Γιά την πρώτη ανισότητα δεν χρειάζεται καν η χρήση κάποιας "ειδικής" συνάρτησης. Αφού η f είναι αύξουσα άρα f(α)<=f(x) άρα την ίδια σχέση θα έχουν και τα ολοκληρώματα στο [α,β] απ' όπου προκύπτει η αριστερή ανισότητα.
Γιά την άλλη ανισότητα αρκεί να δειχτεί ότι η γραφική παράσταση βρίσκεται κάτωθεν(η πάνω) της ευθείας που περνά από τα σημεία Α(α,f(α)), Β(β,f(β)).
Ότι δηλαδή γιά κανένα x του διαστήματος η f(x) δεν υπερβαίνει την αντίστοιχη τιμή της γραμμικής συνάρτησης.
Η f '(x) είναι αύξουσα που σημαίνει ότι αποκλείεται η f(x) να είναι κοίλη(Δεν ξέρουμε και αν είναι κυρτή αλλά αυτό δεν έχει σημασία.Σημασία έχει ότι δεν μπορεί να χαρακτηριστεί κοίλη στο διάστημα [α,β] αλλά ούτε και σε κάποιο υποδιάστημά του.)Τότε όμως οποιαδήποτε χορδή άρα καί η ΑΒ θα βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ή στην "τελική" θά πέφτει πάνω.
Δηλαδή f(x)<={[f(β)-f(α)]/(β-α)}x+f(α)-{[f(β)-f(α)]/(β-α)}α
Ολοκληρώνοντας τη σχέση στο [α,β] προκύπτει η ζητούμενη.
Με το LaTex έχουμε μαλώσει αλλά ελπίζω να βγάλετε άκρη.Το κακό είναι ότι χωρίς τη βοήθεια τού LaTex απαιτούνται πολλές παρενθέσεις γιά να γίνει κάτι κατανοητό.Ίσως δεν πείθει καλά η ερμηνεία της απόδειξης της δεύτερης ανίσωσης, αλλά είμαι μανιωδώς υπέρ ενός συνδυασμού αναλυτικής σκέψης και εποπτείας.Λυπάμαι αν σας κουράσει η ανάγνωση.
edit:
Παιδιά ξεχάσαμε να πούμε χρόνια πολλά και καλή σαρακοστή.
Μόλις κατέστρεψα ένα πληκτρολόγιο γιατί χύθηκε πάνω ένα ποτήρι μπύρα!Να λυπηθώ τώρα γιά το πληκτρολόγιο ή γιά τη μπύρα? 
Δεν βαριέσαι την υγειά μας νάχουμε.Εξ άλλου μύριζαν τα πλήκτρα θαλασσινά!
