Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

thewatcher · 23 Μαΐου 2009 στις 17:13

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Djimmako και (οποιος αλλος θελει) αλλη μια εξυπνη ασκησουλα
α)Απο ολους τους αριθμους χ,ψ με σταθερο αθροισμα α (χ+ψ=α) να βρεθουν εκεινοι που εμφανιζουν το μεγιστο γινομενο
β)Απο ολους τους θετικους χ,ψ με σταθερο γινομενο β (χψ=β) να βρεθουν εκεινοι που εμφανιζουν το ελαιστο αθροισμα...

α) a/2,a/2
β) ριζαβ,ριζαβ

Ονομάζω τους 2 αριθμούς αντι x,y x1,x2 για να μη γινει μπερδεμα.

α) Είναι ρίζες της εξίσωσης x^2-ax+x1x2=0 η οποία πρέπει να έχει Δ>=0
a^2-4x1x2>=0 αφού θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε το x1x2 αρκέι να ελαχιστοποιήσουμε τη διακρίνουσα, η οποία γίνεται:
(x1+x2)^2-4x1x2=x1^2+x2^2-2x1x2=(x1-x2)^2>=0 άρα η ελάχιστη τιμή της διακρίνουσας συναντάται όταν x1=x2 <=> a=x1/2=x2/2

Και το β είναι παραπλήσιο.

tebelis13 · 23 Μαΐου 2009 στις 19:29

Αρχική Δημοσίευση από thewatcher:
α) a/2,a/2
β) ριζαβ,ριζαβ

Ονομάζω τους 2 αριθμούς αντι x,y x1,x2 για να μη γινει μπερδεμα.

α) Είναι ρίζες της εξίσωσης x^2-ax+x1x2=0 η οποία πρέπει να έχει Δ>=0
a^2-4x1x2>=0 αφού θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε το x1x2 αρκέι να ελαχιστοποιήσουμε τη διακρίνουσα, η οποία γίνεται:
(x1+x2)^2-4x1x2=x1^2+x2^2-2x1x2=(x1-x2)^2>=0 άρα η ελάχιστη τιμή της διακρίνουσας συναντάται όταν x1=x2 <=> a=x1/2=x2/2

Και το β είναι παραπλήσιο.

:iagree:
γαμωτο δεν μπορω να χρησιμοποιησω το latex

-----------------------------------------
Αλλη μια

Δινεται η εξισωση 1-λ^2χ=λ-λ^3χ , λ πραγματικος αριθμος.
Να βρειτε τις τιμες του λ ωστε:
α)η εξισωση να εχει μοναδικη λυση Χο (η οποια και να βρεθει)
β)για την μοναδικη αυτη λυση να ισχιει η σχεση Χο+1/Χο=2
γ)η εξισωση να ειναι αδυνατη

ευκολακι αλλα καλη

αν δεν μπορειτε βαζω λυσεις..

Ναυσικά · 23 Μαΐου 2009 στις 23:56

Ax την εκφώνηση λίγο πιο καθαρά, δεν καταλαβαίνω που πάει τι

thewatcher · 24 Μαΐου 2009 στις 00:14

Προφανώς κάτι δεν καταλαβαίνω. Για κάθε τιμή του λ διαφορετική του 0 και του 1 η εξίσωση έχει μία λύση, την $\frac{1}{{\lambda}^{2}}$

tebelis13 · 24 Μαΐου 2009 στις 00:57

Αρχική Δημοσίευση από thewatcher:
Προφανώς κάτι δεν καταλαβαίνω. Για κάθε τιμή του λ διαφορετική του 0 και του 1 η εξίσωση έχει μία λύση, την $frac{1}{{lambda}^{2}}$

Σωστος.Μετα στο β ερωτημα αντικαθιστας οπου Χο τη λυση που βρηκες και κανεις πραξεις και στο γ ερωτημα βρισκεις τις τιμες του λ ωστε η εξισωση να ειναι αδυνατη

ant1637 · 24 Μαΐου 2009 στις 20:43

εγώ πάντως το έκανα κάπωσ διαφορετικά
||4χ-2|+2|+2=3
|4χ-2|+2+2=3
|2|2χ-1|+2+2=3
2|2χ-1|+2+2=3
Αν χ<1/2 τότε
2(-2χ+1)+2+2=3
-4χ+2+2=3
-4χ=-1
χ=1/4

Αν χ>1/2
2(2x-1)+2+2=3
4x-2+2+2=3
4x=3
x=3/4

ε και μετά παίρνουμε S & P και με τον τύπο χ^2 -S+P=0 συνεχίζουμε

Shadowfax · 24 Μαΐου 2009 στις 20:44

Αρχική Δημοσίευση από ant1637:
εγώ πάντως το έκανα κάπωσ διαφορετικά
||4χ-2|+2|+2=3
|4χ-2|+2+2=3
|2|2χ-1|+2+2=3
2|2χ-1|+2+2=3
Αν χ<1/2 τότε
2(-2χ+1)+2+2=3
-4χ+2+2=3
-4χ=-1
χ=1/4

Αν χ>1/2
2(2x-1)+2+2=3
4x-2+2+2=3
4x=3
x=3/4

ε και μετά παίρνουμε S & P και με τον τύπο χ^2 -S+P=0 συνεχίζουμε

x^2-Sx+P=0

Ναυσικά · 24 Μαΐου 2009 στις 23:46

Αρχική Δημοσίευση από Manthak47:
Θες να πεις δηλαδή ότι το |4χ-2|+2 = -3 δεν έπρεπε να το πάρω καθόλου και να το βγάλω έξω με περιορισμό εξαρχής; Με το που το έγραψα να το βγάλω άτοπο δλδ.
Αν είναι έτσι τότε κατάλαβα και thanks για τη διόρθωση!

Aκριβώς. Όταν σε ανίσωση με απόλυτα βλέπεις |κάτι| < αρνητικού ή σε εξίσωση = αρνητικό απορρίπτεις αμέσως τη λύση εφόσων |χ|>=0 πάντα.

ant1637 · 25 Μαΐου 2009 στις 10:27

Αρχική Δημοσίευση από Shadowfax:
x^2-Sx+P=0

ναι απ'τη βιασύνη μ το ξέχασα

dnaSEAGAL · 27 Μαΐου 2009 στις 13:14

μπορει καποιος να με βοηθησει με το συστημα
(μ-1)χ + (3μ-4)ψ = μ+1
2χ + (μ+2)ψ = 3μ ????

ευχαριστω

Chris1993 · 27 Μαΐου 2009 στις 22:30

Αρχική Δημοσίευση από dnaSEAGAL:
μπορει καποιος να με βοηθησει με το συστημα
(μ-1)χ + (3μ-4)ψ = μ+1
2χ + (μ+2)ψ = 3μ ????

ευχαριστω

$D = \begin{vmatrix}\mu -1 & 3\mu -4 \\ 2 &\mu +2\end{vmatrix}= (\mu -1)(\mu +2) - 2(3\mu -4) = {\mu }^{2} +2\mu -\mu -2 - 6\mu + 8 = {\mu }^{2} - 5\mu + 6$

$Dx = \begin{vmatrix}\mu+ 1 & 3\mu -4 \\ 3\mu & \mu +2\end{vmatrix} = (\mu+1)(\mu+2) - 3\mu(3\mu-4) = {\mu}^{2} +2\mu + 1\mu +2 - 9{\mu}^{2} + 12\mu = -8{\mu}^{2}+ 15\mu + 2$

$Dy=\begin{vmatrix}\mu-1 & \mu+1\\ 2 & 3\mu\end{vmatrix}= 3\mu(\mu-1)-2(\mu+1)= 3{\mu }^{2} -3\mu - 2\mu -2 = 3{\mu}^{2} -5\mu -2$

$D=0\Leftrightarrow {\mu }^{2}-5\mu +6 = 0 \Leftrightarrow \mu = 3$ ή $\mu = 2$

* Άν $\mu \neq 3$ και $\mu \neq 2$ τότε είναι $D \neq 0$ και επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση την :

$x=\frac{Dx}{D} =\frac{-8{\mu}^{2} +15\mu +2}{{\mu}^{2} - 5\mu + 6}= \frac{(\mu + \frac{1}{8})(\mu -2)}{(\mu -3)(\mu-2)}=\frac{\mu+\frac{1}{8}}{\mu-3}$

$y=\frac{Dy}{D} =\frac{3{\mu}^{2}-5\mu - 2}{{\mu}^{2}-5\mu + 6} = \frac{(\mu + \frac{1}{3})(\mu-2)}{(\mu-3)(\mu-2)}= \frac{\mu + \frac{1}{3}}{\mu - 3}$

* Άν $\mu =2$ , τότε το σύστημα γίνεται :

$\begin{cases} & \text{ x + 2y }=3 \\ & \text{ 2x + 4y}=6\end{cases}$ ή $\begin{cases} & \text{ x + 2y }=3 \\ & \text{ x + 2y}=3\end{cases}$ που έχει άπειρες λύσεις.

* Άν $\mu =3$ , τότε το σύστημα γίνεται :

$\begin{cases} & \text{ 2x + 5y }=4 \\ & \text{ 2x + 5y}=9\end{cases}$ που είναι αδύνατο.

Ελπίζω να σε βοήθησα !!!

djimmakos · 31 Μαΐου 2009 στις 21:22

Ας βάλω και εγώ μια δικής μου κατασκευής.

Έστω $f(x)=x^2-2x+(k-2)^2$

i) Nα βρεθεί το πρόσημο του f(x) για τις διάφορες τιμές του k.

ii) Αν $k \in (1,3)$ να αποδείξετε ότι

$1-\sqrt{(1-k)(k-3)}\geq 0$

Το ii δεν είναι άσχετο. Βγαίνει με δύο τρόπους, ο ένας μάλιστα πιάνει λιγότερο από μια σειρά, αρκεί να παρατηρήσετε κάτι.

mostel · 31 Μαΐου 2009 στις 21:54

Θα βάλω μια λύση στο 1ο και στο 2ο που 'ναι λίγο διαφορετικές από τα συνηθισμένα.

$f(x,k)=x^2-2x+(k-2)^2$

$f(x,k)=x^2-2x+1+(k-2)^2-1$

$f(x,k)=(x-1)^2 +(k-2)^2-1$

$f(x,k)\geq 0$

$(x-1)^2+(k-2)^2\geq 1$

Άρα, για να 'ναι θετική, θα πρέπει όλα τα σημεία του επιπέδου να βρίσκονται έξω από τον κυκλικό δακτύλιο κέντρου (1,2) και ακτίνας 1. Δηλαδή, το k θα πρέπει να 'ναι είτε μεγαλύτερο του 3, είτε μικρότερο του 1 (κάντε σχήμα για να το καταλάβετε)

Για το δεύτερο:

Από τη γνωστή:

$(a+b)^2\geq 4ab$

Έχουμε:

$\left[(1-k)+(k-3)\right]^2\geq 4(1-k)(k-3)$

$4\geq 4(1-k)(k-3)$

$1\geq (1-k)(k-3)$

Και τελειώσαμε

Στέλιος

PROFESSORE · 31 Μαΐου 2009 στις 23:44

Ξερει κανείς σε παραμετρικο σύστημα με οριζουσες τι γινεται οταν δεν παραγοντοποιείται το D??? Δεν υπαρχει γενικα πραγματικη λύση? Ξερει κανεις τι γινεται?

papas · 1 Ιουνίου 2009 στις 00:03

Απλα την αφηνεις οπως ειναι.

PROFESSORE · 1 Ιουνίου 2009 στις 00:04

Σιγουρα? Πως θα το γραψω δλδ? Αδυνατο και τελος?

Iliaso · 1 Ιουνίου 2009 στις 00:05

Kάνεις όλες τις διαδικασίες απλά δεν παραγοντοποιείς

Boom · 1 Ιουνίου 2009 στις 00:13

δεν το λες αδυνατο,κανεις διερευνηση..

PROFESSORE · 1 Ιουνίου 2009 στις 00:19

Πρεπει ομως να κανω το D=0 για να βρω που μηδενιζει...Εφοσον δεν παραγοντοποιείται δεν εχει πραγματικες ριζες...Αρα δεν μπορω να κανω και διερευνηση επειδη δεν μπορω ν βρω τις τιμες του λ για τις οποίες είναι αδυνατη-αοριστη...

edit: Λεγοντας δεν παραγοντοποιείται εννοώ Διακρίνουσα μικροτερη του 0

djimmakos · 1 Ιουνίου 2009 στις 11:39

Ε δεν υπάρχει πραγματική τιμή που να τη μηδενίζει, οπότε το σύστημα έχει πάντα μια λύση

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Περιβόητο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος