Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

tebelis13 · 23 Μαΐου 2009 στις 15:14

Παιδες βαζω και εγω μια καλη ασκησουλα

να βρεθει η τιμη του λ ωστε το μεγιστο της συναρτησης f(x)=-(1-x)^2+2(1-λ)x να λαμβανει την ελαχιστη τιμη του. :bye:

arti · 23 Μαΐου 2009 στις 15:34

εγω τι 8α γραψω στην αλγεβρα?δεν ξερω να λυσω καμια....τα εχω ξεχασει ολα...!!!

djimmakos · 23 Μαΐου 2009 στις 15:41

Ωραία ασκησούλα.

Λοιπόν.

$f(x)=-(1-x)^2+2(1-l)x\Leftrightarrow f(x)=-(x^2-2x+1)+2(1-l)x\Leftrightarrow f(x)=-x^2+2x-1+2(1-l)x \Leftrightarrow f(x)=-x^2+2(2-l)x-1$

Η f(x) παρουσιάζει μέγιστο το:

$f_{max}=-\frac{D}{4a}=-\frac{[2(2-l)]^2-4}{-4}=\frac{4(l^2-4l+4)-4}{4}=\frac{4(l^2-4l+3)}{4}=l^2-4l+3$

Tώρα, σύμφωνα με την άσκηση, πρέπει το $f_{max}$ να

παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή του, δηλαδή το

$g(l)=l^2-4l+3$ να παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή του.

Το $g(l)$ παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή του για

$l=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=\frac{4}{2}=2$ , οπότε

$l=2$

miv · 23 Μαΐου 2009 στις 15:49

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Ωραία ασκησούλα.

Λοιπόν.

$f(x)=-(1-x)^2+2(1-l)xLeftrightarrow f(x)=-(x^2-2x+1)+2(1-l)xLeftrightarrow f(x)=-x^2+2x-1+2(1-l)x Leftrightarrow f(x)=-x^2+2(2-l)x-1$

Η f(x) παρουσιάζει μέγιστο το:

$f_{max}=-frac{D}{4a}=-frac{[2(2-l)]^2-4}{-4}=frac{4(l^2-4l+4)-4}{4}=frac{4(l^2-4l+3)}{4}=l^2-4l+3$

Tώρα, σύμφωνα με την άσκηση, πρέπει το $f_{max}$ να

παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή του, δηλαδή το

$g(l)=l^2-4l+3$ να παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή του.

Το $g(l)$ παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή του για

$l=-frac{b}{2a}=-frac{-4}{2}=frac{4}{2}=2$ , οπότε

$l=2$

Εσύ που ξέρεις να κοιτάς να τα λύνεις με μονοτονία και σύνολα τιμών αυτά. Το ελάχιστο και μέγιστο τριωνύμου όπως το μαθαίνετε στην Α' Λυκείου είναι παπαγάλισμα τύπου.

djimmakos · 23 Μαΐου 2009 στις 15:51

Nαι αλλά η απόδειξη του τύπου βγαίνει και με παράγωγο :p

f(x)=αχ^2+βχ+γ, τοτε f'(x)=2αχ+β και μετά παίρνεις τα γνωστά και μη εξαιρετέα f'(x)>0 για να είναι γνησίως αύξουσα, f'(x)<0 για να είναι γνησίως φθίνουσα και μετά τις περιπτώσεις για τα α και μπλα μπλα και λες ότι εκεί που από φθίνουσα γίνεται αύξουσα παρουσιάζει ελάχιστο. :p

miv · 23 Μαΐου 2009 στις 15:52

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Nαι αλλά η απόδειξη του τύπου βγαίνει με παράγωγο :p

Ε ναι, αυτό σου λέω. Μελέτη μονοτονίας ακροτάτων μέσω παραγώγου ξέρεις, δεν ξέρεις;
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Nαι αλλά η απόδειξη του τύπου βγαίνει και με παράγωγο :p

f(x)=αχ^2+βχ+γ, τοτε f'(x)=2αχ+β και μετά παίρνεις τα γνωστά και μη εξαιρετέα f'(x)>0 για να είναι γνησίως αύξουσα, f'(x)<0 για να είναι γνησίως φθίνουσα και μετά τις περιπτώσεις για τα α και μπλα μπλα και λες ότι εκεί που από φθίνουσα γίνεται αύξουσα παρουσιάζει ελάχιστο. :p

Μπορείς αντι να λύσεις ανίσωση, να βάλεις τυχαία τιμή στο διάστημα και να πεις ότι λόγω συνέχειας, μη μηδενισμού στο διάστημα, διατηρεί πρόσημο λόγω Bolzano.

djimmakos · 23 Μαΐου 2009 στις 15:55

Nαι αλλά για να βάλεις τυχαία νούμερα πρέπει να έχεις νούμερα...Δεν κολλάει να έχεις ένα α και ένα -5 :p

Εγώ για την απόδειξη μιλάω.

:p

Πέρα από την πλάκα, παίζει να γράψω τίποτα τέτοιο στην Άλγεβρα φέτος

..'Eτσι για να αφήσω το σημάδι μου :p

miv · 23 Μαΐου 2009 στις 15:55

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Nαι αλλά η απόδειξη του τύπου βγαίνει και με παράγωγο :p

f(x)=αχ^2+βχ+γ, τοτε f'(x)=2αχ+β και μετά παίρνεις τα γνωστά και μη εξαιρετέα f'(x)>0 για να είναι γνησίως αύξουσα, f'(x)<0 για να είναι γνησίως φθίνουσα και μετά τις περιπτώσεις για τα α και μπλα μπλα και λες ότι εκεί που από φθίνουσα γίνεται αύξουσα παρουσιάζει ελάχιστο. :p

Στη Γ' Λυκείου απ'ότι το κόβω, μόνο με ολοκληρώματα θ'ασχοληθείς, τα άλλα τα ξέρεις κι απο τώρα.

djimmakos · 23 Μαΐου 2009 στις 16:03

Αρχική Δημοσίευση από miv:
Στη Γ' Λυκείου απ'ότι το κόβω, μόνο με ολοκληρώματα θ'ασχοληθείς, τα άλλα τα ξέρεις κι απο τώρα.

Το ολοκλήρωμα $\int_{a}^{b}f(x)dx$ υπολογίζει το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις κάθετες x=a,x=b, τη γραφική παράσταση της f(x) και τον άξονα x'x. :p (Σημαντική προυπόθεση f(x)>0: Δεν υπάρχει αρνητικό εμβαδό.) :fss:

tebelis13 · 23 Μαΐου 2009 στις 16:24

Djimmako και (οποιος αλλος θελει) αλλη μια εξυπνη ασκησουλα

α)Απο ολους τους αριθμους χ,ψ με σταθερο αθροισμα α (χ+ψ=α) να βρεθουν εκεινοι που εμφανιζουν το μεγιστο γινομενο
β)Απο ολους τους θετικους χ,ψ με σταθερο γινομενο β (χψ=β) να βρεθουν εκεινοι που εμφανιζουν το ελαιστο αθροισμα...

miv · 23 Μαΐου 2009 στις 16:29

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Το ολοκλήρωμα $int_{a}^{b}f(x)dx$ υπολογίζει το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις κάθετες x=a,x=b, τη γραφική παράσταση της f(x) και τον άξονα x'x. :p (Σημαντική προυπόθεση f(x)>0: Δεν υπάρχει αρνητικό εμβαδό.) :fss:

Βάζεις τη συνάρτηση f μέσα σε απόλυτο και εισαι οκ.

Για την ύλη της Γ' Λυκείου, γενικής παιδείας, αυτά είναι βασικές εφαρμογές, δεν είναι εξυπνα προβλήματα.

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Το ολοκλήρωμα $int_{a}^{b}f(x)dx$ υπολογίζει το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις κάθετες x=a,x=b, τη γραφική παράσταση της f(x) και τον άξονα x'x. :p (Σημαντική προυπόθεση f(x)>0: Δεν υπάρχει αρνητικό εμβαδό.) :fss:

Οκ, θα κάνεις μιγαδικούς, όρια, συνέχεια και παραγωγισιμότητα. Επίσης κυρτά/κοίλα, ασύμπτωτες.

djimmakos · 23 Μαΐου 2009 στις 16:33

Θα απαντήσω μόνο για το α, το άλλο βαριέμαι να το κοιτάξω.

Αυτοί που ικανοποιούν τη σχέση $a^2=4xy$

Άντε και για το β.

Aυτοί που ικανοποιούν τη σχέση $x+y=2\sqrt{b}$

PGeorge4 · 23 Μαΐου 2009 στις 16:44

Αρχική Δημοσίευση από tebelis13:
Παιδες βαζω και εγω μια καλη ασκησουλα
να βρεθει η τιμη του λ ωστε το μεγιστο της συναρτησης f(x)=-(1-x)^2+2(1-λ)x να λαμβανει την ελαχιστη τιμη του.

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Ωραία ασκησούλα.

Λοιπόν.

$f(x)=-(1-x)^2+2(1-l)xLeftrightarrow f(x)=-(x^2-2x+1)+2(1-l)xLeftrightarrow f(x)=-x^2+2x-1+2(1-l)x Leftrightarrow f(x)=-x^2+2(2-l)x-1$

Η f(x) παρουσιάζει μέγιστο το:

$f_{max}=-frac{D}{4a}=-frac{[2(2-l)]^2-4}{-4}=frac{4(l^2-4l+4)-4}{4}=frac{4(l^2-4l+3)}{4}=l^2-4l+3$

Tώρα, σύμφωνα με την άσκηση, πρέπει το $f_{max}$ να

παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή του, δηλαδή το

$g(l)=l^2-4l+3$ να παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή του.

Το $g(l)$ παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή του για

$l=-frac{b}{2a}=-frac{-4}{2}=frac{4}{2}=2$ , οπότε

$l=2$

στο f(x) το α=-1 αρα παρουσιαζει μέγιστο ,το μεγιστο ειναι το -β/2α και οχι το -Δ/4α σωστα ?

djimmakos · 23 Μαΐου 2009 στις 16:46

Αρχική Δημοσίευση από PGeorge4:
στο f(x) το α=-1 αρα παρουσιαζει μέγιστο ,το μεγιστο ειναι το -β/2α και οχι το -Δ/4α σωστα ?

To μέγιστο είναι το -Δ/4α και το παρουσιαζει για χ=-β/2α.

PGeorge4 · 23 Μαΐου 2009 στις 16:52

επειδη δεν την πολυκαταλαβα την ασκηση . βρησκεις το μέγιστο οκ . και μετα το ελάχιτσο του μέγιστου αυτο το καμματι δεν το καταλαβένω το μέγιστο δεν είναι ενα σημείο πως να βρεις το ελαχιστο του ? τι εννοει το ελαχιστο του εξησηστε μου λιγο

djimmakos · 23 Μαΐου 2009 στις 16:56

Το μέγιστο κινείται πάνω στην κάθετη ευθεία χ=-β/2α και μας ζητάει να βρούμε την τιμή του λ για την οποία το μέγιστο δεν πάει πιο κάτω, φρακάρει..

Απλά :p

(Mάλιστα κινείται και η ευθεία μαζί με το σημείο, ενδιαφέρον) :p

rolingstones · 23 Μαΐου 2009 στις 16:57

τζιμακο ξερεις ολοκληρωματα απο πρωτη λυκειου?:no1:

djimmakos · 23 Μαΐου 2009 στις 16:59

Όχι, μόνο τον ορισμό ξέρω

tebelis13 · 23 Μαΐου 2009 στις 17:08

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Το ελάχιστο κινείται πάνω στην κάθετη ευθεία χ=-β/2α και μας ζητάει να βρούμε την τιμή του λ για την οποία το ελάχιστοv δεν πάει πιο πάνω, φρακάρει..

Απλά :p

(Mάλιστα κινείται και η ευθεία μαζί με το σημείο, ενδιαφέρον) :p

just this

:no1:

djimmakos · 23 Μαΐου 2009 στις 17:10

Λίγο ανάποδα βέβαια. :p

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος