Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

manos66 · 18-03-09

Για να υπάρχει x1 στο (0 , 1) ώστε
$\\ \int_{1}^{x_1}f(t)dt = 1$
πρέπει η f να παίρνει αρνητικές τιμές σε κάποιο διάστημα υποσύνολο του [0 , 1].
Κάτι τέτοιο δεν προκύπτει από τα δεδομένα.

Πιστεύω ότι το ζητούμενο είναι
Ν.δ.ο. υπάρχει x1 στο (0 , 1) ώστε
$\\ \int_{0}^{x_1}f(t)dt = 1$
και λύνεται με Θ. Bolzano με τη συνάρτηση h, με
$\\ h (x) = \int_{0}^{x_1}f(t)dt - 1$
στο [0 , 1]

kvgreco · 18-03-09

Αν έχει λάθος το βιβλίο δεν μπορώ να το ξέρω.
Πάντως κι εγώ σκέφτηκα αυτό μήπως δηλαδή αντι γιά το 1 πρέπει να ειναι το μηδέν.
Οι δεσμοί που δεν λύονται, κόβονται!

KONNOS · 18-03-09

Ενταξει σωστα την εχεις δωσει...οταν σ ειπα μηπως εχεις κανει καποιο λαθος δεν το ειπα απο κακια..απλα ειδα οτι δεν μου βγαινει με τιποτα και λεω μην παιδευομαι και αδικα..εξαλλου δεν το κανω μονο για μενα...εσυ ζητησες βοηθεια..!

katerinaisc · 18-03-09

Εχω ενα μικρο προβληματάκι να υπολογίσω το πρόσημο..
για π.χ λύνω μια ανίσωση..
φτάνω στο σημειο οπου παραγωγιζω κ εχω
x^2-4x+4
βασικα αυτο ειναι ταυτοτητα του (χ-2)^2
αυτο ειναι μεγαλυτερο-ισο του μηδεν..
γενικα πως το υπολογιζω,διπλη ριζα εχω στο παραπανω αν πάρω διακρίνουσα..οταν βγαινει το δ αρνητικο τοτε το προσημο της συναρτησης εξαρτάται απο τον συντελεστή του α?οταν εχει ριζες?
help..

KONNOS · 18-03-09

Μεταξυ των ριζων ειναι ετεροσημο του α..

katerinaisc · 18-03-09

ν αυτο το ξερω,για διπλη ριζα,απο δεξια ειναι ομοσημο του α?

galois01 · 19-03-09

Αρχική Δημοσίευση από katerinaisc:
ν αυτο το ξερω,για διπλη ριζα,απο δεξια ειναι ομοσημο του α?

Αν έχεις διπλή ρίζα τότε είναι παντού ομόσημο του α εκτός από το σημείο στο οποίο μηδενίζεται.

Γενικότερα αν έχεις ένα πολυώνυμο το οποίο έχει ρίζα άρτιας πολλαπλότητας τότε αυτό διατηρεί πρόσημο δεξιά και αριστερά της ρίζας

Κώστας

galois01 · 19-03-09

Για το (γ) αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει $x_{1}\in(0,1)$

τέτοιο ώστε $f'(x)=-2$

Η συνάρτηση $H(x)=f(x)+2$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήματος Rolle στο (0,1) και επομένως εύκολα προκύπτει το ζητούμενο.

P.S Για το (α) η λύση μου είναι ίδια με του riemann80 ενώ για το (β) θα συμφωνήσω με τον manos66.

Κώστας

katerinaisc · 19-03-09

thanks,αυτο που ειπα παραπανω για τ διακρινουσα ισχυει ετσι?οταν ειναι αρνητικη η διακρινουσα τοτε το προσημο της συναρτησης εξαρτάται απο το προσημο του α. ?
αυτα βασικα δν πολυθυμομουν...

οκ!!λυθηκε η απορια μ...
srry για το χαζο θέμα...

KONNOS · 19-03-09

Καθε απορια ειναι ευλογη!

you are right..Οταν η διακρινουσα ειναι αρνητικη τοτε το προσημο της συναρτησης ειναι ομοσημο του α!

akistzoulouhas · 19-03-09

ρε παιδια,επειδη εχω σπασει το κεφαλι μου,αν γνωριζει καποιος ας μου πει
Εστω συναρτηση f απο το R στο R η οποια ειναι συνεχης και ικανοποιει τη σχεση

ολοκληρωμα)απο το 0 στο χ f(t)dt<=1-e^x για καθε χ που ανηκει στο R.Να βρεθει η τιμη της f στο 0..
Ευχαριστω

KONNOS · 19-03-09

Λοιπον...

Τα παμε ολα στο ενα μελος και εχουμε...

1-e^x-ολκρμ(απο 0 εως χ f(t)dt) >= 0

Θετουμε φ(χ)= 1-e^x-ολκρμ(απο 0 εως χ f(t)dt)

Παρατηρουμε οτι για χ=0 εχουμε φ(0)=0

Αρα φ(χ)>=φ(0)...Απο Θεωρημα φερμα....η φ παρουσιαζει ελαχιστο στο 0...και φ'(0)=0

φ'(χ)= -e^x - f(x)

Για χ=0..εχουμε...0=-1-f(0)...δηλαδη..f(0)=-1

Πιστευω οτι ειναι σωστη..!(ειναι?)

akistzoulouhas · 19-03-09

Αρχική Δημοσίευση από KONNOS:
Λοιπον...

Τα παμε ολα στο ενα μελος και εχουμε...

1-e^x-ολκρμ(απο 0 εως χ f(t)dt) >= 0

Θετουμε φ(χ)= 1-e^x-ολκρμ(απο 0 εως χ f(t)dt)

Παρατηρουμε οτι για χ=0 εχουμε φ(0)=0

Αρα φ(χ)>=φ(0)...Απο Θεωρημα φερμα....η φ παρουσιαζει ελαχιστο στο 0...και φ'(0)=0

φ'(χ)= -e^x - f(x)

Για χ=0..εχουμε...0=-1-f(0)...δηλαδη..f(0)=-1

Πιστευω οτι ειναι σωστη..!(ειναι?)

Σε ευχαριστω παρα πολυ!!!!!!Πρεπει να ειναι σιγουρα σωστη!!!!

KONNOS · 19-03-09

Δεν κανει τιποτα..Την αλλη που μου εστειλες θα την δω το βραδυ γιατι δεν προλαβαινω..

akistzoulouhas · 19-03-09

Αρχική Δημοσίευση από KONNOS:
Δεν κανει τιποτα..Την αλλη που μου εστειλες θα την δω το βραδυ γιατι δεν προλαβαινω..

ok....σε ευχαριστω

mitsos_312 · 19-03-09

Sorry κιόλας αλλά ήταν αστεία η ασκηση!Για αριστούχο μαθητή τουλάχιστον!Φιλικά πάντα...

KONNOS · 19-03-09

Εστω η συναρτηση f συωεχησ στο [α,β] και γ ανηκει στο [α,β]

αν α<=f(χ)<=β

Νδο υπαρχει γ στο [α,β] (μπορει και ανοιχτο) τετοιο ωστε f(γ)=γ

Καμια ιδεα?

galois01 · 19-03-09

Αρχική Δημοσίευση από KONNOS:
Εστω η συναρτηση f συωεχησ στο [α,β] και γ ανηκει στο [α,β]

αν α<=f(χ)<=β

Νδο υπαρχει γ στο [α,β] (μπορει και ανοιχτο) τετοιο ωστε f(γ)=γ

Καμια ιδεα?

Θέτουμε $H(x)=f(x)-x$ με $x\in[a,b]$

Σύμφωνα με την ανισότηττα της υπόθεσης έχουμε $H(a)H(b)\leq0$

Αν Η(α)Η(β)=0 έχουμε οτι γ=α ή γ=β

Αν Η(α)Η(β)<0 τότε τότε από το θεώρημα Bolzano παίρνουμε ότι υπάρχει γ στο (α,β) τέτοιο ώστε f(γ)=γ.

Επομένως σε κάθε περίπτωση έχουμε ότι υπάρχει γ στο [α,β] τέτοιο ώστε f(γ)=γ.

Κώστας

KONNOS · 19-03-09

Βασικα και εγω ετσι την ελυσα..αλλα εχω μια απορια..στην συναρτηση που εχουμε θεσει κανοντας bolzano...λεμε οτι f(a)-a>=0 και f(b)<=0..για να πεις τελικα οτι το γινομενο ειναι μικροτερο η ισο του μηδενος..αλλα απο Θ.μεγιστης ελαχιστης τιμης αφου η f ειναι συνεχης συναρτηση δεν ισχυει οτι f(a)=a k f(b)=b..?

riemann80 · 20-03-09

αυτη η ασκηση ειναι ειδικη περιπτωση ενος πολυ σημαντικου θεωρηματος της αναλυσης,του θεωρηματος σταθερου σημειου του banach.η αποδειξη εδω ειναι πολυ ευκολη.αλλα σε γενικοτερους χωρους (τους επονομαζομενους και τοπολογικους χωρους) η αποδειξη ειναι αρκετα δυσκολοτερη.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος