Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

mostel · 2008-01-04T11:53:25+0200

Ναι, καταλαβαίνω τη λογική σου, αλλά δε το διευκρινίζει καλά το βιβλίο.

Δείτε μια καλούλα:

Έστω η συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow[-1,1]$ , για την οποία ισχύει η σχέση:

$f(f(x))=\frac{2x+1}{x+2}$ , για κάθε $x$ στο $[a,b]$ .

i) Να βρείτε τις τιμές $a,b$ .

ii) Να δείξετε ότι $f(-1)+f(1)=0$

Γιώργος · 2008-01-04T20:07:27+0200

********

Έστω η συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow[-1,1]$ , για την οποία ισχύει η σχέση:

$f(f(x))=\frac{2x+1}{x+2}$ , για κάθε $x$ στο $[a,b]$ .

i) Να βρείτε τις τιμές $a,b$ .

ii) Να δείξετε ότι $f(-1)+f(1)=0$

********

i) Πρέπει:

$<br /> f(f(x)) \in [-1, 1] \\<br /> -1 \leq \frac{2x+1}{x+2} \leq 1<br />$

Και προχωρώντας το (μη βαριέστε να κάνετε τις πράξεις) έπεται:

$x \in [-1, 1]$

Άρα τα a, b για να έχουμε το μέγιστο πεδίο ορισμού (η εκφώνηση είναι λίγο λάθος βασικά) είναι a=-1, b=1.

ii) $f(f(x))=\frac{2x+1}{x+2}, \; x \in [-1, 1]$

Για $x= \pm 1$ έχουμε:
$f(f(-1)) = -1 \\<br /> f(f(1)) = 1$

Έπειτα θέτουμε απάνω τη μία φορά όπου x το f(1) και την άλλη όπου x το f(-1), έχοντας κατά νου πού "τρέχουν" τα f(1), f(-1).

Και.... προχωράμε και βγαίνει, ας το τελειώσει κάποιος.

mostel · 2008-02-09T00:34:30+0200

Για $a,b,c>0$ , να δείξετε ότι ισχύει:

$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\geq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$

demoglakos · 2008-02-09T15:07:12+0200

αυτη η ασκηση ειχε δοθει πριν απο δυο χρονια περιπου απο τη μαθηματικη εταιρια ως ασκηση του μηνα εδω ειναι και το λινκ https://heron.hms.gr/gr/sources/index_exercise.html
αλλα η λυση που δινουν δεν μ αρεσε καθολου και θυμαμαι οτι τοτε την ελυσα με εναν αλλο τροπο τον οποιο τωρα δεν μπορω να ξαναβρω. αλλα πιστευω θα τον βρω και θα τον γραψω....

mostel · 2008-02-09T15:13:33+0200

Αρχική Δημοσίευση από demoglakos:
αυτη η ασκηση ειχε δοθει πριν απο δυο χρονια περιπου απο τη μαθηματικη εταιρια ως ασκηση του μηνα εδω ειναι και το λινκ https://heron.hms.gr/gr/sources/index_exercise.html
αλλα η λυση που δινουν δεν μ αρεσε καθολου και θυμαμαι οτι τοτε την ελυσα με εναν αλλο τροπο τον οποιο τωρα δεν μπορω να ξαναβρω. αλλα πιστευω θα τον βρω και θα τον γραψω....

Δε θυμάμαι, ίσως. Απλώς είπα θέλω λύση με μαθ. κατ. μόνο και όχι στοιχειωδώς... (εσύ μάλλον χρησιμοποιείς την $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ )

exc · 2008-02-10T12:02:36+0200

Αν έχεις διδαχθεί μέχρι και τον ρυθμό μεταβολής, μπορείς να λύσεις την άσκηση; Να μην προσπαθώ άδικα...

mostel · 2008-02-10T12:06:05+0200

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Αν έχεις διδαχθεί μέχρι και τον ρυθμό μεταβολής, μπορείς να λύσεις την άσκηση; Να μην προσπαθώ άδικα...

Ο τρόπος λύσης μου δεν είναι για ύλη μέχρι εκεί που έχεις κάνει. Αλλά μπορεί να βγαίνει και έτσι... Δε το έχω ψάξει!

Στέλιος

demoglakos · 2008-02-12T12:46:38+0200

μηπως βγαινει με ακροτατα?? δηλαδη 1) τα φερνω ολα μπροστα 2) ονομαζω συναρτηση βαζοντας οπου α το χ και τα αλλα τα αφηνω αριθμους , οποτε γινεται Η(χ)>0 (βασικα μεγαλυτερο η ισο). 3) βρισκω τον αριθμο για τον οποιον μηδενιζεται η συναρτηση εστω κ αρα Η(χ)>Η(κ) 4) παραγωγιζω την Η(χ) βρισκω μονοτονια και ετσι φτανω οτι η Η(χ)>0 ... οχι ε???

mostel · 2008-02-12T15:33:55+0200

Μπα, δε βγαίνει έτσι.

Βάζω τη λύση μου, η οποία δεν είναι και ό,τι πιο εύκολο.

Ισχύει από κλασσική άλγεβρα :

$x^2+y^2+z^2\geq xy + yz + yz$

(για να την αποδείξετε απλώς πολ/στε με το 2 και πάντε τα όλα στο πρώτο μέλος. Θα βγει άθροισμα τετραγώνων μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, που ισχύει).

Για $x=t^{a-\frac{1}{2}}, y=t^{b-\frac{1}{2}}, z=t^{c-\frac{1}{2}}$ , θα έχουμε στην παραπάνω ανισότητα:

$t^{2a-1}+t^{2b-1}+t^{2c-1}\geq t^{a+b-1}+t^{b+c-1}+t^{c+a-1}$ .

Δηλαδή:

$\int_{0}^{1} t^{2a-1}+t^{2b-1}+t^{2c-1} dt\geq \int_{0}^{1} t^{a+b-1}+t^{b+c-1}+t^{c+a-1}dt$

Δηλαδή:

$\left[\frac{t^{2a}}{2a}+\frac{t^{2b}}{2b}+\frac{t^{2c}}{2c}\right]_{0}^{1}\geq\left[\frac{t^{a+b}}{a+b}+\frac{t^{b+c}}{b+c}+\frac{t^{c+a}}{c+a}\right]_{0}^{1}$

Από όπου προκύπτει η ζητούμενη.

Ισότητα για $x=y=z$ , δηλαδή για $a=b=c$ .

:iagree:

galois01 · 2008-02-12T19:35:44+0200

:no1:Στέλιο η λύση σου είναι φοβερή!!! Εγώ την έλυσα με την ανισότητα $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}$ πάντως η δική σου είναι πολύ πιο ανεβασμένη.

Κώστας

demoglakos · 2008-02-12T23:13:03+0200

ειμαι σιγουρος πως η λυση σου ειναι φοβερη.... αν και δεν εχω διδαχθει ακόμη ολοκληρώματα.... :'(

Nalfein · 2008-02-24T02:19:47+0200

Δίνεται συνάρτηση $f(x): (0,+\infty) \rightarrow \Re$ 2 φορές παραγωγίσιμη με $\lim_{x\to\0^+}f(x)=0$ , $f''(x)>0$ για κάθε $x\in(0,+\infty)$ και συνάρτηση $g(x)=\frac{f(x)}{2x} , x>0$
α) νδο οτι υπάρχει $\xi\in(0,x): f(x)=xf'(\xi)$ για κάθε $x>0$
β) νδο g γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty)$

Αυτή η άσκηση είναι πιθανότατα υπερβολικά παρανοϊκή για πανελλήνιες, αλλα παρ'ολα αυτα ειναι πολυ όμορφη.

demoglakos · 2008-02-26T12:58:20+0200

κοιτα εχω βρει μια λυση αλλα δεχθηκα οτι απο το lim προκυπτει f(0)=0, κατι που στην πραγματικοτητα δεν ισχυει. προκυπτει αυτο η να ψαξω αλλη λυση??

Nalfein · 2008-02-26T13:32:37+0200

δε προκύπτει αυτο, αφου η f δεν ορίζεται καν στο 0, αρα δεν υπάρχει f(0). Αυτό ειναι και όλο το θέμα με την άσκηση.
Ως υπόδειξη λεω οτι η σκέψη σου είναι σωστή απλα πρεπει με αλλο τρόπο να εξασφαλίσεις αυτο στο οποίο χρειάζεται οτι f(0)=0

mostel · 2008-02-26T15:52:14+0200

Νομίζω πως με ένα Θ.Μ.Τ. στο (0,x) είμαστε εν τάξει.

Το δεύτερο ερώτημα είναι απόρροια του πρώτου.

Στέλιος

Nalfein · 2008-02-26T16:18:51+0200

ΘΜΤ στο ανοιχτο? πως? παιρνοντας σημεία στην περιοχή του 0 και του χ? δε θα βγεί χ-0 στον παρονομαστή ετσι. Και επιπλέον, το βρισκω υπερβολικό, η λύση ειναι πιο απλή (δηλαδή δεν χρειαζεται τιποτα εκτός σχολικού βιβλίου Ουτε καν τροπος σκέψης)

mostel · 2008-02-26T17:03:02+0200

Αφού δίνει πως:

$lim_{x\rightarrow 0}f(x) =0$ , ως συνεχής θα 'ναι και στα άκρα του πεδίου ορισμού της συνεχής.

σελ 191, μαθ κατ

Αν έχει denominator x-0= x τι σε πειράζει ;

Nalfein · 2008-02-26T17:07:37+0200

μα η f ορίζεται απο ανοιχτο 0 εως + $\infty$

AnaCroN · 2008-02-26T18:32:31+0200

Όντως.. είμαι περίεργος να δω την λύση ομολογώ! Δεν μου έρχεται κάτι

mostel · 2008-02-26T18:47:04+0200

Και γιατί να 'χεις πρόβλημα να μιλήσεις για συνέχεια στο 0; Αφού μόνο εκεί κολλάει η εφαρμογή του ΘΜΤ

Κατα τα αλλα, το ξ είναι μεσα στο (0,χ) και παρ/σιμη στο ιδιο συνολο.

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος