Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

galois01 · 12-03-09

Γράφω τα βασικά βήματα της λύσης γιατί δεν προλαβαίνω να την γράψω αναλυτικά

$f'(x)=-e^{-x}+lnx+1$

$f''(x)=e^{-x}+\frac{1}{x}>0$ για κάθε $x\in(0,1)$

Επομένως η f' έχει το πολύ ρίζα.

Επειδή όμως $f''(x)>0)$ έχουμε ότι η f' είναι γν. αύξουσα επομένως εύκολα βρισκείς το σύνολο τιμών της το οποίο ειναι
$(-\propto,\frac{e-1}{e})$

Eπομένως υπάρχει ακρβώς ένα ξ στο (0,1) τέτοιο ώστε f'(ξ)=0.

Κώστας

Dj Freak · 15-03-09

Καλησπέρα! Σε μια φωτοτυπία, είχε το εξής: Ισχύει η παρακάτω συνεπαγωγή?

f'(x^2) = 2x <=> f'(x^2) = (x^2)' < = > f(x^2) = x^2 + c

Λείπει ενα c ακόμη ή το όρισμα της f: x^2 πρέπει να γίνει x^3/3?

> περιττό να πω ότι το ^ σημαίνει ύψωση σε δύναμη

manos66 · 15-03-09

Dj Freak · 15-03-09

:no1: Ευχαριστώ, αν και το 4 χ τρίτης τρίτα, δεν το κατάλαβα.

mostel · 15-03-09

Είναι η αντι-παράγωγος (ή το ολοκλήρωμα ή η αρχική αν θες) της $4x^2$ !

Στέλιος

Dj Freak · 15-03-09

Εγώ νόμιζα ότι έπρεπε να ολοκληρώσω τη x^2 ...

Dj Freak · 16-03-09

Εννοώ δηλαδή, πώς προέκυψε το 4x^2? ( γιατί πολλαπλασιάσαμε με 2χ, λόγω σύνθετης? )

manos66 · 16-03-09

Αρχική Δημοσίευση από 1:
Εννοώ δηλαδή, πώς προέκυψε το 4x^2? ( γιατί πολλαπλασιάσαμε με 2χ, λόγω σύνθετης? )

Kαταλαβαίνεις τη διαφορά $f'(x^2)$ με $[f(x^2)]'$ ;

Dj Freak · 16-03-09

Ωωωωωωωωω! What gyfto am I? Δεν το είχα προσέξει! Και όλη τη μέρα προσπαθούσα να καταλάβω το επί 2 Χ. Και πριν λίγο πήγα να το καθαρογράψω και μου βγήκε κανονικά. :lol:

katerinaisc · 16-03-09

Καλησπέρα!γενικα πως λύνουμε θεωρητικες ασκήσεις?
για παραδειγμα:

Εστω μια συναρτηση f:R->R η οποία ειναι παραγωγίσιμη και ισχύει f^3(x)+f(x)=e^x - x +1 για καθε xeR
Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονια κ τ ακροτατα..

KONNOS · 17-03-09

Παραγωγιζοντας..εχουμε...3f^2(χ)f'(x)+f'(x)=e^x-1

f'(x)=(e^x-1)/(3f^2(x)+1)

f'(x)=0 <=> e^x=1 <=> x=0

f'(x)>0 <=> e^x>1 <=> x>0

x -oo_______0________+oo
f'______ -_______ +______
f_____φθνς_____αυξς_____
__________min_________

Και για το f(0) εχουμε f^3(0)+f(0)-2=0

Τραβα της και ενα Χορνερ οπως ειναι και θα βγαλεις f(0)=1....

Πιστευω οτι ειναι σωστο!

ΓιώργοςΒ · 17-03-09

Οταν λέει στο ανοιχτό παραγωγίσιμη, εννοεί ότι αρκεί σε αυτο και δε μας νοιάζει στο κλειστό.....αρκεί στα άκρα του κλειστού να είναι συνεχής. Αυτά ισχίουν και στη μονοτονία και στο θεώρημα.

kvgreco · 17-03-09

Κάθε βοήθεια δεκτή γιά τη παρακάτω άσκηση.

Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R γιά την οποία f(1)=0 και

$\int_{0}^{x}f(t)dt + {e}^{-x}\geq x+1$ για κάθε $x \in R$

i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x1 που ανήκει στο (0,1) ώστε

$\int_{1}^{{x}_{1}}f(t)dt = 1$

KONNOS · 17-03-09

Την εχω φτασει σε ενα καλο σημειο αλλα καπου κολαω..εχω βγαλει υστερα απο θεσιματα και fermat οτι f(0)=2..μετα αφου μετασχηματισω το ζητουμενο το θετω συναρτηση και ξεκιναω να κανω ενα bolzano στo (0,1) αλλα μου βγαινουν και οι δυο τιμες θετικες..Τι δεν παει καλα?Θελει σιγουρα Bolzano? :mad:

Επισης αν πας για rolle στην f οι τιμες στα ακρα ειναι διαφορετικες...

Ας βοηθησει καποιος γιατι σκαλωσα τωρα και τα εχω παρει..

KONNOS · 17-03-09

Σωστος ο παικτης!

riemann80 · 18-03-09

κανοντας ενα φερμα βγαινει αμεσως το f(0)=2

mazin · 18-03-09

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
κανοντας ενα φερμα βγαινει αμεσως το f(0)=2

holla !! συγνώμη μήπως θα μπορούσατε να γράψετε την λύση διοτι λάθος αποτέλεσμά βγάζω!

riemann80 · 18-03-09

θετουμε $g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt+e^{-x}-x$ και απο την υποθεση βλεπουμε οτι $g(x)\geq 0=g(0)$ επομενως η g παρουσιαζει ελαχιστο στο 0 και επειδη ειναι παραγωγισιμη και το 0 ειναι εσωτερικο σημειο του R θα ισχυει απο το θεωρημα του φερμα οτι g'(0)=0.παραγωγιζοντας τη g εχουμε

$g'(x)=f(x)-e^{-x}-1$ οποτε $g'(0)=0\Leftrightarrow f(0)-e^0-1=0\Leftrightarrow f(0)-1-1=0\Leftrightarrow f(0)=2$

KONNOS · 18-03-09

Ναι αλλα το f(0)=2 δεν ειναι η λυση της ασκησης...το θεμα ειναι πως δειχνουμε οτι υπαρχει το χ1 που ζηταει..(?)

kvgreco · 18-03-09

Παραθέτω κι τα άλλα δύο ερωτήματα της ασκησης κατά σειρά.Τα οποία είναι εύκολα στην απάντηση.

ii) Να δείξετε ότι f(0)=2 (Απαντήθηκε ήδη παραπάνω από τον riemann80)

iii) Να δείξετε ότι υπάρχει x2 $\in$ (0,1) στο οποίο η εφαπτομένη να είναι κάθετη στην y=(1/2)x+2000.

Η άσκηση αυτή είναι από το βιβλίο ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ των αδελφών Λουκόπουλοι εκδόσεις "Εν Δυνάμει" σελίδα 433 άσκηση 26.2 Γενικές.
Δυστυχώς δεν έχει υποδείξεις ή λύσεις γιά τις γενικές ασκήσεις.
Δεν ήθελα να κάνω διαφήμιση αλλά γιά όποιον έχει το βιβλίο ας πάει να δεί την εκφώνηση από εκεί γιατί δέχομαι μηνύματα μήπως καί έχω κάνει κάποιο λάθος στη διατύπωση.Εγώ αντέγραψα με προσοχή την άσκηση.
Το πρώτο ερώτημα είναι που με παιδεύει.Αν τα άλλα δυο ερωτήματα μπορούν να σας δώσουν κάποιο φως ώστε να απαντήσουμε και το πρώτο, αλλά πιστεύω ότι δεν έχουν σχέση.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος