Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

DumeNuke · 10 Απριλίου 2014 στις 12:51

Αρχική Δημοσίευση από gersi:
$\int_{0}^{1} ({3x}^{2}+\left|2x+1 \right|)dx$
$\int_{-1}^{1} \left|{x}^{2}-x \right|dx$
$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+x}}dx$

Παιδια θελω μια βοηθεια σχετικα με το πως λυνουμε ολοκληρωματα με απολυτες τιμες και ριζικα.

Έστω f(x)=2x+1.
f'(x)=2 => f γνησίως αύξουσα
Για f(x)=0 <=> x=-1/2
Επομένως, στο διάστημα [0,1] η f(x)>0.
Ισχύει δηλαδή η συνεπαγωγή: |f(x)|=f(x), για κάθε x ανήκει στο [0,1].
Άρα, στο 1ο ολοκλήρωμα σου, βγάζεις κατευθείαν τα απόλυτα.

Όμοια για το 2ο. Βρίσκεις τις ρίζες της, πού είναι θετικό, πού αρνητικό. Είτε θέτοντας συνάρτηση, παραγοντοποίηση, διακρίνουσα κτλπ.
Συγκεκριμένα: x^2-x=0 <=> x=0 ή x=1
Στο [-1,0]: x^2-x>=0, άρα το απόλυτο φεύγει.
Στο [0,1]: x^2-x<=0, άρα το απόλυτο φεύγει, αφήνοντας ένα μείον (x-x^2).
Σπας λοιπόν το ολοκλήρωμα στα δύο. Ένα ολοκλήρωμα από το -1 στο 0 και το δεύτερο από το 0 στο 1.

Στο τρίτο, προσθαφαίρεσε το 1 στον αριθμητή (χ+1-1) και δοκίμασε να το δουλέψεις από εκεί.

gersi · 10 Απριλίου 2014 στις 12:57

Να εισαι καλα. Ευχαριστω για την γρηγορη απαντηση.

vimaproto · 11 Απριλίου 2014 στις 00:42

Αρχική Δημοσίευση από gersi:
$\int_{0}^{1} ({3x}^{2}+\left|2x+1 \right|)dx$
$\int_{-1}^{1} \left|{x}^{2}-x \right|dx$
$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+x}}dx$

Παιδια θελω μια βοηθεια σχετικα με το πως λυνουμε ολοκληρωματα με απολυτες τιμες και ριζικα.

Επειδή νομίζω πως η τελευταία θα σε δυσκολέψει έχοντας χρόνο προτείνω μια λύση. (Θα υπάρξουν και άλλες πιστεύω)

Ονομάζω
$I=\int \frac{xdx}{\sqrt{1+x}}$
και
$I=\int \frac{xdx}{\sqrt{1+x}}=\int \frac{x+1}{\sqrt{x+1}}dx-\int \frac{2dx}{2\sqrt{x+1}}$
$I=\int \sqrt{x+1}dx-2\int \frac{dx}{2\sqrt{x+1}}$
$I=x\sqrt{x+1}-\int x\frac{dx}{2\sqrt{x+1}}-2\sqrt{x+1}=(x-2)\sqrt{x+1}-\frac{1}{2}I$
Αρα $\frac{3}{2}I=(x-2)\sqrt{x+1}\Rightarrow I=\frac{2(x-2)\sqrt{x+1}}{3}$
Tο ορισμένο ολοκλήρωμα δικό σου

Marina-lalala · 11 Απριλίου 2014 στις 21:05

Παιδιά, ξέρετε που μπορώ να βρω της αποδείξεις των μαθηματικών μαζεμένες μαζί; Ότι έχω βρει έχει όλη την θεωρία και ψαχνό κάτι περιεκτικό .

Ευχαριστώ

tweetyslvstr · 11 Απριλίου 2014 στις 21:15

Αρχική Δημοσίευση από Marina-lalala:
Παιδιά, ξέρετε που μπορώ να βρω της αποδείξεις των μαθηματικών μαζεμένες μαζί; Ότι έχω βρει έχει όλη την θεωρία και ψαχνό κάτι περιεκτικό .

