lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Η αριστερή ανίσωση ισχύει για κάθε xεR, και η δεξιά δίνει το [-2,1]Δεν κατάλαβα την δεύτερη ισοδυναμία, γιατί
xΕ(-2,1) ;
Πάντως απ' τη δική σου εκφώνηση έχω γράψει ανάποδο πρόσημο στην g, οπότε δες τη λύση του Μανώλη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 8 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Βάζω σε spoiler τη fog, αφού με πρόλαβαν.Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=√-x²+2x+8 (όλο σε ρίζα) και g(x)=x²+x-2. Να οριστούν οι συναρτήσεις gof και fog.
Αν γίνεται αναλυτικά γιατί τα έχω βρει σκούρα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 8 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
τωρα που το σκεφτομαι σου δινει τη δολια τη συναρτησιακη ισοτητα για να βρεις το χο
λοιπον παραγωγιζοντας την εχεις οτι φ'(χ)=-φ'(2-χ) οποτε θετοντας οπου χ το 1 (θετουμε γιατι η φ' ειναι συνεχης ως παραγωγισιμη) παιρνεις φ'(1)=0 αρα το ελαχιστο σου ειναι στο 1 ποσο ειναι ο θεος και η ψυχη του !
υ.γ σορρυ αν σε κουρασα-μπερδεψα
Ίσως το θεωρείς αυτονόητο, αλλά ας το σημειώσω σε περίπτωση που κάποιος δεν δώσει ιδιαίτερη σημασία και για να είναι πιο πλήρης η λύση:
Το από μόνο του δεν εξασφαλίζει ακρότατο (το αντίστροφο του Fermat δεν ισχύει). Θα πρέπει να δείξουμε ότι η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του σημείου x=1.
Ξέρουμε ότι η είναι γν. αύξουσα.
Άρα στο x=1 ολικό ελάχιστο, το οποίο ούτε εγώ ξέρω πως βρίσκουμε
edit: Τώρα πρόσεξα ότι το 'χεις δείξει πιο πάνω, my bad.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Το οτι ειναι κυρτη σημαινει πως ειναι θετικη η 2η παραγωγος
Αυτό δεν ισχύει. Μπορεί να είναι και μηδέν. Έχει σχόλιο και στο σχολικό (σελ. 274) και παίζει για Σ-Λ.
f κυρτή <=> f' γνησίως αύξουσα
Επίσης υπάρχει αντίστοιχο θέμα για απορίες εδώ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Πώς αποδεικνυουμε οτι η συναρτηςη f(x) = (1+e^(2x))x+x^2+1 δε δεχεται ασύμπτωτες. Επιπλέον πως αποδεικνύω ότι η f(x)=0 ειπναι αδύνατη;
Επειδή το λάτεξ τα 'χει παίξει...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
α)
Για να μπορέσουμε να εκμεταλλευτούμε ότι , προσθέτουμε μια μονάδα στο αριστερό μέλος, που δεν επηρεάζει τη σχέση γιατί παραγωγίζεται και γίνεται μηδέν. Άρα
β)
Ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός, οπότε μας ενδιαφέρει πότε μηδενίζεται ο αριθμητής. Ορίζουμε:
δηλαδή
Από Bolzano, υπάρχει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Να λυθεί η εξίσωση xlnx=2x-e.
Έχω βρει την x=e ως προφανή λύση και προσπαθώ να δικαιολογίσω την μοναδικότητά της με χρηση μονοτονιας της συνάρτησης που ορίζω ως f(x)=xlnx - 2x+e , x>0. Ωστόσο, δυσκολέυομαι να προσδιορίσω την μονοτονία της...μια βοήθεια??
Χρησιμοποίησε την , βρες τη μονοτονία της , και από εκεί βρες το ελάχιστο της
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
άρα υπάρχει x0 κοντά στο 0+ τέτοιο ώστε
κι επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, το (ξ) είναι μοναδικό.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Δεν γίνετε και να αντικαταστήσω την εφχ με ημχ/συνχ και μετά να προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα;
Ναι, αυτό χρησιμοποίησε.
Το όριο εφx/x εννοείς... Απλά πριν το σπάσεις, γράψτοΕπίσης πως γινετε να μετατρεπω το οριο του αθροισματος σε αθρόισμα το ορίων, ξέρω οτι υπαρχει το όριο (εφφχ -1)/χ ;
που είναι γινόμενο γνωστών ορίων.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Πως λυνεται,
Ευχαριστώ
όπου (σε περίπτωση που δεν έχετε μπει DLH)
άρα
ΥΓ. tan=εφαπτομένη, cos=συνημίτονο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
να αποδείξετε ότι
κάνω αντικατάσταση από τον πρώτο τύπο και μου βγαίνει
Καμιά ιδέα;
Υψώνεις και τα δύο μέλη στο τετράγωνο και κάνεις πράξεις. Θα καταλήξεις σε κάτι που ισχύει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Βέβαια είναι εκτός ύλης αλλά εντάξει...αρκεί να μπορείς να βρεις την αρχική με οποιοδήποτε τρόπο.
Έχετε δίκιο, το είχα ξεχάσει ότι είναι εκτός ύλης. Σας το διδάσκουν καθόλου το αόριστο πριν μπείτε στο ορισμένο, για να μπείτε στο κλίμα? Και τέτοιες ασκήσεις πως τις λύνετε συνήθως? Γιατί αυτές είναι φτιαγμένες για να λυθούν με αόριστο. Φαντάζομαι και αυτό το "παρατηρώ" που έγραψε η Stavri, κάπως έτσι θα το βρήκε.Οντως ειναι εκτός υλης... Για μας που δινουμε πανελλαδικές πρεπει να μπορούμε να τη λυσουμε με τεχνικες που εχουμε μαθει ωστε να μπορουμε και να το αιτιολογησουμε με βαση τις γνωσεις μας !
Μια άλλη λύση είναι στο σημείο
να ολοκληρώσουμε από c έως x.
Βγάζει το ίδιο αποτέλεσμα,αλλά έχω κάποιες αμφιβολίες...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
την παραπανω ασκηση που παρεθεσα μπορειτε να τη διαγραψετε.Αυτη ειναι η σωστη
δινεται η g: παραγωγισιμη με g(0)=4 και ισχυει οτι για καθε χ ανηκει R
να βρειτε τον τυπο της g.
Υπολογίζω ξεχωριστά τα ολοκληρώματα με παραγοντικές:
Άρα
Για x=0:
Τελικά
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Για τη μονοτονία μιας συνάρτησης μας ενδιαφέρει το πρόσημο της παραγώγου της.να ρωτησω κατι ρε παιδια στο περσυνο θεμα πανελληνιων στο γ θεμα
∆ίνεται η συνάρτηση f(x)=(x−1)lnx−1, x>0 λεει και ζηταει
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως
φθίνουσα στο διάστημα ∆1=(0,1] και γνησίως αύξουσα
στο διάστημα ∆2=[1,+∞). Στη συνέχεια να βρείτε το
σύνολο τιμών της f
Και βρισκει την 1η παραγωγο κ επειτα τη 2η.. τη 2η παραγωγο την κανει επειδη δεν ικανοποιει τα ζητουμενα η 1η παραγωγος?δεν καταλαβαινω ποτε πρεπει να βαζω 2η παραγωγο..
π.χ αν μου λεει να αποδειξω οτι μια φ ειναι αυξουσα στο π.ο της και δεν βγαινει με την πρωτη να κανω την 2η μηπως μου βγει απο κει?
ελπιζω να καταλαβατε..
Εδώ η παράγωγος είναι , αλλά δεν ξέρουμε το πρόσημό της, καθώς δεν είναι προφανές. Οπότε πρέπει να ξαναπαραγωγίσουμε:
Συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα.
Παρατηρούμε επίσης ότι οπότε εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία και λέμε, για
Ομοίως για
Ίσως να βγαίνει και αν μελετήσουμε τον αριθμητή ξεχωριστά ως συνάρτηση, καθώς το πρόσημο της f ' εξαρτάται αποκλειστικά απ' το πρόσημο του αριθμητή (καθώς ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός). Στη συγκεκριμένη περίπτωση πιο εύκολος είναι ο πάνω τρόπος. Έχε το πάντως υπόψιν κι αυτό.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
δν μου βγαινει αυτη > αν μετρο 2z-5 <= 3 τοτε νδο 1<= μετρο z <= 4
Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος, καθώς και όλα τα εσωτερικά σημεία αυτού, με κέντρο Κ(0, 5/2) και ακτίνα ρ=3/2. Άρα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω L το ζητούμενο όριο.καλησπερα θα ηθελα τη βοηθεια σας στις παρακατω...
1)Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο R,με για καθε χ ε R και υπαρχει στο R το να δειξετε οτι
2)να υπολογισθει το οριο
Για τη δεύτερη λογικά πρέπει να δίνει κάποιες πληροφορίες για τη f η άσκηση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
2η: Δίνεται ότι η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο [-π/2,π/2] και για κάθε χ,ψ εR ισχύει: φ(χ+ψ)= φ(χ) +φ(ψ) +χημψ +ψημχ
Να δειχθεί ότι φ(χ) +φ(-χ) = 2χημχ
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα της φ(χ) από -π/2 στο π/2.
Για x=y=0 στην αρχική:
Στην αρχική θέτω όπου y το -x:
Ολοκληρώνω τη σχέση:
όπου
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Ασκηση 35 σελ.332 Μπαρλας β τευχος
Να βρειτε τη συναρτηση με f'' συνεχη για την οποια ισχυουν και ,
Φέρνω τα ολοκληρώματα στο πρώτο μέλος, κι επειδή έχουν τα ίδια όρια ολοκλήρωσης, τα βάζω σε κοινό ολοκλήρωμα:
Για x=e προκύπτει c=0
Άρα τελικά
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Ευχαριστω πολυ παιδια! Κι εγω κατα παραγοντες ειχα παρει στην αρχη αλλα χωρις να θεσω και δε μου εβγαινε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Γενικά βρίσκω εύκολα παράγουσες συναρτήσεων, είναι όμως κάποιες τις οποίες πρέπει να "τις έχεις ξαναδεί" για να μην χάνεις άσκοπα χρόνο στις ασκήσεις. Βέβαια υπάρχουν αρκετές φορές κι άλλοι τρόποι για να λύσεις μια άσκηση, πάντα όμως ο γρηγορότερος απαιτεί παράγουσα.
Θα ήθελα λοιπόν, έχοντας ήδη ψάξει αρκετά στο διαδίκτυο και μην έχοντας βρει κάτι, αν σας βρίσκεται εσάς μια λίστα με δύσκολες παράγουσες για να τις μάθω απ'έξω. Ζήτησα απ'τον μαθηματικό μου, αλλά λέει πως είναι ανώφελο, γιατί δε γίνεται κάτι τέτοιο και στο τέλος θα μπερδευτώ. Εγώ όμως θα ήθελα έστω να προσπαθήσω και βλέπουμε στη πορεία.
Σας ευχαριστώ προκαταβολικά, είδα πως δεν υπάρχει παρόμοιο θέμα, και γι'αυτό άνοιξα καινούριο. Εάν υπάρχει και δεν το είδα, μεταφέρετέ το.
Δεν έχει άδικο ο καθηγητής σου, μην ταλαιπωρείσαι άδικα. Ακόμα κι αν σου χρειαστεί κάποιες απ'αυτές, δεν μπορείς να πετάξεις τη λύση έτσι ξεκάρφωτα, είναι αρκετά μεγάλο ακροβατικό. Θα πρέπει να δείξεις πως προκύπτουν, για να μην υπάρξει περίπτωση να σου κόψουν και κανα μόριο. Συνεπώς, μάθε καλύτερα να τις λύνεις για να μην ταλαιπωρείς και το μυαλό σου με άχρηστες απομνημονεύσεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Απο το βιβλίο του Μπάρλα,τεύχος πρώτο,σελίδα 67 άσκηση 72:
Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των εικονων των μιγαδικών z και w για τους οποίους ισχύουν:
Βρίσκω ότι για το z είναι y=x και για τον w β=α+2
Μετά να δείξετε ότι
Καταλαβαινω πως είναι η απόσταση μεταξύ των μιγαδικών...Αλλά πώς θα το βρώ;
Μήπως λέει ?
Καταρχάς, η ελάχιστη απόσταση δύο παράλληλων ευθειών ισούται με το μήκος της κοινής τους καθέτου.
Δεύτερον, η απόσταση των δύο παράλληλων ευθειών ε1 (y=x) και ε2 (y=x+2), ισούται με την απόσταση ενός σημείου της ε1, με την ε2. Ας θεωρήσουμε το Ο(0,0) για να βολεύουν και οι πράξεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Και γιατι στο αποτελεσμα ο Μπαρλας βγαζει ενα +i ?
O μιγαδικός που ψάχνουμε είναι ο .
Βρήκαμε
Άρα τελικά ο z είναι ο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Μερκ,το y ισουται με -i . Ξαναδεστο
Τα x,y είναι πραγματικοί αριθμοί εξ ορισμούΓιά το y είναι:
Μόνο αυτό μπόρεσα να βρώ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Να λυθεί η εξίσωση:
Διακρίνουσα:
Άρα,οι ρίζες της εξίσωσης είναι:
Στις λύσεις του Μπάρλα όμως,γράφει σαν λύση όμως το
Γιατί;
Γιατί στο σημείο που έχεις , το πρώτο μέλος ως ρίζα είναι μη αρνητικός αριθμός (θετικός ή μηδέν), και μάλιστα επειδή το υπόρριζο είναι θετικό, το πρώτο μέλος είναι θετικό. Άρα και το 2ο μέλος πρέπει να είναι θετικό για να ικανοποιείται η εξίσωση, οπότε η αρνητική λύση που βγάζεις απ'τη δευτεροβάθμια, απορρίπτεται.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
2)να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα απο 0 εώς π/2 (συν^3*χ-2συνχ)*ημχdx
Αν δεν το προσέξεις αυτό κατευθείαν, θέσε u=συνx
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
3)Αν κάνεις τις πράξεις στην ισότητα των μέτρων που δίνει βρίσκεις που δηλώνει ότι μεταξύ α και β υπάρχει αριθμός ξ ώστε f(ξ)=0
2) Διαιρείς αριθμητή και παρονομαστή με χ^2 και επειδή 1/χ----> 0 απομένει
αφού f(a) και f(b) λέει ότι δεν είναι μηδέν.
Ωπ τώρα το πρόσεξα αυτό. Στο όριο τα είναι ετερόσημα, άρα το πηλίκο τους είναι αρνητικό, επομένως το όριο κάνει
Λύνεται ακριβώς όπως η προηγούμενη. Παραγωγίζεις τη σχέση, και λύνεις ως προς . Ο παρονομαστής είναι θετικός, οπότε μελετάς το πρόσημο του αριθμητή.αυτη λυθηκε οκ..την αλλη με τον lnx e κτλ??
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
λαθος ειναι φιλε..
Ναι, έκανε ένα μικρό λαθάκι σε κάποιο σημείο, το οποίο μεταφέρθηκε παρακάτω. Φαντάζομαι όμως μπορείς να τη λύσεις τώρα.
ΥΓ. Civilara, αυτό που κάνεις με τη σύνθεση είναι περιττό. Σου λέει ότι είναι παραγωγίσιμη η f, οπότε την παραγωγίζεις κατευθείαν. 3 ώρες είναι οι εξετάσεις, όχι 3 μέρες
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Μπορει καποιος να υπολογισει το ολοκληρωμα του συν^2(χ)?
Εχω κολλησει ασχημα!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
2)δίνεται η συνάρτηση
α)να μελετήσετε τη μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα
β)να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση εφάπτεται της
γ)να βρείτε τα όρια : όταν και όταν
δ)να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης .
α)
Άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x=1 το f(1)=-1
β)
Έστω
Εφόσον στο σημείο Μ δέχεται την οριζόντια εφαπτομένη y=-1, ισχύει ότι
Επίσης πρέπει να ισχύει
Άρα στο σημείο Μ(1,-1) η y=-1 εφάπτεται στη Cf.
γ)
Όμως
Άρα
δ)
Τελικά, η f έχει δύο ακριβώς ρίζες, μία στο Δ1 και μία στο Δ2.
Δες εδώ και τη γραφική παράσταση της f, ώστε να επαληθεύσεις και γραφικά τα αποτελέσματα:
Λιγη βοηθεια στα παρακατω θεματακια....:
1)έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει .Να αποδείξετε ότι:
α)η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3),
β)υπάρχουν με , ώστε ,
γ)η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3).
1) Bolzano για την g(x)=f(x)-f(1)-2 στο [1,3]
2) Σίγουρα είναι αυτή η εκφώνηση? Η σκέψη μου ήταν ΘΜΤ για την f στα [1,x0] και [x0,3], όπου x0 η ρίζα του προηγούμενου ερωτήματος, αλλά δε βγαίνει. Ίσως είναι κάτι άλλο, δε μου 'ρχεται τώρα.
3) Rolle για την k(x)=f(x)-2x στο [1,3]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Λίγη βοήθεια σε κάτι θέματα :
1) Δίνεται η συνεχής και γνήσια φθίνουσα συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει οριο οταν το χ τείνει στο -1 χ+1/f(χ+1) =1
Να δείξετε ότι η γραφική παρασταση της συναρτησης διέρχεται απο την αρχη των αξόνων.
Να βρείτε το lim, x->0, f(ημχ)/x
Να αποδείξετε ότι η cf τεμνει την ευθεία ψ=χ-1 σε ένα σημείο ακριβώς με τετμημένη χε(ο,1)
1)
Θέτω
Θέτω
Άρα
2)
Άρα
3)
Θέτω
γιατί
Επίσης η συνάρτηση k(x) είναι γνησίως φθίνουσα ως άθροισμα των γνησίων φθινουσών συναρτήσεων f(x) και (-x+1).
Συνεπώς από Bolzano και λόγω μονοτονίας υπάρχει ακριβώς ένα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
1)έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [α,β] με για κάθε
να δείξετε ότι:
α)
β)υπάρχει τέτοιο ώστε
γ)υπαρχουν και τέτοια ώστε
δ)αν για την ισχύει επιπλέον ότι για κάθε ,να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια λύση στο
Βγαίνει πάντως εύκολα και με Bolzano:μηπως σου ειναι ευκολο να μου εξηγησεις λιγο το β ερωτημα...??τωρα που το ξαναειδα κολλησα....
Στο 1ο ερώτημα δείξαμε ότι f(α) διάφορο του f(β). Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας, όπως είπε και ο Κώστας, ότι f(α)>f(β).
Έστω
Άρα
Συνεπώς, από Bolzano στο [α.β] υπάρχει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Παιδια οταν μια εκφωνηση λεει οτι η γραφικη παρασταση της f τεμνει την y=x το πολυ σε ενα σημειο, αυτο πως μπορω να το αξιοποιησω ως δεδομενο?
Ότι η συνάρτηση δεν μπορεί να έχει δύο (ή παραπάνω) λύσεις που τη μηδενίζουν.
Έχει ή μία ή καμία.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
θα ηθελα μια βοηθεια στις παρακατω ασκησεις:
Σου ζητάει να αποδείξεις ότι κάτι δεν μπορεί να ισχύει. Αυτό σε ψιλιάζει να χρησιμοποιήσεις άτοπο. Έστω λοιπόν ότι μπορεί. Έστω δηλαδή ότι υπάρχουν
Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι x1<x2 δηλαδή ισχύει η διάταξη 1<x2<x2<2.
Απ' το θεώρημα Rolle στο διάστημα [x1,x2] προκύπτει ότι υπάρχει .
Όμως
Το τριώνυμο αυτό ρίζες 0,5 και η άλλη 3.
Κάνοντας ένα πινακάκι προσήμου βλέπουμε ότι:
_____0,5_________1_________x1____ξ____x2________2_______3_______
__+___ |________________________________________________|___+
Συνεπώς το συμπέρασμα που βγάλαμε απ'το Rolle, ότι δηλαδή μεταξύ των x1,x2 υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f'(ξ)=0, είναι άτοπο, καθώς μεταξύ x1 και x2 η παράγωγος είναι αρνητική. Άρα η αρχική μας υπόθεση είναι λανθασμένη και όντως η f δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο (1,2).
Άρα η x=2 είναι διπλή ρίζα.
Στη διπλή ρίζα δεν αλλάζει το πρόσημο της συνάρτησης, άρα στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι παντού θετικό (ομόσημο του συντελεστή α=6).
Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού τους, και το σύνολο τιμών της είναι το
Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών, επομένως η συνάρτηση έχει μία μοναδική ρίζα.
Η εκφώνηση λέει "μόνο ένα" ή "το πολύ ένα τοπικό ακρότατο".
Αν δεν μας ενδιαφέρει η ύπαρξη ή μη το ακρότατου, αλλά μόνο το γεγονός ότι μπορεί να έχει μέχρι ένα ακρότατο (δηλαδή ένα ή κανένα) τότε θα δουλέψουμε με άτοπο.
Έστω ότι η f έχει 2 θέσεις τοπικών ακρότατων x1,x2. (Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε x1<x2).
Απ'το θεώρημα του Fermat (ελέγχουμε πάντα προϋποθέσεις) προκύπτει ότι:
Εφαρμόζοντας τώρα το θεώρημα Rolle για την f' στο [x1,x2] προκύπτει ότι υπάρχει
Όμως
το οποίο έχει αρνητική διακρίνουσα, δηλαδή δεν έχει ρίζες.
Συνεπώς το συμπέρασμα στο οποίο καταλήξαμε απ'το Rolle, ότι δηλαδή υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f''(ξ)=0, είναι άτοπο.
Συνεπώς η f έχει το πολύ ένα τοπικό ακρότατο.
Από Bolzano sta [-1,0] και [0,1] προκύπτει το ζητούμενο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R τέτοια ώστε:
για καθε χεR
i)να βρειτε το f '(1)
ii)f:R-->R ειναι παραγωγισιμη
για κεθε χεR
να βρειτε το f '(1)
iii)1)εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f:R-->R να δειχθει οτι αν η f ειναι αρτια τοτε η f ' ειναι περιτη
2)Αν η f ειναι περιτη τοτε η f ' ειναι αρτια
χρειαζομαι βοηθεια
Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη και θέτουμε x=1:
Παραγωγίζουμε την παραπάνω σχέση:
Άρα η f' περιττή.
Ομοίως και το άλλο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Ναι αυτό εννοώ φίλτατε.Είναι σωστό ;
Ναι, η τριγωνική ανισότητα εξασφαλίζει μόνο φράγματα, και όχι μέγιστες/ελάχιστες τιμές.
Αν έχεις το βοήθημα Στεργίου-Νάκης πήγαινε σελίδα 53 (1ο τεύχος) για να το δεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Μήπως εννοείς ότι η τριγωνική ανισότητα εξασφαλίζει μόνο φράγματα, και όχι μέγιστες/ελάχιστες τιμές?Κάπου είχα διαβάσει οτι απαιτούνται κάποιες προυποθέσεις ωστε να χρησιμοποιήσει κανεις τριγωνικη ανισοτητα στους μιγαδικούς.Ισχύει κάτι τέτοιο ή μπορώ να λυσω το ερωτημα χωρις να γραψω τιποτα παραπάνω;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
1)Εστω συναρτηση f η οποια ειναι συνεχης στο [α,β] , παραγωγισιμη στο (α,β) και ισχυει f(α)>f(β).Ν.δ.ο υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ ε (α,β) τετοιο ωστε f'(ξ)<0.
2)εστω μια συναρτηση f η οποια ειναι 2 φορες παργωγισιμη στο [α,β] με f(α)<0 , f(β)=f'(β)=0.Ν.δ.ο υπαρχει ξ ε(α,β) τετοιο ωστε f'(ξ)>0.
οποιος μπορει ας βοηθησει....ευχαριστω εκ των προτερων!!!!!
Και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει άμεσα με ΘΜΤ στο [α,β].
Λόγω διαστήματος ξέρεις ότι β-α > 0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
View attachment them_ejetaseon_thema_03_mathjazz.pdfΕαν για τον μιγαδικό ζ με ζ διάφορο του 4+3ι ισχύει:
ln|z-43i| = 1 - |z-4-3i|
να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
και την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου |z-z(συζηγής)|.
Τι κάνω?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
(ln²x )'= 2 * lnx * (lnx)' ή (ln²x)= 2 * lnx * x ' ?
αφού lnf(x) = lnf(x) * f'(x) γιατί στη προκείμενη περίπτωση το f(x) μας είναι το χ
Το πρώτο... ίδια περίπτωση με την προηγούμενη είναι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
(ημ²χ)' = 2*ημχ * (ημχ)' Ή
(ημ²χ)' = 2*ημχ * χ'
επειδή ο ορισμός λέει [ημf(χ)]'= f(x)' συνf(x)
Γενικά, , συνεπώς το πρώτο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
παιδια αν γινετε ας λυσει καποιος τις 46,47,49 απο εδω...View attachment 49163 δεν βγαζω ακρη...εχω απελπιστει!!
46)
Καταρχάς απ' την εκφώνηση f(0)=2
Έστω
και
Bolzano στη g(x): ένα τουλάχιστον x0 στο (0,1) τέτοιο ώστε
47)
Με τον ίδιο τρόπο θα εκμεταλλευτείς το όριο που σου δίνεις και θα βρεις f(1)=2
Απ'την ανισοτική σχέση, για x διάφορο του 0, θα διαιρέσεις με x, και χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής θα βρεις το
lim f(x) για x-->0 , άρα και το f(0)
Μετά πάλι Bolzano για την k(x)=f(x)+2x-3 στο [0,1]
49)
Πάλι για x διάφορο του 0, διαιρείς με x, παίρνεις όρια για x-->0 και βρίσκεις f(0)=-1<0
Αν θέσεις x=1 στη αρχική, έχεις f(1)=1-ημ1 το οποίο με κομπιουτεράκι βγαίνει θετικό
Bolzano στην f στο [0,1]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
να βρειτε τα ορια
Ισχύει ότι
Στα δύο πρώτα απλά διαιρείς αριθμητή και παρονομαστή με το x.
Το τρίτο γράφεται έτσι:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
3)δινεται η συναρτηση f : R->R με α ε R.
i)Nα βρειτε το f(0).
ii)Nα βρειτε το α ωστε
για το πρωτο ερωτημα της ασκησης ειπα αρα επομενως f(0)=0
για το δευτερο ερωτημα εθεσα
και μετα ειπα
μετα απο εκει αντικατεστησα τη 2xf(x) στην σχεση που μου δινει αλλα δεν καταληγω σε κατι σωστο....
καμια ιδεα για την ασκηση 3 το δευτερο ερωτημα..???
Φαντάζομαι δίνεται στην εκφώνηση ότι η f είναι συνεχής ε?
Για το 1ο ερώτημα, να δείχνεις αναλυτικά τη διαδικασία:
------------------------------------
Για το 2ο ερώτημα, ξέρεις ότι
Βρες ένα τρόπο να τα εκμεταλλευτείς.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
View attachment 48357
πειτε μου καποιος αν λυνετε ετσι αυτη η ασκηση..
οριο οταν το χ τεινει στο συν απειρο της f(243x) προς f(x), δειτε και το δεδομενο...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
μηπως θα μπορουσε καποιος να με βοηθησει ή να με συμβουλεψει στη λυση του 1ου οριου στη δευτερη ασκηση που παραθετω.....το οριο ειναι:Code:[LATEX]\lim _{ χ\rightarrow 0+ }{ \frac { \sqrt { { x }^{ 4 }+{ x}^{ 2 } } +\eta \mu 2x }{ { χx}^{ 2 }+x } } [/LATEX]....???εχω κολλησει ...εκανα με το συζυγη αλλα δεν μοπρω να καταληξω καπου......
Αρχικά βγάλε κάτι κοινό παράγοντα στο υπόρριζο. Μετά διαίρεσε αριθμητή και παρονομαστή με κάτι άλλο, ώστε να μην έχεις απροσδιοριστία στον παρονομαστή.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Να βρεθει το οριο.ειναι της μορφης 0/0
Τι σε δυσκολεύει? Απλές πράξεις είναι.κι αυτο επισης!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Εφραψα σήμερα ένα διαγώνισμα και θέλω την γνώμη σας σε ένα ερώτημα που νομίζω ότι έκανα πατάτα.
Είπα:
Αφού για κάθε xεR*, άρα η f(x) έχει μία ρίζα η οποία είναι η x=0 άρα f(0)=0
Διαφορετικά
Για x=0 στην αρχική:
Για x=f(0) στην αρχική:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Για πείτε τι να κάνω;
Το πρώτο δεδομένο δε χρειάζεται.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Πες το τοση ωρα.....!!!Βοηθαει να ξερεις οτι οz ειναι διαφορος του μηδεν.....
Και να μη στο έλεγε το θεωρείς δεδομένο γιατί ο z είναι στον παρονομαστή στη σχέση με το w.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Εστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f(x))=3x+4 για κάθε χ ανήκει R.
Να δείξετε ότι f(3x+4)=3f(x)+4
Να υπολογίσετε το f(-2)
Θέτω όπου x το f(x)
Για x=-2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Παιδια να ρωτησω κατι ασχετο?
(Προς θετικη-τεχνολογικη)
Στους μιγαδικους
(iz) παυλα=i παυλα επι z παυλα
ή
(iz) παυλα=i z(παυλα)
Και αν υπαρχει i παυλα ποσο ειναι ?
Είναι μια απ'τις ιδιότητες:
Και ο i μιγαδικός είναι, με πραγματικός μέρος μηδέν και φανταστικό μέρος ίσο με τη μονάδα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Σας παρακαλώ λύστε μου την εξίσωση αυτή : xlnx=1-x
Ευχαριστώ εκ των προτέρων
Προφανής ρίζα η x=1
Για x>1 έχουμε:
και
Και αφού το ένα μέλος είναι θετικό και το άλλο αρνητικό, δεν έχει λύση για x>1
Για 0<x<1, ομοίως
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Πλάκα θα έχει πάντως κάποιος καθηγητής που θα είναι στην επιτροπή να μας παρακολουθεί, να το βάλει και μετά να λέει ότι ήταν στο ischool και δεν έχουμε δικαιολογία
Μην το γελάς, κοίτα
Ρε παιδια δεν προκειται να πεσει τετοιο πραγμα και σε μας τις εδειξε σε 10 λεπτα και μας ειπε πως δεν προκειται να μπει!
Αυτο βγαινει με χ=εφφt πειτε μου εναν στην Ελλαδα που θα το ειχε σκεφτει!
Αυτό ξεφεύγει πολύΕίναι ακόμη πιο δύσκολο γιατί θέλει και παραγοντική με (χ)' προηγουμένως.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Αυτο το ολοκληρωμα πως υπολογιζετε..;;;
ολοκληρωμα απο 0 ως 1 ριζα(x²+1)dx;;
Το ολοκλήρωμα αυτό λύνεται εύκολα αν γνωρίζουμε ήδη την απάντηση, με την αντικατάσταση που κάνει ο Δίας εδώ
Διαφορετικά, μας ψιλιάζουν οι τριγωνομετρικές ταυτότητες και κάνουμε τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις.
Βέβαια η αντικατάσταση x=εφu έχει πάρα πολλές πράξεις.
Για την ιστορία, ξεφεύγοντας απ'τα λυκειακά πλαίσια, υπολογίζεται σε μια σειρά χρησιμοποιώντας υπερβολικές συναρτήσεις, αλλά αυτό δε σας αφορά αυτή τη στιγμή.
Μην ξεχνάτε και τι συμβαίνει με την άρτια!
αν η f είναι άρτια στο [-α,α]
Βέβαια αυτό θέλει απόδειξη για να το χρησιμοποιήσετε, αλλά μπορεί να σας ζητηθεί στο 1ο ερώτημα ώστε να το χρησιμοποιήσετε σε επόμενο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Από το βοήθημα του Μπάρλα τόμος 1ος,σελίδα 22 παράδειγμα 13:
Έστω οι μιγαδικοί και
Να δείξετε ότι:
Εδώ ξεκινάει και γράφει: και συνεχίζει τις πράξεις.Δεν μπορώ να καταλάβω όμως πώς ξεκινάει
Είναι ιδιότητα των μιγαδικών:
Απλά αντί για z έχεις f(z).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
1)
2)παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( - π/2 , π/2 ) --> R για την οποία ισχύει f(0) = 1 και f '(x) συνx + f(x)ημχ = f(x)συνχ , χ ε (-π΄/2 , π/2)
Να βρείτε τον τύπο της f
Καταρχάς για κάθε x στο πεδίο ορισμού είναι , άρα διαιρούμε και τα δύο μέλη με συνx.
Σ'αυτές τις περιπτώσεις όπου έχουμε f'(x) + f(x)*g(x)=h(x) πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με e^(μια αρχική της g)
Άρα θέλουμε την αρχική της ημx/συνx, η οποία είναι
Θέλουμε μια οποιαδήποτε αρχική, οπότε δε μας νοιάζει η σταθερά ολοκλήρωσης.
Άρα πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με
Τελικά
όπου βρίσκουμε τη σταθερά ίση με 1
Έστω f, μια συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει:
Να δείξετε ότι
Πώς το δείχνω??
Άρα
Οπότε
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
μα παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή δεν βγαίνει το αρχικό
Σωστό είναι. Δες
Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι εκτός ύλης, σωστά? Αν ναι, δε σε νοιάζει το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Το κόλπο σ'αυτές τις ασκήσεις είναι να εκμεταλλευτείς τη μονοτονία γράφοντας την ανίσωση/εξίσωση ως f(κάτι)>f(κάτι άλλο) ή f(κάτι)=f(κάτι άλλο). Πολλές φορές χρειάζονται προσθαφαιρέσεις για να γίνει αυτό.θΑ ήθελα βοηθεια στις παρακάτω δύο ασκησεις!! Ειναι από τον μπάρλα σελ. 124 μέχρι και μονοτανία ακρότατα
Ασκηση 1
View attachment 42668
Ασκηση 2
View attachment 42669 (εδω Τα prvta δυο ερωτηματα που λενε i ,ii )
Πατηστε πανω στιε εικονες για μεγενθυνση
Για παράδειγμα στο πρώτο, αν παραγωγίσεις, η f βγαίνει γνησίως αύξουσα.
Η εξίσωση γράφεται
Παρατήρησε τώρα ότι αν προσθέσεις το x και στα δύο μέλη προκύπτει:
Παίξε έτσι και με τα υπόλοιπα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
αφου δεν λεει αν η f ειναι 2 φορες παραγωγισιμη
Παραγωγίζεις μία φορά και λύνεις ως προς f'. Η f' είναι συναρτήσει της f, η οποία είναι παραγωγίσιμη. Άρα και η f' είναι παραγωγίσιμη. Οπότε την παραγωγίζεις, βρίσκεις f'' και μελετάς το πρόσημό της. Φαντάζομαι η άσκηση έχει επιπλέον δεδομένα για να το κάνεις αυτό.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
ναι,αλλα ηταν εκτος υλης.αλλος τροπος δεν υπαρχει;
Εντός ήταν
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
πως βγηκε αυτο;
Είναι τύπος αποτετραγωνισμού. Άνοιξε Άλγεβρα Β' λυκείου να τον δεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
H g είναι παραγωγίσιμη άρα η f' είναι παραγωγίσιμη με
Άρα πρέπει να λυθεί η διαφορική εξίσωση
Αυτή είναι που δεν ξέρω αν βγαίνει λυκειακά. Το πάλεψα λίγο αλλά μου βγήκαν κάτι τρελές εκθετικές και το παράτησα. Ίσως να έχω κάνει λάθος.
Τέλος πάντων αυτή έχει λύση
Με τις αρχικές τιμές βρίσκουμε τα c1,c2 οπότε βγαίνει ότι y=ημx
Άρα f(x)=y=ημx και g(x)=f'(x)=συνx
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Και σε μενα τα ιδια... Μαλλον λαθος νουμερα, αφου δεν μπορεις να κανεις bolzano ουτε να πας απο συνολο τιμων...
Μάλλον είναι καιρός να πάτε μια βόλτα απ'τον οφθαλμίατρο. Η άσκηση έχει λυθεί απ'τον Κώστα 2 ποστ παραπάνω.Τα νούμερα είναι ολόσωστα.
Τα τσεκάραμε και σήμερα στο σχολείο ξανά.
Μας άφησε κι άλλη μέρα για να τη σκεφτούμε την άσκηση...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Δες αυτή στα γρήγορα γιατί βιάζομαι :B)Αν η συναρτηση g ορισμενη στο (-π/2,π/2) και ισχυει g'(x)συνχ+g(x)ημχ=g(x)συνχ για καθε χ που ανηκει στο (-π/2,π/2) και g(o)=2012,Bρες την g.
Διαιρούμε τη δοθείσα σχέση με (συνx)^2
Βρίσκεις και το c και είσαι έτοιμος.
Άντε προλαβαίνω κι αυτό το ερώτημαΔινεται F(x)=2lnx-χ²+1,)Βρες τους θετικους α,β ωστε να ισχυει:4α²-4αβ+2β²-2lnβ-1=0
Έχεις δείξει στο προηγούμενο ερώτημα ότι
(από το σύνολο τιμών, λογικά θα είναι και μοναδική)
Η δοθείσα σχέση γράφεται
Όμως
Άρα για να ισχύει η ισότητα θα πρέπει και τα δύο μέλη να είναι μηδέν, άρα
edit: Ίσως να χάνει κάπου η λύση μου, την έλυσα πολύ βιαστικά. Μπορείς να δεις το σκεπτικό όμως.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω συνάρτηση f:R->R με f(1)>0.Αν f'(1)=3 να βρείτε το
Μήπως f(1)=0?
Αν η συνάρτηση f:R->R είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο 0 να δείξετε ότι f'(0)=0.
Η f άρτια άρα
Θέτω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Μετριοφρων βλεπω
Επειδη εγω ειμαι κ λιγο χαζη μπορεις να κανεις την παραγωγιση αναλυτικα;
ακυρο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Εχω αυτην την ασκηση και θα ηθελα την βοηθεια σας σε κατι
Εστω η δυο φορες παραγωγισιμη συναρτηση f:R->R για την οποια ισχυει (f'(x))^2<f''(x) για καθε χER. Να δειξετε οτι g(x)=e^-f(x) ειναι κοιλη στο R
Παραγωγιζω την g και φτανω g''(x)=e^-f(x)*f'(x)*f''(x)
ξερουμε οτι το e^-f(x) ειναι παντα θετικο. Πως θα χτησιμοποιησω την σχεση που μας δινει ωστε να αποδειξω αυτο που μου ζηταει; Μηπως εχω κανει κανενα λαθος στη παραγωγο;
Ξαναδές την παραγώγιση
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Ποια ειναι η παραγουσα της χ+1/χ+4,x>-4;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Bolzano τότε, όλα καλά, έχουμε τη ρίζα.Δες αν ισχυουν οι προυποθεσεις Bolzano για την εξισωση σφχ=-1/(ημχ)^2 στο χ ε(0,π).
Δεν νομιζω να θελει κατι αλλο.
Αν όμως δεν ισχύουν, αυτό δε σημαίνει ότι δεν υπάρχει ρίζα. Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Δηλαδή αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β] και έχει ρίζα στο (α,β) ,δεν ισχύει απαραίτητα ότι f(α)f(β)<0. Επίσης, αν μια συνάρτηση έχει ρίζα στο (α,β) και ισχύει ότι f(α)f(β)<0, δεν ισχύει απαραίτητα ότι είναι συνεχής.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Σε μια άλλη άσκηση δίνει ότι f παραγωγίσημη στο R και λέει ότι η εφ σε οποιοδήποτε σημείο της ΔΕΝ είναι παράλληλη στην ε:2χ-ψ=1 και ζητάει νδο η ευθεία ψ=2χ έχουν ένα το πολύ κοινό σημείο
Έχω φτάσει μέχρι το σημείο θέτω g(x)=f(x)-2x kαι ξέρω ότι f'(x)-2διάφορο του 0.
Μετά πως αποδεικνύω αυτό που ζητάει όμως;
Έστω ότι η f και η ευθεία (ε) έχουν τουλάχιστον δύο κοινά σημεία x1 και x2. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω x1<x2.
Δηλαδή και .
Από Rolle (αφού γράψεις τις προϋποθέσεις) προκύπτει .
Άρα η f έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με την (ε)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
να σαι καλα ρε ρεμπεσκε.αλλα πως καταλαβες πως ειναι τριωνυμο η f(x);απο το οριο;
Πιο απλά σκέψου ότι αν η f ήταν 3ου βαθμού και πάνω το όριο θα έβγαινε ,ενώ αν ήταν πρώτου βαθμού ή σταθερή συνάρτηση το όριο θα έβγαινε . Άτοπα και τα δύο, οπότε θα πρέπει να είναι 2ου βαθμού.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
το e^-x παραγωγίζεται e^-x επί (-x)' ; και το (-x) κάνει -1 ; δηλαδή βγαίνει -e^-x ;
Ναι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
και να πείτε γιατί είναι λάθος η λύση με τριγωνική ανιτότητα; που έτσι βγαίνει 10, ενώ η λύση που βγαίνει αλλιώς είναι 2*(ρίζα)17
Το μετρο z ειναι οντως μικροτερο του 10. Ομως για να αποδειξεις οτι αυτη ειναι η μεγιστη τιμη του πρεπει να δειξεις οτι υπαρχει z ώστε |z|=10
Γι'αυτο πιστευω οτι ειναι λαθος
Η τριγωνική ανισότητα εξασφαλίζει μόνο την ύπαρξη φραγμάτων και όχι μέγιστες ή ελάχιστες τιμές. Γι'αυτό σε ασκήσεις που ζητάει μέγιστη/ελάχιστη τιμή εργαζόμαστε γεωμετρικά.
Όσοι έχουν Στεργίου-Νάκη ας ρίξουν μια ματιά στη θεωρία σελ. 53 και στη λυμένη άσκηση 2.25(β,γ) σελ.72
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
5)Αν z1,z2εC τοτε Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2), σωστό ή λάθος και γιατί;
Έστω και
Τότε
Άρα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Να ρωτησω και εγω κατι απο μιγαδικους που εχω κολλησει!
Λεει: Αν z ανηκει C και w=z/iz-2, να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων z για τους οποιους ισχυει: w ανηκει R
Ή θα πεις ότι πρέπει και θα κάνεις πράξεις μέχρι να καταλήξεις στο γεωμετρικό τόπο, ή θα θέσεις z=x+yi και θα φέρεις τον w στη γενική μορφή w= Re(w)+Im(w)*i και θα πεις ότι, εφόσον είναι πραγματικός, το φανταστικό μέρος θα πρέπει να είναι 0. Άρα από εκεί θα βγάλεις το γεωμετρικό τόπο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Χαρη,δεν πιστευω πως οι μεθολογιες ειναι μασημενοι τροφοι.Ας πουμε στα ολοκληρωματα αν χρειαστει να θεσεις σε ενα ριζικο π.χ ριζα(1-χ²) χρειαστει να θεσεις χ=1/ημθ.Που λες πως στο καλο θα το ξες αυτο αν δεν εχεις μελετετησει την μεθολογια για την επιλυση τετοιων παραδειγματων ??.Πιστευω οτι το παραδειγμα μου ηταν κατατοπιστικο διοτι σε μερικα πραγματα απλα δεν σε παει με τιποτα το μυαλο,απο πολυωνυμο να καταληξεις σε τριγωνομετρικο αριθμο ?
Ακριβώς αυτό. Ο μαθητής που διαβάζει μεθοδολογίες θα θέσει αυτό που λες (δεν ξέρω αν βγαίνει μ'αυτήν την αντικατάσταση, δεν το' χω δοκιμάσει)
Ο μαθητής που βάζει το μυαλό του να σκεφτεί θα πει "Κάτσε έχω στο υπόρριζο το . Αν είχα το θα ήταν πολύ καλύτερα γιατί θα εκμεταλλευόμουν τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Ώπα ! Ας θέσω x=συνu "
Δες άλλο ένα παράδειγμα με τέτοια τριγωνομετρική αντικατάσταση εδώ
Και εννοείται πως δεν εννοώ να μην διαβάζουμε λυμένα, αν κατάλαβες αυτό. Εννοώ να μην ανατρέχουμε στις μεθοδολογίες του φροντιστηρίου όποτε έχουμε να λύσουμε μια άσκηση, και να την λύνουμε τυφλοσούρτικα εφαρμόζοντας απλά τα βήματα που λένε.
Btw καλά αποτελέσματα για αύριο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Θες να αρχισουμε να μιλαμε και για το πανεπιστημιο?
Τοτε η μαθηματικη επαγωγη ειναι απαραιτητο εργαλειο του μαθητη οχι μονο στην 3 λυκειου αλλα και στο πανεπιστημιο,κατι που εσυ το απεκλισες,οπως και οι προοδοι (αριθμητικη ,γεωμετρικη,αρμονικη),προτρεποντας τους να μην το διαβασουν
Φιλικα Χαρης
Μην διαστρεβλώνεις τι είπα. Η ερώτηση ήταν αν θα χρειαστούν στη Γ Λυκείου, κι εγώ απάντησα ότι δεν θα του χρειαστούν στη Γ Λυκείου.
Και υπάρχει μια βασική διαφορά αυτού που λέω εγώ και αυτού που λες εσύ. Άλλο δεν ξέρω κάποιο κεφάλαιο (αυτό άλλωστε καλύπτεται και όταν μπεις στο Πανεπιστήμιο), και άλλο έχω αναπτύξει μια λανθασμένη νοοτροπία διαβάσματος, νομίζοντας πως οτιδήποτε και να μου ζητηθεί να λύσω, θα λύνεται με "Βήμα 1ο, Βήμα 2ο κτλ" Στο Πανεπστήμιο είσαι εσύ και ο εαυτός σου στο διάβασμα. Μπορεί να χρειαστεί να διαβάσεις ολόκληρο μάθημα που δεν έχεις ξαναδεί στη ζωή σου κάτι παρόμοιο, μόνος σου, μόνο και μόνο επειδή οι παραδόσεις του καθηγητή είναι χάλια. Αν εσύ έχεις συνηθίσει μασημένη τροφή και να στα εξηγούν όλα τέλεια, θα ζοριστείς πολύ. Γι'αυτό θεωρώ ότι πρέπει να βάζουμε και λίγο το μυαλό μας να δουλεύει και να μην σκεφτόμαστε μηχανικά με μεθοδολογίες.
(το β ενικό δεν πάει σε σένα προσωπικά, γενικά μιλάω)
ΥΓ. Ναι, εφόσον η τρίτη λυκείου (υποτίθεται ότι) σε προετοιμάζει για να μπεις στο πανεπιστήμιο, πρέπει να έχουμε και αυτό στο μυαλό μας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Οπως,πχ φετος,το Δ3;
Όπως πχ το Δ4 και όπως πχ στο Πανεπιστήμιο που θα πας και δε θα έχεις το φροντιστή να σου γράφει μεθοδολογίες.
Εδώ αναφερόμαστε στα Μαθηματικά. Δε νομίζω ο τύπος αυτός να είχε στο μυαλό του τα Μαθηματικά όταν το έλεγε αυτό. Για τα Μαθηματικά εγώ πιστεύω στοΧαρη δεν συμφωνο,
Οι μεθοδοι ειναι οι συνηθειες του πνευματος και οι οικονομιες της μνημης
Rivarol
"Let Solutions Say Your Method "
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Απλα,τα μαθηματικα κατευθυνσης,οπως και η χημεια και η βιολογια,αμα μαθεις μεθολογιες και τα δουλεψεις σωστα,γραφεις ανετα 18-19 στο τελος.
Και άμα μπει κάτι ένα κλικ πιο έξυπνο ή συνδιαστικό θα κοιτάς το ταβάνι. Γενικά με εκνευρίζουν οι μεθοδολιγίες, γιατί θεωρώ ότι υπνωτίζουν το μυαλό και την κριτική σκέψη, καταδικάζουν εκ των προτέρων μια όμορφη εμπνευσμένη λύση και μας κάνουν να γράφουμε μηχανικά χωρίς να καταλαβαίνουμε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
και θεωρια αριθμων μονο την μαθηματικα επαγωγη
Σου χρειάστηκε εσένα η μαθηματική επαγωγή? Γιατί εμένα, όχι !
Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος. Ολόκληρο κεφάλαιο ήτανΠρόοδοι από που και ως που; Εννοώ σε ποιό κεφάλαιο; Πρώτη φορά το ακούω.
Πάντως ούτε αυτό παίζει να χρειαστεί.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Παιδιά να ρωτήσω κάτι?Διάβαζα τις παλιές μου σημειώσεις και κόλλησα στην παρακάτω άσκηση.
Δίνεται f(f(x))=3x+4.Nα δειχτεί ότι f(3x+4)=3f(x)+4
Έχω θέσει όπου χ το f(x) και μου βγήκε f(f(f(x)))=3f(x)+4.Από αυτό γιατί συνεπάγεται ότι f(3x+4)=3f(x)+4?
Ναι, γιατί αν παρατηρήσεις το , ό,τι είναι μέσα στην αγκύλη, δηλαδή το f(f(x)), είναι απ'τα δεδομένα της άσκησης το 3x+4
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Το αόριστο ξεφεύγει από λυκειακά πλαίσια
Θέτω
Άρα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Σας εύχομαι επιτυχία αύριο στην Έκφραση - Έκθεση.
Μπορείτε να με βοηθήσετε με αυτά τα δύο ολοκληρώματα ?
Ολοκλήρωμα του: (lnx^(-2)/x^2)
και
Ολοκλήρωμα του: (lnx/x)
Συγγνώμη αλλά έχω καιρό να το χρησιμοποιήσω και δεν θυμάμαι τη σύνταξη Latex.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Το δεν υπολογίζεται στοιχειωδώς συνεπώς ούτε το
Σε μη σχολικά πλαίσια τέτοια ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν προσεγγιστικά με σειρές Taylor ή MacLaurin (κάτω κάτω: εφαρμογές αναπτυγμάτων-προσέγγιση ολοκληρώματος)
https://www.arnos.gr/dmdocuments/e-library/mathimatika/fourier/theoria/02.typologio.dunamoseires.anaptugma.taylor.pdf
Και αν κατάλαβα καλά ο redspan αναφέρεται σε αυτό
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Ναι το εχω καταλαβει η g(x) ειναι το ολοκληρωμα και η g'(x) ειναι η f(x)/1+x^2 αν το κατεβασουμε κατω. Το θεμα ειναι οτι εχει μεινει το 1 στο δευτερο μελος.
Ωραίος ! Κανένα πρόβλημα σ'αυτό. Η παράγωγος του 1 είναι μηδέν, οπότε μένει η σχέση που έγραψα στο προηγούμενο μήνυμά μου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Παιδια θα ηθελα να σας ρωτισω για μια ασκηση f(x)=(1+x^2)(1 + ολοκληρωμα απο 0 εως χ της f(t)/1+t^2 dt) και μας λεει να δειξουμε οτι f(x)=(1+x^2)e^x . Η ερωτηση μου ειναι μηπως υπαρχει καποια μεθοδολογια για να αποδεικνυουμε τετοιου ειδους ερωτηματα ? Η ασκηση αυτη ειναι απο τον Μπαρλα Θεμα 61.
P.S thanks in advance
Φιλική συμβουλή: Ξέχνα τη λέξη "μεθοδολογία" and use your mind
H άσκηση είναι ένα κλασικό θέμα εύρεσης συνάρτησης. Προσπάθησε να εκμεταλλευτείς ότι
Δική σου δουλεία είναι να βρεις ποια είναι η g(x) σ'αυτήν την περίπτωση. Σκέψου το λίγο και αν χρειαστεί επανερχόμαστε με δεύτερη υπόδειξη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
φιλε suxu-muxu ,ευχαριστω για την απαντηση:
Οταν λες φρασοντας,εννοεις οτι για τον υπολογισμο του χρησιμοποιουμε ανισοτικες σχεσεις μεταξυ της δοθεισας και ολων των οποιων τα ολοκληρωματα ειναι ευκολο να υπολογισουμε?
Εχεις καποιο υλικο παραπανω,ή το εχεις ψαξει παραπανω για να το εξηγησεις?
Είπε ότι το συνάντησε στον υπολογισμό ορίου που περιείχε το ολοκλήρωμα αυτό, και το έκανε με κριτήριο παρεμβολής.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Μήπως στον πρώτο όρο έχεις ξεχάσει ένα στον αριθμητή? Αν ναι τότε είναι απλά τα πράγματα και βγάζει και 2011.
Δουλεύει σε όλες της περιπτώσεις που είναι δυνατό να εκμευταλλευτεί αυτή η τριγωνομετρική σχέση.β)
Νομίζω ότι η συγκεκριμένη αντικατάσταση δουλεύει για το ολοκλήρωμα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Θα με ρωτήσεις "Πώς σου ήρθε αυτό" (Όπως θα ρωτούσα εγώ για την αντικατάσταση του Βασίλη)
Ξέρουμε τη σχέση . Οπότε μας ψιλιάζει το υπόριζο και κάνουμε αυτήν την αντικατάσταση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Βασικά ούτε εγώ. ΒρήκαΒοήθεια!
1)
δε μπορώ να βρω το ολοκλήρωμα όσο λέει..
Άρα αυτό είναι το σωστό λόγω της υπογραφής μου
Έστω2)
Πώς υπολογίζω κάτι τέτοιο;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
κάτι για τη μονοτονία θέλω να ρωτήσω. Από τη θεωρία του βιβλίου, ξέρουμε ότι αν αποδείξω ότι για χ1,χ2 ανήκουν στο Π.Ο μιας συνάρτησης τέτοια ώστε χ1<χ2, αν ισχύει ας πούμε φ(χ1)<φ(χ2) είναι γν. αύξουσα, ενώ αντίστοιχα με αντίθετη φορά είναι γν. φθίνουσα.
Το αντίστροφο ισχύει; δηλαδή να ξεκινήσεις από φ(χ1)<φ(χ2) και να καταλήξεις με διάφορους τρόπους ( σε συνεπαγωγές ) σε χ1<χ2 ή χ1>χ2 για γν. αύξουσα ή φθίνουσα αντίστοιχα. Κι αν ναι πώς θα το στηρίξω;
Δες το #695
https://ischool.e-steki.gr/%CE%B8%CE%B5%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE-and-amp;-%CF%84%CE%B5%CF%87%CE%BD%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CE%BA%CE%AE/%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC-%CF%83%CF%85%CE%BB%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AE-%CE%B1%CF%83%CE%BA%CE%AE%CF%83%CE%B5%CF%89%CE%BD-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8E%CE%BD-%CE%BA%CE%B1%CF%84%CE%B5%CF%8D%CE%B8%CF%85%CE%BD%CF%83%CE%B7%CF%82-%CE%B3-%CE%BB%CF%85%CE%BA%CE%B5%CE%AF%CE%BF%CF%85-40544/70/
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
καμιά ιδέα;
Διαφορετικά με περισσότερη τριγωνομετρία.
Θα χρησιμοποιηθούν οι τύποι
Αρχικά
Άρα το ολοκλήρωμα γίνεται
Θέτω
Άρα
sin= ημίτονο
cos= συνημίτονο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Η άσκηση ήταν 4ο θέμα στις πανελλήνιες του 2003.. Χρονιά καραπαλούκι.. 3ο θέμα είχε μπει ολοκλήρωμα αντίστροφης με άγνωστο τύπο..Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και έχει συνεχή f''(x) στο (α,β).Αν ισχύει f(α)=f(β)=0 και υπάρχουν γ,δ που ανήκουν στο (α,β) τέτοια ώστε f(γ)f(δ)<0, να αποδείξετε:
i) υπάρχει τουλ.ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=0
ii) υπάρχουν σημεία ξ1 , ξ2 (α,β) τέτοια ώστε f''(ξ1)>0 και f''(ξ2)<0
iii) υπάρχει τουλ.ένα ξ3 (α,β) τέτοιο ώστε f"(ξ)=0
Θέλω μια μικρή βοήθεια στο ii) αν γίνεται..Σκέφτηκα για Bolzano αλλά δεεεεεεν....
Καμιά ιδέα;;
Στο 4ο θέμα το β ερώτημα ήθελε 6 ΘΜΤ και το δ ερώτημα ήταν λάθος καθώς στην εκφώνηση έλεγε "να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f" και όχι " να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ3 : f΄΄(ξ3)=0 " όπως δίνεται στην συγκεκριμένη άσκηση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Δυο συναρτησεις f,g ειναι συνεχης στο R.Αν α,β ε R με α<β και f(a)+f(b)=g(a)+g(b) να αποδειξετε οτι η εξισωση f(x)-g(x)=0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [α,β]
Πρέπει να διακρίνεις περιπτώσεις.. Αν h(a)h(b)=0 τότε χ=a ή x=b ρίζες της εξίσωσης. Αν h(a)h(b)<0 bolzanoΘΕΩΡΩ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ h(x)=f(x)-g(x)
h(a)=f(a)-g(a)
h(b)=f(b)-g(b)=-(f(a)-g(a))
ΑΡΑ h(a)h(b)<=0 ΟΠΟΤΕ ΑΠΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO MIA ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΑ ΣΤΟ [a,b]
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Όποιος μπορεί να με βοηθήσει στο παρακάτω...
να αποδειχθεί: με χ θετικο
Η άσκηση μάλλον είναι όπως την έγραψε ο koum και λύνεται με ΘΜΤ στο [0,x] και όχι στο [x,0], γιατί θες x>0Μήπως εννοείς ;;;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Μαθ Κατ: Μπαρλας
Μαθ Γεν: Μπαρλας πάλι με μοναδικο μειονεκτημα οτι οι λυσεις των ασκησεων του στο τελος του βιβλιου δεν ειναι πολυ περιεκτικες
Ανάλογα..Αυτό για μένα είναι πλεονέκτημα...
Αν το βοήθημα το χρησιμοποιεί ένας μαθητής που κάνει φροντιστήριο, τότε είναι πλεονέκτημα, καθώς θα μπορεί να ελέγχει τις απαντήσεις του χωρίς να μπορεί να αντιγράφει τις λύσεις.
Αν, όμως, το χρησιμοποιεί ένας μαθητής που δεν κάνει φροντιστήριο, και συνεπώς δεν έχει καθημερινά κάποιον καθηγητή να του λύνει τις απορίες, τότε είναι μειονέκτημα γιατί δεν θα του λύνονται οι απορίες ούτε από το βοήθημα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Έστω ότι η f(x) είναι διάφορη του μηδενός για κάθε χ στο R. Τότε, ως συνεχής, θα διατηρεί πρόσημο.Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R και f(0)+f(1)+f(2)=0.Να δείξετε οτι η f εχει τουλαχιστον μια ριζα.
Αν f(x)>0 για κάθε χ στο R, τότε f(0)+f(1)+f(2)>0 (άτοπο)
Ομοίως αν f(x)<0 για κάθε χ στο R.
Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον χ0 στο R τέτοιο ώστε f(x0)=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
ΈστωΠαιδιά κοιτάξτε μία άσκηση που έχει ο Μπάρλας (σελ. 123, 46)
Το πρώτο ερώτημα λέει:
Να δείξετε ότι : ln (1 + (1/x)) > 1/(x+1) για κάθε χ>0 .
Όπως είπε ο Δίας , δηλαδή είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+οο) άρα θα έχει σύνολο τιμών το
'Αρα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Γεια! Έχω μία άσκηση η οποία μου δίνει μία συνάρτηση f(x)=2x^2+3x-1
και θέλει να βρώ το f ' (1)
Tι κάνω? παίρνω lim?
Αν έχεις διδαχτεί τις παραγώγους συναρτήσεων , παραγώγησέ την και θέσε x=1
Αλλιώς με τον ορισμό της παραγώγου θα βρεις το όριο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Αυτό,δεν αναπτύσσεται έτσι;
(2-3i)²=(2^2-2*2*3i-3i^2)
To β εδώ είναι το 3ι άρα υψώνεται ολόκληρο στο τετράγωνο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
ΈχειςΑν οι εικόνες Α,Β των μιγαδικών z1 k z2 στο μιγαδικο ανηκουν στον ιδιο κυκλο μ κέντρο την αρχή των αξόνων , να αποδείξετε ότι ο μιγαδικος w=[(z1+z2)/(zi-z2)]^2 , z1<>z2 είναι πραγματικός αριθμός
Άρα ,
Αρκεί
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Κλασικά με τον ορισμό..Έστω χ1,χ2εR τέτοια ώστεΜια βοήθεια παίδες
Έχω τις
f(f(x)) = x
και
(f(x))^3 + f(x) = x + 2
Πρέπει να αποδείξω ότι και οι 2 είναι 1-1. Αλλά έχω φάει κόλημα μπορεί να βοηθήσει κανείς ?
Ομοίως και το άλλο..
edit: Με πρόλαβε ο Morelo και σου έλυσε και τη 2η
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν το παραγωγίσεις έχειςΔεν φανταζεσαι φιλε τι εχω κανει στο προχειρο. Δοκιμασα να την παραγωγισω αλλα δν εβγαινε πουθενα. Εφχαριστω παντως
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Αν το δεις έτσι μπορείς να το συνδιασεις με το προηγούμενο μήνυμα?Δεν μου βγαίνει. Την έχω φερει απο την μια την εχω φερει απο την αλλη αλλα τιποτα.
Μην προσπαθείς να κάνεις τρελές πράξεις ή περίπλοκες σκέψεις..Μια κίνηση θέλει..
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Προσπάθησε να το φέρεις στην κατάλληλη μορφη ωστε νε εκμεταλλευτείς την εφαρμογήΝα βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:R—›R για την οποία ισχύει:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Έχει αρκετή δουλειά..Αρχικά θέλει αντικατάσταση χ=εφu οπότε με πράξεις καταλήγεις στο το οποίο συνεχίζεται όπως στη δημοσίευση #2462.Yπολογίστε το ολοκλήρωμα απο 0 ως 1 1/(ριζα((χ^2)+1))dx
Αποτέλεσμα
Δεν έχει ρίζαx^2-e^(x^2)=0
λυνεται αυτο?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Ύψωσε πρώτα τετράγωνο και μετά δες για τριγωνική.Μηπως μπορει να με βοηθησει κανεις σε αυτην την ασκηση:
Αν zεC να δειξετε οτι
α.8+|(z+4)(z+2)|>=|z(z+2)|
b.|z+4|+|z-2|>=|z+2|+|z|
Με τριγωνικη παιζει κατι?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Κάνει παραγοντική και έχειςΓεια σας θα ηθελα λιγη βοήθεια στον υπολογισμό του ακολουθου ορισμενου ολκληρώματος ευχαριστω πολυ(συνχ)ln(συνχ)dx
To ημ^2(χ) το γράφεις 1-συν^2(χ) και σπας το κλάσμα. Οπότε το μόνο άγνωστο ολοκλήρωμα που μένει είναι το
(το γράφω αόριστο γιατί βαριέμαι να γράφω το άκρα στο λατεξ)
Bρίσκεις τα νέα άκρα και για αυτό που μένει πρέπει να κάνεις τη μέθοδο με τους συντελεστές.
ευχαριστω για την απαντηση...τελικα βλακειες ελεγα παλι με ηρθε επιφητηση μετα για να βρεις το προσημο τριωνυμου απλα βαζεις στην εξισωση ενα >0 για να δεις που ειναι θετικο!!!
Κοιταω τωρα τα θεματα της ΟΕΦΕ για παραγωγους απο το 2001 και στις απαντησεις 2 φορες σε αλλη χρονολογια εχουν το συγκεκριμενο οριο:
lim x->0+ (1/rizax)lnx= +00(-00)=-00 εεε πως πλην απυρο αφου ειναι απροσδιοριστη η μορφη...!!Γκρρρρ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Έχουμε f(4)=3 και f(5)=1Η γραφικη παρασταση μιας γνησιως μονοτονης συναρτησης f:IR->IR διερχεται απο τα Α(4,3)και Β(5,1)
1)να βρειτε το ειδος της μονοτονιας της f
2)να λυσετε την ανισωση f(2+f(x^2))<1
Ευχαριστω προκαταβολικα....
Άρα η f γνησίως φθίνουσα.
Την ανίσωση την αφήνω για σένα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Μάλλον βλακείες λέωΕ????? νομίζω ότι αυτό ισχύει μόνο για πραγματικούς!!!!!!
Και θέλω: |z1 - z2| = |z2 - z3| = |z3 - z1| ≠ 0
(αλλιώς τι τρίγωνο θα ήταν?)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Για να κάνει ενα άθροισμα τετραγώνων μηδέν θα πρέπει κάθε όρος να κάνει μηδέν. Οπότε βάζεις μέτρα και το έβγαλες.Nα το παρει το.....
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Σκέψου τι πρέπει να ισχύει ώστε αυτό το άθροισμα να κάνει μηδεν.Τα έκανα ήδη όλα αυτά. Έβγαλα:
(z1 - z2)² + (z2 - z3)² + (z3 - z1)² = 0
Και? Για να είναι ισόπλευρο θα ήθελα να βρω ότι:
|z1 - z2| = |z2 - z3| = |z3 - z1|
Πώς??? Οέο???....................................
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
Στα υπογραμμισμενα δεν καταλαβαίνω τι ζηταςΔινεται μια συναρτηση f(x)= 1/x - lnx
α) να βρειτε το συνολο τιμων
β) να δειξετε οτι αντιστρεφεται και οτι η f^-1 ειναι γνησιως φθινουσα
γ) να υπολογιστει το lim f(x)-x^2 oπου το lim τεινει στο χ->0+ αν f^-1 ειναι συνεχης.
x+f(x)^-1
α)
για κάθε χ>0
Άρα η f γνησίως φθίνουσα.
Όμως
Άρα
Η f γνησίως φθίνουσα και συνεχής άρα
β) Η f ως γνησίως μονότονη είναι και 1-1, άρα αντιστρέφεται.
Η αντίστροφη έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f.
Απόδειξη: Έστω ότι η αντίστροφη δεν έχει το ίδιο μονοτονίας με την f. Δηλαδή έστω ότι η αντίστροφη είναι γνησίως αύξουσα. Τότε για δύο τυχαία χ1,χ2 του (0,+οο) (έστω χ1<χ2) θα ισχύει
(άτοπο)
Άρα και η αντίστροφη είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Εφόσον ξέρουμε το όριο της f στο 0+ , ξέρουμε και το ζητούμενο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
lowbaper92
Πολύ δραστήριο μέλος
καλησπερα το ολοκληρωμα lnx/(x+1)^2 dx πως να αρχισω να το υπολογιζω;; ευχαριστω
Οπότε ξεκίνα με παραγοντική.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.