Επειδή λοιπόν βλέπω πολλά ποστ και απ ότι βλέπω σας ενδιαφέρει το συγκεκριμένο θεώρημα σας παραθέτω τις προυποθέσεις και την απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος.Το συγκεκριμένο θεώρημα αποδεικνύεται με γνώσεις Λυκείου απλά δεν εμπεριέχεται στο σχολικό βιβλίο.
Θεώρημα Darboux ή θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου:
Αν μια συνάρτηση
είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα
,τότε (η παράγωγος της)
παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ
)
και
)
, δηλαδή το
)
είναι διάστημα.
Απόδειξη
Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε
>\lambda > {f '}_{-}(b))
. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει
)
τέτοιο, ώστε
=\lambda)
.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
=f(x)-\lambda x)
,τότε η
είναι συνεχής στο
οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Μεγίστου-Ελαχίστου(Extreme Value Theorem) η
παίρνει μια μέγιστη τιμή.Θα αποδείξουμε ότι η
δεν παίρνει μέγιστη τιμή ούτε στο
ούτε στο
.
H g είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο
με
=f '(x)-\lambda)
.
Οπότε,
<0 < {g '}_{-}(b))
.
Eπειδή όμως
-g(a)}{x-a}>0 \Rightarrow \frac{g(x)-g(a)}{x-a}>0)
και επειδή
>g(a))
σε μια περιοχή του
. Άρα στο
η
δεν παρουσιάζει μέγιστο.
Eπίσης ,
-g(b)}{x-b}<0 \Rightarrow \frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0)
επειδή
>g(b))
.Άρα ούτε στο
παρουσίαζει μέγιστο.
Συνεπώς υπάρχει
στο οποίο η
παίρνει τη μέγιστη τιμή της.Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat
=0)
Τελικά προκύπτει
=0 \Rightarrow f '(c)=\lambda)
.
Δηλαδή για έναν αριθμό
μεταξύ των
και
υπάρχει
)
τέτοιο ώστε
Όπως βλέπεται δεν υπόθηκε πουθενά οτί η παράγωγος είναι συνεχής απλά αποδείχθηκε οτί ισχύει το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών για την παράγωγο συνάρτηση ανεξαρτήτως συνέχειας.
Ένας διαφορετικός τρόπος διατύπωσεις του παραπάνω θεωρήματος είναι:
Αν
είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ανοικτό
, τότε για
I με
\cdot f'(b)<0)
, συνεπάγεται ότι υπάρχει ρίζα της (παραγώγου συνάρτησης)
στο
)
,δηλαδή υπάρχει
τέτοιο ώστε
=0)
.Γι' αυτόν το λόγο το θεώρημα Darboux ονομάζεται και θεώρημα ενδιάμεσης τιμής της παραγώγου.
Όσον αφορα την άσκηση του jimmy007
Αρχική Δημοσίευση από jimmy007:
Αν f παραγωγίσιμη στο R και f'(x) διάφορη του μηδέν για κάθε x Ε R να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
o g!οrgos είπε
Αρχική Δημοσίευση από g!orgos:
Αφου f ' (x) διαφορη του μηδενος τότε f ' (x ) > 0 ή f ' (x) < 0 Αρα f γνησιως αυξουσα ή f γνησιως φθινουσα!
Και θα ταν σωστός αν ήξερε το παραπάνω θεώρημα.
Έστω ότι δεν ισχύει, δηλαδή η παράγωγος συνάρτηση
δεν είναι ούτε αυστηρά θετική ούτε αυστηρά αρνητική.Τότε υπάρχουν
τέτοια ώστε
\cdot f '(b)<0)
σύμφωνα όμως με το παραπάνω θεώρημα υπάρχει
τέτοιο ώστε
, άτοπο απ' την υπόθεση.
Δηλαδή αν
\neq 0)
για κάθε
(όπου
το διάστημα στο οποίο ορίζεται η
) η παράγωγος συνάρτηση
διατηρεί σταθερό πρόσημo ανεξαρτήτως συνέχειας!
Άσχετο: Πέρσυ όταν ήμουν στην ηλικία σας(γ λυκείου) είχα ποστάρει την απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος εδώ
https://ischool.e-steki.gr/showthread.php?t=&page=3
Το thread λεγόταν ''μια περίεργη άσκηση'' και ο χρήστης είχε τη συγκεκριμένη απορία:
''αν f μια φορα παραγωγισιμη στο Δ
και η f '(x) δεν μηδενιζεται ,να δειξετε οτι η f ειναι γνησιως μονοτονη....να σημειωθει οτι δεν γνωριζετε αν η f '(x) ειναι συνεχης για να πειτε οτι διατηρει προσημο!!!!''