Ευχαριστώ

σε αυτήν την ιστοσελίδα https://mathkanavis.blogspot.gr/2011/10/blog-post_3973.html:D:D

petrosbomb · 14 Απριλίου 2014 στις 21:15

Έχω κάποια κενά από το φροντιστήριο και τώρα στις επαναλήψεις ζορίζομαι σε μερικές ασκήσεις. Θα ήθελα να με βοηθήσει κάποιος που μπορεί. Η μία άσκηση είναι αυτή:
Δίνεται F(R)~>R για την οποία ισχύουν f(x+y)=f(x)f(y), και f(0) άνισο του 0.
νδο: f(x) διάφορη του 0 για κάθε χ ανήκει στο R
νδο: f(x)>0 για κάθε χ ανήκει R
νδο: f(0)=1
νδο: f(x)f(-x)=1 για κάθε χ ανήκει R
και: αν η f(x)=1 έχει μοναδική ρίζα, τότε η f αντιστρέφεται και ισχύει f-1(xy) = f-1(x) + f-1(y).
Ευχαριστώ.

Filippos14 · 14 Απριλίου 2014 στις 21:41

Ας κανω την αρχη μιας και βαριεμαι να γραψω ολη την λυση,η ασκηση ειναι απο το βοηθημα του μπαρλα αν δεν κανω λαθος.
Εστω οτι υπαρχει ενα χ0 ωστε f(x0)=0 .
Θετω στην αρχικη οπου χ το χ0 και οπου y to -x0 και παιρνω : f(x0-x0)=f(x0)*f(-x0) => f(0)=f(x0)*f(-x0) => f(0)=0 ατοπο απο εκφωνηση.

petrosbomb · 14 Απριλίου 2014 στις 21:46

Ευχαριστώ πολύ, εγώ δηλαδή σε τέτοια ερωτήματα θα πρέπει να προσπαθώ να καταλήξω κάπου ανάλογα με τα δεδομένα ;

Filippos14 · 14 Απριλίου 2014 στις 21:48

Αρχική Δημοσίευση από petrosbomb:
Ευχαριστώ πολύ, εγώ δηλαδή σε τέτοια ερωτήματα θα πρέπει να προσπαθώ να καταλήξω κάπου ανάλογα με τα δεδομένα ;

χμ τι εννοεις ακριβως :hmm:

?Γινε λιγο πιο συγκεκριμενος.

petrosbomb · 14 Απριλίου 2014 στις 21:51

Απλά μπερδεύομαι σε συναρτησιακές ασκήσεις, και προσπαθώ να καταλάβω πως πρέπει να δουλεύω. Γι αυτό ρώτησα αν πρέπει να συνδυάζω την εκφώνηση για να καταλήγω σε άτοπο..

Filippos14 · 14 Απριλίου 2014 στις 21:54

Αρχική Δημοσίευση από petrosbomb:
Απλά μπερδεύομαι σε συναρτησιακές ασκήσεις, και προσπαθώ να καταλάβω πως πρέπει να δουλεύω. Γι αυτό ρώτησα αν πρέπει να συνδυάζω την εκφώνηση για να καταλήγω σε άτοπο..

Γενικα για το ατοπο,υποθετεις το αντιθετο απο αυτο που σου ζηταει η ασκηση να κανεις,οποτε με πραξουλες και συμφωνα με τα δεδομενα προσπαθεις να βγεις σε ατοπο.Αν σε αλλη ασκηση πχ ελεγε οτι f(1)=1(στην υποθεση) και εσυ μεσω της παραπανω διαδικασιας εβγαζες αλλη τιμη πχ f(1)=0 τοτε ατοπο

petrosbomb · 14 Απριλίου 2014 στις 21:57

Δηλαδή αν θέσω οτι υπάρχει χο τω f(xo)<0 θα καταλήξω σε άτοπο;

Filippos14 · 14 Απριλίου 2014 στις 22:04

Tι εννοεις,γραψε ολη την σκεψη σου!

rebel · 14 Απριλίου 2014 στις 22:04

Αρχική Δημοσίευση από petrosbomb:
Έχω κάποια κενά από το φροντιστήριο και τώρα στις επαναλήψεις ζορίζομαι σε μερικές ασκήσεις. Θα ήθελα να με βοηθήσει κάποιος που μπορεί. Η μία άσκηση είναι αυτή:
Δίνεται F(R)~>R για την οποία ισχύουν f(x+y)=f(x)f(y), και f(0) άνισο του 0.
νδο: f(x) διάφορη του 0 για κάθε χ ανήκει στο R
νδο: f(x)>0 για κάθε χ ανήκει R
νδο: f(0)=1
νδο: f(x)f(-x)=1 για κάθε χ ανήκει R
και: αν η f(x)=1 έχει μοναδική ρίζα, τότε η f αντιστρέφεται και ισχύει f-1(xy) = f-1(x) + f-1(y).
Ευχαριστώ.

α)
Για $x=x,\,\,y=-x$ είναι $f(x)f(-x)=f(0) \neq 0$ άρα $f(x) \neq 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.$
β)
Για $x=y=x/2$ είναι
$f(x)=f^2\left(\frac{x}{2}\right)>0$
γ)
Για $x=y=0$ είναι $f(0)=f^2(0) \Rightarrow f(0)\left(f(0)-1\right)=0 \stackrel{f(0) \neq 0}{\Rightarrow} f(0)=1$
δ)
Για $x=x,\,\,y=-x$ είναι $f(x)f(-x)=f(0)=1$
ε)
Έστω $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με $f(x_1)=f(x_2)$ . Για $x=x_2,\,\,y=-x_1$ είναι $f(x_2-x_1)=f(x_2)f(-x_1)$ . Όμως από δ:
$f(x_1)f(-x_1)=1 \Rightarrow f(-x_1)=\frac{1}{f(x_1)}$
άρα
$f(x_2-x_1)=f(x_2)f(-x_1)=\frac{f(x_2)}{f(x_1)}=1=f(0).$
Λόγω της μοναδικότητας της ρίζας είναι $x_2-x_1=0$ οπότε η f αντιστρέφεται. Έστω τώρα $x,y \in \mathbb{R}$ και $\kappa=f^{-1}(x),\,\,\lambda=f^{-1}(y)$ . Είναι
$xy=f(\kappa)f(\lambda)=f(\kappa+\lambda) \Rightarrow f^{-1}(xy)=\kappa+\lambda \Rightarrow \\ f^{-1}(xy)=f^{-1}(x)+f^{-1}(y).$

petrosbomb · 14 Απριλίου 2014 στις 22:17

Δηλαδή περίμεναν να το σκεφτεί αυτό μαθητής 3ης λυκείου;;;;;

Αρχική Δημοσίευση από petrosbomb:
Δηλαδή περίμεναν να το σκεφτεί αυτό μαθητής 3ης λυκείου;;;;;

Και ευχαριστώ πολύ!

methexys · 14 Απριλίου 2014 στις 22:40

Γενικά να θυμάσαι ότι στις συναρτησιακες σχέσεις μπορείς να βάλεις όπου x και y ο,τι θες, έτσι φτάνεις συνήθως στο ζητούμενο σου. Θα μπορούσε να ζητάει να δείξεις κάτι για την παραγωγο και να χρησιμοποιήσεις όρια.

STRATOSZAX · 15 Απριλίου 2014 στις 20:21

Καλησπερα,

θα ηθελα να ρωτησω αν εχουμε μια δικλαδη συναρτηση πως βρισκουμε αν ειναι αρτια η περιττη.

Guest 190013 · 15 Απριλίου 2014 στις 20:32

Φαντάζομαι θα το εξετάσεις χωριστά ανά κλάδο...

Από κει και πέρα, η γνωστή διαδικασία (για μένα τουλάχιστον στη Β): εξετάζεις την συμμετρία του Α ως προς Ο, παίρνεις χ και -χ να ανήκουν στο Α και βρίσκεις αν f(-x)=f(x) ή -f(x), οπότε άρτια ή περιττή αντίστοιχα.

Φυσικά, αν τις βρεις και τις δύο πχ άρτιες, αυτό δεν σημαίνει ότι η f ειναι συνολικά άρτια

Guest 856924 · 16 Απριλίου 2014 στις 01:05

Πως γινεται αναλυτικα η πρωτη ασκηση;

nPb · 16 Απριλίου 2014 στις 01:22

ΑΣΚ 1 (Λύση):

Ξεκινάμε με μια υπόθεση ότι fog είναι "1-1". Αυτό εξ' ορισμού σημαίνει, ότι για $x_{1}\neq x_{2}$ αν οι τιμές

$g(x_{1})=g(x_{2})$

τότε

$f(g(x_{1}))=f(g(x_{2})) \Leftrightarrow (fog)(x_{1})=(fog)(x_{2})$

άρα,

$x_{1}= x_{2}$

το οποίο σημαίνει ότι η g είναι "1-1" (εξ'΄ορισμού).

Πρέπει να γνωρίζεις:

Από ένα x δεν γίνεται να παίρνουμε διαφορετικά f(x) όμως από διαφορετικά x (ίσα μεταξύ τους) μπορούμε να παίρνουμε το ίδιο f(x).

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Guest 190013

Επισκέπτης

Guest 856924

Επισκέπτης

Επιφανές μέλος