Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Inferno29278 · 8 Μαΐου 2009 στις 21:48

Κοίτα, ο καθηγητής που ρώτησα είναι πολύ κατατοπισμένος στο χώρο των μαθηματικών. Δεν το λεώ γιατί πιστεύω ότι τον πρόσβαλλες, ή οτιδήποτε άλλο, απλά για να σου δώσω να καταλάβεις ότι δεν είναι σαν κάτι άλλους μαθηματικούς που δεν ξέρουν να κάνουν πρόσθεση (π.χ. αυτός που έχω σχολείο). Όπως το βλέπω εγώ, στο Rolle μας ενδιαφέρει μόνο η πρώτη παράγωγος και γι' αυτό δεν ασχολούμαστε παραπέρα. Πάντως θέλω να σου υπενθυμίσω οτι τα σχολικά βιβλία δεν σκίζουν από διατυπώσεις, διευκρινίσεις και λοιπά

maira_leo · 8 Μαΐου 2009 στις 22:13

1)Εστω f παρ/μη στο Ρ με f(R)=(0,+απειρο),η οποια ικανοποιει τη σχεση $f '(x)f(-x)=1$ Για καθε $x\epsilon R$
Α)να αποδειξετε οτι:
α)η f ειναι γνησιως αυξουσα στο R και κυρτη στο R
β)η g με $g(x)=f(-x)$ ειναι γνησιως φθινουσα στο R
Β)να αποδειξετε οτι $\int_{0}^{1}\frac{f(-x)}{f(x)}dx=\frac{{f}^{2}(0)-{f}^{2}(-1)}{2}$

2)Eστω η παρ/μη f

0,+απειρο)->R, η συναρτηση g με $g(x)=\int_{1}^{x}\frac{f(\frac{x}{u})}{u}du$ ,x>0 και οι μιγαδικοι $z=f(\beta )+i\beta$ και $w=\alpha +if(\alpha )$ ,α>0 και β>0
α)να δειξετε οτι η g ειναι παρ/μη για καθε x>0 καινα υπολογισετε την παραγωγο της.
β)αν $\int_{\alpha }^{\beta }g''(x)dx=0$ ,να δειξετε οτι zw ειναι φανταστικος
γ)αν $\int_{1}^{e}f '(x)lnxdx=\int_{e}^{1}g'(x)dx$ και η g ειναι κυρτη στο (0,+απειρο),να δειξετε οτι:
i)f(e)=0
ii)g(x)>=g(e) για καθε x>0

3)εστω η συναρτηση f ορισμενη και παρ/μη στο [0,α],α>0.H συναρτηση f' ειναι γνησιως αυξουσα στο[0,α].Θεωρουμε τη συναρτηση s με $s(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt-xf(\frac{x}{2})$ ,για καθε $x\epsilon [0,α]$
α)να μελετησετε την s ως προς τη μoΝοτονια και τα ακροτατα και να δειξετε οτι $\int_{0}^{\alpha }f(t)dt>\alpha f\frac{\alpha }{2}$

manos66 · 8 Μαΐου 2009 στις 23:10

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
1)Εστω f παρ/μη στο Ρ με f(R)=(0,+απειρο),η οποια ικανοποιει τη σχεση $f '(x)f(-x)=1$ Για καθε $xepsilon R$
Α)να αποδειξετε οτι:
α)η f ειναι γνησιως αυξουσα στο R και κυρτη στο R
β)η g με $g(x)=f(-x)$ ειναι γνησιως φθινουσα στο R
Β)να αποδειξετε οτι $int_{0}^{1}frac{f(-x)}{f(x)}dx=frac{{f}^{2}(0)-{f}^{2}(-1)}{2}$

1
Α)α) f(R) = (0 , +oo) άρα f(-x) > 0 και
$\\f'(x) = \frac{1}{f(-x)}>0 \\ f''(x) = \frac{f'(-x)}{f^2(-x)}>0$
άρα f γν. αύξουσα και κυρτή

β) g'(x) = - f΄(-x) < 0, άρα g γν. αύξουσα

Β) $\int_{0}^{1}\frac{f(-x)}{f(x)}dx = \int_{0}^{1}f(-x)f'(-x)dx = \left[ \frac{-f^2(-x)}{2}\right]_0^1 = \frac{f^2(0)-f^2(-1)}{2}$
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
2)Eστω η παρ/μη f0,+απειρο)->R, η συναρτηση g με $g(x)=int_{1}^{x}frac{f(frac{x}{u})}{u}du$ ,x>0 και οι μιγαδικοι $z=f(beta )+ibeta$ και $w=alpha +if(alpha )$ ,α>0 και β>0
α)να δειξετε οτι η g ειναι παρ/μη για καθε x>0 καινα υπολογισετε την παραγωγο της.
β)αν $int_{alpha }^{beta }g''(x)dx=0$ ,να δειξετε οτι zw ειναι φανταστικος
γ)αν $int_{1}^{e}f '(x)lnxdx=int_{e}^{1}g'(x)dx$ και η g ειναι κυρτη στο (0,+απειρο),να δειξετε οτι:
i)f(e)=0
ii)g(x)>=g(e) για καθε x>0

2
α) Θέτω x/u=t ή u=x/t

$du=-\frac{x}{t^2}dt$

u=1 --> t=x
u=x --> t=1

$g(x) = \int_{1}^{x}\frac{f(t)}{t}dt$
... g παραγωγίσιμη με $g'(x) = \frac{f(x)}{x}$

β) με πράξεις βρίσκουμε Re(zw) = αf(β) - βf(α)
$\int_{\alpha }^{\beta }g''(t)dt =0\Leftrightarrow g'(\alpha ) = g'(\beta ) \Leftrightarrow \frac{f(\alpha )}{\alpha }=\frac{f(\beta )}{\beta }\Leftrightarrow Re(zw) = 0$
γ) i)
$\\ \int_{1}^{e}f'(x)lnxdx =\int_{e}^{1}g'(x)dx \Leftrightarrow \\ \left[f(x)lnx \right]_1^e-\int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x}dx = \left[g(x) \right]_e^1 \Leftrightarrow \\ f(e) - 0- g(e) = g(1) - g(e) \Leftrightarrow \\ f(e) =0$
ii) η g είναι κυρτή άρα η g' είναι γν. αύξουσα, άρα έχει το πολύ μια ρίζα και επειδή g'(e) = f(e)/e = 0 η g' έχει μοναδική ρίζα το e.
Aν κάνεις πίνακα προσήμων της g' (με βοήθεια ότι η g' είναι γν. αύξουσα) βλέπεις ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το g(e).
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από maira_leo:
3)εστω η συναρτηση f ορισμενη και παρ/μη στο [0,α],α>0.H συναρτηση f' ειναι γνησιως αυξουσα στο[0,α].Θεωρουμε τη συναρτηση s με $s(x)=int_{0}^{x}f(t)dt-xf(frac{x}{2})$ ,για καθε $xepsilon [0,α]$
α)να μελετησετε την s ως προς τη μoΝοτονια και τα ακροτατα και να δειξετε οτι $int_{0}^{alpha }f(t)dt>alpha ffrac{alpha }{2}$

$s'(x) = f(x) - f\left(\frac{x}{2} \right)-\frac{x}{2}f'\left(\frac{x}{2} \right)$

3
Έστω x > 0
Θ.Μ.Τ. με την f στο [x/2 , x]
υπάρχει ξ στο (x/2 , x) τέτοιο ώστε
$\frac{f(x) - f\left(\frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}}= f'\left(\xi \right) \Leftrightarrow f(x) - f\left(\frac{x}{2} \right)=\frac{x}{2} f'\left(\xi \right)$

άρα
$s'(x) = \frac{x}{2}f'\left(\xi \right)-\frac{x}{2}f'\left(\frac{x}{2} \right)$

και επειδή ξ > x/2 και f' γν. αύξουσα
θα είναι f' (ξ) > f'(x/2) δηλαδή s'(x) > 0

Άρα s γν. αύξουσα στο [0 , α]
ολικό ελάχιστο s(0) = 0
ολικό μέγιστο $s(a) = \int_{0}^{a}f(t) dt - af(\left(\frac{a}{2} \right)$

Eίναι s(0) < s(α) ...

----------------------
Συγχωρέστε με για τυχόν λάθη

m3Lt3D · 8 Μαΐου 2009 στις 23:25

Αρχική Δημοσίευση από Inferno:
Κοίτα, ο καθηγητής που ρώτησα είναι πολύ κατατοπισμένος στο χώρο των μαθηματικών. Δεν το λεώ γιατί πιστεύω ότι τον πρόσβαλλες, ή οτιδήποτε άλλο, απλά για να σου δώσω να καταλάβεις ότι δεν είναι σαν κάτι άλλους μαθηματικούς που δεν ξέρουν να κάνουν πρόσθεση (π.χ. αυτός που έχω σχολείο). Όπως το βλέπω εγώ, στο Rolle μας ενδιαφέρει μόνο η πρώτη παράγωγος και γι' αυτό δεν ασχολούμαστε παραπέρα. Πάντως θέλω να σου υπενθυμίσω οτι τα σχολικά βιβλία δεν σκίζουν από διατυπώσεις, διευκρινίσεις και λοιπά

Το σχολικο βιβλιο ειναι τελειως ξεκαθαρο για το συγκεριμενο θεμα.
Δεν τιθεται θεμα νομιζω. 'Η εσυ το καταλαβες λαθος, η ο καθηγητης σου.Εκτος αν ειμαστε ολοι οι υπολοιποι λαθος...

Φιλικα παντα ε

ledzeppelinick · 8 Μαΐου 2009 στις 23:45

Αμαν κυριε μανο δε σας προλαβαινουμε..

θα επιθυμουσα να μου απαντησετε σε ενα ερωτημα σε μια προηγουμενη ασκηση σας οπου f(x^2+2)=f(4x-2)... Ευχαριστω εκ των προτερων:thanks:

m3Lt3D · 9 Μαΐου 2009 στις 00:22

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
1
Α)α) f(R) = (0 , +oo) άρα f(-x) > 0 και
$\f'(x) = frac{1}{f(-x)}>0 \ f''(x) = frac{f'(-x)}{f^2(-x)}>0$
άρα f γν. αύξουσα και κυρτή

β) g'(x) = - f΄(-x) < 0, άρα g γν. αύξουσα

Β) $int_{0}^{1}frac{f(-x)}{f(x)}dx = int_{0}^{1}f(-x)f'(-x)dx = left[ frac{-f^2(-x)}{2}right]_0^1 = frac{f^2(0)-f^2(-1)}{2}$
-----------------------------------------

2
α) Θέτω x/u=t ή u=x/t

$du=-frac{x}{t^2}dt$

u=1 --> t=x

u=x --> t=1

$g(x) = int_{1}^{x}frac{f(t)}{t}dt$
... g παραγωγίσιμη με $g'(x) = frac{f(x)}{x}$

β) με πράξεις βρίσκουμε Re(zw) = αf(β) - βf(α)
$int_{alpha }^{beta }g''(t)dt =0Leftrightarrow g'(alpha ) = g'(beta ) Leftrightarrow frac{f(alpha )}{alpha }=frac{f(beta )}{beta }Leftrightarrow Re(zw) = 0$
γ) i)
$\ int_{1}^{e}f'(x)lnxdx =int_{e}^{1}g'(x)dx Leftrightarrow \ left[f(x)lnx right]_1^e-int_{1}^{e}frac{f(x)}{x}dx = left[g(x) right]_e^1 Leftrightarrow \ f(e) - 0- g(e) = g(1) - g(e) Leftrightarrow \ f(e) =0$
ii) η g είναι κυρτή άρα η g' είναι γν. αύξουσα, άρα έχει το πολύ μια ρίζα και επειδή g'(e) = f(e)/e = 0 η g' έχει μοναδική ρίζα το e.
Aν κάνεις πίνακα προσήμων της g' (με βοήθεια ότι η g' είναι γν. αύξουσα) βλέπεις ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το g(e).
-----------------------------------------

$s'(x) = f(x) - fleft(frac{x}{2} right)-frac{x}{2}f'left(frac{x}{2} right)$

3
Έστω x > 0
Θ.Μ.Τ. με την f στο [x/2 , x]
υπάρχει ξ στο (x/2 , x) τέτοιο ώστε
$frac{f(x) - fleft(frac{x}{2} right)}{frac{x}{2}}= f'left(xi right) Leftrightarrow f(x) - fleft(frac{x}{2} right)=frac{x}{2} f'left(xi right)$

άρα
$s'(x) = frac{x}{2}f'left(xi right)-frac{x}{2}f'left(frac{x}{2} right)$

και επειδή ξ > x/2 και f' γν. αύξουσα
θα είναι f' (ξ) > f'(x/2) δηλαδή s'(x) > 0

Άρα s γν. αύξουσα στο [0 , α]
ολικό ελάχιστο s(0) = 0
ολικό μέγιστο $s(a) = int_{0}^{a}f(t) dt - af(left(frac{a}{2} right)$

Eίναι s(0) < s(α) ...

----------------------
Συγχωρέστε με για τυχόν λάθη

Πληρωνεστε ανα ασκηση απο το ischool;

Αν οχι τοτε μπραβο για τον κοπο σας

odyracer18 · 9 Μαΐου 2009 στις 00:48

Αρχική Δημοσίευση από apostolis:
Η αποδειξη που λεω δεν ειναι για το αν ειναι (1-1) ,αλλα για τη μονοτονια. Αν δεν ειναι γν.μον. τοτε υπαρχουν χ1,χ2 με x1<x2 E Df (ή x1>x2) τετοια ωστε f(x1)=f(x2).

Το αποτέλεσμα της απόδειξής σου φίλε μου είναι ότι, για κάθε χ1<χ2 Ε Df (ή χ1>χ2) ισχύει f(x1)<>f(x2),το οποίο, αν παρατηρήσεις ,έιναι ο ορισμός της 1-1.Με άλλα λόγια ,μπορεί να υπάρχουν χ1,χ2 Ε Df με χ1>χ2 ώστε f(χ1)>f(χ2),και να υπάρχουν χ3,χ4 Ε Df με χ3>χ4 ώστε f(χ3)<f(χ4) άρα,δεν αποδεικνύεται οτι έιναι γνησίως μονότονη.
______________________________________________________________
Μια λύση που σκέφτηκα ,άλλα δεν είμαι και σίγουρος..

Έστω ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη..Αφού f-συνεχής(επειδή f-παραγωγίσιμη ),η μόνη περίπτωση που θα ισχύει αυτο,είναι όταν θα υπάρχει τουλάχιστον ένα χ0 Ε Df ,στο οποίο η f θα αλλάζει μονοτονία.Άρα,η f θα παρουσιάζει τ.ακρότατο στο χ0 αυτο.Και αφού f-παραγ στο Df ,από θ.Fermat θα είναι f'(χο)=0,το οποίο είναι άτοπο
Άρα, η f είναι αναγκαστικά γνησίως μονότονη.

Τ λέτε κι εσείς?Περιμένω βοήθεια από όποιον μπορει..

Inferno29278 · 9 Μαΐου 2009 στις 10:06

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
Το σχολικο βιβλιο ειναι τελειως ξεκαθαρο για το συγκεριμενο θεμα.
Δεν τιθεται θεμα νομιζω. 'Η εσυ το καταλαβες λαθος, η ο καθηγητης σου.Εκτος αν ειμαστε ολοι οι υπολοιποι λαθος...

Φιλικα παντα ε

Σέβομαι την άποψή σου και είναι όντως λίγο δύσκολο να κάνουν όλοι λάθος εκτός από εμένα. Πως όμως εξηγείς ότι στις πανελλαδικές το είχαν δεχτεί σωστό; Μόλις ξεμπερδέψω από τις φετινές πανελλαδικές θα ψάξω την άσκηση αυτή, καθώς και τη λύση της και θα την ποστάρω

apostolis · 9 Μαΐου 2009 στις 10:40

Ναι, αλλα αν ειναι (1-1) στο Δ και συνεχης στο Δ ειναι και γνησιως μονοτονη, ετσι δεν ειναι?

m3Lt3D · 9 Μαΐου 2009 στις 14:27

Αρχική Δημοσίευση από apostolis:
Ναι, αλλα αν ειναι (1-1) στο Δ και συνεχης στο Δ ειναι και γνησιως μονοτονη, ετσι δεν ειναι?

Το ειπα στο αρχικο μου ποστ. Θελει αποδειξη αυτο ομως.

bobiras11 · 9 Μαΐου 2009 στις 15:12

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Προς τον κ.Τσεκούρα.
Πέιτε μου σας παρακαλώ γιά την άσκηση #5 και τι γνώμη έχετε γιά τη γνωστή πλέον διένεξη της μαθηματικής κοινότητας γιά το που βρίσκονται οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=f-1(x).

Να πω και γω τη γνώμη μου σ' αυτό ή καλύτερα να μεταφέρω την άποψη του μαθηματικού μου όπως την διατύπωσε.

"Μία συνάρτηση και η αντίστροφη της είναι ΠΑΝΤΑ συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.
-Aν η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση, τότε τα κοινά σημεία των f,f^-1 βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x
-Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, τότε τα κοινά σημεία των f,f^-1
βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=-x"

manos66 · 9 Μαΐου 2009 στις 15:59

Αρχική Δημοσίευση από bobiras11:
Να πω και γω τη γνώμη μου σ' αυτό ή καλύτερα να μεταφέρω την άποψη του μαθηματικού μου όπως την διατύπωσε.

"Μία συνάρτηση και η αντίστροφη της είναι ΠΑΝΤΑ συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.
-Aν η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση, τότε τα κοινά σημεία των f,f^-1 βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x
-Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, τότε τα κοινά σημεία των f,f^-1
βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=-x"

H f(x) = 2 - x είναι γν. φθίνουσα (και αντιστρέψιμη)
Έχει αντίστροφη την εαυτό της
Τα κοινά σημεία των Cf και Cf-1 δεν βρίσκονται στην y = -x

miv · 9 Μαΐου 2009 στις 16:53

Ε; Όταν λέει παραγωγίσιμη εννοεί μία τουλάχιστον φορά παραγωγίσιμη στο διάστημα αναφοράς, δεν εννοεί άπειρες φορές παραγωγίσιμη, τι είναι αυτά που λέτε; Δηλαδή σε όποια άσκηση μιλάει για μια παραγωγίσιμη f και υπάρχει τρόπος με f'', πάτε και παίρνετε f''? Από που κι ως που;
-----------------------------------------
Στις Πανελλήνιες το πήραν σωστό, πιθανολογώ, γιατί η συντριπτική πλειοψηφία, όπως αναμενόταν, το έκανε λάθος, οπότε συμβατικά έδωσαν σε όλους το βαθμό για να μην πέσουν οι βαθμολογίες στο μάθημα για μία ακόμη φορά στον πάτο. Αυτό δεν θα ήταν ούτε η πρώτη, ούτε η τελευταία φορά που θα το έκαναν. Από κει και πέρα, δεν είναι δυνατόν να βγάζεις τέτοιο συμπέρασμα επειδή μία φορά το δέχτηκαν. Πρώτον, αυτό που λες εσύ αλλάζει τον τρόπο λύσης σε χιλιάδες ασκήσεις μαθηματικών, δεύτερον αν ξαναπέσει κάτι παρόμοιο δεν θα το ξανακάνουν τόσοι πολλοί λάθος, οπότε δεν θα χαριστούν βαθμοί, γιατί πλέον είναι γνωστό ζήτημα και τρίτον είναι καραμπινάτο λάθος, από που κι ως που λες τέτοιο πράγμα;
Αν, βέβαια, γράψεις εσύ ένα βιβλίο μπορείς να το θέσεις ελεύθερα ως κανόνα, σύμφωνα με το βιβλίο που αποτελεί βάση για μάθημα και βαθμολόγηση, αυτό δεν ισχύει ΣΕ ΚΑΜΙΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ. Και ομολογώ ότι δεν πείθομαι ότι ισχύει και γενικότερα στα Μαθηματικά. Αλλά αυτό το γνωρίζουν άλλοι με ευρύτερες γνώσεις στην επιστήμη, εγώ δε μπορώ να πω ότι είναι γενικά μαθηματικό λάθος, δεν έχω την ευρύτητα.

Για τη λύση της άσκησης: (αναιρώ όσα είπα λίγο παραπάνω, τα οποία διέγραψα)
Αν είναι παραγωγίσιμη στο Δ, το Rolle θα γίνει σε διάστημα που ορίζουν τα χ1,χ2 ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ, στο Δ Rolle δεν γίνεται γιατί δεν ξέρουμε αν είναι κλειστό κι αν είναι κλειστό, αν η f είναι συνεχής στα άκρα του. Η f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής στο [χ1,χ2], ως παραγωγίσιμη στο υπερσύνολο Δ (που δεν ταυτίζεται με το [χ1,χ2]). Εαν θεωρήσουμε ότι για τα τυχαία αυτά χ1,χ2 οι τιμές της f είναι ίσες, τότε υπάρχει ξ στο οποίο η f' μηδενίζεται, πράγμα άτοπο. Άρα για κάθε χ1 διάφορο του χ2, θα είναι f(x1) διάφορο του f(x2), που είναι ο ορισμός της 1-1.
Ακριβώς η ίδια απόδειξη γίνεται και στην περίπτωση που το Δ είναι το R, μόνο που εκεί παραλείπεται η αναφορά στο ότι τα χ1,χ2 είναι εσωτερικά του R, γιατί εννοείται. Στην περίπτωση αυτή το συμπέρασμα ισχύει στο R, ενώ εδώ ισχύει στο Δ, πλήρης αντιστοιχία.
Αυτό ήταν, βασικά, και το σημείο που μπερδεύει, αν ξεπερνούσες την παγίδα με τη συνέχεια της f'. Στο ότι όταν βλέπεις το Δ πας να εφαρμόσεις σε αυτό Rolle, αν και για μένα αυτό οφείλεται σε δομικό στοιχείο της άσκησης, πρέπει να αναφέρει ότι θέλει να αποδείξεις το ζητούμενο στο Δ.

Η απόδειξή μου φτάνει μέχρι το 1-1. Για τη γνήσια μονοτονία (είπε κάποιος αν συνεχής και 1-1) θα το κοιτάξω αργότερα, αν και θα ήθελα, αν υπάρχει κάποια αξιόπιστη απόδειξη, γιατί μια συνεχής και 1-1 είναι γν μονοτονη, να δοθεί.

odyracer18 · 9 Μαΐου 2009 στις 17:29

Αρχική Δημοσίευση από miv:
Η απόδειξή μου φτάνει μέχρι το 1-1. Για τη γνήσια μονοτονία θα το κοιτάξω αργότερα, αν και θα ήθελα, αν υπάρχει κάποια αξιόπιστη απόδειξη, να δοθεί.

Φίλε miv αν μπόρεις τσέκαρε την λύση που έδωσα πιο πριν...Νομίζω οτί αρκεί για να αποδειχτεί αυτο που λες

miv · 9 Μαΐου 2009 στις 17:41

Δε νομίζω ότι έχει ισχύ η απόδειξη από την άποψη ότι:
Αν θεωρήσουμε ότι η f μεταβάλλει τη μονοτονία της εκατέρωθεν ενός σημείο χο που ανήκει στο [χ1,χ2], δε μπορούμε να λέμε ότι η f έχει στο σημείο αυτό ακρότατο. Το θεώρημα ακροτάτων λέει ότι αν η f' μεταβάλλει πρόσημο εκατέρωθεν του χο, τότε το χο είναι θέση τοπικού ακροτάτου, δεν λέει ότι αν η f μεταβάλλει τη μονοτονία της, τότε είναι θέση τοπ. ακροτάτου. Από πρόσημο παραγώγου πάμε σε μονοτονία, όχι ομως και αντίστροφα.
Ούτε με ορισμό ακρότατου γίνεται τίποτα, δεν αναφέρεται πουθενά η μονοτονία εκεί.

Για να στενεύουμε τα όρια του ζητούμενου, το πρόβλημα στο οποίο κολλάω είναι πως να δικαιολογήσουμε ότι όντως το χο είναι σημείο ακροτάτου. Γιατί οι άλλες δύο προυποθέσεις Fermat ισχύουν.
-----------------------------------------
Θα θέσω το ερώτημα σε ένα αγγλικό forum που έχει πάρα πολλά μέλη οπότε μπορεί να γίνει κάτι πιο γρήγορα. Επιστρέφω αμέσως.

vasilis008 · 9 Μαΐου 2009 στις 18:22

Νομίζω πως θα συμφωνήσω με τον miv...(σχετικά με το ερώτημα παραγωγίσιμη=άπειρες φορές παραγωγίσιμη). Δεν νομίζω πως εννοείται κάτι τέτοιο. Εάν αναφέρεστε σε μια συνάρτηση της οποίας ο βαθμός αυξάνει κάθε φορά που την παραγωγίζεις π.χ. η 1/χ που γινεται -1/χ^2 μετα 2/χ^3 κλπ κλπ τότε εντάξει αλλά η συνάρτηση χ^1000 ας πούμε πρέπει να αναφέρουμε ότι είναι 1001 φορές παραγωγίσιμη για να είμαστε ακριβείς και να μην εννοειθεί ότι είναι άπειρες? (πράγμα που είναι λάθος...). Επίσης σε κάθε θεώρημα αναφέρεται " η f να είναι παραγωγίσιμη " και όχι "1 φορά παραγωγίσιμη", ενώ όταν πρέπει να είναι 2 φορές αναφέρεται. Τέσπα έτσι το σκέφτομαι εγώ μπορεί βέβαια να κάνω και λάθος...Θα παρακαλούσα κάποιον που είναι πιο εξειδεικευμένος με το θέμα να μας διαφωτίσει εάν γίνεται. Ευχαριστώ.

miv · 9 Μαΐου 2009 στις 18:27

Δεν είναι λάθος. Όλες οι συναρτήσεις γνωστού τύπου* είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους (με κάθε παράγωγο να ορίζεται το πολύ στο πεδίο ορισμού της προηγουμένης, αυτό εξυπακούεται), με την προυπόθεση ότι έχουν μονοσήμαντο τύπο (μη κλαδικές). Το ίδιο και χ^1000, είναι πολυώνυμο και είναι δεδομένο ότι είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη. Δεν τίθεται θέμα, σαφέστατα και το παραγωγίσιμη σημαίνει "τουλάχιστον μία φορά" και όχι "άπειρες φορές", αυτό δεν τίθεται, απλά το παιδί θα κατάλαβε κάτι λάθος. Μα, στη συγκεκριμένη άσκηση ακριβώς αυτό είναι το θέμα. Αν είχε ισχύ αυτό που λέει το παιδί, μια ολόκληρη κατηγορία ασκήσεων δεν θα είχε νόημα ύπαρξης, τι να λέμε τώρα.
Αυτή τη στιγμή το δικό μου ζήτημα είναι η απόδειξη του "συνεχής+1-1"="γν. μονότονη". Απ'οτι ρώτησα, αυτό ισχύει όντως, έκανα μια σκέψη να το αποδείξω με άτοπο Ενδιαμέσων, η οποία σκέψη μου είπαν ότι είναι σε καλό δρόμο, αλλά ακόμη δεν το έχω βγάλει.

*Και καλά που το έθιξες. Ναι, σαφώς και οποιαδήποτε συνάρτηση γνωστού τύπου (μη κλαδική) είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη, ασχέτως αν σου λέει f παραγωγίσιμη, το οποίο σε μια συνάρτηση γνωστού τύπου δεν υποχρεούται καν να στο λέει. Εδώ, όμως, μιλάμε για συνάρτηση f, δεν γνωρίζουμε κανένα τύπο, η παραγωγισιμότητα καθορίζεται αυστηρά από το πρόβλημα και από πιθανούς συσχετισμούς της f με άλλες συναρτήσεις.

variax · 9 Μαΐου 2009 στις 23:04

Συνάδελφε, αυτού του είδους οι ασκήσεις είναι ουσιαστικά εκτός ύλης, αφού για να εφαρμόσεις τον κανόνα αλυσίδας (όπως κάνεις στην προτεινόμενη λύση της άσκησης που έχεις συνημμένα) θα πρέπει να γνωρίζεις ότι η αντίστροφη συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη (γενικά για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση που αντιστρέφεται η αντίστροφή της δεν είναι πάντα παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της όπως π.χ. η συνάρτηση f(x)=x^3 της οποίας η αντίστροφη δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0) καθως επίσης για να ολοκληρώσεις την αντίστροφη μιας συνάρτησης θα πρέπει να αποδείξεις ότι αυτή είναι συνεχής (αυτό είναι θεώρημα το οποίο όμως δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο).

kvgreco · 10 Μαΐου 2009 στις 00:04

Αρχική Δημοσίευση από variax:
(γενικά κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση που αντιστρέφεται δεν είναι πάντα παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της)

Μάλλον κακή διατύπωση κάνατε?

Αρχική Δημοσίευση από variax:
καθως επίσης για να ολοκληρώσεις την αντίστροφη μιας συνάρτησης θα πρέπει να αποδείξεις ότι αυτή είναι συνεχής (αυτό είναι θεώρημα το οποίο όμως δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο).

Αν μιά συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη τότε είναι και συνεχής.Άρα τότε θα είναι και συνεχής γραμμή το συμμετρικό της γράφημα ως προς την ευθεία y=x.Έτσι προκύπτει απλά και εποπτικά ότι και η αντίστροφη συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής.

m3Lt3D · 10 Μαΐου 2009 στις 00:13

Αρχική Δημοσίευση από kvgreco:
Αν μιά συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη τότε είναι και συνεχής.Άρα τότε θα είναι και συνεχής γραμμή το συμμετρικό της γράφημα ως προς την ευθεία y=x.Έτσι προκύπτει απλά και εποπτικά ότι και η αντίστροφη συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής.

Αυτο ειναι απλη γεωμετρικη ερμηνεια. Δεν συνιστα μαθηματικη αποδειξη.
Παντως αμα μας πει 'θεωρειστε οτι η αντιστροφη μιας συνεχους συναρτησης ειναι και αυτη συνεχης' τοτε πιστευω λυνεται το προβλημα.
Η αντιστροφη μιας παραγωγισιμης συναρτησης ειναι και αυτη παραγωγισιμη για καθε χο στο πεδιο ορισμου της, αρκει να μην μηδενιζεται η f' στο χο.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος