ τείνωντος στο μηδέν του ημθ προς θ όταν το θ εκφράζει μοίρες και όχι rad. :Ρ Βοήθεια κανείς;
Το θέμα είναι να γίνει σωστή αναγωγή από μοίρες σε ακτίνια. Έστω κατ'αρχάς όπου χ γωνία εκφρασμένη σε ακτίνια και όπου θ γωνία εκφρασμένη σε μοίρες.
Ισχύει η ισοδυναμία .
Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει αφού για παράδειγμα . Επειδή όμως άρα και θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι και οπότε
Έχουμε τώρα όπου και . Επειδή και τελικά έχουμε
και όχι την ισοδύναμη σχέση επομένως οι μοίρες παραμένουν μοίρες!
Φανταστείτε για παράδειγμα να γράφουμε αντί για το σωστό που είναι
πηγή:Ευκλείδης Β' τεύχος 78 σελ.72
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι:
·[FONT="]Η συνάρτηση [/FONT][FONT="]f[/FONT][FONT="] στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η [/FONT][FONT="]f΄[/FONT][FONT="] είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.[/FONT]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω κυρτή. Δείξτε ότι η f δεν παίρνει μέγιστη τιμή στο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Είναι
Όμως αφού
από De L'Hospital οπότε
Επεξεργασία:
Τελικά
αφού και αποδείξαμε πάνω ότι . Χάνω κάπου;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Να υπολογιστεί το
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω συνεχής με
i)Να βρεθεί ο τύπος της f
ii)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η
iii)Να εξετάσετε αν η είναι άρτια ή περιττή
iv)Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Χρόνια πολλά!
Είχα βάλει αυτή την Χριστουγεννιάτικη η οποία είχε μείνει "παραπονεμένη" εκτός από το τελευταίο ερώτημα που απάντησε ο Dias ανεξάρτητα από τα προηγούμενα υποερωτήματα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Edit: Ξαφνικά θυμήθηκα την συζήτηση που είχε γίνει εδώ #3257 . Με βάση το θεώρημα που αναφέρω εκεί, για την συγκεκριμένη περίπτωση, αν γράψουμε την συνάρτηση του πρώτου μέλους σαν με τότε η h έιναι αντιστρέψιμη(αφού είναι 1-1), συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το με . Επομένως και η αντίστροφη συνάρτηση θα είναι παντού παραγωγίσιμη. Τώρα η f μπορεί να γραφεί σαν σύνθεση ως εξής . Επομένως η f είναι όντως παραγωγίσιμη σαν σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων και .
Γενικά όμως δεν ισχύει ότι αν η σύνθεση είναι παραγωγίσιμη τότε και οι επιμέρους συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες. Θεωρούμε για παράδειγμα την συνάρτηση
f(x)=2x για χ>=0
3χ για χ<0
Αυτή είναι παραγωγίσιμη σε όλο το R εκτός από το 0. Επίσης είναι 1-1, άρα αντιστρέψιμη. Όμως η σύνθεση είναι παραγωγίσιμη σε όλο το R
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Για μια συνάρτηση ισχύει για κάθε . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Η λύση που είχα στο μυαλό μου είναι να διαιρέσεις την αρχική σχέση με το b και να θέσεις οπότε αρκεί να δείξεις ότι που ισχύει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
i)Να βρεθεί ο τύπος της f
ii)Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί η
iii)Να εξετάσετε αν η είναι άρτια ή περιττή
iv)Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
Χρόνια πολλά!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Και μία λίγο διεστραμμένη:
Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη, τέτοια ώστε
και . Δείξτε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε
Υπόδειξη: Προσπαθείστε να βρείτε ένα διάστημα όπου μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα του Fermat
Για λόγους πληρότητας συμπληρώνω το σκεπτικό του Koum...
Ισχύουν για την f οι προυποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα [-2,0] , [0,2] οπότε
Θεωρούμε την συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη με
Από (1) και (2) καθώς και από υπόθεση έχουμε
Η g τώρα είναι συνεχής στο διάστημα και άρα πιάνει μέγιστο σε αυτό. Όμως και άρα αυτή η μέγιστη τιμή δεν επιτυγχάνεται σε κάποιο από τα άκρα α και b αλλά σε κάποιο .
Άρα από Θ.Fermat
Αν υποθέσουμε ότι τότε . Άτοπο γιατί έχουμε υποθέσει ότι η g παρουσιάζει μέγιστο στο , οπότε τελικά και
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη, τέτοια ώστε
και . Δείξτε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε
Υπόδειξη: Προσπαθείστε να βρείτε ένα διάστημα όπου μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα του Fermat
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
rebel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αυτή μπαίνει με μία επιφύλαξη γιατί δεν ξέρω αν είναι εντός ύλης οι ν-οστές ρίζες της μονάδας!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.