Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

manos66 · 10-09-09

Αρχική Δημοσίευση από metalmaniac:
Xαιρεται είμαι new member,Kαι θα ήθελα βοήθεια
Moλις βρήκα 2 ασκήσεις απο ενα απλαιοτερο βιβλίο και εχω κολήσει.Παρακαλώ ρίξτε μια ματιά.

Λέει δείξτε οτι ο ζ δεν ειναι πραγματικός και έχει (1+iz)^v=(2+ι)/(1+2i),το v είναι αριθμός.

Αν z πραγματικός τότε
$\\ (1+iz)^v = \frac{2+i}{1+2i}\Rightarrow \\ \left| (1+ix)^v\right| = \left| \frac{2+i}{1+2i}\right|\Leftrightarrow \\ \left| 1+ix \right|^v = \frac{\left|2+i\right|}{\left| 1+2i\right|} \\ \left| 1+ix \right|^v = 1 \Leftrightarrow \\ \left| 1+ix \right| = 1 \Leftrightarrow \\ \sqrt{1+x^2} = 1 \Leftrightarrow \\ x=0 \Rightarrow z=0$

Όμως αν z = 0 η αρχική γίνεται :
$\\ 1 = \frac{2+i}{1+2i}\Leftrightarrow 2+i = 1 + 2i$
ATOΠΟ
Άρα ο z δεν είναι πραγματικός

Αρχική Δημοσίευση από metalmaniac:
Xαιρεται είμαι new member,Kαι θα ήθελα βοήθεια
Moλις βρήκα 2 ασκήσεις απο ενα απλαιοτερο βιβλίο και εχω κολήσει.Παρακαλώ ρίξτε μια ματιά.

Και η άλλη ιz1ι=ιz2ι,αυτο ήταν ισουητα με μετρα.Δείξτε Z ανήκει R,Αν Z=[(z1+z2)/(z1-z2)]^2

$\left|z_1 \right|=\varrho \Rightarrow \left|z_1 \right|^2=\varrho ^2 \Leftrightarrow z_1\bar{z}_1 = \varrho ^2 \Rightarrow \bar{z}_1 = \frac{\varrho ^2}{z_1}$
Όμοια $\bar{z}_2 = \frac{\varrho ^2}{z_2}$

Άρα

$\\ \bar{z}=\\ \frac{}{\left(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} \right)^2} \\ = \left(\frac{\bar{z}_1+\bar{z}_2}{\bar{z}_1-\bar{z}_2} \right)^2 \\ = \left(\frac{\frac{\varrho ^2}{z_1}+\frac{\varrho ^2}{z_2}}{\frac{\varrho ^2}{z_1}-\frac{\varrho ^2}{z_2}} \right)^2\\ = \left(\frac{\frac{\varrho ^2(z_2+z_1)}{z_1z_2}}{\frac{\varrho ^2(z_2-z_1)}{z_1z_2}} \right)^2 \\ = \left(\frac{z_1+z_2}{-(z_1-z_2)} \right)^2 \\ = \left(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2} \right)^2 = z$

Επομένως ο z είναι πραγματικός

metalmaniac · 10-09-09

thnx Μπορούμε να το λύσουμε και έτσι?Δηλαδή ν πούμε z=z(συζυγής)kαι σπασουμε το κάσμα με δύναμη στον αριθμητή-δύναμη στον παρονομαστή και να καταλύξουμε σε κάτι που ισχύει?

manos66 · 10-09-09

Αρχική Δημοσίευση από metalmaniac:
thnx Μπορούμε να το λύσουμε και έτσι?Δηλαδή ν πούμε z=z(συζυγής)kαι σπασουμε το κάσμα με δύναμη στον αριθμητή-δύναμη στον παρονομαστή και να καταλύξουμε σε κάτι που ισχύει?

Σωστά:no1:

Zorc · 11-09-09

Έστω οι συναρτησεις f,g ορισμενες στο lR οι οποιες ικανοποιουν τις συνθηκες
1) f(α)=g(α)=0
2) $\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=0$
Να αποδειξετε οτι:
α) $\lim_{x\rightarrow a}[{\left( f(x)}\right)^{2}+\left( {g(x)}\right)^{2}]=0$
β) Οι f,g ειναι συνεχεις στο σημειο ${x}_{0}=a$ .

Θα εκτιμουσα αν καποιος μου εδινε μια διευκρινηση για το α ερωτημα. Οτι και να κανω το αποδεικνυω με το λαθος τροπο...

ledzeppelinick · 11-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Zorc:
Έστω οι συναρτησεις f,g ορισμενες στο lR οι οποιες ικανοποιουν τις συνθηκες
1) f(α)=g(α)=0
2) $lim_{xrightarrow a}(f(x)-g(x))=lim_{xrightarrow a}f(x)g(x)=0$
Να αποδειξετε οτι:
α) $lim_{xrightarrow a}[{left( f(x)}right)^{2}+left( {g(x)}right)^{2}]=0$
β) Οι f,g ειναι συνεχεις στο σημειο ${x}_{0}=a$ .

Θα εκτιμουσα αν καποιος μου εδινε μια διευκρινηση για το α ερωτημα. Οτι και να κανω το αποδεικνυω με το λαθος τροπο...

α)
Απο την πρωτη σχεση απο τις 2 σχεσεις του 2) παιρνουμε πως:
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)-\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ και χρησιμοποιωντας τις ιδιοτητες των οριων στη δευτερη απο τις σχεσεις στο 2) εχουμε:
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow a}f(x)\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ ομως ισχυει $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)$
άρα $[\lim_{x\rightarrow a}f(x)]^2=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow a}[f(x)]^2=0$ ! ομοιως και για την g!!

manos66 · 11-09-09

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
α)
Απο την πρωτη σχεση απο τις 2 σχεσεις του 2) παιρνουμε πως:
$lim_{xrightarrow a}f(x)-lim_{xrightarrow a}g(x)=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow a}f(x)=lim_{xrightarrow a}g(x)$ και χρησιμοποιωντας τις ιδιοτητες των οριων στη δευτερη απο τις σχεσεις στο 2) εχουμε:
$lim_{xrightarrow a}f(x)g(x)=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow a}f(x)lim_{xrightarrow a}g(x)=0$ ομως ισχυει $lim_{xrightarrow a}f(x)=lim_{xrightarrow a}g(x)$
άρα $[lim_{xrightarrow a}f(x)]^2=0Leftrightarrow lim_{xrightarrow a}[f(x)]^2=0$ ! ομοιως και για την g!!

Δεν μπορούμε να "σπάσουμε" σε $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ και $\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ διότι δεν γνωρίζουμε αν υπάρχουν.

$\\ \lim_{x\rightarrow a}[f^2(x)+g^2(x)] \\ = \lim_{x\rightarrow a}[f(x)-g(x)]^2+2f(x)g(x)]\\ = \lim_{x\rightarrow a}[f(x)-g(x)]^2+2\lim_{x\rightarrow a}[f(x)g(x)] \\ = \left( \lim_{x\rightarrow a}[f(x)-g(x)]\right)^2+2\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x) \\ = 0$

promath12358 · 11-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Zorc:
Έστω οι συναρτησεις f,g ορισμενες στο lR οι οποιες ικανοποιουν τις συνθηκες
1) f(α)=g(α)=0
2) $lim_{xrightarrow a}(f(x)-g(x))=lim_{xrightarrow a}f(x)g(x)=0$
Να αποδειξετε οτι:
α) $lim_{xrightarrow a}[{left( f(x)}right)^{2}+left( {g(x)}right)^{2}]=0$
β) Οι f,g ειναι συνεχεις στο σημειο ${x}_{0}=a$ .

Θα εκτιμουσα αν καποιος μου εδινε μια διευκρινηση για το α ερωτημα. Οτι και να κανω το αποδεικνυω με το λαθος τροπο...

Καλημέρα
Για δες αυτό
${(f(x)-g(x))}^{2}={f}^{2}(x)+{g}_{2}(x)-2f(x)g(x)\Rightarrow {f}^{2}(x)+{g}^{2}(x)={\left(f(x)-g(x) \right)}^{2}+2f(x)g(x)$
Η κάθε μια από τις συναρτήσεις του δεύτερου μέλους έχουν όριο για $x\rightarrow {x}_{0}$ το μηδέν, οπότε έχουμε σαν συμπέρασμα ότι
$\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\left({f}^{2}(x)+{g}^{2}(x) \right)=0$
Στη συνέχεια έχουμε τα εξής:
$0\leq {f}^{2}(x)\leq {f}^{2}(x)+{g}^{2}(x)$ και
$0\leq {g}^{2}(x)\leq {f}^{2}(x)+{g}^{2}(x)$
οπότε από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε:
$\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}{f}^{2}(x)=\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}{g}^{2}(x)=0$ .
Έχουμε λοιπόν τελικά ότι και $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}g(x)=0$
Για ${x}_{0}=\alpha$ είναι πλέον προφανής η συνέχεια των δυο συναρτήσεων στο α.
(Πολύ προχωρημένο θέμα)
Καλή χρονιά
Να είσαι καλά
promath 12358

Zorc · 11-09-09

Οντως δεν το σκεφτηκα με αυτη τη λογικη. Σας ευχαριστω πολυ ολους σας. Ειστε απαιχτοι.:thanks:Ναι ηταν οντως προχωρημενο.

geo-oiko · 11-09-09

f:R->R, f(x)+e^f(x)=2x-2005 xER
ν.δ.ο. αντιστρεφεται.
προσπαθω να δειξω οτι ειναι 1-1 αλλα εχω προβλημα με το e^f(x)

bour1992 · 11-09-09

Σκέφτηκα αυτό

$f(x)=2x-2005-e^{f(x)}$
Έστω $f(x_1)=f(x_2)$ τότε
$2x_1-2005-e^{f(x_1)}=2x_2-2005-e^{f(x_2)}\Leftrightarrow 2x_1-e^{f(x_1)}=2x_2-e^{f(x_2)}\Leftrightarrow 2x_1=2x_2\Leftrightarrow x_1=x_2$

Αυτό ισχύει γιατι αν $a=b$ τοτε $e^a=e^b$

manos66 · 11-09-09

Αρχική Δημοσίευση από geo-oiko:
f:R->R, f(x)+e^f(x)=2x-2005 xER
ν.δ.ο. αντιστρεφεται.
προσπαθω να δειξω οτι ειναι 1-1 αλλα εχω προβλημα με το e^f(x)

$\\ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x_1)=f(x_2) \\ e^{f(x_1)}=e^{f(x_2)} \end{matrix}\right. \Rightarrow^{(+)} \\ f(x_1) +e^{f(x_1)} = f(x_2) +e^{f(x_2)} \Leftrightarrow \\ 2x_1-2005=2x_2-2005 \Leftrightarrow \\ 2x_1=2x_2 \Leftrightarrow \\ x_1=x_2$

άρα η f είναι "1-1".

giwtou · 11-09-09

ξέρω οτι είμαι απαράδεκτη για αυτό που θα ρωτήσω... μήπως μπορεί κανείς να μου πει πως βρίσκουμε την περίμετρο και το εμβαδον ενος ορθογωνίου τριγώνου?????? νομίζω οτι για εμβαδον είναι βαση*ύψος/2 αλλα δεν ειμαι σιγουρη!!! :'(

blacksheep · 11-09-09

εμβαδον =βασηχ υψος δια 2 μονο μου η μια καθετη πλευρα ειναι και υψος
για την περιμετρο προσθετεις τις 3 πλευρες

giwtou · 11-09-09

ευχαριστω πολύ!!! με έσωσες!!!!!

:thanks:

ledzeppelinick · 11-09-09

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Δεν μπορούμε να "σπάσουμε" σε $lim_{xrightarrow a}f(x)$ και $lim_{xrightarrow a}g(x)$ διότι δεν γνωρίζουμε αν υπάρχουν.

$lim_{xrightarrow a}[f^2(x)+g^2(x)] = lim_{xrightarrow a}[f(x)-g(x)]^2+2f(x)g(x)] = lim_{xrightarrow a}[f(x)-g(x)]^2+2lim_{xrightarrow a}[f(x)g(x)] = left( lim_{xrightarrow a}[f(x)-g(x)]right)^2+2lim_{xrightarrow a}f(x)g(x) = 0$

Ναι οντως μεγα λαθος... Ευχαριστω πολυ κυριε Μανο:thanks::thanks:

stratos_man · 11-09-09

Αν για καθε XeR ειναι /f(x)-g(x)/ <= /x2g(x)/ και lim x-->0 g(x)=3 νβ το Lim x-->0 f(x)

// σημαινει σε απολυτο και στο δευτερο απολυτο το 2 ειναι και καλα στο τετραγωνο..!

Bkid · 11-09-09

Αρχική Δημοσίευση από stratos_man:
Αν για καθε XeR ειναι /f(x)-g(x)/ <= /x2g(x)/ και lim x-->0 g(x)=3 νβ το Lim x-->0 f(x)

// σημαινει σε απολυτο και στο δευτερο απολυτο το 2 ειναι και καλα στο τετραγωνο..!

/f-g/<=/x^2*g/ αρα

-/x^2*g/<=f-g<=/x^2*g/ επειδη το lim της g στο 0 κανει 3 τοτε η g κοντα στο 0 ειναι θετικη!Αρα το x^2*g>=0 οποτε βγαζουμε το απολυτο.

Αρα -χ^2*g+g<=f<=χ^2*g+g βγαζουμε κοινο παραγοντα το g κανουμε κρ παρεμβολης και προκυπτει οτι limf=3

ledzeppelinick · 11-09-09

Αρχική Δημοσίευση από stratos_man:
Αν για καθε XeR ειναι /f(x)-g(x)/ <= /x2g(x)/ και lim x-->0 g(x)=3 νβ το Lim x-->0 f(x)

// σημαινει σε απολυτο και στο δευτερο απολυτο το 2 ειναι και καλα στο τετραγωνο..!

αν δεν κανω λαθος αξιοποιουμε την ιδοτητα των απολυτων:
$\left|x \right|\leq \theta \Leftrightarrow -\theta \leq x\leq \theta$ οπου θ ενας θετικος αριθμος (εδω εχω αμφιβολια για την ορθοτητα διοτι δεν εχουμε απλα αριθμο αλλα συναρτηση)
αρα αφου $\left|x^2g(x) \right|$ ειναι παντα θετικο εχουμε
$-\left|x^2g(x) \right|\leq f(x)-g(x)\leq \left|x^2g(x) \right|$ και παιρνοντας τα ορια εχουμε:
$\bullet \lim_{x\rightarrow 0}\left[ -|x^2g(x)|\right]=-\lim_{x\rightarrow 0}|x^2g(x)|=-\left| \lim_{x\rightarrow 0}x^2g(x)\right|= -\left| \lim_{x\rightarrow 0}x^2\times \lim_{x\rightarrow 0}g(x)\right|=0$
και
$\bullet \lim_{x\rightarrow 0}\left[|x^2g(x)|\right]=\lim_{x\rightarrow 0}|x^2g(x)|=\left| \lim_{x\rightarrow 0}x^2g(x)\right|= \left| \lim_{x\rightarrow 0}x^2\times \lim_{x\rightarrow 0}g(x)\right|=0$
άρα απο κριτηριο παρεμβολης
$\lim_{x\rightarrow 0}[f(x)-g(x)]=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}f(x)-\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=3$

Υ.Γ.: δεν ειμαι καθολου σιγουρος για την ορθοτητα της λυσης γιατι το αποτελεσμα βγηκε πολυ ευκολα οποτε εχω πολλες επιφυλαξεις!

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Bkid:
/f-g/<=/x^2*g/ αρα

-/x^2*g/<=f-g<=/x^2*g/ επειδη το lim της g στο 0 κανει 3 τοτε η g κοντα στο 0 ειναι θετικη!Αρα το x^2*g>=0 οποτε βγαζουμε το απολυτο.

Αρα -χ^2*g+g<=f<=χ^2*g+g βγαζουμε κοινο παραγοντα το g κανουμε κρ παρεμβολης και προκυπτει οτι limf=3

Πολυ σωστο! Τωρα ειμαι σιγουρος για την ορθοτητα!! Αυτο ειχα ξεχασει..

Ευχαριστω φιλε μου!!:thanks:

Rania. · 12-09-09

Εστω η συναρτηση f, η οποια ειναι παραγωγισιμη στο R και ισχυει f(x)=(x-1)f( ${x}^{2}$ ) για καθε x στο R. Να δειξετε οτι:
i)Για τη συναρτηση g(x)=f( ${x}^{2}$ ) ισχυει το θεωρημα Rolle στο [0,1].
ii)Υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ στο (0,1) τετοιο ωστε f'(ξ)=g(ξ).

Μη μου τη λυσετε, πειτε μου ισα ισα το πρωτο βημα και τα υπολοιπα αφηστε τα πανω μου.

Bkid · 12-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Εστω η συναρτηση f, η οποια ειναι παραγωγισιμη στο R και ισχυει f(x)=(x-1)f( ${x}^{2}$ ) για καθε x στο R. Να δειξετε οτι:
i)Για τη συναρτηση g(x)=f( ${x}^{2}$ ) ισχυει το θεωρημα Rolle στο [0,1].
ii)Υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ στο (0,1) τετοιο ωστε f'(ξ)=g(ξ).

Μη μου τη λυσετε, πειτε μου ισα ισα το πρωτο βημα και τα υπολοιπα αφηστε τα πανω μου.

ε για το 1 θα βρεις το g(0) και το g(1) και αρκει να ειναι ισα(εκει ειναι η ουσια του rolle)

για το 2 θα λαβεις υποψιν το ερωτημα 1 και θα σου βγει

Αν θες στο γραφω με ασπρη γραμματοσειρα και οπυ κολλησεις το μαρκαρεις και βλεπεις την απαντηση...Πες μου ο,τι θες εσυ!

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος