Άλλα μηνύματα του μέλους manos66 σε αυτό το thread

manos66 · 2010-02-03T18:15:58+0200

(fog)(x1) = (fog)(x2)
f(g(x1)) = f(g(x2)) (η f είναι 1-1)
g(x1) = g(x2) (η g είναι 1-1)
x1 = x2

manos66 · 2010-01-06T14:41:32+0200

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Παιδι μου καταλαβε κατι.
Η ${1}^{x}$ ΔΕΝ ειναι συναρτηση.
Η ιδιοτητα που λες ισχυει μονο στις εκθετικες συναρτησεις.
Ενταξει τωρα;

Η ${1}^{x}$ ΕΙΝΑΙ συνάρτηση.
Η ${1}^{x}$ ΔΕΝ ειναι εκθετική συνάρτηση.

manos66 · 2010-01-04T14:45:19+0200

Αρχική Δημοσίευση από Alibaba:
Β) Εστω συναρτηση f, μη σταθερη και συνεχης στο [α.β] τετοια ώστε: f(x)>=0 για κάθε χ Ε [a,b]
(i) Να δέιξετε ότι για κάθε χ1, χ2 Є [α,β] υπαρχει κ Є (α,β) ώστε f(k)=√(f(x1)f(x2))
(ii) Να δείξετε ότι υπαρχει λ Є (α,β) ώστε f(λ)≥√(f(x1)f(x2)) για κάθε χ1, χ2 Є [α,β]

Πρέπει να διορθώσεις κάτι στο (i) ερώτημα
Για παράδειγμα η συνάρτηση $f (x) = \sqrt{1-x^2},x\epsilon [-1,1]$ , με α = x1 = -1 και β = x2 = 1
Δεν υπάρχει κ που να ικανοποιεί το ζητούμενο

manos66 · 2010-01-02T13:39:51+0200

Αρχική Δημοσίευση από messidona:
Α Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω.να αποδείξετε ότι
Ρ(Α) + Ρ(Β)<=1 + Ρ(Α)*Ρ(Β)
ευχαριστώ προκαταβολικά

Aρκεί ν.δ.ο. 1 + Ρ(Α)*Ρ(Β) - Ρ(Α) - Ρ(Β) >= 0 ή
[1 - Ρ(Α)] [1 - Ρ(Β)] >= 0
που ισχύει διότι
0 <= Ρ(Α) <= 1 και 0 <= Ρ(Β) <= 1

manos66 · 2009-12-22T14:11:53+0200

Αρχική Δημοσίευση από metalmaniac:
βοηθήστε λιγο
εστω f με πεδίο ορισμου (0,+απειρο) με f(1)=1 An f'(x)=xf(1/x) για κάθε χ>0 να βρείτε τον τύπο της f

f'(x)=xf(1/x) (1)
H f΄ είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισίμων
Παραγωγίζοντας κατά μέλη την (1) έχουμε
f΄΄(x) = f(1/x) - f΄(1/x)/x (2)

Aπό την (1) έχουμε : f(1/x) = f΄(x)/x (3)

Στην (1) αν αντικαταστήσουμε όπου x το 1/x έχουμε
f΄(1/x) = f(x)/x (4)

Aπό τις (2), (3) , (4) προκύπτει :
$f''(x) = \frac{xf'(x) - f (x)}{x^2}=\left(\frac{f (x)}{x} \right)'$

άρα $f'(x) = \frac{f (x)}{x} +c$
Eίναι f (1) = f΄(1) = 1, άρα c = 0

$\\ f'(x) = \frac{f (x)}{x} \Leftrightarrow ... \\ \frac{xf'(x) - f (x)}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \\ \left(\frac{f(x)}{x} \right)'=0 \Rightarrow \\ \frac{f(x)}{x} =c_1 \Leftrightarrow \\ f (x) = c_1x$

f (1) = 1, άρα c1 = 1 και f (x) = x

Αρχική Δημοσίευση από metalmaniac:
βοηθήστε λιγο
Δινεται η παραγωγίσιμη f :R->R με f'(x)+f(x)ημχ=0 για κάθε χ ανήκει R
Nα δέιξετε οτι η f ειναι δυο φορές παραγωγίσιμη

f'(x) = -f(x)ημχ
f' παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγισίμων
άρα f δύο φορές παραγωγίσιμη

manos66 · 2009-12-09T19:16:23+0200

Αρχική Δημοσίευση από mixas!!:
11)Nα δειξετε ουι δεν υπαρχουν δυο διαφορετικες εφαπτομενες της καμπυλης y= ${e}^{1-x}$ ωστε να ειναι παραλληλες.
Ισχυει το ίδιο για την καμπυλη $y={(2x-1)}^{3}$

Μια βοηθεια εστω για να αρχισω???πλιζζζ....

Πρέπει f΄(x1) = f΄(x2) ... x1 = x2

manos66 · 2009-12-09T17:20:02+0200

Αρχική Δημοσίευση από y33p33:
Αν θα μπορουσε κάποιος να ρίξει μια ματιά σε αυτή

Έστω γν.αύξουσα συνάρτηση $f:Rrightarrow R$ για την οποία ισχύει:

$f{}^{2}left(a right)-left[fleft(beta right)+fleft(gamma right) right]cdot fleft(alpha right)+fleft(beta right)cdot fleft(gamma right)succ 0$

Για κάθε $alpha ,beta ,gamma in R$ με $alpha neq beta neq gamma$ . Να δείξετε ότι
$alpha {}^{2}-left(beta +gamma right)alpha +beta gamma succ 0$

:thanks:

$\\ f{}^{2}\left(a \right)-\left[f\left(\beta \right)+f\left(\gamma \right) \right]\cdot f\left(\alpha \right)+f\left(\beta \right)\cdot f\left(\gamma \right)> 0$
$[f(a)-f(\beta )][f(a)-f(\gamma )]>0$
f (α) - f (β) , f (α) - f (γ) ομόσημοι
[f(α) > f (β) και f (α) > f (γ)] ή [f(α) < f (β) και f (α) < f (γ)]

και επειδή f γν. αύξουσα
(α > β και α > γ) ή (α < β και α < γ)
(α - β > 0 και α - γ > 0) ή (α - β < 0 και α - γ < 0)
(α - β)(α - γ) > 0

$a^2-(\beta +\gamma)a +\beta \gamma > 0$

manos66 · 2009-11-23T13:17:35+0200

Αρχική Δημοσίευση από angelica_pickles:
Αν f,g συναρτησεις συνεχεις στο R με
$lim_{xrightarrow2}f(x)=1$ και $lim_{xrightarrow2}g(x)=frac{1}{2}$ και $f(x)neq g(x)$
να δειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον $x_o$ $in$ $(2,3)$ τετοιο ωστε
$f(x_o) + f^2(x_o)=frac{g(x_o)}{x_o - 2}$

παιδια ελπιζω καποιος να μπορει να βοηθησει!!!100 ωρες εγραφα!
ευχαριστω

Από τα όρια και τη συνέχεια των f,g προκύπτει ότι f (2) = 1 και g (2) = 1/2.

θεωρούμε τη συνάρτηση h με $h(x)=(x-2)\left[f^2(x)+f(x) \right]-g(x)$
Η h είναι συνεχής στο [2 , 3] ως πράξεις συνεχών
h(2) = - g(2) = -1/2 < 0
$h(3)=f^2(3)+f(3)-g(3)>0$ *
Θ. Bolzano ...

* Έστω συνάρτηση φ (x) = f (x) - g (x)
Η φ είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών και δεν έχει ρίζες, άρα από συνέπειες του Θ. Bolzano διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R.
φ(2) = f (2) - g (2) = 1 - 1/2 = 1/2 > 0,
άρα φ (x) > 0, για κάθε x πραγματικό.
φ (3) = f (3) - g (3) > 0

manos66 · 2009-11-22T16:26:34+0200

Αρχική Δημοσίευση από Alibaba:
ευχαριστω! μπορεις να μου εξηγήσεις και μετα πως το λύνω με το θεώρημα μεγιστης και ελαχιστης τιμής?

Το θ. μέγιστης-ελάχιστης τιμής μου δίνει ότι η συνεχής h παρουσιάζει μέγιστο στο [α , β].
Αυτό ζητάει η άσκηση.

manos66 · 2009-11-22T16:04:34+0200

Αρχική Δημοσίευση από Alibaba:
Ευχαριστώ φίλε Βαγγέλη! μηπώς μπορείτε να με διαφωτίσετε και για μια αλλη άσκηση? Ασκηση:
Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g: [α,β] --> Rκαι μια τυχαια ευθεία (ε): χ=t που τέμνει τις Cfκαι Cgστα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι υπάρχει ευθεία (ε), ώστε η απόσταση ΑΒ να είναι η μεγαλύτερη.

H απόσταση ΑΒ είναι η κατακόρυφη απόσταση των Cf, Cg.
AB = | f (x) - g (x) | = h (x)
H h είναι συνεχής στο [α , β].
Θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής
...

manos66 · 5 Νοεμβρίου 2009 στις 13:56

Αρχική Δημοσίευση από mixas!!:
ευχαριστω για την απαντηση αλλα δεν καταλαβα..τι εννοειτε κακαως ορισμενο???

βρηκα το λιμ χωρις το ln, εκανα παραγοντοποιηση του μεγιστου ορου εδιωξα τα χ^2 και εβγαλα πλιν απειρο β

μετα εθεσα αυτο βρηκα y και ειχα lim lny=-00 δεν βρηκα πεδιο ορισμου(πρπεει να βρισκω παντα??)

για την δευτερη λυση σας εχω lny=ln0=1

Μπορώ να βρώ το όριο μιας συνάρτησης f στο +οο μόνο όταν αυτή είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής (α , +οο), ώστε να μπορώ να βρώ την συμπεριφορά της σε πολύ μεγάλες τιμές του x.
Στη συγκεκριμένη άσκηση η f δεν ορίζεται σε τέτοιο διάστημα.

Επίσης δεν υπάρχει ln0.
Ορίζεται λογάριθμος μόνο για θετικούς αριθμούς.
Μάλλον το μπέρδεψες με το ln1 = 0.

manos66 · 5 Νοεμβρίου 2009 στις 12:55

Αρχική Δημοσίευση από mixas!!:
$lim_{+varpi }lnfrac{x^2+1}{2-x}$ μπορειτε λιγο να με βοηθησετε βασικα το ln(-oo)=-00??? γιατι εγω αντι +00 το βγαζω -οο

το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με
$f (x) = ln\frac{x^2+1}{2-x}$
είναι το (-οο , 2)
άρα το ζητούμενο όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }ln\frac{x^2+1}{2-x}$
είναι "κακώς" ορισμένο.

Αρχική Δημοσίευση από mixas!!:
$lim_{-varpi }lnfrac{x+2}{x^2+1}$ και σε αυτην γιατι αυτην την βγαζω 0

$\lim_{x\rightarrow -\propto }\frac{x+2}{x^2+1} = 0$
άρα
$\lim_{x\rightarrow -\propto }ln\frac{x+2}{x^2+1} = \lim_{u\rightarrow 0}lnu= -\propto$

manos66 · 2009-10-30T17:05:28+0200

Aπαλοιφή παρονομαστών
$xy=1-x^2+x \Leftrightarrow x^2+(y-1)x-1=0$
Λύνω σαν δευτεροβάθμια ως προς x, με x > 0

manos66 · 2009-10-26T13:34:15+0200

Αρχική Δημοσίευση από στεφγκολ:
έχω μία απορία ίσως αφελή για κάποιους που γνωρίζουν.. το ημίτονο γωνίας μη ορθογωνίου τριγώνου ορίζεται ? και αν ναι πως? στο νόμο του ημίτονου γνωρίζουμε ότι για ένα τρίγωνο με γωνίες α,β,γ και πλευρές Α,Β,Γ ισχύει Α/sina=B/sinb=C/cinc. Πως θα οριστούν αυτά τα ημίτονα?

Ορίζεται ημίτονο μιας οποιασδήποτε γωνίας, ανεξάρτητα αν αυτή είναι ή δεν είναι γωνία τριγώνου, τετραπλεύρου, κ.λ.π..

manos66 · 2009-10-26T13:13:14+0200

Αρχική Δημοσίευση από metalmaniac:
Μπορεί κάποιος ν μου εξηγησει πως λύνονται οι ασκήσεις με συνθεση στην συνέχεια με όρια?Για παράδειγμα

f(x)=ημx,x<=0 και g(x)=(x^2)-1,x<=1
xσυνχ,χ>0 (x^2)-3x+2,x>1

Nα δείτε αν η f0g είναι συνεχής στο 1

Δηλαδή τι πρεπει να κάνω να βρώ ολες τις συνθέσεις και να τις εξετάσω μια μια?

Δείξε ότι η g είναι συνεχής στο 1 και η f συνεχής στο 0.
Άρα η fog είναι συνεχής στο 0

Επίσης,εχω x0=1,lim(f(x)-5)/(x-1)=10,με χ τείνει 1
Bρείτε το f(1),to βρήκα
Δείξτε οτι εινα συνεχ,στο -1,το έδειξα
Να βρεθεί το lim(f(x)+5)/(x+1),με χ τείνει -1,Εδω τι κανω μ βγαίνει 0/0

Πρέπει να σου δίνει ότι η f είναι περιττή
$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{f(x)+5}{x+1}$
θέτω x = -t. Όταν x --> -1, τότε t --> 1.
$\\ \lim_{x\rightarrow -1}\frac{f(x)+5}{x+1}= \\ =\lim_{t\rightarrow -1}\frac{f(-t)+5}{-t+1} \\ =\lim_{t\rightarrow 1}\frac{-f(t)+5}{-t+1}\\ = \lim_{t\rightarrow 1}\frac{f(t)-5}{t-1} = 10$

Αρχική Δημοσίευση από Zorc:
Θα ηθελα μια βοηθεια για αυτην την ασκηση:
Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο R και συνεχης στο σημειο ${x}_{0}=0$ . Αν $g(x)=frac{xf(x)+{(sin x)}^{2}}{x}$ με g'(0)=0 και g(0)=4, ν.δ.ο. η f παραγωγισιμη στο σημειο 0.

Δεν καταφερνω να καταληξω σε κατι, σε απροσδιοριστια καταληγω.

Για x<>0 : $f(x)= g(x) - \frac{\eta \mu^2x}{x}$

$f(0)= \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = ... =g(0)= 4$

$\\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-4}{x} \\ = \lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{g(x)-4}{x}-\left( \frac{\eta \mu x}{x}\right)^2\right] \\ =g'(0)-1= -1$

manos66 · 2009-10-23T18:09:48+0300

Αρχική Δημοσίευση από fatalflow:
μπορει κανεις σας να μου πει πως να δειξω οτι το λιμ ημχ/χ^ν=0;
χ->+απειρο

το ν ανηκει στο ????

manos66 · 2009-10-23T14:48:49+0300

Αρχική Δημοσίευση από πηνελοπη:
οποιος μπορει να με βοηθησει!!!
Εστω f,g συναρτησεις συνεχεις στο διαστημα Δ και σε 0 ε Δ
Αν για καθε x e Δ ΙΣΧΥΕΙ:f(x)-g(x)=cx, c e R
και η εξισωση f(x)=0 εχει στο Δ δυο ριζες ρ1,ρ2 ετεροσημες (ρ1<0<ρ2) να δειξετε οτι η εξισωση g(x)=0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο διαστημα [ρ1,ρ2]

Θ. Bolzano με τη συνάρτηση g (x) = f (x) - cx στο [ρ1 , ρ2]
(1η δέσμη 1989)

manos66 · 2009-10-22T13:21:33+0300

Αρχική Δημοσίευση από Koulis3:
ρε παιδια αν μας λεει πως ''η f ειναι αρτια και η g ειναι περιττη,να βρειτε την fog'' τι κανουμε ακριβως?και πως θα δειξω πως η συναρτηση f^3(x)+xf(x)=3x+5 ειναι αυξουσα?

H έκφραση "f ειναι αρτια και η g ειναι περιττη,να βρειτε την fog''
είναι λάθος ή ελλειπής.

Θα μπορούσε να λέει "Αν η f ειναι αρτια και η g ειναι περιττη,να δείξετε ότι η fog είναι άρτια''

--------------------------------------------
Η f^3(x)+xf(x)=3x+5 δεν είναι συνάρτηση

manos66 · 2009-10-20T00:30:33+0300

Αρχική Δημοσίευση από Voulitsa:
Εστω ΖeC και f(z)=z^2 + 2z + 3

α) Να βρείτε τους χ,y eR ώστε f(x-2yi)=2
β) να βρειτε τους α,β eR ωστε η εξισωση f(z)=αz+β να εχει ριζα τον 1-2i
γ) Αν Z1 η ριζα της εξισωσης f(z)=2z+2 με Im(Z1)<0 να υπολογισετε την παρασταση Α= Ζ1^53 + 1/Ζ1^74

Στο α) ερωτημα βαζω στην εξισωση f(z)=z^2 + 2Z +3
οπου Ζ το χ-2yi και φτάνω να εχω
(χ^2 - 4y^2 + 2x +1) + (-4xy - 4y)i =0

Απο το δευτερο βγαζω y=0 και x=-1
Ενω απο το πρωτο βγαζω x^2 - 4y^2 +2x +1=0
και δεν το βγαζω μετα, παιρνω τους τυπους για κυκλο,αλλα δεν νομιζω να ειναι ετσι...

Μπορειτε να δειτε λιγο κ τ αλλα δυο ερωτηματα να τ τσεκάρω? Ειδικα το τριτο.

Ευχαριστω πολυ!

Για το α)
Απο το δευτερο βγαζω y=0 ή x=-1
Ενω απο το πρωτο βγαζω x^2 - 4y^2 +2x +1=0 (1)
Στην (1) για y = 0 παίρνεις x = -1
Στην (1) για x = -1 παίρνεις y = 0

Άρα x = -1 και y = 0

β)
Η εξίσωση γίνεται $z^2+(2-a)z+(3-b)=0$
Από τύπους Vieta
S = α - 2 = (1 - 2i) + (1 + 2i) => α = 4
P = 3 - β = (1 - 2i)(1 + 2i) => β = -2

γ)
Η εξίσωση γίνεται $z^2 = -1$ , άρα $z_1 = -i$

και

$A = (-i)^{53}+\left(\frac{1}{-i} \right)^{74} = -i^{53}+i^{74} = -i-1$

manos66 · 2009-10-15T22:50:26+0300

Αρχική Δημοσίευση από mixas!!:
τελικα το βρηκα:
(χ+1)(χ^2-χ-1)/(χ+1)(-χ^2-χ-6)

To σωστό είναι

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x+1)(x^2-x-1)}{(x+1)(-x^2+x-6)}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-x-1}{-x^2+x-6}=\frac{1}{-8}$

manos66 · 8 Οκτωβρίου 2009 στις 08:32

Αρχική Δημοσίευση από mina14:
κατευθυνση ειμαι κ αυτο που αναρωτιεμαι ειναι απλα οτι εχει ημιτονο απολυτο χ(οχι απολυτο ημιτονο χ)επηρεαζει αυτο?ευχαριστω παντως

$\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\eta \mu \left|x \right|}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{\left|x \right|}}{\frac{\eta \mu \left|x \right|}{\left|x \right|}}= \frac{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\left|x \right|}}{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\eta \mu \left|x \right|}{\left|x \right|}}=\frac{+\propto }{1}=+\propto$

manos66 · 2009-09-28T22:39:27+0300

Αρχική Δημοσίευση από Ηλίας-Χρηστος:
Παιδια ο καθηγητης μας εδωσε 4 ασκησεις πιθανες για 4ο θεμα...και δν καταφερα τπτ οεο:
1)Να λυθει

-

>

-5x+6
Οι αλλες ειναι πολυ μεγαλες οι εκφωνησεις γιαυτο λεω να μην τις γραψω μπας κ γινει κανα μπερδεμα!

πρέπει να είναι $2^{3x-x^2}-x^2> 2^{6-5x}-8x + 6$

Την γράφεις $2^{3x-x^2}+3x-x^2> 2^{6-5x}+ 6-5x$

Θεωρείς τη συνάρτηση $f (x) =2^x+x$

Δείχνεις ότι η f είναι γν. αύξουσα

H ανίσωση γράφεται $f(3x-x^2)> f(6-5x)$ ...

manos66 · 2009-09-25T18:14:25+0300

Αρχική Δημοσίευση από Metallas:
Όποιος σοφός ας με φωτίσει....

Εστω f(x)=x^3+συν(πx)-1 Και g(x)=ln(x-1).Αποδειξτε οτι για καθε κΕ(e+1/e, e^8+1) υπαρχει ξΕ(1,2) τετοιο ωστε F(ξ)=g(k).

Κολλάω στην δικαιολογηση των προσημων ωστε να εφαρμοσω Bolzano

Δείξε ότι η g είναι γν. αύξουσα στο (1 , 2)
Έπειτα δείξε ότι -1 < g (k) < 8
θεώρησε τη συνάρτηση h (x) = f (x) - g (k) ...

manos66 · 2009-09-22T23:04:05+0300

θα το βρεις εδώ
https://www.pi-schools.gr/content/index.php?lesson_id=12&ep=93https://pi-schools.sch.gr/download/lessons/mathematics/ lykeio/g-statistics-lyseis.zip

manos66 · 2009-09-22T13:47:20+0300

Αρχική Δημοσίευση από tazonis:
Εχω μια ασκηση π λεει αν η χ2 + αχ + β = 0 εχει λυση τησ μορφης λ(1+ι) ΔΟ β>0 και β=1/2 α στο τετραγωνο. Καμια ιδεα?

Οι δύο ρίζες της εξίσωσης είναι
$\\ z_1=\lambda +\lambda i \\ z_2=\lambda -\lambda i$

Από τύπους Vieta έχουμε
$\\ z_1+z_2=2\lambda =-a \Rightarrow a=-2\lambda \\ z_1*z_2=2\lambda^2 =\beta \geq 0 \\ \\ \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}(-2\lambda )^2 = 2\lambda ^2=\beta$

manos66 · 2009-09-21T14:57:03+0300

Αρχική Δημοσίευση από Danai!:
Έστω η συνεχής στο R συνάρτηση f για την οποία έχουμε :
(x-3)f(x)= x^3+βx^2+x-γ για κάθε x ανήκει R και το σημείο Α(1,2) που ανήκει στο γράφημα της f. Να βρείτε τα β, γ που ανήκουν στο R.

Σκέφτηκα να πάρω τη σχέση f(x)= ψ και να βάλω όπου ψ το 1 και όπου f(x) το 1. Όμως έτσι βγαίνει μία σχέση. Η δεύτερη πώς προκύπτει;

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^3+\beta x^2+x-\gamma }{x-3},x\neq 3 \\ a, x=3 \end{matrix}\right.$

πρέπει $\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=a\in R$

manos66 · 2009-09-19T13:55:17+0300

Αρχική Δημοσίευση από Zorc:
Δινεται η συνεχης συναρτηση f: IR --> IR για την οποια ισχυουν f(0)=0 και
$lim_{xrightarrow -inf}f(x)=+inf$ . Να δειξετε οτι υπαρχει τουλαχιστον ${x}_{0}<0$ τετοιο ωστε $f({x}_{0})={e}^{{x}_{0}}+{x}_{0}sin frac{1}{{x}_{0}}$ .

Δεν μπορω να καταληξω πουθενα. Θα εκτιμουσα μια βοηθεια.

Θεωρούμε συνάρτηση g, με $g (x) = f(x)-e^x-x\eta \mu \frac{1}{x}$

$\\ \lim_{x\rightarrow -\propto }g (x) = \lim_{x\rightarrow -\propto }\left[ f(x)-e^x-x\eta \mu \frac{1}{x}\right] = ... = +\propto \\ \lim_{x\rightarrow 0^-}g (x) = \lim_{x\rightarrow 0^-}\left[ f(x)-e^x-x\eta \mu \frac{1}{x}\right] = ... = -1$

...

manos66 · 2009-09-18T13:31:37+0300

$f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}-ax+b=\frac{(1-a)x^2+(b-a)x+1+b}{x+1}$

Για να είναι $\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x) =0$
πρέπει ο βαθμός του αριθμητή να είναι μικρότερος του βαθμού του παρονομαστή.

Άρα 1 - α = 0 και b - a = 0.
Eπομένως α = b = 1.

manos66 · 2009-09-18T13:20:50+0300

Αρχική Δημοσίευση από Metallas:
Παιδιά γεια σας...Έχω λύσει μια άσκηση 3 φορες και τις 3 την εκανα λάθος....please βοηθήστε με :

An f(X)=x^2+1/x+1-ax+b να βρειτε τα α,β Ε R
για τα οποια ισχύει lim f(x)=0(x--->+oo)

Aν $f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}-ax+b$
τότε α = b = 1

manos66 · 2009-09-15T13:01:50+0300

Αρχική Δημοσίευση από cyclops:
O manos66 αναφερει με αντικατασταση δηλαδη χ=y/2???

x = 2/y και καταλήγεις σε μια διτετράγωνη εξίσωση

manos66 · 2009-09-14T23:20:00+0300

Αρχική Δημοσίευση από cyclops:
Γεια σας παλι χρειαζομαι τν βοηθεια σας..Να λυθουν οι εξισωσεις a) z^2=3+4i b) z^2=-8+6i

α)
1oς τρόπος
z = x+yi
Καταλήγουμε στο σύστημα
$\left\{\begin{matrix}x^2-y^2=3 \\ 2xy=4 \end{matrix}\right.$

το λύνουμε με αντικατάσταση και βρίσκουμε
$\\ \left\{\begin{matrix}x= 2 \\ y=1 \end{matrix}\right. or \left\{\begin{matrix}x= -2 \\ y=-1 \end{matrix}\right.$

άρα z = 2+i ή z = -2-i.

2oς τρόπος
$z^2=3+4i =4+4i-1=2^2+4i+i^2=(2+i)^2$
άρα
$z=^+_-(2+i)$

manos66 · 2009-09-13T19:06:18+0300

Αρχική Δημοσίευση από cyclops:
Γεια σας. δυο ασκησεις που πρεπει να ειναι αρκετα ευκολες αλλα κατι μου ξεφευγει και απο τις δυο.

Αν ν ανήκει N* και η ευκληδεια διαιρεση του ν με το 4 ειναι τελεια να υπολογισετε τν τιμη της παραστασης: Α=(1+i)^ν-(1-ι)^ν.

ν = 4k
(1+i)^v = (1+i)^{4k} = [(1+i)^4]^k = (-4)^k
(1-i)^v = (1-i)^{4k}=[(1-i)^4]^k = (-4)^k
άρα Α = 0

Αρχική Δημοσίευση από cyclops:
ii) Αν Z ανηκει C και ισχυει z^2+z+1=0
α) να αποδειχθει οτι z^3=1
β) να υπολογισετε τν τιμη της παραστασης Κ=z^2008+1/z^2008

στην ii) λυνω αρχικα την εξισωση με διακρινουσα?? και αν ειναι σωστο πως αξοποιητε παιρετερω.?

α) z^2+z+1=0 <=> (z-1)(z^2+z+1)=0 <=> z^3-1 = 0 <=> z^3 = 1
β) z^2008 = (z^3)^669 . z = z
1/z^2008 = 1/z = z^3/z = z^2
K = z + z^2 = -1 από την αρχική σχέση
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Bkid:
Συνεχιζω απο εκει που εμεινα πριν,αλλα δεν θα γραψω με λατεχ γιατι εχει προβ.. z=yi

αρα /yi-1+2i/=-y <-> /-1+(y+2)i/=-y <-> [/-1+(y+2)i/]^2=(-y)^2 <->

(-1)^2+(y+2)^2=(-y)^2 <-> 1+y^2+4y+4=y^2 <-> 4y=-5 <-> y=-5/4

Ακριβώς αυτή είναι η λύση.
Η μόνη παρατήρηση που έχω να κάνω είναι ότι επειδή το α΄ μέλος είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός, άρα και το iz είναι μη αρνητικός αριθμός, άρα z = yi με y<=0 (ο οποίος περιορισμός επαληθεύεται από την τιμή y = -5/4)

manos66 · 2009-09-11T12:53:08+0300

Αρχική Δημοσίευση από geo-oiko:
f:R->R, f(x)+e^f(x)=2x-2005 xER
ν.δ.ο. αντιστρεφεται.
προσπαθω να δειξω οτι ειναι 1-1 αλλα εχω προβλημα με το e^f(x)

$\\ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x_1)=f(x_2) \\ e^{f(x_1)}=e^{f(x_2)} \end{matrix}\right. \Rightarrow^{(+)} \\ f(x_1) +e^{f(x_1)} = f(x_2) +e^{f(x_2)} \Leftrightarrow \\ 2x_1-2005=2x_2-2005 \Leftrightarrow \\ 2x_1=2x_2 \Leftrightarrow \\ x_1=x_2$

άρα η f είναι "1-1".

manos66 · 2009-09-11T10:24:27+0300

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
α)
Απο την πρωτη σχεση απο τις 2 σχεσεις του 2) παιρνουμε πως:
$lim_{xrightarrow a}f(x)-lim_{xrightarrow a}g(x)=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow a}f(x)=lim_{xrightarrow a}g(x)$ και χρησιμοποιωντας τις ιδιοτητες των οριων στη δευτερη απο τις σχεσεις στο 2) εχουμε:
$lim_{xrightarrow a}f(x)g(x)=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow a}f(x)lim_{xrightarrow a}g(x)=0$ ομως ισχυει $lim_{xrightarrow a}f(x)=lim_{xrightarrow a}g(x)$
άρα $[lim_{xrightarrow a}f(x)]^2=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow a}[f(x)]^2=0$ ! ομοιως και για την g!!

Δεν μπορούμε να "σπάσουμε" σε $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ και $\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ διότι δεν γνωρίζουμε αν υπάρχουν.

$\\ \lim_{x\rightarrow a}[f^2(x)+g^2(x)] \\ = \lim_{x\rightarrow a}[f(x)-g(x)]^2+2f(x)g(x)]\\ = \lim_{x\rightarrow a}[f(x)-g(x)]^2+2\lim_{x\rightarrow a}[f(x)g(x)] \\ = \left( \lim_{x\rightarrow a}[f(x)-g(x)]\right)^2+2\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x) \\ = 0$

manos66 · 2009-09-10T19:33:22+0300

Αρχική Δημοσίευση από metalmaniac:
thnx Μπορούμε να το λύσουμε και έτσι?Δηλαδή ν πούμε z=z(συζυγής)kαι σπασουμε το κάσμα με δύναμη στον αριθμητή-δύναμη στον παρονομαστή και να καταλύξουμε σε κάτι που ισχύει?

Σωστά:no1:

manos66 · 2009-09-10T18:14:06+0300

Αρχική Δημοσίευση από metalmaniac:
Xαιρεται είμαι new member,Kαι θα ήθελα βοήθεια
Moλις βρήκα 2 ασκήσεις απο ενα απλαιοτερο βιβλίο και εχω κολήσει.Παρακαλώ ρίξτε μια ματιά.

Λέει δείξτε οτι ο ζ δεν ειναι πραγματικός και έχει (1+iz)^v=(2+ι)/(1+2i),το v είναι αριθμός.

Αν z πραγματικός τότε
$\\ (1+iz)^v = \frac{2+i}{1+2i}\Rightarrow \\ \left| (1+ix)^v\right| = \left| \frac{2+i}{1+2i}\right|\Leftrightarrow \\ \left| 1+ix \right|^v = \frac{\left|2+i\right|}{\left| 1+2i\right|} \\ \left| 1+ix \right|^v = 1 \Leftrightarrow \\ \left| 1+ix \right| = 1 \Leftrightarrow \\ \sqrt{1+x^2} = 1 \Leftrightarrow \\ x=0 \Rightarrow z=0$

Όμως αν z = 0 η αρχική γίνεται :
$\\ 1 = \frac{2+i}{1+2i}\Leftrightarrow 2+i = 1 + 2i$
ATOΠΟ
Άρα ο z δεν είναι πραγματικός

Αρχική Δημοσίευση από metalmaniac:
Xαιρεται είμαι new member,Kαι θα ήθελα βοήθεια
Moλις βρήκα 2 ασκήσεις απο ενα απλαιοτερο βιβλίο και εχω κολήσει.Παρακαλώ ρίξτε μια ματιά.

Και η άλλη ιz1ι=ιz2ι,αυτο ήταν ισουητα με μετρα.Δείξτε Z ανήκει R,Αν Z=[(z1+z2)/(z1-z2)]^2

$\left|z_1 \right|=\varrho \Rightarrow \left|z_1 \right|^2=\varrho ^2 \Leftrightarrow z_1\bar{z}_1 = \varrho ^2 \Rightarrow \bar{z}_1 = \frac{\varrho ^2}{z_1}$
Όμοια $\bar{z}_2 = \frac{\varrho ^2}{z_2}$

Άρα

$\\ \bar{z}=\\ \frac{}{\left(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} \right)^2} \\ = \left(\frac{\bar{z}_1+\bar{z}_2}{\bar{z}_1-\bar{z}_2} \right)^2 \\ = \left(\frac{\frac{\varrho ^2}{z_1}+\frac{\varrho ^2}{z_2}}{\frac{\varrho ^2}{z_1}-\frac{\varrho ^2}{z_2}} \right)^2\\ = \left(\frac{\frac{\varrho ^2(z_2+z_1)}{z_1z_2}}{\frac{\varrho ^2(z_2-z_1)}{z_1z_2}} \right)^2 \\ = \left(\frac{z_1+z_2}{-(z_1-z_2)} \right)^2 \\ = \left(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} \right)^2 = z$

Επομένως ο z είναι πραγματικός

manos66 · 2009-09-08T22:21:35+0300

[quote=Rania.;571798] Δινονται οι συναρτησεις f:R->R* και g:R->R, απο τις οποιες η f ειναι μια φορα και η g δυο φορες παραγωγισιμη στο R. Αν ακομα ισχυει {g(x)}^2 + {g'(x)}^2 = 1 για καθε χ στο R και Μ(α,β) ειναι κοινο σημειο των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f και h(x)=f(x)g'(x), x στο R, να δειξετε οτι:
α) g'(a)=1 και g(a)+g''(a)=0
β) g(a)=0
γ) Οι Cf, Ch εχουν στο σημειο Μ κοινη εφαπτομενη.

ΛΟΙΠΟΝ, εχω φτασει μεχρι το φοβερο g'(x)( g(x)+g''(x) )=0.
Δεν εχω ιδεα τι να κανω μετα.[/quote]

$f(a)=h(a)\neq 0 \Leftrightarrow f(a) = f(a)g'(a)\Leftrightarrow 1 = g'(a)$

$g^2(a)+g'^2(a)=1 \Leftrightarrow g^2(a)+1=1 \Leftrightarrow g^2(a)=0 \Leftrightarrow g(a)=0 \\ \left(g^2(x)+g'^2(x) \right)'=(1)' \Rightarrow 2g(x)g'(x)+2g'(x)g''(x) = 0 \\ 2g(a)g'(a)+2g'(a)g''(a) = 0 \Rightarrow 0+g''(a) = 0 \Rightarrow g''(a) = 0$

$h'(x)=f'(x)g'(x)+f(x)g''(x) \Rightarrow h'(a)=f'(a)g'(a)+f(a)g''(a) \Leftrightarrow h'(a)=f'(a)$

manos66 · 2009-09-08T14:47:37+0300

Αρχική Δημοσίευση από bour1992:
Το δευτερο το έλυσα.
Το πρώτο με δυσκολεύει γιατί έχει ρίζα και στον αριθμητή και στον παρανομαστή.

Πολλαπλασιάζεις αριθμητή και παρονομαστή και με τις δύο συζυγείς παραστάσεις

manos66 · 2009-09-07T15:52:50+0300

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
βασικα και εγω ρωτησα και μου ειπαν οτι αυτο το συγκεκριμενο επρεπε να ειναι στην θεωρια και ετσι δινουν καθε χρονο οδηγια στους διορθωτες να το λαμβανουν σωστο και χωρις αποδειξη (Υ.Γ η αποδειξη ειναι μιση σειρα αλλα λεμε τωρα )

Σωστά.
Άλλωστε θα αποτελεί ένα μικρό κομμάτι της λύσης.

manos66 · 2009-09-07T15:50:37+0300

Αρχική Δημοσίευση από nPb:
Δημήτρη, οι συναρτήσεις που δίνει η άσκηση είναι $f(x)=frac{x}{{e}^{x}-1}$ και $g(x)=sqrt{1-{e}^{x}}$ ;
Η συνάρτηση $f,g$ έχει πεδίο ορισμού το $IR^*$ δηλ., οι συναρτήσεις ορίζονται σε όλο το IR εκτός από κει που μηδενίζονται (για x=0).

Για να βρεις το $(fog)(x)$ ή $f(g(x))$ θα πρέπει να θέσεις όπου $x$ το $g(x)$ . Πράγματι,

$fog (x)= frac{sqrt{1-e^x}}{{e}^{sqrt{1-{e}^{x}}}-1}$

Στην δεύτερη περίπτωση, η διαφορά συναρτήσεων υπολογίζεται ως εξής: ${g}^{2}(x)-frac{1}{f(x)}=1-{e}^{x}-frac{{e}^{x}-1}{x}=...=frac{x-x{e}^{x}-{e}^{x}+1}{x}=frac{(x+1)(1-{e}^{x})}{x}$ για κάθε $xin IR^*$

Το πεδίο ορισμού της g είναι το (- $\propto$ , 0].
Το πεδίο ορισμού των fog και g^2-1/f είναι το (- $\propto$ , 0).

manos66 · 2009-09-06T19:48:03+0300

Αρχική Δημοσίευση από coheNakatos:
$|z-2i|=4$ Το μικροτερο μετρο του z ειναι η αποσταση του κεντρου και του Ο(0,0) μειον την ακτινα αρα :
${|z|}_{min}=|(OK)-varrho |=|2-4|=2$

Ζητάει το μιγαδικό με το ελάσχιστο μέτρο και όχι το ελάχιστο μέτρο.
Το ελάχιστο μέτρο είναι πράγματι 2.
Από το σχήμα προκύπτει εύκολα ότι ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο z0 = -2i.

manos66 · 2009-09-05T16:46:40+0300

Αρχική Δημοσίευση από pepper ann:
Μου δίνει κάτι εξισώσεις και μου ζητάει να τις λύσω γραφικά. Μία απο αυτές : x.2^x=2
Όταν λεει να τις λύσω γραφικά εννοεί σε άξονες?
Σκέφτηκα να θέσω f(x)=x.2^x-2,άρα μου ζητάει να λύσω την f(x)=0,να αποδείξω ότι η f είναι γνησίως μονότονη και να του πω ότι προφανής λύση είναι η 1,κ επειδή είναι γν.μονότονη,έχει και μοναδική ρίζα.Αλλά πως σκατά θα το κάνω αυτό γραφικά?

To 0 προφανώς δεν είναι ρίζα.
Για $x\neq 0$ η εξίσωση γίνεται $2^x=\frac{2}{x}$
Θα βρούμε γραφικά τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g, με f (x) = $2^x$ και $g (x)=\frac{2}{x}$

Μοναδική λύση x = 1

manos66 · 2009-09-01T20:09:00+0300

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
${sigma upsilon nu }^{2}theta$ ετσι??

x = sinθ
y = 2 - cos2θ --> cos2θ = 2 - y

$\\ cos2\theta = 1 - 2sin^2\theta \Rightarrow \\ 2-y = 1-2x^2 \Leftrightarrow \\ y = 2x^2 + 1$

manos66 · 2009-09-01T14:50:59+0300

Αρχική Δημοσίευση από nikosb:
στο πρώτο πρέπει να δειξεις οτι z=z συζ
και στο άλλο ότι z=-z συζ
-----------------------------------------
νβ εξισωση γραμμής για
z= ημθ + i(2-συνθ)
πάω κανονικά με χ,y αλλά δεν μου βγαινει το σωστο..help!!
(μπαρλας σελ 34 ασκ 56 ιιι)
----------------------------------------
Και εγώ αυτό βρήκα αλλά πίσω στις λύσεις λέει πως ειναι
y=2x^2+1. -1=<x=<1 aaa thanks anyway:no1:

Για να σου βγει η απάντηση που λες πρέπει ο μιγαδικός να είναι ο
z = ημθ + i(2 - συν2θ)

manos66 · 2009-08-29T15:36:41+0300

Αρχική Δημοσίευση από gimli:
Αν οι z1,z2 ειναι μιγαδικοι αριθμοι να δειχθει οτι για καθε xεR ισχυει h(χ)=χ^2-2|z1-z2|x+(1+|z1|^2)(1+|z2|^2) > ή = με 0
-----------------------------------------
ευχαριστω!!

manos66 · 2009-08-26T10:12:18+0300

Αρχική Δημοσίευση από Cr0ne:
Καλησπερα, να η απορια μου:

Να δειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος C των εικονων του μιγαδικου z για τον οποιο ισχυει z=λ+1/λ-i, λ ανηκει R, ειναι κυκλος που διερχεται απο την αρχη των αξονων Ο.

Αυτο που σκεφτηκα ειναι απαλοιφη της παραμετρου λ αλλα δεν ειχε επιτυχια, μετα σκεφτηκα πως για να περναει απ την αρχη των αξονων ο κυκλος η μια λυση θα ειναι η z=0 αρα λ=-1 αλλα αυτο δεν βοηθησε σε τιποτα. (μπορει και να ειναι λαθος η σκεψη)

Ευχαριστω για τον χρονο σας

$\\ z = \frac{\lambda + 1}{\lambda -i} = ... = \frac{\lambda ^2+\lambda }{\lambda ^2+1}+\frac{\lambda +1}{\lambda ^2+1}i \\ x = \frac{\lambda ^2+\lambda }{\lambda ^2+1},y=\frac{\lambda +1}{\lambda ^2+1}$

Διαιρώντας κατά μέλη
$\\ \lambda =\frac{x}{y}$

Αντικαθιστώντας το λ στη σχέση του y προκύπτει
$x^2+y^2-x-y=0$
...

manos66 · 29 Ιουλίου 2009 στις 14:26

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Βέβαια επειδή δεν υπάρχει το όριο $lim_{x to 0}frac{1}{x^2}$ δεν γίνεται να χωρίσουμε το όριο του παραπάνω πολλαπλασιασμού σε πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων ορίων.

To όριο $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}$ υπάρχει και είναι $+\propto$

Δεν μπορούμε να "σπάσουμε" σε γινόμενο ορίων, όχι διότι το όριο δεν υπάρχει αλλά διότι δεν είναι "επιτρεπτή" πράξη το $0^.(+\propto)$

manos66 · 29 Ιουλίου 2009 στις 12:13

Αρχική Δημοσίευση από amalfi:
να στρεψω καπου το ενδιαφερον:

γιατι δεν οριζονται? δεν ειναι ορισιμες?
αν τις οριζαμε εμεις? (π.χ. οτι κανουν μηδεν)
μηπως τοτε δε θα ισχυαν καποιες αλλες ιδιοτητες που μας αρεσουν πολυ ?

(το οτι δεν εχουν οριστει μεχρι τωρα δε μου λεει πολλα)

ή πολλά προβλήματα
π.χ.
$1=\lim_{x\rightarrow 0}1=\lim_{x\rightarrow 0}\left(x^2\frac{1}{x^2} \right)=\lim_{x\rightarrow 0}(x^2).\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2} =0^.(+\propto ) = 0$

manos66 · 28 Ιουλίου 2009 στις 13:20

Αρχική Δημοσίευση από exc:
manos66,
στην δεύτερη άσκηση δεν βγαίνει αυτό το αποτέλεσμα.

edit:
Αυτός είναι ο γτ του w.

Αυτό ακριβώς ζητάει η άσκηση
"N βρειτε τ γεωμετρικο τοπο τν εικονων του μιγαδικου w=χ +yi ..."

manos66 · 28 Ιουλίου 2009 στις 11:05

Για την 1η άσκηση
α)
Μια διαφορετική λύση
Διαιρώ και τα δύο μέλη της (1) με |1 - i|
$\\ \frac{\mid (1-i)z+2i\mid}{\left|1-i \right|} =\frac{2}{\left|1-i \right|} \Leftrightarrow \\ \left|z + \frac{2i}{1-i} \right|=\frac{2}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \\ \left|z - (1-i) \right|=\sqrt{2}$
άρα ο ζητούμενος γ.τ. είναι ο κύκλος με κέντρο Κ (1 , -1) και ακτίνα $\sqrt{2}$

β) Η σχέση (1) γίνεται
$\\ \left| \frac{1-i}{w}+2i \right|=2 \Leftrightarrow \\ \left| \frac{1-i+2iw}{w} \right|=2 \Leftrightarrow \\ \left| 1-i+2iw \right|=2\left|w \right| \Leftrightarrow \\ \left| 1-i+2iw \right|^2=4\left|w \right|^2 \Leftrightarrow \\ \left( 1+i-2i\bar{w} \right)\left( 1-i+2iw \right)=4w\bar{w} \Leftrightarrow \\ 2-2(w+\bar{w})+2i(w-\bar{w}) = 0\Leftrightarrow \\ 2-4x-4y = 0 \Leftrightarrow \\ y = x -\frac{1}{2}$
άρα ο ζητούμενος γ.τ. είναι η ευθεία με εξίσωση $y = x -\frac{1}{2}$

-----------------------------------------------------------------------
Για την 2η άσκηση
$\\ z = 2x -3 + 2yi -i = 2(x+yi)-3-i = 2w-3-i \\ \\ \left|2z - 1- 3i \right| = 3 \Rightarrow \\ \left|4w-6-2i - 1- 3i \right| = 3 \Leftrightarrow \\ \left|4w-7+i \right| = 3 \Leftrightarrow \\ 4\left|w-\frac{7}{4}+\frac{1}{4}i \right| = 3 \Leftrightarrow \\ \left|w-\left( \frac{7}{4}-\frac{1}{4}i \right)\right| = \frac{3}{4}$
άρα ο ζητούμενος γ.τ. είναι ο κύκλος με κέντρο $K\left(\frac{7}{4},-\frac{1}{4} \right)$ και ακτίνα $\frac{3}{4}$

manos66 · 6 Ιουλίου 2009 στις 14:52

$\\ w = \left(\frac{z-iw}{z+w} \right)^{2010}$
Αρκεί να δείξω ότι $\bar{w}= -w$

$\\ \bar{w} = \left(\frac{\bar{z}+i\bar{w}}{\bar{z}+\bar{w}} \right)^{2010}= \left(\frac{\frac{1}{z}+i\frac{1}{w}}{\frac{1}{z}+\frac{1}{w}} \right)^{2010} \\ =\left(\frac{\frac{w+iz}{zw}}{\frac{w+z}{zw}} \right)^{2010}= \left(\frac{w+iz}{w+z} \right)^{2010}\\ = \left(\frac{iz-i^2w}{w+z} \right)^{2010}= \left(i\frac{z-iw}{w+z} \right)^{2010}\\ = i^{2010}\left(\frac{z-iw}{w+z} \right)^{2010}= -w$

manos66 · 29 Ιουνίου 2009 στις 15:10

Όχι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται

Αν πάρουμε μέτρα στα δύο μέλη προκύπτει
$\left|z \right|^3=\sqrt{125} \Leftrightarrow \left|z \right|=\sqrt{5} \Leftrightarrow a^2+\beta ^2=5$

Λύσεις
$\\ z_2 = \left(-1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\left(-\frac{1}{2} -\sqrt{3}\right)i \\ z_3 = \left(-1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)+\left(-\frac{1}{2} +\sqrt{3}\right)i$

manos66 · 26 Ιουνίου 2009 στις 16:08

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Δεν υπάρχει γιατί αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο R τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο R τέτοιο ώστε f(ξ)<0.

Ας δούμε άλλη μια απόδειξη στηριζόμενοι στο ότι
"Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη τότε οποιαδήποτε εφαπτομένη της βρίσκεται πάνω από τη Cf με εξαίρεση το σημείο επαφής."

Έστω ένα σημείο $A (x_0, f (x_0))$ με $f'(x_0) < 0$
H εφαπτομένη της Cf στο Α είναι :
$\left(\epsilon \right):y=f'(x_0)^.(x-x_0)+f(x_0)$

H εφαπτομένη (ε) βρίσκεται πάνω από τη Cf με εξαίρεση το σημείο επαφής Α.

Δηλαδή
$f'(x_0)^.(x-x_0)+f(x_0)\geq f (x)$

όμως
$\lim_{x\rightarrow +\propto }[f'(x_0)^.(x-x_0)+f(x_0)] = -\propto$

άρα και
$\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x) = -\propto$

άρα απάρχει ξ τέτοιο ώστε f (ξ) <0.

Όμοια για $\color{blue}{f'(x_0) > 0}$

manos66 · 24 Ιουνίου 2009 στις 16:58

Θα το βρεις εδώ.

manos66 · 13 Μαΐου 2009 στις 02:06

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
μονο προσεγγιστικα αλλα λογικα δεν γινεται ετσι.. οποτε θα ηθελα να δω την λυση! Ευχαριστω!!:thanks:

Για x > 1
θέτουμε όπου x το x^2

$x<\frac{x^2-1}{lnx^2} \Leftrightarrow x<\frac{x^2-1}{2lnx} \Leftrightarrow 2x<\frac{x^2-1}{lnx} \Leftrightarrow 2x < f(x)$

$\int_{\frac{3}{2}}^{2}2xdx < \int_{\frac{3}{2}}^{2}f(x)dx \Leftrightarrow \left[x^2 \right]_\frac{3}{2}^2 < E \Leftrightarrow 4-\frac{9}{4}< E \Leftrightarrow \frac{7}{4}< E$

manos66 · 11 Μαΐου 2009 στις 20:18

Αν

$f(x)=\frac{x^2-1}{lnx}$
$\sqrt{x}<\frac{x-1}{lnx}<\frac{x+1}{2},\gamma \iota \alpha x>1$
Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από Cf , x΄x και τις ευθείες x = 3/2 και x = 2

ν.δ.ο $\frac{7}{4} < E < \frac{91}{48}$

manos66 · 9 Μαΐου 2009 στις 15:59

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Να πω και γω τη γνώμη μου σ' αυτό ή καλύτερα να μεταφέρω την άποψη του μαθηματικού μου όπως την διατύπωσε.

"Μία συνάρτηση και η αντίστροφη της είναι ΠΑΝΤΑ συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.
-Aν η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση, τότε τα κοινά σημεία των f,f^-1 βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x
-Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, τότε τα κοινά σημεία των f,f^-1
βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=-x"

H f(x) = 2 - x είναι γν. φθίνουσα (και αντιστρέψιμη)
Έχει αντίστροφη την εαυτό της
Τα κοινά σημεία των Cf και Cf-1 δεν βρίσκονται στην y = -x

manos66 · 8 Μαΐου 2009 στις 23:10

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
1)Εστω f παρ/μη στο Ρ με f(R)=(0,+απειρο),η οποια ικανοποιει τη σχεση $f '(x)f(-x)=1$ Για καθε $xepsilon R$
Α)να αποδειξετε οτι:
α)η f ειναι γνησιως αυξουσα στο R και κυρτη στο R
β)η g με $g(x)=f(-x)$ ειναι γνησιως φθινουσα στο R
Β)να αποδειξετε οτι $int_{0}^{1}frac{f(-x)}{f(x)}dx=frac{{f}^{2}(0)-{f}^{2}(-1)}{2}$

1
Α)α) f(R) = (0 , +oo) άρα f(-x) > 0 και
$\\f'(x) = \frac{1}{f(-x)}>0 \\ f''(x) = \frac{f'(-x)}{f^2(-x)}>0$
άρα f γν. αύξουσα και κυρτή

β) g'(x) = - f΄(-x) < 0, άρα g γν. αύξουσα

Β) $\int_{0}^{1}\frac{f(-x)}{f(x)}dx = \int_{0}^{1}f(-x)f'(-x)dx = \left[ \frac{-f^2(-x)}{2}\right]_0^1 = \frac{f^2(0)-f^2(-1)}{2}$
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
2)Eστω η παρ/μη f0,+απειρο)->R, η συναρτηση g με $g(x)=int_{1}^{x}frac{f(frac{x}{u})}{u}du$ ,x>0 και οι μιγαδικοι $z=f(beta )+ibeta$ και $w=alpha +if(alpha )$ ,α>0 και β>0
α)να δειξετε οτι η g ειναι παρ/μη για καθε x>0 καινα υπολογισετε την παραγωγο της.
β)αν $int_{alpha }^{beta }g''(x)dx=0$ ,να δειξετε οτι zw ειναι φανταστικος
γ)αν $int_{1}^{e}f '(x)lnxdx=int_{e}^{1}g'(x)dx$ και η g ειναι κυρτη στο (0,+απειρο),να δειξετε οτι:
i)f(e)=0
ii)g(x)>=g(e) για καθε x>0

2
α) Θέτω x/u=t ή u=x/t

$du=-\frac{x}{t^2}dt$

u=1 --> t=x
u=x --> t=1

$g(x) = \int_{1}^{x}\frac{f(t)}{t}dt$
... g παραγωγίσιμη με $g'(x) = \frac{f(x)}{x}$

β) με πράξεις βρίσκουμε Re(zw) = αf(β) - βf(α)
$\int_{\alpha }^{\beta }g''(t)dt =0\Leftrightarrow g'(\alpha ) = g'(\beta ) \Leftrightarrow \frac{f(\alpha )}{\alpha }=\frac{f(\beta )}{\beta }\Leftrightarrow Re(zw) = 0$
γ) i)
$\\ \int_{1}^{e}f'(x)lnxdx =\int_{e}^{1}g'(x)dx \Leftrightarrow \\ \left[f(x)lnx \right]_1^e-\int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x}dx = \left[g(x) \right]_e^1 \Leftrightarrow \\ f(e) - 0- g(e) = g(1) - g(e) \Leftrightarrow \\ f(e) =0$
ii) η g είναι κυρτή άρα η g' είναι γν. αύξουσα, άρα έχει το πολύ μια ρίζα και επειδή g'(e) = f(e)/e = 0 η g' έχει μοναδική ρίζα το e.
Aν κάνεις πίνακα προσήμων της g' (με βοήθεια ότι η g' είναι γν. αύξουσα) βλέπεις ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το g(e).
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
3)εστω η συναρτηση f ορισμενη και παρ/μη στο [0,α],α>0.H συναρτηση f' ειναι γνησιως αυξουσα στο[0,α].Θεωρουμε τη συναρτηση s με $s(x)=int_{0}^{x}f(t)dt-xf(frac{x}{2})$ ,για καθε $xepsilon [0,α]$
α)να μελετησετε την s ως προς τη μoΝοτονια και τα ακροτατα και να δειξετε οτι $int_{0}^{alpha }f(t)dt>alpha ffrac{alpha }{2}$

$s'(x) = f(x) - f\left(\frac{x}{2} \right)-\frac{x}{2}f'\left(\frac{x}{2} \right)$

3
Έστω x > 0
Θ.Μ.Τ. με την f στο [x/2 , x]
υπάρχει ξ στο (x/2 , x) τέτοιο ώστε
$\frac{f(x) - f\left(\frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}}= f'\left(\xi \right) \Leftrightarrow f(x) - f\left(\frac{x}{2} \right)=\frac{x}{2} f'\left(\xi \right)$

άρα
$s'(x) = \frac{x}{2}f'\left(\xi \right)-\frac{x}{2}f'\left(\frac{x}{2} \right)$

και επειδή ξ > x/2 και f' γν. αύξουσα
θα είναι f' (ξ) > f'(x/2) δηλαδή s'(x) > 0

Άρα s γν. αύξουσα στο [0 , α]
ολικό ελάχιστο s(0) = 0
ολικό μέγιστο $s(a) = \int_{0}^{a}f(t) dt - af(\left(\frac{a}{2} \right)$

Eίναι s(0) < s(α) ...

----------------------
Συγχωρέστε με για τυχόν λάθη

manos66 · 8 Μαΐου 2009 στις 21:13

Αρχική Δημοσίευση από marsenis:
Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση?

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[alpha, beta] to mathbb{R}$ και $x_0$ <α
α) Να δειχθεί ότι εάν μία τουλάχιστον απο τις διερχόμενες απο το σημείο $M(x_0, y_0)$ ευθείες τέμνει τη $C_f$ σε δύο διαφορικά σημεία $N(x_1, f(x_1)), K(x_2, f(x_2))$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $xiin(alpha, beta)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $rho(xi, f(xi))$ να διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ .
[/latex].

Θ. Rolle με τη συνάρτηση g, με
$g (x) = \frac{f (x) - y_0}{x - x_0}$
στο $\left[ x_1 , x_2\right]$
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από marsenis:
Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση?

β) Να δειχθεί ότι εάν η $C_f$ ανήκει σε ένα απο τα ημιεπίπεδα μιας ευθείας (ε) που διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ και έχει με την (ε) κοινό σημείο $Delta(zeta, f(zeta))$ , τότε η ευθεία (ε) εφάπτεται της $C_f$ στο $Delta(zeta, f(zeta))$ .

έστω ε: y - y0 = λ(x - x0) ή y = λx - λx0 + y0
Ας υποθέσουμε ότι η Cf βρίσκεται "κάτω" από την ε
Θεωρώ τη συναρτηση κατακόρυφη απόσταση της ε από τη Cf
h(x) = λx - λx0 + y0 - f(x)
η h γίνεται ελάχιστη (0) όταν x = ζ
Θ. Fermat
h'(ζ) = 0 ή f΄(ζ) = λ
άρα η (ε) είναι η αφαπτομένη της Cf στο Ρ(ζ , f(ζ))

Όμοια αν η Cf βρίσκεται "πάνω" από την ε

manos66 · 8 Μαΐου 2009 στις 14:21

Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (α , β), τότε
η f παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο ξ που βρίσκεται στο (α , β)
αφού f(α) < f (γ) και f (β) < γ.
Θ. Fermat
f΄(ξ) = 0

manos66 · 7 Μαΐου 2009 στις 20:14

Αρχική Δημοσίευση από marysita:
Εστω μια συναρτηση f,συνεχης στο [α,β] με f(x)>0 για καθε χ στο [α,β].αν υπαρχει γ στο [α,β] τετοιο ωστε f(α) + f(β)=f(γ) ,να δειξετε οτι υπαρχει ξ στο [α,β] τετοιο ωστε f '(ξ)=0

!!!δεν μπορουμε να κανουμε bolzano στην παραγωγο γιατι δεν ξερουμε αν ειναι συνεχης.....

δεν ειναι ιδιαιτερα δυσκολη αλλα εχει πλακα!
:no1:

$f (x) = \left\{\begin{matrix}x+1, 0\leq x<1\\ 3-x, 1\leq x \leq 2\end{matrix}\right.$

α = 0 , β = 2 , γ = 1

f΄(x) = 0;;;;;;;;;;;

manos66 · 7 Μαΐου 2009 στις 00:04

Αρχική Δημοσίευση από !!!..evaki..!!!:
ολοκλήρωμα από το x έως το x+1
1 προς ριζα(1+t^4)dt ??????????????
-----------------------------------------
πώς κόλλησα έτσι, έλεος! παιδιά πείτε λίγο.....

Δεν υπολογίζεται με τρόπους που γνωρίζεται

manos66 · 4 Μαΐου 2009 στις 18:19

Αρχική Δημοσίευση από kypselioths:
καλα αυτο το ερωτημα μπορει να στεκει?? υπαρχει πιθανοτητα να τεθει τετοια ασκηση? ο καθηγητης ισως ειπε οτι ειναι μονο 2 διοτι η συναρτηση φ(χ)=|χ| δεν ειναι συνεχης...

Αν έλεγε παραγωγίσιμη τότε είναι μόνο 2

manos66 · 4 Μαΐου 2009 στις 18:07

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
f(x)=x
f(x)=-x
f(x)=|x|
f(x)=-|x|

και γω 4 σκεφτομαι με μια γρηγορη ματια.

Αυτές οι 4 είναι.

manos66 · 28 Απριλίου 2009 στις 12:56

$\\ \int_{0}^{2}f(x)dx=\lim_{t\rightarrow 0^+}\int_{t}^{2}x^2lnxdx$

Δεν γράφουμε $\int_{0}^{2}x^2lnxdx$

manos66 · 27 Απριλίου 2009 στις 15:08

Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της f
...
$F(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^3lnx}{3}-\frac{x^3}{9},x>0\\ 0,x=0\end{matrix}\right.$

$\int_{0}^{2}f(x)dx= F(2) - F(0) = F(2) =...$

manos66 · 27 Απριλίου 2009 στις 14:53

Σωστά.
'Ομως αν
$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2lnx,x>0\\ 0,x=0\end{matrix}\right.$
τότε να βρεθεί το $\int_{0}^{2}f(x)dx$

manos66 · 19 Απριλίου 2009 στις 22:13

Λάθος. Μπορείς να πεις ότι η f' είναι γνησίως αύξουσα.

manos66 · 16 Απριλίου 2009 στις 12:06

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Μιά και το θέμα είναι τα σημεία καμπής, περί κοιλότητας δηλαδή, θέλω να κάνω μιά ερώτηση γιά να μην ανοίγω καινούργιο θέμα.

Αν μιά συνάρτηση είναι π.χ κυρτή στο [α,β] μπορώ να πω χωρίς απόδειξη ότι η χορδή ΑΒ βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση στο [α,β]?
Εκτός τα άκρα βέβαια που συμπίπτουν με τα άκρα της ΑΒ.

Άποψη μου είναι ότι πρέπει να το αποδείξεις.
Αν αποτελούσε ένα πολύ μικρό κομάτι της λύσης εγώ θα το δεχόμουν και χωρίς απόδειξη.

manos66 · 13 Απριλίου 2009 στις 22:47

Aν c = 0 τότε
$\\ \int cf(x) dx = \int 0 dx = c_1 \\ c\int f(x) dx = 0 \int f(x) dx = 0$

manos66 · 13 Απριλίου 2009 στις 13:36

manos66 · 13 Απριλίου 2009 στις 13:30

Αρχική Δημοσίευση από _ann_:
f(x)= 3x^2 -3
να βρειτε το εμβαδο χωριου που περικλειεται απο την f και τη x = 3.

σε βοηθημα λεει ολοκληρωμα απο -1 εως 1 και απο 1 εως 3..

τι γινεται?τι ειναι σωστο τελικα?

Μια γραφική παράσταση συνάρτησης και μια κατακόρυφη ευθεία δεν σχηματίζουν χωρίο. Μάλλον λείπει ο x΄x. Σωστά ann;

manos66 · 10 Απριλίου 2009 στις 22:51

Η απάντηση του dimitricc
$1/e(\int_{0}^{2}xdx) - \int_{1}^{2}lnxdx = ... = (2+e)/e -2ln2$

Σάββα, ποιά θεωρείς g (x); την εφαπτόμενη;

manos66 · 7 Απριλίου 2009 στις 14:50

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Έχω φάει ένα κολλημα μ αυτή την άσκηση. Κάθε βοήθεια δεκτή.

Έστω f ορισμένη στο R με f'' συνεχή στο R
Aν ισχύει ότι οι εφαπτομένες της Cf στα Α(α,f(a)) και B(β,f(β)) είναι κάθετες μεταξύ τους νδο:
$|int_{alpha }^{beta }f''(x)dx|geq 2$

(το ορισμένο σε απόλυτο)

Δείξε ότι
$\left|f'(\beta )+\frac{1}{f'(\beta )} \right|\geq 2$

manos66 · 7 Απριλίου 2009 στις 12:58

Δίνεται η συνάρτηση f (x) = lnx.
Να υπολογιστεί το εμβαδόν που ορίζεται από τη Cf, τον x΄x, την εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α (e , f (e)) και την ευθεία x = 2.
Πές μας rollingstone ποιό ή ποιά από τα χωρία που σχηματίζονται θα υπολογίσω.

manos66 · 7 Απριλίου 2009 στις 12:50

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Αν η g είναι σταθερή τότε g (x) = 0 και f (x) = f (α) για κάθε x.
Άρα η ζητούμενη σχέση ισχύει για κάθε x στο (α , β).

Αν η g δεν είναι σταθερή, τότε από θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής υπάρχουν x1 , x2 τέτοια ώστε g (x1) = gmin και g (x2) = gmax.
Από Θ. Fermat υπάρχει ξ τέτοιο ώστε g΄(ξ) = 0 (ξ =x1 ή ξ = x2).
Από τη σχέση του β ερωτήματος για x = ξ προκύπτει f΄(ξ) = g (ξ) δηλαδή το ζητούμενο.

Κι αν τα x1 , x2, είναι τα άκρα του διαστήματος [α , β];
Δεν ισχύει o Fermat.
Τότε;

Έστω ότι gmin = g(α) = 0 και gmax = g (β) > 0
Από β΄ ερώτημα έχουμε :
$g'(\beta ) = - \frac{g (\beta )}{\beta -a}<0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow \beta ^-}\frac{g(x)-g(\beta) }{x-\beta }<0$
άρα g(x) > g(β) σε μια αριστερή περιοχή του β.
ΑΤΟΠΟ διότι g(β) = gmax

Όμοια όταν gmax = g(α) = 0 και gmin = g (β) > 0
Από β΄ ερώτημα έχουμε :
$g'(\beta ) = - \frac{g (\beta )}{\beta -a}>0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow \beta ^-}\frac{g(x)-g(\beta) }{x-\beta }>0$
άρα g(x) < g(β) σε μια αριστερή περιοχή του β.
ΑΤΟΠΟ διότι g(β) = gmin

Ελπίζω ν' αυτοδιορθώθηκα τώρα φίλε LostG (αν και με πρόλαβες)

manos66 · 6 Απριλίου 2009 στις 23:11

Αρχική Δημοσίευση από rolingstones:
μανο εισαι λαθος η ευθεια ειναι χ=-1 που ρωτανε τα παιδια απορω πως το κανες λαθος εσυ τοσο εμπειρος καθηγητης
-----------------------------------------
μου αρεσε που εκανες και σχημα μανο και το πες λαθοςτελοςπαντων εισαι εξαιρετικος και δεν αλλαζω την αποψη μου απο τετοια ατοπηματα

θα ηθελα μια βοηθεια στην ασκηση:
να βρεθει το εμβαδον του χωριου που περικλειεται από τον άξονα χ΄χ , και τη γραφική παράσταση τησ συνάρτησης f(x)=x^2-1 και την ευθεία χ=2.

που βλέπεις στην εκφώνηση την ευθεία x = -1;

manos66 · 6 Απριλίου 2009 στις 17:11

Αν η g είναι σταθερή τότε g (x) = 0 και f (x) = f (α) για κάθε x.
Άρα η ζητούμενη σχέση ισχύει για κάθε x στο (α , β).

Αν η g δεν είναι σταθερή, τότε από θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής υπάρχουν x1 , x2 τέτοια ώστε g (x1) = gmin και g (x2) = gmax.
Από Θ. Fermat υπάρχει ξ τέτοιο ώστε g΄(ξ) = 0 (ξ =x1 ή ξ = x2).
Από τη σχέση του β ερωτήματος για x = ξ προκύπτει f΄(ξ) = g (ξ) δηλαδή το ζητούμενο.

Κι αν τα x1 , x2, είναι τα άκρα του διαστήματος [α , β];
Δεν ισχύει o Fermat.
Τότε;

manos66 · 6 Απριλίου 2009 στις 15:15

Παιδιά το ολοκλήρωμα έχει πηλίκο μέσα του.
Μόνο η ann το προσέγγισσε καλά αλλά ξέχασε ν' αλλάξει τα άκρα.

Το αποτέλεσμα είναι

$\frac{1}{3}\left[1-a+7ln(e^a+3)-7ln(e+3) \right]$

manos66 · 5 Απριλίου 2009 στις 19:39

Αρχική Δημοσίευση από _ann_:
ξαναρωταω καποιες αποριες που εχω ακομα..
οταν εχουμε τη συναρτηση.doc

View attachment apanthsh_ann.doc

manos66 · 2 Απριλίου 2009 στις 10:52

$E=\int_{1}^{2}f(x) dx$

manos66 · 2 Απριλίου 2009 στις 10:46

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Για το γ, βάζεις όπου ξ το χ και διαιρείς με χ-α διάφορο του μηδενός.
Αν χρησιμοποιήσεις το β) θα δεις ότι ουσιαστικά πρέπει να δείξεις ότι υπάρχει τουλ. ένα ξΕ(a,b):g'(ξ)=0
Oπότε Rolle για τη g στο (α,β) και βγήκε

g (α) = g (β) ????????????????

manos66 · 29 Μαρτίου 2009 στις 19:27

η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την κοινή εφαπτόμένη ενώ η γραφική παράσταση της g κάτω από αυτην με εξαίρεση το σημείο επαφής

manos66 · 27 Μαρτίου 2009 στις 13:02

Αρχική Δημοσίευση από _ann_:
ευχαριστω!!
αλλη μια ερωτηση..στο $int_{α}^{x}$ τα α και χ ειναι τιμες που μπορει να παρει το χ..οκ?σε μια ασκηση που αποδεικνυει οτι η $int_{0}^{1} tf(tx)dt$ ειναι συνεχης θετει u = tx και καταληγει πως για $xneq 0 g(x) = int_{0}^{x}frac{u}{x}f(u)frac{1}{x}du$ .αφου το χ δεν μπορει να παρει την τιμη 0 γιατι την βαζει στο ολοκληρωμα?

$\\ g (x) = \int_{0}^{1}tf(xt)dt$

Για x = 0
$g (0) = \int_{0}^{1}tf(0)dt = f(0)\int_{0}^{1}tdt = \frac{f(0)}{2}$

Για $x\neq 0$ με την αντικατάσταση u = xt έχουμε
$g (x) = \frac{\int_{0}^{x}uf(u)dt}{x^2}$

Επομένως
$\\ g (x) = \left\{\begin{matrix}\frac{\int_{0}^{x}uf(u)dt}{x^2}, x\neq 0\\ \frac{f(0)}{2}, x=0 \end{matrix}\right.$

manos66 · 27 Μαρτίου 2009 στις 12:49

Αρχική Δημοσίευση από viridian:
Με ποιο σκεπτικό ελέγξαμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την εφαπτομένη της Cf σε ΑΥΤΟ το σημείο, τον x'x και τις ευθείες x=0, x=1 και όχι για παράδειγμα του χωρίου που περικλείεται από την εφαπτομένη της Cf στο (1,e) κτλ. ή στο (0,1) ;

Διευκρινίστε, αν θέλετε, τον τρόπο σκέψης...

Το κριτήριο παρεμβολής στο (β) πάντως ήταν πολύ καλό, ξεφεύγει απ'τα τετριμμένα! :no1:

Η επιλογή του σημείου είναι τυχαία και προσπάθησα να με βολεύει (στον τύπο της ευθείας και στο αποτέλεσμα)

Άλλωστε στην πρώτη μου προσπάθεια έκανα λάθος.

Η εφαπτομένη στο (0 , 1) είναι η y = 1 και δίνει Ε > 1
Η εφαπτομένη στο (1 , e) είναι η y = 2ex - e και δίνει Ε > e/4

manos66 · 26 Μαρτίου 2009 στις 11:49

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
α) Δύο Θ.Μ.Τ. ατα [α . (α+β)/2] , [(α+β)/2 , β] και f΄ γν. αύξουσα
β) Στο [0 , 1]
$0 leq f (x) leq e Rightarrow 0 leq x^tf(x) leq ex^t$
και κριτήριο παρεμβολής
γ) Η f είναι κυρτή και βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της (ε) στο Α (1/2 , f(1/2))
$(epsilon ) : y=sqrt{e}x+frac{sqrt{e}}{2}$
$E > int_{0}^{1}left( sqrt{e}x+frac{sqrt{e}}{2}right)dx = ... = sqrt{e} > frac{4}{3}$

Διόρθωση
α) Δύο Θ.Μ.Τ. ατα [α . (α+β)/2] , [(α+β)/2 , β] και f΄ γν. αύξουσα
β) Στο [0 , 1]
$0 \leq f (x) \leq e \Rightarrow 0 \leq x^tf(x) \leq ex^t$
και κριτήριο παρεμβολής
γ) Η f είναι κυρτή και βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της (ε) στο $A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, f\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)$
$(\epsilon ) : y=\sqrt{2e}x$
$\\ E > \int_{0}^{1}\sqrt{2e}x dx = ... = \sqrt{2e} > \frac{4}{3}$

manos66 · 24 Μαρτίου 2009 στις 20:05

Όπου ορίζεται η f΄, η f είναι παραγωγίσιμη.
Ανεξάρτητα αν η f΄ είναι συνεχής.

manos66 · 24 Μαρτίου 2009 στις 19:21

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Τώρα που το ξαναβλέπω το δεύτερο ερώτημα κάπου μπερδεύτητκα.
Αν βάλω όπου χ=1 τότε το limex^t δεν κάνει μηδέν και δεν φράζεται έτσι το ολοκλήρωμα από μηδενικά.Τι λάθος σκέψη κάνω?

Για x < 1
$\\ \lim_{t\rightarrow +\propto }x^t= \lim_{t\rightarrow +\propto }e^{tlnx} \\ \lim_{t\rightarrow +\propto} tlnx}= -\propto (lnx<0) \\ \lim_{t\rightarrow +\propto }x^t= 0$

Για x = 1
$\int_{0}^{1}e^{x^2}}dx \approx 1,46265$

manos66 · 23 Μαρτίου 2009 στις 20:09

α) Δύο Θ.Μ.Τ. ατα [α . (α+β)/2] , [(α+β)/2 , β] και f΄ γν. αύξουσα
β) Στο [0 , 1]
$0 \leq f (x) \leq e \Rightarrow 0 \leq x^tf(x) \leq ex^t$
και κριτήριο παρεμβολής
γ) Η f είναι κυρτή και βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της (ε) στο Α (1/2 , f(1/2))
$(\epsilon ) : y=\sqrt{e}x+\frac{\sqrt{e}}{2}$
$\\ E > \int_{0}^{1}\left( \sqrt{e}x+\frac{\sqrt{e}}{2}\right)dx = ... = \sqrt{e} > \frac{4}{3}$

manos66 · 20 Μαρτίου 2009 στις 18:08

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Πώς υπολογίζεται ρε παιδιά το παρακάτω ολοκλήρωμα;

$I=int_{1}^{2}frac{{e}^{x}}{x}dx$

Δεν υπολογίζεται με μεθόδους που ξέρετε
$I=\int_{1}^{2}\frac{{e}^{x}}{x}dx \approx 3,05912$

manos66 · 18 Μαρτίου 2009 στις 18:09

Για να υπάρχει x1 στο (0 , 1) ώστε
$\\ \int_{1}^{x_1}f(t)dt = 1$
πρέπει η f να παίρνει αρνητικές τιμές σε κάποιο διάστημα υποσύνολο του [0 , 1].
Κάτι τέτοιο δεν προκύπτει από τα δεδομένα.

Πιστεύω ότι το ζητούμενο είναι
Ν.δ.ο. υπάρχει x1 στο (0 , 1) ώστε
$\\ \int_{0}^{x_1}f(t)dt = 1$
και λύνεται με Θ. Bolzano με τη συνάρτηση h, με
$\\ h (x) = \int_{0}^{x_1}f(t)dt - 1$
στο [0 , 1]

manos66 · 16 Μαρτίου 2009 στις 19:07

Αρχική Δημοσίευση από 1:
Εννοώ δηλαδή, πώς προέκυψε το 4x^2? ( γιατί πολλαπλασιάσαμε με 2χ, λόγω σύνθετης? )

Kαταλαβαίνεις τη διαφορά $f'(x^2)$ με $[f(x^2)]'$ ;

manos66 · 15 Μαρτίου 2009 στις 15:29

manos66 · 11 Μαρτίου 2009 στις 23:01

Ώραία λύση kvgreco

ή

Θεωρώ συνάρτηση
$\\ f (x) =\int_{-x}^{x}\frac{u^2}{4^u+1}du \\ f'(x)= ... = x^{2} \Rightarrow f (x) = \frac{x^3}{3} + c \\ f(0) = 0 \Rightarrow c=0 \\ f(x) = \frac{x^3}{3}$

manos66 · 11 Μαρτίου 2009 στις 18:12

Σωστό

manos66 · 11 Μαρτίου 2009 στις 13:24

Μια ενδιαφέρουσα άσκηση

Να λυθεί η εξίσωση
$\int_{-x}^{x}\frac{u^2}{4^u+1}du = 2009$

manos66 · 11 Μαρτίου 2009 στις 13:21

Αρχική Δημοσίευση από tasakas:
Έχεις $f'(x)={alpha }^{2}{x}^{2}-2alpha {x}^{2}-3{x}^{2}=left({alpha }^{2}-2alpha -3 right){x}^{2}$ .Για να είναι αύξουσα η συνάρτηση αρκεί $left({alpha }^{2}-2alpha -3 right)geq 0$ .
Όπου έχεις ένα τριώνυμο που έχει ρίζες τα -1 και +3 και κατα συνέπεια είναι θετικό για $alpha < -1$ και $alpha > 3$ .

Πρέπει ${\alpha }^{2}-2\alpha -3 > 0$
άρα α < -1 ή α > 3.

manos66 · 2009-02-20T23:13:32+0200

To σχολικό βιβλίο αναφέρει ότι σημείο καμπής είναι το σημείο Α (x0 , f (x0)) όταν
--> αλλάζει η κυρτότητα της f εκατέρωθεν του x0
--> ορίζεται εφαπτομένη της Cf στο A

Με δεδομένο ότι αλλάζει η κυρτότητα της f εκατέρωθεν του x0
Αν ορίζεται η f΄΄ στο x0, αρκεί f΄΄(x0) = 0.

Aν ορίζεται η f΄΄(x0), τότε αρκεί να ορίζεται η f΄(x0)

Υπάρχει και η περίπτωση να έχουμε κατακόρυφη εφαπτομένη (εκτός ύλης) που το σημείο A είναι σημείο καμπής αλλά δεν ορίζεται η f΄(x0)

manos66 · 2009-02-19T15:35:08+0200

Έστω οι συναρτήσεις

$\\ g (x) = \int_{-2}^{x} \sqrt{t^2-1} dt \\ D_g=(-\propto ,-1]$

και
$\\ h (x) = \int_{2}^{x}\sqrt{t^2-1} dt \\ D_h=[1 , +\propto)$

Όπως ανέφερε παράπάνω ο Γιώργος είναι ΛΑΘΟΣ

manos66 · 2009-02-18T23:18:03+0200

Οι συναρτήσεις
$g (x) = \int_{\alpha }^{x}f(t) dt$
και
$h (x) = \int_{\beta }^{x}f(t) dt$
με α , β ν' ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f διαφέρουν κατά μια σταθερά, δηλαδή
g (x) = h (x) + c

ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ

manos66 · 2009-02-16T15:37:09+0200

manos66 · 2009-02-13T13:29:36+0200

Πρέπει οι πλευρές να είναι ανάλογες και όχι απαραίτητα παράλληλες.
Δείτε το σχήμα.
Τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΑΕΖΗ ΔΕΝ είναι όμοια.

manos66 · 2009-01-02T19:12:41+0200

Δεν χρειάζεται να λύσετε τη διαφορική.
Στο 1ο ερώτημα ζητάει ν.δ.ο. η h είναι γνησίως φθίνουσα.
$\\ h'(x) = \left(\frac{f(x)}{x^2} \right)' = \frac{x^2f'(x)-2f(x)}{x^3}=\frac{x}{x^3}=\frac{1}{x^2}>0$
άρα η h είναι γνησίως αύξουσα

Στο 2ο ερώτημα
$\\ h'(x) = \frac{1}{x^2} \Leftrightarrow \\ \left(\frac{f(x)}{x^2} \right)' = \left( -\frac{1}{x} \right)'$
από συνέπειες Θ.Μ.Τ.
$\\ \frac{f(x)}{x^2} = -\frac{1}{x}+c \Leftrightarrow \\ f(x)=-x+cx^2, x > 0$

και επειδή f (1) = 0 θα είναι c = 1 και
$\\ f(x) =-x+x^2, x>0$

manos66 · 2009-01-02T12:44:42+0200

Δείξτε ότι είναι 1-1, και βρείτε την αντίστροφή της.
Η αντίστροφή της είναι γνησίως αύξουσα, άρα και η f είναι γνησίως αύξουσα.

manos66 · 2008-12-22T13:37:13+0200

α)
$Re(z)+xIm(z)\geq 1 \Leftrightarrow e^x+x^2-\alpha x\geq 1$

Θεωρώ συνάρτηση f, με
$\\f(x)=e^x+x^2-\alpha x$
και
$\\f'(x)=e^x+2x-\alpha$
Η ανίσωση γίνεται
$f(x)\geq f(0)$
δηλαδή η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0.
Θ. Fermat
f΄(0) = 0
άρα α = 1
-----------------------------------------
β)
$\\ \left|z \right|= \sqrt{e^{2x}+(x-1)^2} \\ g(x)=e^{2x}+(x-1)^2 \\ g'(x)= 2e^{2x}+2(x-1)\\g''(x)= 4e^{2x}+2\\$

Είναι g΄΄(x) > 0, άρα g΄ γν. αύξουσα με μοναδική ρίζα το 0.

Για x < 0 είναι g΄(x) < 0, άρα g γν. φθίνουσα
Για x > 0 είναι g΄(x) > 0, άρα g γν. αύξουσα

Η g παρουσιάζει ελάχιστο στο 0.

Επομένως ελάχιστο μέτρο έχει ο μιγαδικός z = 1 - i

manos66 · 2008-12-04T17:09:47+0200

Παράθεση:

Αρχικό μήνυμα από Djimmakos (Εμφάνιση μηνύματος)
Kάτι τέτοιο είχα στο μυαλό μου και εγώ αλλά δε μίλησα γιατί θα τον μπέρδευα σίγουρα
-----------------------------------------
Ηλία παράδειγμα χρήσης αυτής της μεθόδου είναι η διαδικασία παραγοντοποίησης της παράστασης

Click για ανάπτυξη...

Δεν παραγοντοποιείται αυτή η παράσταση που 'να χτυπιέσαι...

$\\ x^4+4 = \\ x^4+4x^2+4-4x^2= \\ (x^2+2)^2-(2x)^2= \\ (x^2+2-2x)(x^2+2+2x)$

manos66 · 2008-12-03T23:26:57+0200

Μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου

manos66 · 2008-12-03T23:06:40+0200

manos66 · 2008-11-24T13:48:09+0200

Ενώ εσείς είστε βέβαιος ότι πράγματι υπάρχουν τέτοια σημεία έτσι?Από τη στιγμή πού εσείς ορίζετε τη συνάρτηση όπως θέλετε, αυτό μπορεί να μην έχει καμμία σχέση με τη φυσική πραγματικότητα.Τι πετευχαίνετε με αυτό τον τρόπο?Να μάθει κάποιος τον Bolzano καί να μη μάθει Φυσική.
Επομένως δεν είναι άσκηση μαθηματικών.

Στα μαθηματικά μπορούμε να ορίσουμε όποια συνάρτηση μας βολεύει, ανεξάρτητα αν μας την υπέδειξαν, την σκεφτήκαμε, την πήραμε "κατά λάθος" ή οτιδήποτε άλλο.
Δεν είμαι απλά βέβαιος ότι υπάρχουν.
Απέδειξα με μαθηματικούς συλλογισμούς ότι υπάρχουν.
Είναι μια άσκηση μαθηματικών.
Δεν προσπάθησα να πετύχω να μάθετε Bolzano.
Απλά να καταλάβετε ότι υπάρχουν και αυτές οι περίεργες ασκήσεις που λύνονται με Θ. Bolzano.

manos66 · 2008-11-24T13:41:11+0200

$\\ f^2(x) + g^2(x) = 1 \\ f^2(x) \leq 1 \\ \left| f (x) \right| \leq 1 \\ 0 \leq f (x) \leq 1$
-----------------------------------------
B.
$\\ \lim_{x\rightarrow \kappa }\left[x f (x)\left(\sqrt{f^2(x)+x^{2v}}-f(x) \right) -x^{2v} \right] = \\ = \lim_{x\rightarrow \kappa }\left[ \frac{x f (x)\left(\sqrt{f^2(x)+x^{2v}}-f(x) \right) \left(\sqrt{f^2(x)+x^{2v}}+f(x) \right)}{\sqrt{f^2(x)+x^{2v}}+f(x)} -x^{2v} \right] \\ = \lim_{x\rightarrow \kappa }\left[ \frac{x^{2v+1} f (x)}{f(x) \sqrt{1+\frac{x^{2v}}{f^2(x)} }+f(x)} -x^{2v} \right] \\ = \lim_{x\rightarrow \kappa }\left[ \frac{x^{2v+1}}{\sqrt{1+\frac{x^{2v}}{f^2(x)} }+1} -x^{2v} \right] \\ = \frac{\kappa ^{2v+1}}{2}-\kappa ^{2v} \\ = \frac{\kappa ^{2v}(\kappa -2)}{2}$

απάντηση : κ = 0 ή κ = 2.

manos66 · 2008-11-23T16:07:39+0200

Α) i)
$\lim_{x\rightarrow \frac{ \pi }{2}^+}\epsilon \phi x=+\propto \ \kappa \alpha \iota \ \lim_{x\rightarrow \frac{ \pi }{2}^-}\epsilon \phi x=-\propto \\ \alpha \rho \alpha \ \lim_{x\rightarrow \frac{ \pi }{2}}\epsilon \phi x \ \delta \epsilon \nu \ \upsilon \pi \alpha \varrho \chi \epsilon \iota$

ii) α)
$\\ \lim_{x\rightarrow \frac{ \pi }{2}^-}\left[\epsilon \varphi ^3x\left(\sqrt{\epsilon \phi ^2x+\sqrt{\epsilon \phi ^4x+1}} -2\eta \mu \theta ^.\epsilon \phi x\right) \right]=l$
Θέτω εφx = u
$\\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \left[u^3\left(\sqrt{u^2+\sqrt{u^4+1}}-2u\eta \mu \theta \right) \right]=l \\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \left[u^3\left(u \sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{u^4}}}-2u\eta \mu \theta \right) \right]=l \\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \left[u^4\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{u^4}}}-2 \eta \mu \theta \right) \right]=l$

Είναι
$\\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{u^4}}}= \sqrt{2}$
άρα πρέπει
$\eta \mu \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}}$
απάντηση : θ = 2κπ + π/4 ή θ = 2κπ + 3π/4 , κ ακέραιος
β)
$\\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \left[u^3\left(\sqrt{u^2+\sqrt{u^4+1}}-u \sqrt{2} \right) \right]=l \\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \frac{u^3\left(\sqrt{u^2+\sqrt{u^4+1}}-u \sqrt{2} \right) \left(\sqrt{u^2+\sqrt{u^4+1}}+u \sqrt{2} \right)}{\sqrt{u^2+\sqrt{u^4+1}}+u \sqrt{2}} =l \\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \frac{u^3\left(\sqrt{u^4+1}-u^2 \right)}{u \left(\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{u^4}}}+\sqrt{2} \right)} =l \\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \frac{u^2 \left(\sqrt{u^4+1}-u^2 \right) \left(\sqrt{u^4+1}+u^2 \right)}{\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{u^4}}}+ \sqrt{2} \right)\left(\sqrt{u^4+1}+u^2 \right)} =l \\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \frac{u^2}{u^2 \left(\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{u^4}}}+ \sqrt{2} \right)\left(\sqrt{1+ \frac{1}{u^4}}+1 \right)} =l \\ \lim_{u\rightarrow +\propto} \frac{1}{\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{u^4}}}+ \sqrt{2} \right)\left(\sqrt{1+ \frac{1}{u^4}}+1 \right)} =l \\ \frac{1}{4 \sqrt{2}} =l$
απάντηση : $\frac{\sqrt{2}}{8}}$

Β) απάντηση : κ = 0 ή κ = 2.

Γ) Υπόδειξη : Θεωρώ συνάρτηση h (x) = f (x) - ημx.
h(0) = f (0) >= 0
h(π/2) = f(π/2) - 1 <= 0
άρα h(0) h(π/2) <= 0...

άρα υπάρχει x0 στο [0 , π/2], τέτοιο ώστε h (x0) = 0 ή f (x0) = ημx0
$\\ f^2(x_0) + g^2(x_0) = 1 \Leftrightarrow \\ \eta \mu ^2x_0 + g^2(x_0) = 1 \Leftrightarrow \\ g^2(x_0) = 1 - \eta \mu ^2x_0 \Leftrightarrow \\ g^2(x_0) = \sigma \upsilon \nu ^2x_0 \\ g(x_0) = \sigma \upsilon \nu x_0$

Στο Β θα απαντήσω αναλυτικά αργότερα

manos66 · 2008-11-23T12:29:20+0200

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Δεν καταλαβαίνω το πνεύμα σας.Ασφαλώς καί εμπιστεύομαι περισσότερο τον καθηγητή μου ο οποίος πιθανόν να έχει καί γνώσεις Μετεωρολογίας καί,όχι μόνο, πού εσείς μάλλον δεν έχετε, παρά μόνο φαίνεται να γνωρίζετε ξερή μαθηματική μεθοδολογία.

Δεν έκανα πνεύμα.
Αυτή είναι μια άσκηση μαθηματικών.
Ζητήθηκε μια μαθηματική λύση από τον totiloz.

Δεν θεωρώ σωστή απάντηση την
"Σίγουρα είπε υπάρχουν αντιδιαμετρικά ζεύγη σημείων με ίδια θερμοκρασία καί αυτό θα συμβαίνει σε κάθε παράλληλο λόγω των θέσεων των σημείων ως προς τη Γη καί ως προς τον Ήλιο".

Δεν σου ζήτησα να με εμπιστευτείς.
Δεν έχω γνώσεις μετεωρολογίας.
Δεν αμφιβάλλω ότι ο καθηγητής είναι αξιόλογος.
Συμφωνώ πάντως ότι ότι τέτοιες ασκήσεις δεν μπαίνουν στις πανελλήνιες.

Άσκηση
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο σημεία του ισημερινού που έχουν διαφορά σε γεωγ. μήκος 90 μοίρες και έχουν την ίδια θερμοκρασία.

manos66 · 2008-11-19T22:50:18+0200

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
Θεωρούμε g (x) = f (x) - f (x + π/2)
g (0) = f (0) - f (π/2)
g (π) = f (π) - f (3π/2) = f (π) - f (π/2) = - g (0)
Είναι g (0)g (π) <= 0
...

f (3π/2) = f (π/2) ;;;

Απο όσα ξέρω μιά συνάρτηση είναι περιοδική αν γιά κάθε χ πού ανήκει στο Δ καί χ+Τ πρέπει να ανήκει στο Δ καί να ισχύει....
Εδώ όμως δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο.Πως λοιπόν έτσι όπως ορίζεται οφείλει να είναι περιοδική?

Η συνάρτηση έτσι όπως ορίστηκε δεν είναι περιοδική. Θα μπορούσε να οριστεί όμως στο R με περίοδο 2π.

Σίγουρα είπε υπάρχουν αντιδιαμετρικά ζεύγη σημείων με ίδια θερμοκρασία καί αυτό θα συμβαίνει σε κάθε παράλληλο λόγω των θέσεων των σημείων ως προς τη Γη καί ως προς τον Ήλιο καί όχι μόνο στον Ισημερινό

Και μετεωρολόγος ο καθηγητής σου;

Άσκηση
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο σημεία του ισημερινού που έχουν διαφορά σε γεωγ. μήκος 90 μοίρες και έχουν την ίδια θερμοκρασία.

manos66 · 2008-11-17T00:04:36+0200

άσκηση
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο σημεία του ισημερινού που έχουν διαφορά σε γεωγ. μήκος 90 μοίρες και έχουν την ίδια θερμοκρασία.

manos66 · 2008-11-14T21:12:47+0200

2. Ενα φορτηγο ξεκιναει απτην Αθηνα στις 8.00 το πρωι,και εχοντας διανυσει 200 χλμ φτανει στις 12 στη Λαμια.Την αλλη μερα ξεκιναει απτην Λαμια στις 8.00 και φτανει στην Αθηνα στις 12.00 . Να αποδειξετε οτι θα υπαρχει τουλαχιστον ενα σημειο του δρομου απτο οποιο το φορτηγο θα περασει και τις δυο μερες την ιδια χρονικη στιγμη.

f (t) = απόσταση του φορτηγού από την Αθήνα την 1η μέρα
g (t) = απόσταση του φορτηγού από την Αθήνα την 2η μέρα
8:00 --> t = 0
12:00 --> t = 4
f (0) = 0 και f (4) = 200
g (0) = 200 και g (4) = 0

Θεωρώ h (t) = f (t) - g (t)
Θ. Bolzano με την h στο [0 , 4]
υπάρχει ξ στο (0 , 4) τέτοιο ώστε h (ξ) = 0 ή f (ξ) = g (ξ).
-----------------------------------------

3. Να αποδειξετε οτι υπαρχουν δυο αντιδιαμετρικα σημεια πανω στον ισημερινο της γης που εχουν την ιδια θερμοκρασια.

A ένα σημείο του Ισημερινού
κάθε σημείο του ισημερινού αντιστοιχεί σε μια γωνία [0, 2π]
f (x) = η θερμοκρασία της γης στο σημείο M που αντιστοιχεί στη γωνία x
f (x + π) = η θερμοκρασία της γης στο αντιδιαμετρικό σημείο του Μ.

Θεωρούμε g (x) = f (x) - f (x + π) , x στο [0 , π]
g (0) = f (0) - f (π)
g (π) = f (π) - f (2π) = f (π) - f (0) = - g (0)
Είναι g (0)g (π) <= 0
...

manos66 · 2008-11-10T12:19:21+0200

Αν οι διακρίνουσες ήταν αρνητικές, τότε δεν θα ίσχυε το "=".
Όμως σου λέιε ότι το σύνοιλο τιμών είναι το κλειστό [0 , 2].

manos66 · 2008-11-10T12:12:52+0200

$\\ -1\leq \eta \mu \frac{1}{x}\leq 1 \Leftrightarrow^{x>0} \\ -x\leq x\eta \mu \frac{1}{x}\leq x \\ \lim_{x\rightarrow 0}(-x) = \lim_{x\rightarrow 0}x = 0$

από κριτήριο παρεμβολής
$\lim_{x\rightarrow 0}x\eta \mu \frac{1}{x} = 0$

άρα
$\\ \lim_{x\rightarrow 0}|f (x) - 2| = 0 \Leftrightarrow \\ \lim_{x\rightarrow 0}[f (x) - 2] = 0 \Leftrightarrow \\ \lim_{x\rightarrow 0}f (x) = 2$

manos66 · 7 Νοεμβρίου 2008 στις 18:13

θελω βοηθεια
δινεται η f(x)=(x^2-ax+b)/x^2+1.να βρειτε τα ,b ανηκουν στ R αν ειναι γνωστο οτι η f εχει συνολο τιμων το διαστημα [0,2]

Χωρίς Παραγώγους
Πρέπει
$\\ 0\leq \frac{x^2-ax+b}{x^2+1} \leq 2 \Leftrightarrow \\ 0\leq x^2-ax+b\leq 2x^2+2 \Leftrightarrow \\ x^2-ax+b \geq 0 \ \kappa \alpha \iota \ x^2+ax-b+ 2\geq 0$

Πρέπει και οι δύο διακρίνουσες να είναι 0.

Προκύπτει
$a^2 = 4 \ \kappa \alpha \iota \ b=1$

manos66 · 7 Νοεμβρίου 2008 στις 12:20

manos66 · 3 Νοεμβρίου 2008 στις 12:43

manos66 · 2008-10-21T15:33:36+0300

$f^3(x)-3f^2(x)+4f(x)=x^2-x+2007 \Leftrightarrow \\ f(x)[f^2(x) - 3 f(x)+4]=x^2-x+2007 \Leftrightarrow \\ f(x)= \frac{f^2(x)-3f(x)+4}{x^2-x+2007}>0$
Αριθμητής και παρονομαστής είναι τριώνυμα με διακρίνουσες αρνητικές.

------------------------------------------------------------
$f(x) > g (x) \Leftrightarrow \\ ln(e^{2x}-3^x+1) > ln(2e^x+1-2e^2) \Leftrightarrow \\ e^{2x}-e^x+1 > 2e^x+1-2e^2 \Leftrightarrow \\ e^{2x}-3e^x+2e^2>0$
που ισχύει (τριώνυμο με Δ < 0)
άρα η Cf πάνω από τη Cg για κάθε x πραγματικό.

manos66 · 2008-10-20T21:21:14+0300

Θεωρώ ότι είναι λάθος εκφώνηση με σωστό το 2001 αντί του 2002.

$(\alpha +\beta +\gamma )^3=2001-(\alpha \beta \gamma )\\ \\100\leq (\alpha \beta \gamma )\leq 999\\-999\leq -(\alpha \beta \gamma )\leq -100\\2001-999\leq 2001-(\alpha \beta \gamma )\leq 2001-100\\1002\leq (\alpha +\beta +\gamma )^3\leq 1901$

Πολλαπλασιάζω την ανισότητα με (-1) --> αλλάζει η φορά και έπειτα
προσθέτω κατά μέλη 2001 για να "φτιάξω" το 2001 - (αβγ)

manos66 · 2008-10-20T20:17:58+0300

Μάλλον πρέπει
$(\alpha \beta \gamma) + (\alpha + \beta + \gamma)^3 = 2001$

Ο αριθμός (αβγ) είναι μεταξύ 100 και 999.
Άρα
$1002\leq (\alpha + \beta + \gamma)^3 \leq 1901\\...10^3=1000, 11^3=1331,12^3=1728,13^3=2197...$
άρα α+β+γ= 11 ή 12

Αν α+β+γ=11, τότε $2001-11^3=671$
Όμως α+β+γ=6+7+1=14 άτοπο

Αν α+β+γ=12, τότε $2001-12^3=273$
και α+β+γ=2+7+3=12
Άρα α=2, β=7 και γ=3

manos66 · 2008-09-23T12:22:16+0300

ασκηση 1
α) $\left|z_1 \right|=1\Leftrightarrow \left|z_1 \right|^2=1\Leftrightarrow z_1\bar{z}_1=1\Leftrightarrow \bar{z}_1=\frac{1}{z_1}$

β) Όμοια :
$\bar{z}_2=\frac{1}{z_2}$
$\bar{z}_3=\frac{1}{z_3}$

$\left|z_1+z_2+z_3 \right|=\left|\ ^\frac{}{z_1+z_2+z_3} \right|=\left|\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3 \right|=\left|\ \frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3} \right|$

$\gamma) \left|z_1+z_2+z_3 \right|=\left|\ \frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3} \right|= \left|\ \frac{z_2z_3+z_1z_2+z_1z_3}{z_1z_2z_3} \right|=\frac{\left|\ z_2z_3+z_1z_2+z_1z_3 \right|}{\left|z_1 \right|\left|z_2 \right|\left|z_3 \right|}\\= \left|\ z_2z_3+z_1z_2+z_1z_3 \right|$

$\left|w \right|=\left|\frac{z_1+z_2+z_3}{z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1} \right|= \frac{\left|z_1+z_2+z_3\right|}{\left|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1\right|}= 1$
-----------------------------------------
ασκηση 2
α) z = x + yi
$z\bar{z} + i(z-\bar{z})= 2\Leftrightarrow x^2+y^2+i^.2yi=2\Leftrightarrow x^2+y^2-2y=2\Leftrightarrow x^2+y^2-2y+1=3\Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=\sqrt{3}^2$
άρα ο ζητούμενος γ.τ. είναι κύκλος με κέντρο Κ(0,1) και ακτίνα ρ= $\sqrt{3}$

β) Κάνοντας σχήμα βρίσκουμε ότι :

ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο
$z_1=(1-\sqrt{3})i$
ενώ ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι ο
$z_2=(1+\sqrt{3})i$

manos66 · 2008-09-15T14:40:58+0300

ΑΣΚΗΣΗ
Θεωρούμε την εξίσωση

όπου a,b,c $\epsilon C^*$ και

,

οι ρίζες της.

Να δείξετε ότι αν

$eq.latex$

τότε

είτε

$eq.latex$

ΛΥΣΗ
Τύποι Vieta

$z_1+z_2=-\frac{ab}{a^2}=-\frac{b}{a}(1)$

$z_1^.z_2=\frac{c^2}{a^2}(2)$

$\frac{b}{c}\epsilon R\Leftrightarrow \frac{b}{c}=\frac{\bar{b}}{\bar{c}} \Leftrightarrow b\bar{c}=\bar{b}c\Leftrightarrow b\bar{c}\epsilon R(3)$

Θα δείξω ότι
$\left| z_1\right|=\left| z_2\right| \eta^{'} \frac{z_1}{z_2}\epsilon R \Leftrightarrow \\z_1\bar{z}_1=z_2\bar{z}_2 \eta^{'} \frac{z_1}{z_2}=\frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} \Leftrightarrow\\z_1\bar{z}_1-z_2\bar{z}_2=0 \eta^{'} z_1\bar{z}_2-z_2\bar{z}_1=0 \Leftrightarrow\\(z_1\bar{z}_1-z_2\bar{z}_2)(z_1\bar{z}_2-z_2\bar{z}_1)=0 \Leftrightarrow\\z_1^2\bar{z}_1\bar{z}_2-z_1z_2\bar{z}_1^2-z_1z_2\bar{z}_2^2+z_2^2\bar{z}_1\bar{z}_2=0 \Leftrightarrow\\ \bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2)-z_1z_2(\bar{z}_1^2+\bar{z}_2^2)=0\Leftrightarrow \\ 2Im(\bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2)i=0 \Leftrightarrow \\\\ Im(\bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2)=0 \Leftrightarrow\\ \bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2)\epsilon R$

Aπό (1) , (2) και (3) έχουμε :
$\bar{z}_1\bar{z}_2(z_1^2+z_2^2) = \frac{\bar{c}^2}{\bar{a}^2}[(z_1+z_2)^2-2z_1z_2]= \frac{\bar{c}^2}{\bar{a}^2}[(-\frac{b}{a})^2-2\frac{c^2}{a^2}]=\frac{(b\bar{c})^2-2\left| c\right|^2}{\left| a\right|^2} \epsilon R$

manos66 · 2008-09-15T13:20:31+0300

Θεωρούμε την συνάρτηση f:C->C με τις επομενες ιδιοτητες:
α)f(z1+z2)=f(z1)+f(z2) για καθε z1,z2 ανήκειC
β)f(z1z2)=f(z1)f(z2) >> >> >>
γ)f(α)=α για καθε α ανηκει R
Να αποδειξετε οτι f(z)=z η f(z)=συζυγή του z.

ΜΙΑ ΑΚΟΜΗ ΛΥΣΗ
$f^2(i)= f (i)^.f(i)= f (i^.i) = f (i^2) = f (-1)= -1 = i^2$
άρα f (i) = i ή f (i) = -i.

:iagree: Αν f (i) = i, τότε :
f (z) = f (α + βi) = f (α) + f (βi) = α + f (β) f(i) = α + βi = z, για κάθε z $\epsilon$ C
:iagree: Αν f (i) = -i, τότε :
f (z) = f (α + βi) = f (α) + f (βi) = α + f (β) f(i) = α - βi = $\bar{z}$ , για κάθε z $\epsilon$ C

ΣΩΣΤΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ από Ηurr
Αν $(f(z)-z)(f(z)-\bar{z})=0$ για καθε z στο C
δεν συνεπαγεται
οτι f (z) = z, για καθε z στο C ή f (z) = $\bar{z}$ για καθε z στο C

manos66 · 2008-09-12T14:17:41+0300

Είναι
$(z+\bar{z})\epsilon R\Rightarrow f(z+\bar{z})=z+\bar{z}$
$(z\bar{z})\epsilon R\Rightarrow f(z\bar{z})=z\bar{z}$
Άρα
$(f(z)-z)(f(z)-\bar{z}) =\\= f(z)f(z)-zf(z)-\bar{z}f(z)+z\bar{z}\\= f(zz)-(z+\bar{z})f(z)+f(z\bar{z})\\=f(z^2)-f(z+\bar{z})f(z)+f(z\bar{z})\\=f(z^2)-f((z+\bar{z})z)+f(z\bar{z})\\=f(z^2-z(z+\bar{z})+z\bar{z})\\=f(0)\\=0$
...

manos66 · 2008-09-01T12:01:14+0300

manos66 · 2008-08-29T16:08:10+0300

$y^3+y=2{e}^{x} \Leftrightarrow \frac{y^3+y}{2}={e}^{x} \Leftrightarrow ln\frac{y^3+y}{2}=x\\\alpha \rho \alpha f^{-1}(x) = ln\frac{x^3+x}{2}$

${e}^{\frac{x}{3}}\leq f(x)\leq {e}^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow \frac{{e}^{\frac{x}{3}} }{{e}^{x}}}\leq \frac{f(x)}{{e}^{x}}\leq \frac{{e}^{\frac{x}{2}} }{{e}^{x}}}\Leftrightarrow {e}^{\frac{-2x}{3}}\leq \frac{f(x)}{{e}^{x}}\leq {e}^{\frac{-x}{2}}$
κριτήριο παρεμβολής
$\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{{e}^{x}}=0$

$f^3(x) + f(x) = 2e^x\Leftrightarrow {\frac{f^3(x)}{e^{x}}} + \frac{f(x)}{e^x} = 2\Leftrightarrow \left( {\frac{f(x)}{e^\frac{x}{3}}}{\right)^{3} + \frac{f(x)}{e^x} = 2$
...
$\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{{e}^{x}}=0$
άρα
$\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{{e}^{\frac{x}{3}}}=\sqrt[3]{2}$

manos66 · 2008-08-20T13:15:40+0300

$I = \int_{0}^{\sqrt{\pi }} f (x) dx\\= \int_{0}^{\sqrt{\pi }} (x)' f (x) dx\\= {\left[ x f (x){\right]}_{0}^{\sqrt{\pi }}-\int_{0}^{\sqrt{\pi }} x f'(x) dx\\= \sqrt{\pi} f (\sqrt{\pi} )-\int_{0}^{\sqrt{\pi }} 2x sinx^2 dx\\$

Αλλαγή μεταβλητής
$u = x^2, du = 2x dx\\x = 0 \rightarrow u = 0\\x = \sqrt{\pi} \rightarrow u = \pi$

$I = \sqrt{\pi} -\int_{0}^{\pi } sinu du\\= \sqrt{\pi} + \left[cosu \right]_0^\pi\\= \sqrt{\pi} - 2$

manos66 · 24 Ιουλίου 2008 στις 16:18

Μην ξεχνάτε ότι για να είναι έλλειψη πρέπει η εστιακή απόσταση να είναι μικρότερη του 2α.
Εδώ είναι οι εστίες τα Α(-1 , 0) και Β(2 , 0) και 2α = 3, άρα (εστιακή απόσταση) = 2α
Δεν είναι έλλειψη.

Η απάντηση είναι ότι η εικόνα του z κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ,
με Α(-1 , 0) και Β(2 , 0), δηλαδή πάνω στον x΄x, άρα ο z είναι πραγματικός.

Άλλα μηνύματα του μέλους manos66 σε αυτό το thread

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Συνημμένα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Συνημμένα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος